PENGANTAR DASAR MATEMATIKA (PDM)

Transkripsi

1 BAHAN AJAR PENGANAR DASAR MAEMAIKA (PDM) Disusun oleh Sugiarto, Isti Hidayah Jurusan Matematika MIPA UNNES 2011 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 1

2 PRAKAA egala puji hanya untuk Allah, uhan semesta alam, yang telah melimpahkan karunianya, sehingga Alhamdulillah bahan ajar yang berjudul Pengantar Dasar Matematika telah selesai disusun sesuai dengan rencana. Kompetensi yang dimiliki mahasiswa setelah menempuh matakuliah Pengantar Dasar Matematika bermanfaat bagi mahasiswa tidak saja sebagai bekal untuk menempuh semua matakuliah Keahlian Bidang Studi, akan tetapi bermanfaat pula bagi mahasiswa sebagai sarana berfikir mengembangkan penalaran dan meningkatkan kemampuan berpikir logis. Perkuliahan ini dimaksudkan membekali mahasiswa agar mampu menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika, disamping itu juga membekali mahasiswa untuk mengembangkan kemampuan berpikir logis, rasional, analitis, sistematis, objektif, dan kritis serta kreatif. Kompetensi yang diperoleh mahasiswa setelah menempuh matakuliah ini sangat bermanfaat sebagai bekal untuk menempuh matakuliah lain. Adapun materi yang dikembangkan pada matakuliah Pengantar Dasar Matematika meliputi: 1) Himpunan, relasi, fungsi dan kardinalitas 2) Logika : disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, ekivalensi, argument, bukti kesahan argumen dan kwantifikasi Semarang, Agustus Penulis Sugiarto-Isti Hidayah PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 2 ii

3 DAAR ISI HALAMAN JUDUL... i KAA PENGANAR... ii DAAR ISI... iii BAB I : PENDAHULUAN Deskripsi mata kuliah Prasyarat Petunjuk belajar Standar Kompetensi Kompetensi dasar Indikator... 2 BAB II: HIMPUNAN Pengertian Himpunan Keanggotaan Himpunan Cara Menyatakan Himpunan Latihan BAB III: MACAM HIMPUNAN DAN RELASI PADA HIMPUNAN Himpunan Kosong Himpunan Berhingga dan ak Berhingga Himpunan di Dalam Himpunan Himpunan Bagian sejati Dua Himpunan yang Sama Dua Himpunan yang Ekivalen Himpunan Kuasa... Latihan 3... BAB IV: OPERASI PADA HIMPUNAN Irisan Dua Himpunan Gabungan Dua Himpunan Selisih Dua Himpunan Komplemen Perkalian Dua Himpunan Sifat-sifat Operasi pada Himpunan Latihan BAB V: HIMPUNAN BILANGAN Himpunan Bilangan-bilangan Bilangan Nol dan Sifat-sifatnya Pecahan Biasa dan Pecahan Desimal Selang Latihan BAB VI: RELASI ANARA DUA HIMPUNAN Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan Banyaknya ReIasi Antara Dua I limpunan Macam Relasi PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 3 iii

4 5. Relasi Ekivalen dan Partisi Latihan BAB VII: UNGSI Pengertian ungsi Cara Menyatakan ungsi Banyaknya ungsi Jangkauan dari ungsi Jenis ungsi Latihan BAB VIII: LOGIKA MAEMAIK A Proposisi Proposisi Komposit Nilai Kebenaran Proposisi Komposit abel Kebenaran autologi, Kontradiksi, dan Kontingensi Implikasi Logis Ekivalensi Latihan 8A Hukum-hukum Aljabar Proposisi Argumen Kesahan Argumen Metode Deduksi Latihan 8B Aturan Bukti Bersyarat (ABB) Latihan 8C Reductio Ad Absordum (Bukti ak Langsung) Latihan 8D BAB IX: KUANIIKASI ungsi Proposisi dan Kuantor Melambangkan Proposisi Latihan 9A Bukti Kesahan clan Aturan Kuantifikasi Permulaan Latihan 9B BAB X: BILANGAN KARDINAL Himpunan Ekivalen Himpunan Berhingga clan ak Berhingga Himpunan erbilang clan ak erbilang Bilangan Kardinal Latihan DAAR PUSAKA PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 4

5 PENDAHULUAN A. Diskripsi Perkuliahan Pengantar Dasar Matematika (PDM) bertujuan agar mahasiswa memiliki kecakapan untuk memahami : Konsep dasar himpunan, macam himpunan, relasi pada himpunan, operasi pada himpunan, himpunan bilangan-bilangan, ralasi, fungsi, bilangan kardinal, logika matematika dan kuantifikasi B. Prasyarat. Perkuliahan Pengantar Dasar Matematika (PDM) tidak memerlukan pengetahuan prasyarat secara khusus. Pengetahuan matematika yang telah didapat di Pendidikan Dasar dan pendidikan menengah sudah cukup sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok pada perluliahan PDM. C. Petunjuk Belajar Strategi yang dikembangkan pada perkuliahan ini adalah startegi hiuristik dengan metode tanya jawab, demonstrasi dan diskusi dilanjutkan dengan presentasi hasil diskusi kelompok, serta pemberian tugas terstruktur () baik tugas individual maupun tugas kelompok. Strategi ini juga mengembangkan kemampuan mahasiswa untuk bereksplorasi dan berelaborasi dalam kegiatan mengonstruk pengetahuan yang berupa pemahaman konsep, prisnsip dan penerapannya dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan teori himpunan dan Pengantar logika matematika. Untuk memantapkan pengetahuan mahasiswa dan untuk menghindari miskonsepsi, maka perlu dilaksanakan kegiatan konfirmasi oleh dosen dan oleh mahasiswa. Adapun langkah pembelajaran yang dikembangkan meliputi: 1. ahap Kegiatan Pendahuluan. a. Menyiapkan kondisi fisik dan mental mahasiswa untuk belajar b. Menggali pengetahuan prasyarat dengan cara tanya jawab dan menggunakan media pembelajaran 2. ahap Kegiatan Inti a. Melakukan tanya jawab PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 5

6 b. Melakukan inkuiri dengan menggunakan modeling c. Melakukan diskusi kelompok dan mempresentasikan hasilnya (dikembangkan secara eksplorasi, elaborasi dan konfirmasi) 3. ahap Kegiatan Penutup a. Pemberian kesempatan untuk membuat rangkuman b. Pemberian tuas terstruktur individual/kelompok c. indak lanjut, pada setiap akhir perkuliahan menugaskan kepada mabahsiswa untuk me,mpelajari materi berikutnya. D. Standar Kompetensi Penyelenggaraan mata kuliah PDM bertujuan agar mahasiswa mampu mengembangkan kecakapan untuk memahami konsep dan prinsip serta penerapannya dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan teori himpunan dan logika matematika, E. Kompetensi Dasar Perkuliahan ini dimaksudkan agar mahasiswa mampu mengembangkan kecakapan untuk memahami konsep dan prinsip serta penerapannya dalam pemecahan masalah berkaitan dengan teori himpunan dan logika matematika, yang meliputi: 1) pendahuluan, 2) Konsep dasar himpunan, 3) macam himpunan, 4) relasi pada himpunan, 5) operasi pada himpunan, 6) himpunan bilangan-bilangan, 7) ralasi dan fungsi, 8) logika matematika, dan 9) kuantifikasi. 10) bilangan kardinal.. Indikator Mahasiswa mampu: 1) Mendiskripsikan konsep dasar himpunan, meliputi : Pengertian Himpunan, keanggotaan Himpunan, Cara Menyatakan Himpunan. 2) Menyebutkan macam himpunan, meliputi : Himpunan Kosong, himpunan berhingga dan tak berhingga, himpunan di dalam himpunan. 3) Menyebutkan pengertian: himpunan Bagian sejati, dua himpunan sama, dua himpunan yang ekivalen, himpunan kuasa. 4) Menyebutkan pengertian: irisan dua himpunan, gabungan dua himpunan, selisih dua himpunan, komplemen, perkalian dua himpunan. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 6

7 5) Menemukan sifat-sifat operasi pada himpunan. 6) Menentukan himpunan bilangan, operasi hitung dengan bilangan nol dan sifatsifatnya, pecahan biasa dan pecahan desimal. 7) Menyebutkan pengertian relasi antara dua himpunan, menentukan cara menyatakan relasi antara dua himpunan, banyaknya reiasi antara dua I limpunan, macam relasi, relasi ekivalen dan partisi. 8) Menyebutkan pengertian fungsi, menentukan cara menyatakan fungsi, banyaknya ungsi, jangkauan dari ungsi, jenis ungsi. 9) Menyebutkan pengertian himpunan ekivalen, himpunan berhingga dan tak berhingga, himpunan terbilang dan tak terbilang, dan bilangan kardinal. 10) Menyebutkan pengertian proposisi, dan proposisi komposisi. 11) Menentukan nilai tebenaran proposisi komposit, tabel kebenaran, tautologi, kontradiksi, dan kontingensi, Implikasi Logis, ekivalensi, dan hukum-hukum Aljabar Proposisi. 12) Menentukan argumen, kesahan argumen, metode deduksi, aturan bukti bersyarat (ABB), reductio ad absordum (Bukti ak Langsung). 13) Menentukan argumen fungsi proposisi dan kuantor, melambangkan proposisi, kukti kesahan dan aturan kuantifikasi permulaan. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 7

8 HIMPUNAN 1. Pengertian Himpunan Dalam matematika konsep himpunan termasuk konsep yang tidak didefinisikan (konsep dasar). Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Perkataan himpunan digunakan di dalam matematika untuk menyatakan kumpulan benda benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. lstilah didefinisikan dengan jelas dimaksudkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak. Benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan disebut anggota atau elemen himpunan tersebut. Contoh 1.1 Kumpulan yang bukan merupakan himpunan a. kumpulan makanan lezat b. kumpulan batu-batu besar c. kumpulan lukisan indah Ketiga contoh kumpulan di atas bukan merupakan himpunan sebab anggota-anggotanya tidak didefinisikan dengan jelas. Contoh 1.2 Kumpulan yang merupakan himpunan a. kumpulan negara-negara Asean b. kumpulan sungai-sungai di Indonesia c. kumpulan bilangan asli genap d. Penduduk Jawa engah 2. Keanggotaan Himpunan Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, D, dan seterusnya. Jika A adalah himpunan yang anggotanya a, b, dan c, maka dapat ditulis A = {a, b, c}. Jelas bahwa c anggota himpunan A, dapat ditulis c A, demikian juga a A dan b A. etapi d bukan anggota himpunan A dan dapat ditulis d A. 3. Cara Menyatakan Himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan a. menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar; b. menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau c. notasi pembentuk himpunan. Contoh 1.3 a. Menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar; A = {1,3,5,7) PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 8

9 B = {0,2,4,6,8,...} C = {Senin, Selasa, Sabtu}. b. Menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau A = Himpunan empat bilangan ash ganjil yang pertama, B = Himpunan bilangan cacah genap, C = Himpunan nama-nama hari yang diawali huruf s. c. Notasi pembentuk himpunan. A = {x x < 8, x bilangan asli ganjil} B = {x x bilangan cacah genapl} C = {x nama-nama hari yang diawali huruf s} LAIHAN 2 1. a. Berilah tiga contoh kumpulan yang bukan merupakan himpunan. b. Berilah tiga contoh kumpulan yang merupakan himpunan. 2. Diketahui B = {p, q, r}. Katakanlah apakah keempat pernyataan berikut benar, kemudian berikan alasannya. a. p B b. {q} B, c. r B, d. s B. 3. ulislah himpunan berikut dengan tabulasi. a. A = {x 2 = 25} b. B = {x x + 3 = 3} c. A = {x x > 3, x bilangan asli ganjil} d. A = {x 0 < x < 5, x bilangan real} 4. ulislah dengan menyebutkan syarat-syarat anggotanya. a. E = {a,i,u,e,o} b. = {2,3,5,7,11} c. G = {3,6,9,12, } d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}. 5. ulislah dengan notasi pembentuk himpunan untuk himpunan bilangan asli yang: a. kurang dari 5, b. Iebih dari atau sama dengan 3, c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan d. prima. 6. Penulisan himpunan berikut manakah yang benar a. J= {x x > 0, x himpunan bilangan bulat} b. K = {x x < 20, x bilangan asli genap} c. L = {x x > 4, x bilangan cacah} PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 9

10 MACAM HIMPUNAN DAN RELASI PADA HIMPUNAN elah dikemukakan pada bab I bahwa konsep himpunan merupakan konsep yang tidak didefinisikan. Dari konsep tersebut dapat dikembangkan konsep lain yang didefinisikan berkaitan dengan konsep himpunan. Berikut ini disajikan beberapa konsep yang didefinisikan berkaitan dengan konsep himpunan. 1. Himpunan Kosong Definisi 2.1 Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai Himpunan kosong dinyatakan dengan atau {}. Contoh 2.1 Himpunan di bawah ini manakah yang merupakan himpunan kosong. a. A = Himpunan bilangan prima genap b. B = Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua c. C = Himpunan segitiga samakaki yang tumpul d. D = Himpunan persegi panjang yang merupakan belah ketupat. e. E = {x x x} f. = {x x 2 +4 = 0, x bilangan real} Himpunan tersebut tersebut di atas yang merupakan himpunan kosong adalah B, E,, sedangkan himpunan A, C, dan D bukan himpunan kosong. 2. Himpunan Berhingga dan ak Berhingga Dilihat dari kardinalitasnya suatu himpunan ada yang merupakan himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga. Suatu himpunan disebut himpunan berhingga bila banyak anggota himpunan menyatakan bilangan tertentu, atau dapat juga dikatakan suatu himpunan disebut berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung, maka proses penghitungannya dapat berakhir. Sebaliknya suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga bila banyaknya anggota himpunan tersebut tidak dapat dinyatakan dengan bilangan tertentu. Atau dapat juga dikatakan suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung maka proses penghitungannya tidak dapat diakhiri. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 10

11 Contoh Himpunan berhingga a. K = Himpunan nama hari dalam seminggu b. L = {x x < 100, x bilangan cacah ganjil} c. P = {x x negara - negara Asean} d. Q = {x x penduduk Indonesia} 2. Himpunan tak berhingga a. R = Himpunan bilangan asli b. L = Himpunan bilangan cacah kelipatan 5 c. P = {x x > I00, x bilangan bulat} d. Q = {x x bilangan bulat genap} 3. Himpunan di Dalam Himpunan B A Definisi 2.2 Gambar 2.1 Pada gambar 2.1 semua anggota A ada di dalam himpunan B, maka A disebut himpunan bagian dari B, ditulis A B dibaca A himpunan bagian dari B. Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis A B jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x anggota B. Dapat ditulis A B jhj x A maka x B. Dari definisi 2.2 dapat dikatakan bahwa A disebut bukan himpunan bagian dari B jika dan hanya jika ada x anggota A dan x bukan anggota B. Dapat ditulis A B jhj x A dan x B. Contoh 2.3 Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5,6}, B = {1,3,5}, C = {2,4,6}, D = {3,4,5,6,1,2}, dan E = {5,6,7}. Manakah pernyataan di bawah ini yang benar. a. B A d. E A g. A A b. A C e. A D h. {} A PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 11

12 c. D A f. E C i. B Jawab: Pernyataan yang benar adalah a, c, d, e, f, g, h, dan i. Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. 1. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. 2. Jika A himpunan maka A A. 4. Himpunan Bagian Sejati Definisi 2.3 A disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika A B dan B A. Contoh 2.4 Diketahui A={0,2,4,6}, B={0,2,4,6,8}, dan C={xl x bilangan cacah genap kurang dari 9}. Jelas bahwa: 1) A himpunan bagian sejati B 2) bukan himpunan bagian sejati C Dalam beberapa buku sebutan A himpunan bagian sejati B ditulis dengan A B dan sebutan C himpunan bagian sejati D dirulis dengan C D. 5. Dua Himpunan yang Sama Definisi 2.4 Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggotaanggota B artinya setiap anggota A ada di B dan setiap anggota B ada di A dan dapat ditulis: A=B jhj A B dan B A. Dari definisi 2.4 dapat disimpulkan bahwa: A B jhj A B atau B A. Contoh 2.5 Diketahui himpunan A = {1,3,5,7,9), B ={2,4,6,8,10), dan C = {7,3,9,1,5). Banyaknya anggota himpunan A ditulis dengan n(a), sehingga: a) A = C dan n(a) = n(c) 5, dan b) n(a) = n(b) = 5 tetapi A B. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 12

13 6. Dua Himpunan yang Ekivalen Definisi 2.5 Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, ditulis A B jika dan hanya jika: 1. n(a) = n(b), untuk A dan B himpunan berhingga. 2. A dan B berkorespondensi satusatu, untuk A dan B himpunan tak berhingga. Contoh 2.6 Diketahui A = {3,6,9,12,15}, B = {12,9,6,3,15), dan C = {2,3,5,7,11}, maka: a) A=B dan A B b) n(a) = n(c) tetapi A C. Contoh 2.7 Diketahui N = {1,2,3,4,5 }, C = {0,1,2,3,4 }, N C sebab N dan C berkorespondensi satusatu. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: N : 1, 2, 3, 4,, n, C : 0, 1, 2, 3,, (n-1), 7. Himpunan Kuasa Definisi 2.6 Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari himpunan A ditulis 2 A. Contoh 2.8 a. A = {2,4}, maka n(a) = 2 A = { {2}, {4}, {2,4}}, n(2 A )=4 b. B = {1}, maka n(b) = 1 2 B = {, {1}}, n(2 B ) = 2 c. C = {1,3,5), maka n(c) = 3 2 C = {, {1}, {3}, {5}, {1,3), {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}, n(2 C ) = 8. Dari contoh 2.8 dapat disimpulkan Jika A adalah himpunan, n(a)=k, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A ditulis n(2 A ) = 2 k. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 13

14 Latihan 3 1. Misalkan A = {a,b,c,d} a. ulislah semua himpunan bagian dari A b. Berapakah banyaknya himpunan bagian dari A. 2. Apakah setiap himpunan mempunyai himpunan bagian sejati? 3. Misalkan P adalah himpunan, Jika P, buktikanlah bahwa P=. 4. Misalkan A, B, dan C masing-masing adalah himpunan, jika A B dan B C, buktikan bahwa A C. 5. Misalkan A ={{3}, {4,5), {1,3}}, pernyataan-pernyataan manakah yang benar? Mengapa? a. {1,3} A c. {3} A b. {4,5} A d. {{1,3}} A 6. Yang manakah di antara himpunan-himpunan berikut yang sama? a. {a,b,c} b. {c,b,a,c} d. {b,c,b,a} d. {c,a,c,b} 7. Manakah dari himpunan-himpunan berikut yang sama? a. {x x 2-3x + 2 = 0, x bilangan real), b. {1,2,1,2}, c. {x x dua bilangan asli yang pertama}. 8. Yang manakah di antara himpunan-himpunan berikut yang himpunan kosong? a. {x I x bilangan, prima genap}, b. {x I x bilangan ganjil yang habis dibagi 2}, c. {x I x2 3x + 5 = 0, x bilangan real), d. {xix+ 8=8}, e. {x x + 4 1; X Miamian nen, f. {x x segitiga sama kaki tumpul}, g. {x Ix persegi panjang yang belah ketupat}, 9. Himpunann manakah yang berhingga dan takberhingga? a. {1,2,3,...,10.000), b. {x x bilangan genap}, c. {penduduk bumi}, d. {1,2,3,...}. 10. Diketahui B = {1,3,5,7}. Pernyataan di bawah ini manakah yang benar. a. {1,3} 2 B c. {} 2 B e. {3,7} 2 B b. B 2 B d. B 2 B f. {{5,7}} 2 B 11. Diketahui A = {1,2,3,4,5,...}, B =- {2,4,6,8,...}, dan C = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. ujukkan bahwa: a. A B b. A C 12. Diketahui M = {x x bilangan asli genap kurang dari 100}, N = {x x bilangan cacah ganjil kurang dari 99}. Apakah MN? Jelaskanlah! 13. Diketahui A = himpunan segi empat; B = himpunan persegi panjang; C = himpunan PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 14

15 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 15

16 OPERASI PADA HIMPUNAN Dalam ilmu-ilmu berhitung kita belajar menjumlahkan dan mengalikan yaitu kita menetapkan untuk setiap pasang bilangan-bilangan x dan y, suatu bilangan x+y yang disebut jumlah dari x dan y, dan xy yang disebut perkalian x dan v. Penetapan-penetapan ini disebut operasi-operasi penjumlahan dan perkalian. Operasi penjumlahan dan perkalian termasuk operasi biner. Di samping operasi biner ada jenis operasi yang lain yaitu operasi uner. Pada bab ini akan dibahas operasi operasi pada himpunan, yaitu: 1. Irisan Dua Himpunan Definisi 3.1 Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. lrisan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A dan juga berada dalam B. Dapat ditulis A B = {x x A, x B.}. Contoh 3.1 a. Diketahui K = {a,b,c,d,e}, L = {b,d,f,g}, maka K L = {b,d}. b. Diketahui A = {x x bilangan asli ganjil}, B = {x x bilangan asli genap}, maka A B = c. Diketahui C = {2,4,6,8,...}, D = {4,8,12,...}, maka C D = {4,8,12,...} = D. Dari contoh 3.1 dapat disimpulkan secara umum 1. Jika A,B himpunan maka (A B) A dan (A B) B 2. Jika A B maka A B = A. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 16

17 Untuk lebih jelasnya dapat diiihat gambar 3.2 A B (A B) A dan (A B) B A B = A Gambar 3.2 Definisi 3.2 Himpunan berpotongan dan himpunan saling lepas. Misalkan A dan B adalah himpunanhimpunan. Himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis A B jika dan hanya jika A B. Misalkan A dan B adalah himpunanhimpunan. Himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau saling asing ditulis A//B jika dan hanya jika A B=. Contoh 3.2 Diketahui A: himpunan persegi panjang B: himpunan belah ketupat C: himpunan segitiga Maka: A A B Gambar 3.3 A Gambar 3.4 A// Gambar 3.5 B// A B = himpunan persegi A C = dan B C = 2. Gabungan Dua Himpunan Definisi 3.3 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 17

18 Misalkan A dan B adalah himpunanhimpunan. Gabungan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A atau B atau dalam A dan B. Dapat ditulis A B = {x x A atau x B} A B Gambar 3.6 A B Contoh 3.3 a. Diketahui K = {a,b,c,d,e}, L = {b,d,f,g}, maka K L= {a,b,c,d,e,f,g} b. Diketahui A = {x x bilangan asli ganjil}, B = {x x bilangan asli genap}, maka A B = {x x bilangan asli}. c. Diketahui C = {2,4,6,8,...}, D = {4,8,12,...},maka C D = {4,8,12,...) = C. Dari contoh 3.3 dapat disimpulkan secara umum: 1. Jika A,B himpunan maka A (AuB) dan B (AuB) Untuk 2. lebih Jika A jelasnya B maka dapat A B = B. dilihat gambar 3.7 A B A (A B) dan B (A B) A B = B Gambar 3.7 Contoh 3.4 Setiap siswa dalam suatu kelas diwajibkan memilih sekurang-kurangnya satu cabang olahraga. Setelah diadakan pencatatan terdapat data 21 anak memilih bulu tangkis, 26 anak memilih tenis meja, dan 8 anak memilih keduanya. Berapakah anak yang: a. Memilih tenis meja saja? b. Hanya memilih bulu tangkis saja? c. Ada dalam kelas tersebut? Penyelesaian: B PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 18 Gambar 3.8

19 Dari gambar 3.8 jelas bahwa: a. siswa yang memilih tenis meja saja ada 13 anak, b. siswa yang memilih bulu tangkis saja ada 18 anak, dan c. banyaknya siswa dalam kelas = = 39 anak. 3. Selisih Dua Himpunan Definisi 3.4 Misalkan A dan B adalah himpunanhimpunan. Selisih himpunan A dan B ditulis A-B adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota B. Dapat ditulis A-B = {x x A, x B}. A A- Gambar B 3.9 Contoh 3.5 a. Diketahui A = {1,2,3,4,5}, B = {4,5,6,7,8,9}, maka: (1). A-B = {1,2,3}, B - A = {6,7,8,9}. (2). A B = {4,5} b. Diketahui C = {2,4,6), B = {2,4,6,8,10) c. Diketahui E = {1,3,5,7,9,...), = {2,4,6,8,...) maka: (1). E - = {1,3,5,7,9,...) = E. (2). - E = {2,4,6,8,...} =. Dari contoh 3.5 dapat disimpulkan secara umum: 1 Jika A B himpunan maka A-B =, 2. Jika A B himpunan maka A (B-A) = PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 19

20 B, 3. Jika A, B himpunan maka (A-B) A, 4. Jika A, B himpunan maka A-B, A B, B-A saling asing. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat gambar 3.10 A B A-B A B B-A A (B-A) = Gambar 3.10 B Misalkan A adalah himpunan dengan semesta U. Komplemen A ditulis A c atau A adalah himpunan semua anggota U yang bukan anggota himpunan A. Contoh 3.6 a. Diketahui U = {1,2,3,4,...,10}, A = {2,3,4,5}, dan B = {4,5,6,7}, maka (1). A' = {1,6,7,8,9,10} (2). B' = {1,2,3,8,9,10} (3). A B = {4,5} (4). (A B) = {1,2,3,6,7,8,9,10} (5). A' B' = {1,2,3,6,7,8,9,10} (6). A B = {2,3,4,5,6,7} (7). (A B)' = {1,8,9,10} (8). A B = {1,8,9,10}. ernyata dari (4) dan (5) serta (7) dan (8) (A B)' = A' B' (A B)' = A' B' b. Diketahui U = {1,2,3,4,...,10}, C = {3,4,5,6}, dan D = {2,3,4,5,6,7}, maka (1). Jelas C D, (2). C' = {1,2,7,8,9,10}, (3). D' = {1,8,9,10} ernyata D C. c. A-B = {x x A dan x B} PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 20

21 = {x x A dan x B'} = A B'. Jadi A-B = A B'. 4. Perkalian Dua Himpunan (Produk Cartesius) Suatu perangkat yang diperlukan untuk membangun perkalian silang dua himpunan adalah pasangan berurutan. Pasangan berurutan yang memuat dua unsur a dan b dengan a sebagai unsur pertama dan b sebagai unsur kedua, ditulis dengan (a,b), (a,b) dan (c,d) dikatakan sama jika dan hanya jika a=c dan b=d. Definisi 3.6 Misalkan A dan B himpunanhimpunan. Perkalian silang dari A dan B ditulis AxB adalah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a A dan b B. Dapat ditulis AxB = {(a,b) a A, b B} Contoh 3.7 Diketahui A = {a,b} dan B = {1,2,3}, maka (1). AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)} (2). BxA = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} ernyata AxB BxA. 5. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan 1. Idempoten a. A A = A b. A A = A 2. Asosiatif a. (A B) C = A (B C) b. (A B) C = A (B C) 3. Komutatif a. A B = B A b. A B = B A 4. Distributif a. A (B C)= (A B) (A C) b. A (B C)= (A B) (A C) 5. Identitas a. A = A b. A U = U PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 21

22 De Morgan a. (A B) = A B b. (A B) = A B 8. Absorpsi a. A (A B)= A b. A (A B)= B 6. Penggunaan Sifat Operasi pada Himpunan. Contoh 3.8 Jika A B dan B C maka A C, buktikanlah! Penyelesaian: Diketahui A B dan B C. Akan dibuktikan A C. A B maka A B = A (1) B C maka B C = B (2) Pada (1) A B = A A (B C) = A' subtitusi (2) pada (1) (A B) C = A assosiatif A C = A subtitusi (1) A C. Contoh 3.9 Buktikan bahwa (D-E) dan (D E) saling asing. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 22

23 Penyelesaian: Diketahui D, E himpunan Akan dibuktikan (D-E) dan (D E) saling asing. (D-E) (D E) = (D E') (D E) = (D D) (E E) (Kom, Ass) = D (Idemp, Kompl) =. (Ident) ernyata (D-E) (D E) =. Jadi (D-E) dan (D E) saling asing. Contoh 3.10 Buktikan bahwa jika A B maka B A Penyelesaian: Diketahui A, B himpunan, A B Akan dibuktikan B A. A B maka A B = A (A B)' = A A B = A B' A'. erbukti. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 23

24 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 24

25 Latihan 4 1. Letakkanlah lambang " ", atau lambang = di antara sebanyak mungkin pasangan himpunan-himpunan di bawah ini:\ 2. Nyatakanlah apakah masing-masing pernyataan berikut ini benar atau salah. 3. Gambarlah diagram-diagram Venn untuk himpunan-himpunan itu dan jelaskan arti dari I K seperti yang terdapat dalam gambarmu. 4. X adalah himpunan bilangan kelipatan 6 yang kilning dari 35. Y adalah himpunan kelipatan 8 yang kurang dari 35. Sebutkanlah anggota-anggota X, Y, dan X Y. Dengan mengabaikan nol dalam X Y, kita peroleh kelipatan persekutuan terkecil dari 6 dan 8. Sebutkan KPK itu! 5. Dalam suatu kelas yang terdiri atas 20 murid, 15 murid memilih Matematika, 12 murid memilih Ilmu Pengetahuan Alam, dan 10 murid Matematika dan ilmu Pengetahuan Alam. unjukkanlah keterangan ini dalam diagram Venn. Berapakah murid yang tidak memilih Matematika maupun Ilmu Pengetahuan Alam. 6. Diadakan pencatatan tentang yang biasa diminum sehari-hari olen 180 murid. 100 anak minum teh, 92 anak minum kopi, dan 115 anak minum susu, sedang 25 anak minum ketiga-tiganya. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 25

26 U K S Gambar 3.11 a. Dengan menggunakan, K, dan S untuk himpunan peminum teh, kopi, dan susu, gambarlah keterangan ini dalam diagram Venn. unjukkanlah terlebih dahulu banyaknya anak yang minum baik teh maupun kopi dan susu. b. Berapakali banyaknya anak yang minum kopi, tetapi tidak minum teh maupun susu? c. Berapakah banyaknya anak yang hanya minum susu saja? d. Berapakah banyaknya anak yang hanya minum teh saja? 7. a. A = {0,1,2,3}, B = {1,3,5,7}, dan C = {2,3,5,8}. Nyatakanlah masing-masing himpunan di bawah ini dengan menyebutkan semua anggotanya. (1). A B (4). A A (2). A C (5). A B (3). B C b. Dengan menggunakan himpunan-himpunan pada soal 6.a nyatakanlah masing masing himpunan di bawah ini dengan menyebutkan semua anggota-anggotanya. (1). (A B) C (2). A (B C) Apakah yang kamu lihat pada jawabannya? 8. Gambarlah diagram Venn bagi tiap bentuk berikut ini, dan masukkanlah banyaknya elemen dalam daerah yang tergambar. Kemudian hitunglah banyaknya elemen yang ditanyakan. a. n(a)=50, n(b)=62, dan n(a B)=26. b. Hitunglah n(a B). c. n(x)=7, n(y)=11, X dan Y terpisah. d. Hitunglah n(x Y). c. n(p)=23, n(q)=25, dan P Q. d. Hitunglah n(p Q). 9. A dan B adalah himpunan sedemikian hingga n(a)= p+q, n(b)= q+r, dan n(a B)= q. a. Gambarlah himpunan-himpunan ini dalam diagram Venn dan masukkanlah banyaknya anggota dalam tiap daerah. Hitunglah: (1). n(a B), PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 26

27 (2). n(a) + n(b) - n(a B), kemudian tunjukkan bahwa n(a B) = n(a) + n(b) - n(a B). b. Kalau A dan B saling asing, bagaimanakah hasil dalam b? 10. Misalkan A, B, dan C himpunan-himpunan. Buktikanlah: a. (A-B) A b. (A-B), A B, dan (B-A) saling lepas c. Jika A B maka A (B-A) = B d. (A-B) B =. 11. Misalkan U = {1,2,3,...,9}, A = { 1,2,3,4), B = {2,4,6,8}, dan C = {3,4,5,6). Carilah: a. A' c. C e. (A B) b. B' d. (A C)' f. (B-C)' 12. Andaikan A = {a,b}, B = {1,2), dan C = {3,4). Carilah: a. Ax(B C) d. Ax(B C) b. (AxB) (AxC) e. (AxB) (AxC) c. (AxB)xC 13. Pernyataan di bawah ini manakah yang benar: a. jika x (A B) maka x A b. jika x (A B) maka x B c. jika x (A B) rnaka x A d. jika x A, maka x (A B) e. jika x A maka x (A B) f. jika x (A-B) maka x A g. jika x A maka x A h. jika x A' maka x A 14. entukan syarat agar pernyataan di bawah ini benar. a. jika x (M N) maka x N b. jika x M maka x (M N) 15. Isilah titik-titik di bawah ini sehingga menjadi pernyataan yang benar. a. jika M N maka: (1). M N = (2). M N = (3). M-N =... (4). M (N-M) = b. jika M, N, M N, dan M-N =, maka M N = 16. Di dalam diagram venn pada gambar di bawah ini arsirlah: PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 27

28 a. B b. (A B) c. (B-A) d. A B A Gambar 3.12 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 28

29 HIMPUNAN BILANGAN 1. Himpunan Bilangan-bilangan a. Bilangan Asli Bilangan-bilangan 1,2,3,4,5,... disebut bilangan asli. Himpunan semua bilangan asli disebut himpunan bilangan asli dan ditulis N. Jadi N = {1,2,3,4,...}. b. Bilangan Cacah Bilangan-bilangan 0,1,2,3,4, disebut bilangan cacah. Himpunan semua bilangan cacah disebut himpunan bilangan cacah dan ditulis C. Jadi C = {0,1,2,3,4,...}. Jelas N C, C-N = {0}. c. Bilangan Bulat Bilangan-bilangan 0,-1,1,-2,2,-3,3,... disebut bilangan bulat. Himpunan semua bilangan bulat disebut himpunan bilangan bulat dan ditulis Z. Jadi Z = {...,-1,1,-2,2,-3,3,...}. Jelas bahwa N C Z. d. Bilangan Pecah Bilangan yang dapat dinyatakan dengan dengan a,b Z, b 0, a dan b koprima disebut bilangan pecah. merupakan bilangan pecah. Bilangan pecah dapat ditulis dengan: (1) pecahan... disebut pecahan biasa (2) pecahan 0,5; 0,500...; 0, disebut pecahan desimal (3) pecahan 50% disebut pecahan persen Pada bab ini perkataan pecahan menyatakan lambang bilangan, bilangan pecah, dan bilangan bulat. bisa dilambangkan dengan pecahan. Pada beberapa buku ada yang menyatakan pecahan sebagai bilangan dan lambang dari pecahan disebut bentuk pecahan. Bilangan bulat dua dapat dinyatakan dengan (1) pecahan biasa:,, (2) pecahan desimal: 2,00..., 1, (3) pecahan persen: 200%. Bilangan pecah seperempat dapat dinyatakan dengan PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 29

30 (1) pecahan biasa:,, (2) pecahan desimal: 0,25; 0, , 0, (3) pecahan persen: 25%. Jika himpunan semua bilangan pecah dinyatakan dengan P maka Z P = Q, Z P, Z//P e. Himpunan Bilangan Rasional Bilangan yang dapat dinyatakan dengan pecahan dengan p,q Z, q 0, disebut bilangan rasional. Contohnya, dan seterusnya. Himpunan semua bilangan rasional disebut himpunan bilangan rasional, dan ditulis dengan Q. Jadi Q= {x x=, p,q Z, q 0}. f. Himpunan Bilangan Irasional Bilangan-bilangan seperti, dan seterusnya tidak dapat dengan pecahan dengan p,q Z, q 0. Bilangan tersebut disebut bilangan irasional. Himpunan semua bilangan irasional disebut himpunan bilangan irasional. Jika himpunan tersebut dinyatakan dengan I maka Q l = R, Z I, Q I, Q//I. g. Himpunan Bilangan Real Salah satu sifat penting dari bilangan-bilangan real adalah bahwa bilangan-bilangan tersebut dapat dinyatakan oleh titik-titik pada sebuah garis lurus sebagaimana pada gambar 4.1. Garis tersebut disebut garis real. Ada suatu cara yang lazim untuk membuat pasangan titik-titik pada garis itu dengan bilangan-bilangan real, yaitu setiap titik menyatakan suatu bilangan real dan setiap bilangan real dinyatakan dengan sebuah titik. Oleh karena itu kita dapat mempergunakan perkataan titik dan bilangan secara bertukaran Jika I: Himpunanbilangan irasional Q: Himpunan bilangan rasional Maka I Q = R, I R, Q R karena I//Q maka R-Q = I. h. Bilangan Imajiner Bilangan-bilangan seperti dan seterusnya disebut bilangan imajiner. Himpunan semua bilangan imajiner disebut himpunan PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 30

31 bilangan imajiner. Jika himpunan tersebut dinyatakan dengan J maka R//J. ditulis. i = i, dengan i 2 = 1. Jadi = i, dan = i. dapat i. Himpunan Bilangan Kompleks Jika J : himpunan bilangan imajiner R: himpunan bilangan real K: himpunan bilangan kompleks Maka J R = K. Bilangan kompleks dapat dinyatakan dengan z = a+bi, dengan a,b R dan i 2 = 1, a disebut bagian real dan b disebut bagian imajiner. Contoh bilangan kompleks. Z 1 =2+3i dengan a -2 dan b = 3. Z 2 =5-4i dengan a = 5 dan b = -4. Z 3 = -6 dengan a = -6 dan b = O. Z 1 = 2i dengan a = 0 dan b = 2. j. Diagram Venn Jika N: himpunan bilangan asli C: himpunan bilangan cacah Z: himpunan bilangan bulat Q: himpunan bilangan rasional R: himpunan bilangan irasional K: himpunan bilangan kompleks Maka diagram venn-nya: Pada gambar 4.2 C N = {0} Z N = {x Lx bilangan bulat negatif} Q Z = {a- L bilangan pecah} = P R Q = (x Ir bilangan irasional} = I K R = {x bilangan imajiner} = J PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 31

32 2. Bilangan Nol dan Sifat-sifatnya a. Pengertian Bilangan Nol Bilangan nol menyatakan banyaknya anggota himpunan kosong. Jadi jika A = {} maka n(a) = 0. b. Perkalian dengan Nol 0x4 = Untuk menjawab pertanyaan tersebut dapat dijelaskan dengan beberapa cara: (1) dengan pola bilangan. 3x4 = 12 2x4 = 8 1 x4 = 4 0x4 = (2) dengan sifat komutataif. 4x0 = = 0 4x2 = 2x4 3x6 = 6x3 5x1 = 1x5 Jadi 0x4 = 4x0 = 0 c. Pembagian dengan Nol (1) 4:0 =. Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan dengan pengertian operasi pembagian. 10:2 = 5 sebab 5x2 = 10 0:4 = 0 sebab Ox4 = 0 Misalkan 4:0 = n maka nx0 = 4 Persamaan nx0 = 4 tidak mempunyai penyelesaian sehingga persamaan 4:0 = n juga tidak mempunyai penyelesaian. Jadi 4:0 hasilnya tidak didefinisikan. (2) 0:0 =. Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan 0:0 = n maka nxo = 0. Untuk n = -6 maka -6x0 = 0, untuk n = maka x0 = 0. ernyata untuk setiap bilangan real merupakan penyelesaian dari nx0 = 0. Sehingga penyelesaian 0:0 = n tidak tunggal. Jadi 0:0 dikatakan bentuk tak tentu. (3) 3 0 =. Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. (a). Dengan pola bilangan: 3 3 = = =3 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 32

33 (b). Dengan sifat perpangkatan: 3 0 = 3 2 :3 2 = 1 Jadi 3 0 = 1. (4) 3-2 =. Pertanyaan,tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. (a). Dengan pola bilangan: 3 2 = =3 3-1 = 3-2 =. (b). Dengan sifat perpangkatan: 3-2 = = 3 1 : 3 3 = = Jadi 3-2 =. (5) 0 0 =. Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. 0 0 = = 0 3 : 0 3 = Jadi 0 0 = merupakan bentuk tak tentu. 3. Pecahan Biasa dan Pecahan Desimal a. Pecahan Desimal Apakah 0,5 = 0,4999? Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebaai berikut. Misalkan x=0,5 maka x= = Misalkan y = 0, y = 49,99 10y = 4,99 90y = 45 y = = Jadi, 0,5 = 0,4999 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 33

34 b Menyatakan Pecahan Biasa ke dalam Pecahan Desimal Pecahan Biasa 2,000 = 1,999 Dari tabel di atas pengertian baru tentang bilangan rasional, bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan desimal berulang tak terbatas.. e. Menyatakan Pecahan Desimal ke dalam Pecahan Biasa Contoh 4.1 (1) Nyatakanlah pecahan decimal 0, kedalam pecahan biasa. Jawab: Misalkan x = 0, maka: 100x = 18, x = 0, x = 18 x =. (2) Nyatakanlah pecahan desimal 0, kedalam pecahan biasa. Jawab: Misalkan z = 0, maka: z = 3.749, z = 374, z = x =. Pecahan Desimal 0,5 = 0,500 = 0,499 0,25 = = 0, ,125 = 0, = 0, ,333 0,1666 1, PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 34

35 4. Selang (Interval) Berikut ini disajikan beberapa himpunan yang merupakan selang. Himpunan A={x 1 x 3} B={x 1<x<3} C={x 1 x<3} D={x 1<x 3} E={x x 1} Notasi Selang A=[1,3] B=(1,3) C=[1,3) D=(1,3] E=[1, ={x x<1} =( 1] Grafik Latihan 5 1. Jika R, Q, I, J, P, Z, dan Z., berturta-turut. menyatakan himpunan bilangan real, rasional, irasional, imajiner, pecah, bulat, dan bulat negatif Nyatakanlah apakah yang masingmasing berikut ini benar atau salah. 2. Jika N, Z, Q, R, dan K, berturut-turut menyatakan himpunan bilangan asli, bulat, rasional, real, dan kompleks, dan p=, q=3, r=., s =., t= -4i, u=, v= -5. a. gambarkanlah himpunan N, Z, Q, R, dan K dalam diagram Venn. b. Letakkanlah p, q, r, s, t, u, dan v pada gambar a. 3. Hitunglah: a. 0:6 d. 6 0 g. 8 0 b. 9:0 e. 21 h c. 0:0 f. 0 0 i. 36:6x2 4. Sebutkan pengertian bilangan rasional dan bilangan irasional. 5. a. Nyatakan ke dalam lambing decimal. (1) (2) (3) (4) b. Nyatakan ke dalam lambing pecahan biasa. (1). 0, (2). 0, Misalkan A=[-4,2), B=[-1,6), C=(- a. Gambarlah selang-selang tersebut pada garis real b. Carilah dan tulislah dalam notasi selang. (1). A B (5). A-B (2). A B (6). B-A PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 35

36 (3). A C (7). A-C (4). A C (8). B-C 7. Diketahui bilangan kompleks z 1 = 3+2i, z 2 = -4+I, z 3 = 5-2i, hitunglah: a. z 1 + z 2 d. z 1 x z 2 b. (z 1 + z 2 ) + z 3 e. z 3 x z 1 c. z 1 z 3 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 36

37 RELASI 1. Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan Untuk memahami pengertian relasi antara dua himpunan perhatikatuah contoh berikut. Misalnya ada empat anak yaitu ajar, Dian, ono, dan Nani ditanya apakah mereka gemar bermain catur, voli, atau tenis meja. Jawaban mereka: ajar dan Dian gemar bermain catur, ono dan Nani gemar bermain voli, ajar dan ono gemar bermain tenis meja Perhatikanlah bahwa sebenarnya ada dua himpunan: 1. Himpunan anak A = {ajar, Dian, ono, Nani} 2. Himpunan permainan B = {catur, voli, tenis meja} A ajar Dian oni Nani Gemar Gambar B Catur Voli enis Kedua himpunan A dan B dihubungkan dengan hubungan gemar bermain. Hubungan gemar bermain dari himpunan A ke himpunan B dapat digambar sebagai berikut. Gambar 5.1 menunjukkan suatu cara untuk menyatakan hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B. Hubungan itu adalah gemar bermain. Gambar 4.1 disebut diagram panah. Perhatikanlah bahwa suatu relasi mempunyai arah pada diagram panah ditunjukkan dengan anak panah. Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa: Suatu hubungan atau relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggotaanggota A dengan anggotaanggota B. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 37

38 2. Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan Diketahui himpunan A = {2,3,4,5}, B = {4,5,6} dengan relasi faktor dari, dari himpunan A ke himpunan B maka kita dapat menyatakan relasi tersebut dergan tiga cara yaitu: 1). Dengan diagram panah Pada gambar 5.2, 2 dikawankan dengan 4 ditulis 2 4, ini berarti 2 faktor dari 4. A aktor dari B Gambar 2). Dengan himpunan pasangan berurutan Perhatikanlah gambar ini berarti 2 faktor dari 6 dan dapat ditulis dengan pasangan berurutan (2,6). Jika relasi faktor dari dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R, maka jelas 2 berelasi R dengan 6 atau dapat ditulis dengan 2R6 atau (2,6) R. Dengan cara yang sama dapat dituliskan 2R4 atau (2,4) R, 3R6 atau (3,6) R, tetapi 2 tidak berelasi dengan 5 atau dapat ditulis 2 5 atau (2,5) R. Dengan demikian relasi R tersebut merupakan himpunan pasangan berurutan yaitu: R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)} Dengan cara lain dapat dijelaskan pula bahwa jika ditentukan x A dan y B maka relasi faktor dari tersebut dapat dinyatakan (lettgan kalimat terbuka x faktor dari y. Pengganti "x" dengan "2" dan "y" dengan "6" didapat pernyataan yang benar, sehingga pasangan berurutan (2,6) merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka x faktor dari y. etapi pengganti "x" dengan "2" dan "y" dengan "5" didapat pernyataan yang salah, sehingga (2,5) bukan penyelesaian dari kalimat terbuka x faktor dari y. Jika relasi faktor dari dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R maka himpunan semua pasangan berurutan (x,y) yang menghasilkan pernyataan yang benar yaitu himpunan penyelesaian kalimat terbuka R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)} PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 38

39 3). Dengan grafik Cartesius Koordinat titik-titik pada gambar 5.3 menyatakan anggota-anggota pasangan berurutan dari relasi R (faktor dari). Contoh 4.1 Diketahui M = {0,2 4,6,8}, N = {0,1,2,3,4,5}. R = M N adalah relasi dari M ke N dinyatakan dengan kalimat terbuka x dua kali y dengan X M, y N. Nyatakanlah relasi tersebut: a. dengan diagram panah b. dengan himpunan pasangan berurutan c. dengan grafik Cartesius Penyelesaian: a. dengan diagram panah M R Gambar b. dengan himpunan pasangan berurutan R = {(0,0),(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)} PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 39

40 c dengan grafik Cartesius Gambar Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan Jika R: A B adalah relasi dari A ke B. n(a) = 3, dan n(b) = 2 maka banyaknya relasi R tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan A = {1,3,5} maka n(a) = 3, B = {a,b} maka n(b) = 2 AxB = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)) maka n(axb) = 6 = 3x2. Jika R 1 = {(1,a)} jelas R 1 (AxB) dan R 1 relasi dari A ke B. Jika R 2 = {(1,a).(2,b)} jelas R 2 (AxB) dan R2 relasi dari A ke B. jika R 0 = {} jelas R 0 (AxB) dan R 0 bukan relasi dari ke B. Jika R 6 = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)} jelas R 6 (AxB) dan R6 relasi dari A ke B. Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa: 1. Jika R relasi dari A ke B maka R (AxB) 2. Jika R (AxB) dan R maka R relasi dari A ke B Kita tahu bahwa n(axb) = 6 jelas bahwa banyaknya anggota himpunan kuasa = 2 6 = 2 3x2 Karena untuk R= maka R relasi dari A ke B maka banyaknya relasi R dari A ke B ada Dengan demikian dapat kita katakan bahwa jika R: A B adalah relasi dari A ke B dan n(a) = 3, n(b) = 3 maka banyaknya relasi R sebanyak 2 3x2-1. Secara umum dapat dikatakan bahwa: Jika R: A B adalah relasi dari A ke B dan n(a) = k, n(b) =1 maka banyaknya relasi R = 2 kxl - 1. Contoh 5.2 Diketahui R: M N adalah relasi dari M ke N. Jika n(m)=4 dan n(n)=3, hitunglah banyaknya relasi R tersebut. Penyelesaian: n(m)=4 dan n(n)=3. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 40

41 Banyaknya relasi R ada = 2 4x3-1 = Macam Relasi (a). Relasi Refleksif Definisi 5.1 Misalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi refleksif jika dan hanya jika a A, maka (a,a) R. Dari definisi 5.1 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan relasi refleksif jika dan hanya jika a A, dan (a,a) R. Contoh 5.3 Diketahui R:A A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A = {1,3,5} sedemikian sehingga: a. R1 = {(1,1),(1,3),(3,3)1 b. R2 = 1(1,1),(3,3),(5,5)) c.r3= {(1,1),(1",3),(3,3),(5,3),(5,5)} Apakah R 1, R 2, dan R 3 relasi refleksif atau bukan? Penyelesaian: a. R 1 bukan relasi refleksif sebab 5 A tetapi (5,5) R 1. b. R 2 relasi refleksif sebab a A maka (a,a) R 1. c. R 3 relasi refleksif sebab a A maka (a,a) R 1. Contoh 5.4 Diketahui A = {x x garis-garis sejajar dalam bidang datar} B = {x I x bangun-bangun segitiga dalam bidang datar} Jika R: A A adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajar y" maka R relasi refleksif. Jika R: B B adalah relasi di dalam himpunan B dengan R menyatakan "x sebangun y" maka R relasi refleksif. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 41

42 (b). Relasi Simetris Definisi 5.2 Misalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi simetris jika (a,b) R, maka berarti (b,a) R. Dari definisi 5.2 dapat disimpulkan suatu realasi R di dalam himpunan A disebut bukan realsi simetris jika (a,b) R dan (b,a) R. Contoh 5.5 Diketahui R: A A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A={1,3,5} sedemikian sehingga: R 1 = {(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(3,5)} R 2 = {(1,1),(3,3),(3,5),(5,5),(5,3)} R 3 = {(1,1),(3,3),(5,5)} Apakah R 1,R 2,R 3 relasi simetris atau bukan? Penyelesaian: R 1 bukan realsi simetris sebab (3,5) R 1 tetapi (5,3) R 1. R 2 relasi simetris. R 3 relasi simetris. Contoh 5.6 Untuk himpunan A dan B pada contoh 5.4. Jika R: A A adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajary" maka R relasi simetris. Jika R: B B adalah relasi di dalam himpunan B dengan R menyatakan "x sebangun y" maka R relasi simetris. (c). Relasi ransitif Definisi 5.3 Misalkan R suatu relasi di dalam himpunan A maka R disebut relasi transitif jika (a,b) R dan (b,c) R, maka berarti (a,c) R. Dari definisi 5.3 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan relasi transitif jika (a,b) R dan (b,c) R tetapi (a,c) R PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 42

43 Contoh 5.7 Diketahui R: A A adalah relasi di dalam himpunan A dengan A = {1,3,5} sedemikian sehingga: a.r 1 = {(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)} b.r 2 = {(1,3),(1,1),(3,1),(3,3)} c.r 3 = {(1,1),(3,3),(5,5)} Apakah R 1, R 2, dan R 3 relasi transitif atau bukan? Penyelesaian: a. R 1 bukan relasi transitif sebab (3,1) R 1 dan (1,3) R, tetapi (3,3) R 1. b. R 2 relasi transitif sebab (1,3) R 2 dan (3,1) R 2 maka (1,1) R 2 ; (3,1) R 2 dan (1,3) R 2 maka (3,3) R 2 ; (1,1) R 2 dan (1,3) R 2 maka (1,3) R 2 ; (3,1) R 2 dan (1,I) R 2 maka (3,1) R 2 ; (1,3) R 2 dan (3,3) R 2 maka (1,3) R 2 ; c. R 3 relasi transitif. Contoh 5.8 Untuk himpunan A dan B pada contoh 5.4. Jika R: A A adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajar y" maka R relasi simetris. Jika R: B B adalah relasi di dalam himpunan B dengan R menyatakan "x sebangun y" maka R relasi simetris. (d). Relasi Ekivalen Definisi 5.4 Misalkan R suatu relasi di dalam himpuiran A maka R disebut relasi ekivalen jika berlaku syarat: a. Refleksif artinya a A, maka (a,a) R; b. Simetris artinya jika (a,b) R, maka berarti (b,a) R; dan c. ransitif artinya jika (a,b) R dan (b,c) R, maka berarti (a,c) R. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 43

44 Contoh 5.9. Diketahui himpunan A = {0,2,4}, relasi R di dalam himpunan A dengan R = {(0,0), (2,2), (4,4)} berlaku syarat refleksif, simetris, dan transitif. Oleh karena itu R merupakan relasi ekivalen. 5. Relasi Ekivalen dan Partisi (a). Partisi Himpunan Pengertian partisi himpunan dapat dijelaskan melalui contoh sebagai berikut. Misalkan A = {1,2,3,4,...,10}, A 1 = {1,2,3}, A 2 = {4,5,6,7}, A 3 = {8,9,10}. Koleksi himpunan A = {A 1,A 2,A 3 } mempunyai dua sifat yaitu: 1. A 1 A 2 A 3 = A 2. A 1 A 2 =, A 1 A 3 =, A 2 A 3 =. Koleksi himpunan tersebut disebut partisi A. Contoh 5.10 Diketahui N={xl x bilangan asli}. N 1 ={1,5,9,17,...}, N 2 ={2,6,10,14,...}, N 3 ={3,7,11,15,...), N 4 =(4,8,12,16,...). Apakah koleksi (N 1,N 2,N 3,N 4 ) partisi dari N. Penyelesaian: Koleksi {N 1,N 2,N 3,N 4 } mempunyai sifat: 1. N 1 N 2 N 3 N 4 = N 2. N 1 N 2 =, N 1 N 3 =, N 1 N 4 =. N 2 N 3 =, N 2 N 4 =, dan N 3 N 4 =. Jadi koleksi {N 1,N 2,N 3,N 4 } merupakan partisi dari N. (b). Hubungan Partisi dan Relasi Ekivalen Sebelum dibicarakan hubungan antara partisi dan relasi ekivalen, maka pada uraian berikut akan dibicarakan a kongruen b modulo m. Definisi 5.5 Misalkan a dan b bilangan asli, m bilangan asli, maka dikatakan a kongruen b modulo m ditulis a b (mod. m) jika a-b = km dengan k bilangan bulat. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 44

45 Contoh 5.11 Untuk m = 3, maka: 1 kongruen 4 modulo 3 ditulis 1 4 (mod. 3) sebab 1-4 = -1(3); 4 kongruen 1 modulo 3 ditulis 4 1 (mod. 3) sebab 4-1= 1(3); 5 kongruen 14 modulo 3 ditulis 5 14 (mod. 3) sebab 5-4 = -3(3); 20 kongruen 2 modulo 3 ditulis 2 2 (mod. 3) sebab 20-2 = 6(3); 2 tidak kongruen 7 modulo 3 ditulis 2 7 (mod. 3) sebab 2-7 k(3) dengan k bilangan bulat. Contoh 5.12 Diketahui N = himpunan bilangan asli. R:N N adalah relasi di dalam himpunan N yang didefinisikan dengan a kongruen b modulo m. Buktikan R relasi ekivalen. Bukti: 1. a A maka a a (mod.m) sebab a-a = 0(m). (sifat refleksif). 2. Jika a b (mod.m) maka: a-b = k(m) -b+a = k(m) b-a = -k(m) Jadi, b a(mod.m) (simetris) 3. Jika a b (mod.m) dan b c (mod. m) maka: a-b = k 1 (m) b-c = k 2 (m) a-c = (k 1 + k 2 )(m) a-c = k(m) Jadi a c (mod. m) (sifat transitif). Jadi R relasi ekivalen. Contoh 5.13 Diketahui N = himpunan bilangan asli. R relasi di dalam himpunan N yang didefinisikan dengan "a b (mod. 3)" dengan a,b N. unjukkan bahwa N dipecah menjadi partisi. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 45

46 Penyelesaian: Jika N 1 = {x x 1 (mod. 3)} maka N 1 = {1,4,7,...}, Jika N 2 = {x x 2 (mod. 3)} maka N 2 = {2,5,8,...}, Jika N 3 = {x x 3 (mod. 3)} maka N 3 = {3,6,9,...}, Jika N4 = {x x 4 (mod. 3)} maka N 4 = {4,1,7, }, Jika N 5 = {x x 5 (mod. 3)} maka N 5 = {5,2,8,...}, Jika N6 = {x x 6 (mod. 3)} maka N 6 = {6,3,9,...}. ernyata N 1 = N 4 = N 7 = N 2 = N 5 = N 8 = N 3 = N 6 = N 9 = Perhatikan koleksi (N 1,N 2,N 3 ). Jelas bahwa: 1. N 1 N 2 N 3 = N 2. N 1 N 2 =, N 1 N 3 =, N 2 N 3 =. Jadi N dipecah menjadi partisi. Contoh 5.14 Diketahui N = himpunan bilangan asli. N 1 = {1,3,5,7,...} dan N 2 = {2,4,6,8,...}. R relasi di dalam himpunan N. a. Apakah koleksi {N 1,N 2 } partisi dari N? b. entukan relasi R yang memecah N menjadi partisi {N 1,N 2 } Penyelesaian: a. N 1 N 2 = N dan N 1 N 2 =. Jadi koleksi {N 1,N 2 } partisi dari N. b. N 1 = {1,3,5,7, } = {x x 1 (mod. 2)} N 2 = (2,4,6.8,...) {x x 2 (mod. 2)} Jadi relasi R yang memecah N menjadi partisi {NI,N2} adalah "a b (mod. 2)" dengan a,b N. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 46

47 Dari contoh 5.13 dan 5.14 dapat disimpulkan: Jika diketahui R relasi di dalam himpunan N dan: I. Jika R relasi ekivalen maka himpunan N terpecah menjadi partisi; 2 Jika himpunan N dipecah menjadi partisi maka relasi R adalah relasi ekivalen. Latihan 6 1. Andaikan R suatu relasi dari A = {1,2,3,4} ke dalam B = {1,3,5} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "x kurang dari y". a. Carilah himpunan penyelesaian dari R. b. Nyatakan R di dalam diagram koordinat AxB. 2. Andaikan R suatu relasi dari E = {2,3,4,5} ke dalam = {3,6,7,10} yang didefinisikan oleh kalimat terbuka "x membagi y". Buatlah suatu sketsa dari R di dalam diagram koordinat Ex. 3. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan A tidak refleksif? 4. Jika S = {1,2,3,4} dan R = {(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)}. Apakah R refleksif? Mengapa? 5. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan A tidak simetris? 6. Jika V = {1,2,3,4} dan R = {(1,2),(3,4),(2,1), (3,3)}. Apakah R simetris? 7. Apakah suatu himpunan A di mana setiap relasi pada A simetris? 8. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan M disebut relasi ekivalen? 9. Berikan 3 contoh relasi ekivalen? 10. Jika R relasi di dalam himpunan N dengan N = himpunan bilangan asli dan relasi R didefinisikan dengan "a b (mod. 4)". unjukkan bahwa R memecah himpunan N menjadi partisi. 11. Andaikan W = {1,2,3,4} dan R = {(2,2),(2,3),(1,4), (3,2)}. Apakah R transitif? Mengapa? 12. Andaikan E = {1,2,3}. Perhatikanlah relasi-relasi yang berikut pada E: R 1 = {(1,1),(2,1),(2,2), (3,2),(2,3)} R 2 = {(1,1)} R 3 = {(1,2)} R 4 = {(1,1),(2,3),(3,2)} R 5 = ExE. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 47

48 Di antara relasi R 1, R 2, R 3, R 4, dan R5 manakah yang: a. relasi refleksif? b. relasi simetris? c. relasi transitif? d. relasi ekivalen? PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 48

49 1. Pengertian ungsi Untuk memahami pengertian fungsi, perhatikanlah gambar 6.1 di samping. Diagram panah pada gambar 6.1 menyatakan hubungan ukuran sepatunya dari himpunan A ke himpunan B dengan A = {ono, Desi, Rano, ini, Rosi} dan B = {37, 38, 39, 40} yang merupakan ukuran sepatu. P ono Desy Rano ini Rosi Ukuran sepatu Gambar 5.2 Q Setiap anak hanya mempunyai satu ukuran sepatu, sehingga dapat dikatakan setiap anggota P dipasangkan dengan tepat satu anggota Q. Relasi yang mempunyai sifat seperti ini disebut pemetaan atau fungsi. Perhatikan diagram panah dalam gambar 6.2. bukan pemetaan sebab b A dikawankan dengan 2 anggota B. 3 UNGSI dan (iii) adalah fungsi sebab setiap anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota B. bukan fungsi sebab b A tidak dikawankan dengan satu anggota B. Dari uraian di atas dapat disimpulkan dengan: Definisi 6.1 Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu reiasi yang khusus, yaitu relasi di mana setiap anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota B. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 49

50 Misalkan f adalah fungsi dari A ke dalam B, maka dapat ditulis f A B dibaca "f adalah fungsi dari A ke dalam B". Himpunan A disebut daerah asal atau ranah atau domain dari fungsi f. Himpunan B disebut daerah kawan atau ko ranah atau co domain dari fungsi f. Jika x A maka bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan f(x) dan dibaca "fx". Jika f: x y dengan x A dan y B maka y disebut bayangan dari x oleh fungsi dan dapat ditulis y = f(x). A B a b c A B a b c (i) (iii) p q r s p q r s Gambar A B a b c A B a b c (ii) (iv) p q r s p q r s Contoh 6.1 Diketahui A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5,6,7}. f: A B adalah fungsi dari A ke dalam B yang didefinisikan dengan f: x (2x+1). entukan bayangan dari 1,2, dan 3 oleh fungsi f. Penyelesaian: Bayangan dari 1 oleh fungsi f adalah f(1) = 2(1)+1=3 Bayangan dari 2 oleh fungsi f adalah f(2) = 2(2)+1=5 Bayangan dari 3 oleh fungsi f adalah f(3) = 2(3)+1=7 Secara umum bayangan dari a oleh fungsi f adalah f(a) = 2(a) Cara Menyatakan ungsi Diketahui f: A B adalah fungsi dari A ke dalam B dengan f: x (2x+1), A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,79,11}, maka fungsi f dapat dinyatakan dengan: a. Rumus fungsi yaitu f(x) = 2x+1 b. Diagram panah PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 50

51 A 1 B Gambar 6.4 c. Himpunan pasangan berurutan. Jika fungsi f dinyatakan dengan himpunan maka = {(1,3),(2,5),(3,7),(4,9),(5,11)} tampak pada himpunan setiap elemen A menjadi elemen pertama pada tepat satu pasangan raja. d. Grafik Cartesius Gambar 5.5 Contoh 6.2 Diketahui f: A R adalah fungsi dari A ke dalam R yang ditentukan oleh f: x (x 2 ), jika R = himpunan bilangan real, A = {x -2 x 2, x A}. Gambarlah grafik fungsi f f(-2)= (-2) 2 =4 f(-1)= (-1) 2 = 1 f(0) = (0) 2 = 0 f(1) = (1) 2 = 1 f(2) = (2) 2 = 4 rafik merupakan parabola f: x (x 2 ), dengan x bialangan real PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 51

52 Contoh 6.3 I ii iii iv Gambar Contoh 6.3 Misalkan A = [-3,3] manakah grafik pada gambar 6.7 yang merupakan grafik fungsi dari A ke dalam B. Penyelesaian: Yang merupakan grafik fungsi adalah (i) dan (iii). 3. Banyaknya ungsi Misalkan f: A B adalah fungsi dad A ke dalam B dengan A = {1,3,5} dan B={a,b}. entukanlah semua fungsi f yang mungkin. Penyelesaian: Misalkan fungsi-fungsi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan, maka: 1 = {(1,a),(3,a),(5,a)} 2 = {(1,a),(3,a),(5,b)} 3 = {(1,a),(3,b),(5,a)} 4 = {(l,b),(3,a),(5,a)} 5 = {(1,b),(3,b),(5,a)} 6 = {( 1,b),(3,a),(5,b)} 7 = {(1,a),(3,b),(5,b)} 8 = {(1,b),(3,b),(5,b)} ernyata untuk n(a) = 3, n(b) = 2 maka banyaknya fungsi fdari A ke dalam B = 2 3 = 8. Secara umum: Jika f:adalah fungsi dari A ke dalam B d gan n(a) = k dan n(b) = I, maka banyaknya fungsi dari A ke dalam B ada PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 52

53 4. Jangkauan Dari ungsi Misalkan A = {a,b,c,d,e}; B = {1,2,3,4,5} f: A B adalah fungsi dari A ke dalam B yang didefinisikan oleh diagram panah pada gambar 6.8. ampak bahwa: a B 1 2 bayangan dari a dan b b 2 3 bayangan dari e dan d 3 4 bayangan dari c c 4 Himpunan semua bayangan dari A adalah {2,3,4}. Himpunan d tersebut 5 disebut jangkauan atau range atau daerah hasil dari fungsi f ditulis f(a). e 6 Contoh 6.4 Gambar 6.8 Diketahui f: A R adalah fungsi dari A ke dalam R yang ditentukan oleh f(x)= x 2-2x- 3. Jika R = himpunan bilangan real, A = {x -2 x 4, x R}. entukan range dari fungsi f(x). Penyelesaian: x f(x) Gambar 6.9 Lihat gambar A maka 5 f(a) -2 A maka 5 f(a) 1 A maka -4 f(a) Jadi: f(a) = {x -4 x<5, x R} PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 53

54 5. Jenis ungsi Lihat diagram panah pada gambar 6.10 (i) bukan fungsi sebab a A mempunyai dua kawan di B. (ii), (iv) disebut fungsi satu-satu sebab setiap pasang anggota berbeda pada domain mempunyai kawan yang berbeda pada co domain. (iii) disebut fungsi kepada sebab range = co domain. (v) disebut fungsi satuan sebab x A, x x. (vi) disebut fungsi konstan sebab f(a) mempunyai satu anggota. a. ungsi Satu-satu Definisi 6.2 Misalkan f: A B adalah fungsi dari A ke dalam B maka f disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika x 1,x 2 A, x 1 x 2 maka f(x 1 ) f(x 2 ). Dari definisi 6.2 dapat dikatakan bahwa f bukan fungsi satu-satu jika dan hanya jika x 1,x 2 A, x 1 x 2 tetapi f(x 1 )=f(x 2 ). ungsi satu-satu sering disebut fungsi injection. Contoh 6.5 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 54

55 Misalkan fungsi f: R R didefinisikan dengan rumus f(x) = x 2 maka f bukan fungsi satu-satu (mengapa?). Misalkan fungsi g: R R didefinisikan dengan rumus f(x) = 2x+1 maka g merupakan fungsi satu-satu (mengapa?). b. ungsi Kepada Definisi 6.3 Misalkan A B adalah fungsi dari A ke dalam B maka f disebut fungsi kepada jika dan hanya jika range f = atau f(a) = B. Dengan demikian jika f(a) B maka fungsi f bukan fungsi kepada. ungsi kepada sering disebut fungsi surjection. Contoh 6.6 ungsi pada contoh 6.5(1) bukan fungsi kepada (mengapa?) ungsi pada contoh 6.5(2) adalah fungsi kepada (mengapa?) Jika suatu fungsi merupakan fungsi satu-satu dan juga fungsi kepada maka fungsi itu disebut fungsi satusatu kepada Contoh 6.5(2) merupakan fungsi byjection (mengapa?). c. ungsi Satuan Definisi 6.4 Misalkan f: A A adalah fungsi di dalam A maka fungsi f yang didefinisikan oleh f(x) = x disebut fungsi satuan atau fungsi identitas. Contoh 6.7 Diketahui f: R R adalah fungsi di dalam R, dengan R=himpunan bilangan real dan f(x)=x. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 55

56 1) Apakah f fungsi satuan? 2) Gambarlah grafik fungsi f? 3) Apakah f fungsi satu-satu? Mengapa? 4) Apakah f fungsi kepada? Mengapa? Penyelesaian: 1) f fungsi satuan x 0 2 f(x) 0 2 2) grafik fungsi f melalui titik (0,0) dan (2,2). 3) f fungsi satu-satu sebab x 1,x 2 R, x 1 x 2 maka f(x 1 ) f(x 2 ). 4) f fungsi kepada sebab f(r) = R. d. ungsi Konstan D e finisi 6.5 Misalkan f: A B adalah fungsi dari A ke dalam B maka fungsi f disebut fungsi konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota. Contoh 6.8 Diketahui f: R R didefinsikan oleh f(x) = 3 dengan R = himpunan bilangan real. 1) Apakah f fungsi konstan? 2) Gambarlah grafiknya? Penyelesaian: 1) f fungsi konstan 0 2 f(x) 3 3 2) grafik fungsi f melalui titik (0,3) dan (2,3). Gambar 6.12 PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 56

57 6. Invers Suatu ungsi dan ungsi Invers A B a b c A B a (i) A B a b c (ii) b 2 c 3 (iii) Gambar 6.13 Diagram panah pada gambar 6.13 merupakan fungsi. a. f: A B fungsi kepada inversnya f : B A bukan fungsi sebab 3 E B mempunyai dua kawan. b. g: A C fungsi satu-satu inversnya g - ': C A bukan fungsi sebab 4c-C tidak mempunyai kawan. c. h: A D fungsi satu-satu kepada inversnya h': D A. merupakan fungsi lagi, fungsi tersebut disebut fungsi invers. Apa yang dapat saudara simpulkan dari contoh di atas? Bilamana suatu fungsi mempunyai fungsi invers? Latihan 7 1. Diketahui R: A B adalah relasi dari A ke dalam B. Jika A = {2,3,4,5}; B = {3,4,5}. Relasi R didefinisikan "x faktor y" a. Nyatakan R dengan diagram panah. b. Apakah relasi r fungsi? Mengapa? PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 57

58 2. Misalkan A = {1,2,3,4,5} Katakan apakah masing-masing dari himpunan pasangan terurut yang berikut merupakan fungsi dari A ke dalam A. a. f 1 = {(2,3),(1,4),(2,1),(3,2),(4,4)} b. f 2 = {(3,1),(4,2),(1,1)} c. f 3 = {(2,3),(3,6),(4,2),(3,2)} 3. Misalkan f(x) x 2 mendefinisikan suatu fungsi pada selang tertutup -2 x 5, carilah: a. f(0) b. f(3) c. f(-4) d. f(t-2) 4. Misalkan A = {a,b,c} dan B = {1,0}. Berapakah banyaknya fungsi yang berbeda dari B ke dalam A, dan apa saja? 5. Ambilah A = (-1,0,1,2,3). Misalkan fungsi g: A R didefinisikan oleh f(x)= x Carilah jangkauan dari g. 6. Carilah jangkauan dari fungsi di bawah ini jika fungsi-fungsi tersebut dari R ke dalam R didefinisikan oleh: a. f(x) = x 2 +2 b. g(x) = x 2 +4x+4 7. a. Apakah fungsi pada soal 6.a fungsi satu-satu? Mengapa? b. Apakah fungsi pada soal 6.a fungsi kepada? Mengapa? 8. Gambarlah diagram panah untuk menunjukkan: a. ungsi satu-satu yang bukan fungsi kepada b. ungsi kepada yang bukan fungsi satu-satu. 9. Grafik di bawah ini manakah yang merupakan grafik fungsi dari A ke dalam B. 10. Diketahui f: A R dengan R = himpunan bilangan real, A ={x -1 x 5} didefinisikan dengan f(x)= x entukanlah range dari f. 11. ulislah 4 contoh fungsi konstan, kemudian gambarlah grafiknya. PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 58

59 LOGIKA MEAMEIKA 1. Proposisi (Pernyataan) Elementer Perhatikan kalimat pada contoh 8.1 di bawah ini. 1) Semarang Ibu Kota Jawa engah 2) a faktor dari 6 3) Dua adalah bilangan ganjil 4) Mudah-mudahan lulus ujian 5) 2+ 6 = 8 6) x faktor dari 5 7) < 7 8) Selesaikan soal di bawah 9) x + 5 = 9 10) x - 2 < 7 Kalimat pada contoh 8.1 yang merupakan pernyataan adalah 1, 3, 5, dan 7 sebab kalimat tersebut sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Nilai kebenaran pernyataan di atas berturut-turut: benar, salah, dan salah. Definisi 8.1 Pernyataan adalah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Pernyataan pada contoh 8.1 sering disebut pernyataan elementer dan selanjutnya dinyatakan dengan simbol p, q, r, s, dan seterusnya. 2. Proposisi Komposit Misalkan p, q masing-masing proposisi PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 59