BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

Transkripsi

1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Zaman yang semakin berkembang membuat persoalan semakin kompleks, tidak terkecuali persoalan yang melibatkan persoalan matematika. Kompleksitas yang semakin meningkat memunculkan persoalan yang berbentuk nonlinear. Hal tersebut disebabkan karena munculnya faktor-faktor yang membuat ketaklinearan suatu fungsi. Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang memiliki derajat dua atau lebih. Beberapa bentuk fungsi nonlinier adalah fungsi kuadrat, fungsi kubik, fungsi eksponensial, dan fungsi logaritmik. Pada fungsi nonlinear dapat juga berupa fungsi smooth dan fungsi nonsmooth. Sebuah fungsi dikatakan smooth jika fungsi tersebut dapat diturunkan atau differentiable disetiap titik. Sebaliknya dengan fungsi nonsmooth yang kontinu juga mempunyai turunan, tetapi pada titik tertentu, misalnya pada titik patah, turunannya merupakan turunan berarah. Fungsi kontinu nonsmooth dapat dikaji dari sisi analisis konveksitas dan optimisasi (Aubin, 1984) dan dapat pula dikaji dari sisi analisis nonsmooth (Clarke, 1983). Pada analisis konveksitas dan optimisasi, fungsi nonsmooth diselesaikan dengan meminimum dan / atau memaksimumkan fungsi tersebut serta meninjau dari segi konveks graf. Pada analisis nonsmooth, fungsi nonsmooth dikaji pada sisi Generalizad directional derivative atau turunan berarah. Turunan dari fungsi nonsmooth didefinisikan sebagai subgradien.

2 1.2 Perumusan Masalah Permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana menyelesaikan persoalan fungsi nonlinear nonsmooth dengan metode Subgradien. 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menyelesaikan masalah fungsi kontinu nonsmooth dengan metode Subgradien. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Dapat mencari solusi alternatif untuk menyelesaikan persoalan fungsi nonlinear nonsmooth. 2. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan bagi yang hendak melakukan penelitian serupa. 1.5 Tinjauan Pustaka Persamaan yang tidak linier dan mempunyai derajat dua atau lebih dari dua dikatakan sebagai fungsi nonlinier. Pada fungsi nonlinier grafiknya tidak berupa garis lurus, melainkan dapat berupa kurva atau garis zig-zag. Fungsi nonlinier kontinu adalah fungsi nonlinear dimana tidak terdapat celah (kosong) pada fungsi tersebut. Bentuk umum dari fungsi nonlinier

3 ( ) di mana dan merupakan koefisien. Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth merupakan fungsi nonlinier yang berada pada garis atau bidang patah dimana pada setiap garis maupun bidang adalah kontinu. Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth merupakan fungsi patah namun konveks. Bentuk umum pertidaksamaan untuk fungsi konveks terdifferensialkan adalah sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) ( ) dimana ( ) merupakan turunan dari dan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) Gambar Fungsi konveks terdifferensialkan

4 Definisi David G. Luenberger (1984) menyatakan bahwa sebuah fungsi dikatakan berada pada himpunan konveks S atau dapat dikatakan konveks jika untuk setiap dan setiap α, ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Jika untuk setiap α, dan ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth dapat diselesaikan dengan metode Subgradien. Metode Subgradien pertama kali dikembangkan oleh N.Z Shor (1962) yang digunakan dalam memecahkan masalah transportasi program linear berskala besar. (Goffin, 2010) Dapat dikatakan bahwa sebuah vektor pada jika adalah subgradien dari ( ) ( ) ( ) ( ) Jika konveks dan terdifferensialkan maka ( ) adalah subgradien dari pada. (Yi Zhang, 2013) 1.6 Metode Penelitian Pada penelitian ini, metode yang digunakan bersifat literatur, yaitu dengan melakukan penelitian literatur, penelitian mandiri, pengumpulan bahan melalui buku-buku referensi, maupun bahan-bahan berbentuk jurnal yang diperoleh dari perpustakaan atau internet.

5 Adapun langkah-langkah yang dilakukan penulis dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Memaparkan beberapa jenis fungsi nonlinier. 2. Menjelaskan pengertian fungsi smooth dan nonsmooth. 3. Menjelaskan pengertian turunan fungsi nonsmooth. 4. Menyelesaikan fungsi nonsmooth dengan metode Subgradien. 5. Menyelesaikan contoh soal Subgradien yang diperoleh dari referensi.