KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR

Transkripsi

1 UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Pertama Sidang Akademik 2004/2005 Oktober 2004 ZCA 110/4 - KALKULUS DAN ALABAR LINEAR Masa: 3 jam Sila pastikan ba,hawa kertas peperiksaan ini mengandungi LAPAN muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini. awab kesemua ENAM soalan. Kesemuanya wajib dijawab dalam Bahasa Malaysia. Diberi bersama kertas soalan ini ialah A Brie Table o Integrals (5 muka surat). 1. (a) Tulis sistem persamaan linear berikut, _x l + x2 + 2x3 = 5 2x 1 - x2 + 5x3 = 3 2x 1 + 5x2-2x4 = 0 3x2 - x3 + x4 = 1. dengan menggunakan nyataan matriks. Apakah matriks koeisien A sistem persamaan ini? Cari koaktor a3 4 clan a34 bagi matriks A clan dengan menggunakan keputusan ini cari determinan bagi matriks koeisien A. 275

2 2 (b) Cari penyelesaian sistem ini dengan menggunakan kaedah Cramer. (16 Markah) 2. Cari titik-titik dan persamaan-persamaan bagi tangen pada lengkung y = 2.x3-3x2-12x + 20 di mana tangennya adalah ; (16 Markah) (a) bersudut tepat dengan garis y = 1-24' (b) selari dengan garis y = vl' x. 3. (a) Nilaikan kamiran-kamiran berikut : (b) Cari luas kawasan di antara gra, (x) = 1-4, - 2 < x < 3, dan paksi-x. (16 Markah) W 2t" sect x dx (ii) 3 (ln(v + 1))2 dv 1 v+l (iii) 2 3 dt dt t2 (iv) (t + 1) t2 + 2t Diberi terbitan pertama y'(x) = x4-2x2, suatu ungsi y = (x). (a) ika ungsi y(x) ini melalui pusat koordinat (0, 0), cari persamaan ungsi ini. (b) Cari titik-titik minimum, maksimum, dan titik perubahan kecekungan ungsi ini. (c) Cari selang-selang di mana ungsi ini bertambah dan selang-selang di mana is berkurang. (d) Cari selang-selang di mana ungsi ini bercekung ke atas dan selang-selang di mana is bercekung ke bawah. (e) Lukis ungsi y(x) ini atas selang [-2, 2], di kertas gra yang dibekalkan. Tunjukkan titik-titik minimum, maksimum, dan titik perubahan kecekungannya atas

3 3 gra ini. (16 Markah) 5. Nilaikan kamiran-kamiran berikut : (a) (c) tan x dx (b) x3 + x2 tanx+secx 9 dv 81 - v4 x2 +x-2 dx (d) z+1 dz z2 ( z2 + 4) (e) x' sin x dx () n3 dy. (18 Markah) 6. (a) Bagi siri, (x + 4)n n3 n cari (i) jejari siri dan (ii) selang menumpunya. (iii) mutlak dan (iv) menumpu bersyarat? (b) Cari perkembangan Siri Fourier bagi ungsi, Untuk nilai apa x siri itu menumpu (x)=~ -1, -7r<x<0 2, 0<x<-r. (c) Cari perkembangan Siri Kosinus Fourier bagi ungsi, (18 Markah) 1~2 (x) _ ~ 0 1/2 < x <

4 - 4 A Brie Table o Integrals 1. udu=crv - v du 2. a"du= a" +C. ar l, «>0 In a 3. eosudu=sine+c 4. sinudu=-cosu+c 5. (ax+b)"dy= (crx+ +C. rr ; (ax +b) - 'dr= cilniccv+bj +C a(n + 1) 7. Max+b)'dx= (crx+b)"ax+b - h a - n+2 n+l +C, nt-1,-2 8. x(ax+b) -C dr= a - h,lniax+b~+c 9. x(ccr+b) - 'dx_ 1,CIn I u.r+bi +all+h]+c w a' 1,)" dr 10. = _I In I + C 11. (ti cr~r+ do = ( ccy + h)"tz + C, n T -2 a.r(ar+b) -b iax+hl n a.k+h CLV dr =2 cr +b xv,-tv + b cg / cr.y (a) =?tan-' b + C x cr. Y - h VT b dx (b) = 1 In ~ Vax+b-V1 ~ +C x a.r+b a.y+i,+ b~ V asb a.y + b a d.v clr Vax + b cr I de + C x- x 2 IV x cr.y" cr_r Y crr + b dr,, (IX 16. = I tan- ' 'v + C 17. = x + tan - ' + C a2 +x2 cl (a + x?a (a 2a 14. dr=- _ +- +C 15. cly dr 1.r +.Y u ' + I In.Y + a + C cr' -.Y- 2a.r -.Y a - a I («= -.Y= )= 2u -(u = -.r") 4a ; di 20. _- = sinh -1 + C = In (x + ~+a--)+c n- 21. ticiv+.udr=~ Vu +.r'+ rte In (.r+v w +s -)+C a-_+r " a, 22 a. x- = + x- dr = 8 (a Y=)%ICI c8 In (x + a= + x= ) + C ~-- cr + c 2 V112 +.r = Y'ct - T.V 2 C 23,.Y d.y=+x-- aln.y 1 +C a. dr=ln(.r+y,1a _1 2 x`) _r x' 1 Cr- '-.Y' xv C' +X a' + _Y' dy dy I a + V'a" + C', - -V a- - -r" + C 6. + C 7. i x" Cr _ + Y' a ".Y 18.,, = In +C 19.,

5 I 5 T-2 A Brie Table o Integrals ~g. x dr = sin-' a + C 29. tea- - dx = a = - x' + sin- ' n + C,_ 30. ( x-v ci-.r - C1.1: = c$ sin- ' - g xti z (a- - 2x') + C r--,, Y2 31. dr=va--x--ai x x i x _ n +C 32. dr=-sin a- x.r- dx 1 I a+ a -x +C 33. cr = sin-' a -.r x- + C 34. = -a In x 1c x (Ix =- a--x- +C ,1 =cosh -'~+C=lnI x+ l+c 35. x-v ~ u - cr -.z z-.z cr ` 37. x- a- a2 dr=~ r- - - ~ ini.r+ +C ( 38. ( x- --a =)" dx =.r + 1 cl n 1+ 1 ( x- - cr = ),,-z dx, n -1 (N/x2 n')n clx.r(v-a2) - n - 3 _ a 2 ) 11 (2 _ 11)a2 (n - 2)a 2 dx n _ x( x- ( (I - ) n+= n + 2 '_ + C, n -2,, 41. a-- x-.r=-cr=clv= z 8(2X--a-) x- 8 In I x+ x-- a -- ~+C 42..z -- cr dx=.r - -cr - -asec _ii n +C x, a -clr=ln~x+ Va- -.t- x2 44. ~,dr=21n +C I.z+ ~+ 2 r- -u - dx 45. = _ sec- ' ai+c=~rcos`ia _ +C 46. d =~a- +C.r x- a x- - a" x'- - a'- -x _ x sin-' a ~cu -x 2 \ 48. 2crr - x- dx = z a ( a l + C 2a~z- x' +2 sin- ' X2)n (x ( a) - crx-y'- )" dr= r+ la ( x a a + C ) + nrz+ 1 ( tax - x )n ' dx dr (x - a)(v2ax - x- ) - -,, + n - 3, dx 50. _ ( tax - x-')" (n - 2)a = (n - 2)a - 2 -x")n-- x- x`-a-~- zz_ a,+ C x tax - x= d,c = + sin 6 2 2a- x-a gas-x-, x-a wax-x'- x, + 2. x dx = 2a x' + a sin- ( a + C 53. dx = -2v x - sin- ( a C x- 54. x dx = x a sin-' a a) - tax - x= + C 55. \ _ dx - 2a x tax _ x 56. sin ax dx = -a cos ax + C 57. cos ax dx = 1 sin ax + C 58. sin = ax dx = 2 - si ~acu + C a 2a-x +C 59. cos' ax dx = 2 + si ~Qax + C

6 6 A Brie Table o Integrals T-~ 60. sin ax dz = sin" axa COs ax + n ~ 1 sin" -2 ax dx 61. COs" ax dx = cos" -1 n a~ sin ax + n ~ 1 - COS' 1 " a z dz Cos (a + b)x cos (a - b)x 62. (a) sin ax cos bx dx = - 2( a + b) 2(a - b) + C, a= 0 b'- sin (a - b)x sin (a + b)x, (b) sin ax sin bx dx = 2(a - b) - 2(a + b) + C. a- T b- sin (a - b)x sin (a + b)x, (c) cos ax cos bx dz = 2(a - b) + 2(a + b) + C, a- T b- cos tax sin "-1 ax 63. sin ax cos ax dz = - 4a + C 64. sin" ax cos ax dx = + ri T -1 I )a + C. cos ax ax 1 cos" dz = - In ~ sin ax ~ + C 66. cos" ax sin ax dz = - + C, n ~ - I sin ax a (n + 1)a 67. sin ax FO_Sax dx=-ulni cosax~+c " m sin " ax COs'"" Qz n - I "-= m s sin" a., cos ax dz = - a(m + n) + m + n sin ax cos ax dz, n -m (reduces sin" ax) (reduces cos m ax) sin"n sin" x cos rre +1 ax COs"'- l ax in - I ax dx = sin" " ax cos m-2 CL,( dx, m # -n a(m + n) + m + ri b + sin ax,2, tan-1 [~ lb-c tan (7T-ax)] + C, b= > c= a b + c 71. dx = -1 In ~ c + b sin ax + c= -b '- cos az i + C, b2 < c'- b + c sin ax a c b + c sin ax 72. dx - I a ctx dc 1 + sin ax a tan (4-2 + C 73., 1 - sin ax ti b 74. d = 2 tan-' - c tan "+C, 62 > c- b+c cos ax a b'---c= ~b+c 2~ 1 7r ax an + + C 75. dx l c+bcosax+ VP sinax In b + c cos ax a-\/c7 2 - b 2 b + c cos ax + C, b- < c` 76. dx= Itanax+C 77. ~ =-Icotclx+C I + Cos ax a Cos ax a x sin ax dx = 1, sin ax - Cos ax + C 79. x Cos az&= ~, cos cix + x sin ax+ C a _ a _ xrr n -1 xr " n sinaz- a x x sin ax dx= - a Cos ax +a x cos ax dx 81. x' Cos ax dz= cr tan ax dx = In I sec ax I + C 83. cot ax dx = 1 In j sin ax j + C 84. tan= ax dx = I-a tan ax - x + C 85. tan" -1 ax 86. tan" ax dx = - 1 ta a(n cot- ax dx = -1 cot ax - x + C "-1 a(n sinaxdv ) - tan" - = ax dz, n # cot" ax dz = -cot - x - Cot"-2 Cl_-( CLr. n # sec ax dx = 1 In sec ax + tan ccx + C 89. sec 2 ax dx = a tan ax + C 91. csc ax dx = -a In I csc ax + cot ax + C CSC 2 ax dz = -a cot ax + C 92. sec" ax dx = SeC"-('ax o n ax sec" -2 ax dz, n # 1

7 7 T-4 A Brie Table o Integrals csc"-= ax cot ax n-2 -, CSC" ax dx, 11 -"r 1 a(n - 1)»-1 na + C, n, csc as cot ax & = - 77a 93. CSC" ax dx = sec" ax s csc" ar s 94. sec ax tan ax dx = + C, 77 -r sin - ' ax dx = x sin - ' ax + n + C 97. tan - ' ax dx = x tan - ' ax - 1 In (1 + a =x = ) + C 2 C1 99. x sin axdr=7r+i sin ax V I - a,-x 2' 100..r" cos- I ax d r = 17c+ 1 n-r cos ' ccr a xdr r + I -1 r rr+i " -' -i a x" dx * 101..r tan ax clr = l1 + I tan crr - 7: + 1 ~.'~ I + Cos- ' ax dx =.r cos- ' ax - a ar 102. e"., dx = e"' + C )".r dx = cr In b + C, b > 0, b l n.r o.i e " nv 1 " a.r _ t7 -I o.r 104. xe dx = - (ax - I) + C 105. _r e dx = a x e u x" e dx (1 2 x"ho.r 106. x"b ''r CLr = ct In h cr In b a - +b - ell, "r 108. e" Cos1b.r,Lr=,, (acoshr+hsinbx)+c 109. In ax dx=xinax-.r+c (t - + b- " x"+'(in rrr ax)"' _ 717 r " r"-i 110. _r (In ax) dx = n + 1 n + 1 x (In crx) dr, 12 - I.l - 11,ir-1hue CLY, b > 0, b -'r ea.r sin bx dl = ' ea.r, (a sin 1)x - b COs br) + C nr+ i 111. x- '(In (x)"' dx = ( I n7c+) I + C, 7n x lnxar = In I In ax j + C 113. sinh ax dx = a cosh cur + C 114. cosh ax de = n sinh ax + C sinh tax x sinh 2cu r 115. E sinh` ax dx = 4a - + C 116. E cosh, - ax dx = 4a C 117. sinh" ax dx = sinh" - ' ax cosh ax _ n '7 I sinh" -2 ar dx, n ~ cosh" ax clr = cosh'' - ' ~x sinh ax + n,7 I cosh" -- ax dr, n # x sinh ax dx = cosh ax - 1 sinh ax + C 120. x cosh ax dr = a sinh cu - 1, cosh ax + C a x" sinh ax dx = '~ cosh ax - ~ x" - ' cosh ax dx 122. x" cosh ax dx = a' sinh ax - a x"- ' sinh ax dx 123. tanh cu dx = a In (cosh ax) + C 124. coth cud., = 1 In I sinh ax + C 125. tanh= ax dr = x - a tanh cu + C 126. coth = ax dx = x - I coth ax + C "i 127. tanh" cu dr = _tank"-' ax + tank" - '- ax dr, n 1 (n - 1)a Goth"-2 ax dx, 7101 (n - 1)a 128. coth" ax dx = _ Goth" - ' ax sech ax dx = 1 sin - ' (tanh ax) + C 130. csch ax dx = Q In j tanh 2 + C t a 2.y + C 232

8 8 A Brie Table o Integrals Z, sech = ax dx = a tanh ax + C 132. csch = &Y dx = -1 Goth ax + C sech" ax dr = sech'(~1 ax lt)nh ax + n - 2 sech"-- ax dr. n ' csch" ax clc = - csch"-- ax Goth ax - n - 2 (csch" -- ax dx. Il T 1 (r1-1)a n sech" ax tanh ax dv = - se17 cl ax _ C., 11 r csch" ax Goth ccv dr = - cs'hc` ax + C. 11 T 0 e"s e"-' _ e -b.u ebr, e -izu 137. e'" e".` sinh by d., = 2 [c1 + b a - + C. a- T b= 138. e"` cosh b.r dr = T b] [a + b a - b] + C. a= T b L' x" -1e-.` dv = 1'(n) = (n - 1)!. n > e -.,- dv = a > sin".c 0 0 dc = cos".v dv = (n - 1) %r i 17 is an even integer? w4-6w11-1). it n is an odd integer?

9 UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Pertama Sidang Akademik 2004/2005 Oktober 2004 ZGT 161/3 - Geologi I Masa : 3 jam Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi DUA muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini. awab EMPAT soalan sahaja. Kesemuanya wajib dijawab dalam Bahasa Malaysia.

10 2 [ZGT 161] 1. (a) elaskan, dengan bantuan contoh clan lakaran yang sesuai, Prinsip Keseragaman, Hukum Superposisi clan Hukum Keselanjaran Asal. (30/100) (b) Bincangkan struktur dalaman bumi berdasarkan (i) komposisi kimia (ii) siat-siat izikal. (70/100) 2. (a) Huraikan, dengan lakaran-lakaran yang sesuai, struktur atom bagi siklosilikat, inosilikat clan iosilikat. Namakan suatu contoh mineral untuk setiap struktur. (70/100) (b) Perihalkan TIGA contoh struktur sedimen yang menunjukkan sama ada sesuatu turutan batuan sedimen terbalik atau ticlak. (30/100) 3. (a) Bincangkan proses-proses izikal clan kimia yang dialami oleh sedimen terendap sebelum is menjadi batuan sedimen. (70/100) (b) elaskan TIGA kriteria mineralogi utama yang menjadi dasar bagi pengkelasan batuan igneus. (30/100) 4. (a) Apakah maksudnya metamorisme? Bincangkan syarat-syarat yang diperlukan untuk proses ini. Perihalkan metamorisme sentuh serta hasilhasilnya. (80/100) (b) Takrikan osil. Bincangkan keadaan yang diperlukan untuk proses pemosilan. (20/100) 5. (a) Terangkan mekanisme perlipatan leksur, perlipatan ricih clan perlipatan aliran. (30/100) (b) Bincangkan pemuaian lantai-laut serta bukti-bukti untuknya. (70/100) O 000 -