PEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI PEROKOK S K R I P S I. Untuk memenuhi sebagian persyaratan Mencapai derajat sarjana (S-1)

Transkripsi

1 PEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI PEROKOK S K R I P S I Untuk memenuhi sebagian persyaratan Mencapai derajat sarjana (S-1) HANISAR F1A PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 216

2

3 KATA PENGANTAR Alhamdulillah Alhamdulillah Alhamdulillah, saya ingin mengucapkan terima kasih saya terdalam kepada Allah atas Rahmat-Nya, berkat,dan bimbingan, sehingga peneliti akhirnya dapat mencapai hasil dalam menyelesaikan skripsi ini dengan judul PEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI PEROKOK Penghargaan terdalam saya dan syukur ditujukan kepada orang tua saya tercinta, Bahring dan Hanisah serta kedua orang tua angkat saya. Saya tidak punya kata-kata untuk mengungkapkan perasaan terdalam saya. Terima kasih untuk semuanya, terima kasih untuk doa yang selalu dihanturkan kepada saya, terima kasih atas dukungan mental dan financial. Terima kasih untuk semua yang telah diberikan kepada saya. Selain itu, ucapan terima kasih kepada atasan peneliti, Drs. Asrul Sani, M.Sc, Ph.D selaku pembimbing I dan Dr. Mukshar, S.Si., M.Si. selaku pembimbing II yang telah memberikan waktu dalam memberikan ide-ide, nasihat, dan perhatian besar untuk mencapai hasil ini. Peneliti menyadari bahwa skripsi ini tidak dapat diselesaikan dengan sukses tanpa bimbingan mereka. Suatu hal yang tidak terlupakan atas dorongan dan bimbingannya, serta arahan dan bantuan kepada penulis, maka patutlah kiranya penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan kepada semua pihak khususnya: iii

4 1. Rektor Universitas Halu Oleo Kendari, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman Rianse, M.S. 2. Dekan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si., M.Si. 3. Ketua Jurusan Matematika dan sekretaris jurusan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si., M.Si., dan Bapak Rasas Raya, S.Si., M.Si. 4. Kepala Laboratorium Matematika F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma Muchtar, S.Si., M.Si. 5. Kepala Perpustakaan F-MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Dra. Hj. Indrawati, M.Si. 6. Norma Muchtar, S.Si., M.Si. selaku penasehat akademik yang telah memberikan pengarahan dan bimbingan dalam memprogramkan mata kuliah. 7. La Gubu, S.Si., M.Si., Dr. La Ode Saidi, M.Kom., dan Rasas Raya., S.Si., M.Si. selaku dewan penguji. 8. Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika serta seluruh staf lingkungan F- MIPA UHO, yang telah banyak memberikan bantuan, bimbingan dan pengarahan selama studi hingga penyelesaian skripsi ini. 9. Keluarga besarku: Mama Tua, paman-paman, tante-tante, kakak Tyas, S.Kep, Ners., Nining, S.Kep, Ners, Sitti Sarah, S.Si, Rina, S.IK, Ratna Munawar, S.Si, Mamat, Ita, Antarufin, Sartina Yati yang selalu memberi doa dan motivasi. 1. Saudara-saudara indahku: Ikbal, Watati, Rufihana dan Rahmad Senah. 11. Teman terdekatku yang selalu menemani dalam perjuangan susah senang maupun duka, serta motivasi dan dukungan yang diberikan. iv

5 12. Teman yang selalu ada dan paling sabar dalam membantu penyelesaian skripsi ini : Aini Isman La Ode Muhammad Riswan, Ilah Fitria, kadek Ayu Puspita Sari, Muliawati, Rifky Adrian, Rajab, jio, Gede, dan Astriana. 13. ChinguQ yang selalu ada selama studi hingga penyelesaian skripsi ini: Ekha Fitriah Maladewi, S.Mat, Ekawati Sulistia Ningsih, Wiwin Narni, Desi Astuty, S.Mat, Herdiana, S.Mat, dan Hesti Yuspita yang tiada henti memberi semangat, bantuan dan doa kepada penulis. 14. Rekan seperjuangan Matematika Angkatan 212: Yani, Bertin, Obil, Pantri Elastic, S.Mat, Astri, Treni, S.Mat, Jendri, Igo, Fuad, Hajar, Suri, Yuli, Astin, Ratni, Mega, Novita, S.Mat, Ummi, Asni, Umi, Mergar, Ima, Nella, S.Mat, Syem Abdullah, S.Mat, Rahmadin, S,mat, Rianto, S.Mat, Sarfia, S.Mat, Sarwiati, S.Mat dan seluruh mahasiswa seangkatan 12 yang telah memberikan semangat kebersamaan yang tidak terlupakan selama menyelesaikan studi. 15. Barisan senior-senior: Arfan, S.Mat, Rahmat, S.Mat, Kartini, S.Mat, Mega, S.Mat, Ahsan, S.Mat dan barisan junior-junior Matematika: Tessa, Mail, Noni, Rahma, dan lain-lain yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu atas bantuan dan bimbingannya selama masa perkuliahan. 16. Teman-teman KKNku: La Ahi, Dede Acuguh, Mamat Adrianto, Seffto, Mutiarah Rahman, Auliyah Resky, Dewi Astuti Selanjutnya penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Sehingga dengan senang hati dan segala kerendahan hati penulis menerima segala saran yang sifatnya membangun demi penyempurnaannya. Akhir v

6 kata penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan. Kendari, Oktober 216 Penulis vi

7 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PENGESAHAN... ii KATA PENGANTAR... iii DAFTAR ISI... vii DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR TABEL... x DAFTAR LAMPIRAN... xi ABSTRAK... xii ABSTRACT... xiii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Model Dasar Penyebaran Penyakit Model Epidemi SI Model Epidemi SIR Model Epidemi SEIR Dasar-dasar Matematika Sistem Persamaan Diferensial Titik Kesetimbangan Linierisasi di sekitar Titik Kesetimbangan Nilai Eigen dan Faktor Eigen Sifat-sifat Kestabilan Titik Kesetimbangan Solusi Numerik Metode Runge -Kutta vii

8 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Metode dan Prosedur Penelitian BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model Matematika Populasi Perokok Asumsi Populasi Perokok Skema Model Tipe SEIR Populasi Perokok Model Matematika Titik kesetimbangan Populasi Perokok Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan (AKTK) AKTK Bebas dari Perokok AKTK epidemic Perokok Simulasi Numerik Dinamika Model SEIR Perokok Simulasi Numerik Bebas Perokok Simulasi Numerik Epidemik BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN viii

9 DAFTAR GAMBAR Gambar 3.1 Metode Penelitian Gambar 4.1 Laju Pertumbuhan Bebas Perokok pada Model SEIR Gambar 4.2 Grafik 3 Dimensi Bebas Perokok Gambar 4.3 Laju Pertumbuhan Epidemik Gambar 4.4 Grafik 3 Dimensi Pertumbuhan Epidemik ix

10 DAFTAR TABEL Tabel 4.1 Kestabilan di titik Kesetimbangan Bebas Perokok... 3 Tabel 4.2 Nilai Parameter-parameter dalam Model Perokok Tabel 4.3 Sifat Kesatabilan Titik Kesetimbangan Bebas Perokok Tabel 4.4 Nilai Parameter-parameter dalam Model Perokok Tabel 4.5 Sifat Kesatabilan Titik Kesetimbangan Bebas Perokok x

11 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Titik Kesetimbangan Lampiran 2. Nilai Eigen Umum Lampiran 3. Niilai Eigen Kasus I Numerik Lampiran 4. Nilai Eigen Kasus II Lampiran 5. Skrip Mfile Matlab Kasus I Bebas dari Perokok Lampiran 6. Program Matlab Phase Potret Epidemik Perokok xi

12 PEMODELAN MATEMATIKA TIPE SEIR PADA POPULASI PEROKOK Oleh: HANISAR F1A ABSTRAK Pemodelan matematika berusaha menyelesaikan masalah-masalah yang ada dikehidupan nyata. Seperti contoh pada masalah semakin meningkatnya penyebaran populasi perokok yang dapat mengancam kelangsungan hidup. Model yang dapat digunakan pada penyebaran populasi perokok adalah model tipe SEIR. Yang terdapat empat sub-komponen saling berinteraksi yaitu Susceptible adalah individu sehat tapi rentang untuk menjadi perokok, yang disimbolkan dengan S, Exposed adalah individu yang perokok kadang-kadang yang disimbolkan dengan E, Ifected adalah individu sehat tapi rentang untuk menjadi perokok yang disimbolkan dengan I, Recovered adalah perokok yang telah berhenti untuk merokok yang disimbolkan dengan R. Berdasarkan analisis kesetimbangan diperoleh dua titik kesetimbangan bebas dari perokok yaitu E = ( φ μ,,,) = (833,,,) dan titik kesetimbangan epidemik perokok yaitu E 1 = (S 1, E 1, I 1, R 1 ) = (9,2,3,5), pada analisis numerik, dilakukan dengan menggunakan metode rungge-kutta orde empat dengan memvariasikan beberapa parameter. Kata kunci : Model tipe SEIR, Titik Kesetimbangan, Metode Runge kutta. xii

13 MATHEMATICAL MODELLING TYPE OF SEIR ON SMOKER POPULATION By HANISAR F1A ABSTRAC Mathematical modeling tried to resolve the problems that exist real life. As an example on the issue of increasing the spread of smoking population that could threaten survival. The model can be used in the deployment of smoking population is a model of the type of SEIR. That there are four sub-components interact that is susceptible are healthy individuals but the range to be a smoker, symbolized by S, Exposed is individual smokers sometimes symbolized by E, Ifected are healthy individuals but the range to be a smoker symbolized by I, recovered is smokers who had stopped to smoke symbolized by R. Based on the analysis of equilibrium obtained two free equilibrium point of smokers is E = ( φ μ,,,) = (833,,,) and the equilibrium point of the epidemic smokers are E 1 = (S 1, E 1, I 1, R 1 ) = (9,2,3,5), the numerical analysis, done using methods rungge-kutta order four by varying several parameters. Keywords: Model type of Seir, equilibrium point, Runge-Kutta methods. xiii

14 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Rokok sudah dikenal sejak lama oleh suku asli yang mendiami daerah Meksiko, yaitu suku Indian. Pada abad ke-15 kebiasaan merokok terus menyebar keseluru dunia termasuk Indonesia seiring dengan menyebarnya presepsi yang salah yaitu dengan menghirup daun tembakau dapat menyembuhkan penyakit (Husaini, 27). Berdasarkan penggunaan rokok, rokok dapat dibedakan menjadi rokok Filter dan rokok non-filter (Haris, 212). Tembakau merupakan bahan utama rokok yang terdiri dari beberapa kandungan yang tidak dimiliki oleh daun lainnya yaitu nikotin dan eugenol yang berbahaya bagi kesehatan tubuh. Selain itu, tembakau yang merupakan tanaman perkebunan, yang tidak terlepas dari zat kimia yaitu pestisida (Husaini, 27). Dalam satu batang rokok, terdapat sekitar 4.8 bahan kimia diantaranya Karbon Monoksida, Nikotin, Tar dan Polycyclic dan lain-lain. Indonesia menjadi negara ketiga pada jumlah perokok aktif terbanyak setelah Cina dan India, yaitu sebesar 34% di Indonesia pada tahun 28. Jumlah perokok ini terus meningkat pada tahun 21 sebesar 34,7% (Tobacco Control Support Center, 212). Salah satu hal yang menyebabkan jumlah perokok terus meningkat adalah di abaikannya bahaya merokok. Hingga saat ini terdapat sekitar 4.8 bahan kimia yang terkandung pada rokok dengan komponen utama yaitu tar, nikotin dan CO (karbon monoksida) (Tirtosastro dan Murdiyati, 21). Kebiasaaan merokok berhubungan dengan sedikitnya 25 jenis penyakit pada berbagai organ tubuh 1

15 (Aditama, 21). Selain pada orang yang merokok (perokok aktif), penyakit tersebut juga berdampak pada orang yang tidak merokok (perokok pasif). Hal ini disebabkan karena secara tidak langsung mereka menghirup asap rokok. Bahkan pada perokok pasif usia anak, asap rokok yang dihirup dapat mempengaruhi pertumbuhan tubuh pada anak (Samet, 21). Pemodelan tentang peningkatan jumlah perokok bukan hal yang baru. Beberapa peneliti telah mengembangkan model matematika terkait peningkatan jumlah perokok, seperti yang dilakukan oleh Sharoni dan Gumel (198) serta Gunawan dan Nurtamam (28). Pada tahun 27, Mickens mengenalkan model dinamik akar kuadrat. Interaksi pada model dinamik akar kuadrat dilambangkan dengan akar kuadrat dari perkalian dua kompartemen (subpopulasi) yang saling berinteraksi (Zeb dkk., 213). Pemodelan matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah tersebut dapat dibawah kedalam model matematis dengan menggunakan asumsiasumsi tertentu. Dari model yang akan dicari solusinya, baik dengan cara analisis maupun secara numerik. Pada bidang kesehatan model matematika digunakan untuk mengetahui bagaimana penyebaran suatu penyakit menular maupun tidak menular dan penderita jumlah suatu penyakit baik yang berupa epidemik maupun tidak. Beberapa penyakit mempunyai periode laten, artinya selang waktu dimana suatu individu terinfeksi sampai munculnya penyakit. Periode laten inilah yang menjadi alasan pembentukan model SEIR. Salah satu model matematika yaitu model SEIR, 2

16 model ini diterapkan pada penyakit yang memiliki masa inkubasi cukup lama. Pada umumnya selama masa laten tersebut individu tidak bias menularkan penyakit. Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk mengkaji pemodelan populasi perokok menggunakan model SEIR, yang didalamnya terdapat empat subpopulasi sebagai berikut yaitu, S adalah populasi susceptible yaitu individuindividu tidak merokok tapi rentang untuk merokok. E adalah populasi exposed yaitu individu-indiividu yang kadang-kadang merokok. I adalah populasi yang infected yaitu individu-individu yang merokok (perokok berat) dan dapat mempengaruhi seseorang yang tidak merokok (sehat). R adalah populasi recovered yaitu individu-individu yang telah berhenti untuk merokok. Dengan waktu penyebaran yang diperlukan untuk menyebarnya populasi rokok tersebut cukup lama. 1.2 Rumusan Masalah Dari latar belakang diatas maka perumusan adalah sebagai berikut: 1. Bagaimana pemodelan matematika pada tipe SEIR untuk populasi perokok? 2. Bagaimana bentuk kesetimbangan dan perilaku selesian pada populasi perokok sehingga mempengaruhi populasi perokok yang rentang? 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah diatas, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Untuk mengetahui pemodelan matematika tipe SEIR pada populasi perokok. 3

17 2. Untuk mengetahui bentuk kesetimbangan dan perilaku selesaian pada populasi perokok sehingga mempengaruhi populasi yang tidak merokok tapi rentang untuk meroko. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat yang didapatkan adalah sebagai berikut: 1. Agar memberikan suatu sumbangsi pengetahuan bahwa ilmu matematika mempunyai peranan yang sangat luas bagi kehidupan. 2. Dapat dimanfaatkan dalam menambah wawasan atau pengetahuan pada masyarakat luas. 4

18 BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Model Dasar Penyebaran Penyakit Ada beberapa model epidemi selain model SI dan SIS, yaitu SIR, SEIR, dan SEIRS. Secara singkat dapat digambarkan tentang model SI,SIR dan SEIR sebagai berikut Model Epidemi SI Pada model epidemi SI populasi dibagi menjadi dua kelompok yaiti: 1. Susceptible (S) yaitu kelompok populasi yang sehat tetapi dapat terinfeksi penyakit (rentan) dan 2. Infected (I) yaitu kelompok populasi yang terinfeksi penyakit dan dapat menularkan ke populasi yang sehat. Model Epidemi SI dapat dinyatakan sbagai berikut: ds dt = αs I N, Keterangan: di dt = αs I N, α : Laju perpindahan populasi dari golongan susceptible ke golongan invected setiap satuan waktu. N : Jumlah populasi. 5

19 2.1.2 Model Epidemi SIR Pada model epidemi SIR klasik, populasi dibagi menjadi tiga kelompok yaitu susceptible (S), yaitu kelompok populasi yang sehat tetapi dapat terinfeksi penyakit, infected (I) yaitu kelompok populasi yang terinfeksi dan dapat sembuh dari penyakit, dan recovered (R) yaitu kelompok populasi yang telah sembuh dan kebal dari penyakit. Model epidemi SIR dapat dinyatakan sebagai berikut: Keterangan: ds dt = αs I N, di dt = αs I N βi, dr dt = βi, α: Laju perpindahan populasi dari golongan susceptible ke golongan Recovered setiap satuan waktu. β: Laju perpindahan populasi dari golongan invected ke golongan Recovered setiap satuan waktu. N: Jumlah populasi Model Epidemi SEIR Pada model epidemi SEIR klasik, populasi dibagi menjadi empat kelompok yaitu susceptible (S) yaitu kelompok populasi yang sehat tetapi dapat terinfeksi penyakit, exposed (E) yaitu kelompok populasiyang dicurigai terinfeksi oleh penyakit, infected (I) yaitu kelompok populasi yang terinfeksi dan dapat 6

20 sembuh dari penyakit, dan recovered (R) yaitu kelompok populasi yang telah sembuh dan kebal dari penyakit. Model epidemi SEIR dapat dinyatakan sebagai berikut: ds dt = αs I N, de dt = I αs βe, N di = βe γi, dt (2.1) dr dt = βi, Keterangan: α: Laju perpindahan populasi dari golongan susceptible ke golongan Recovered setiap satuan waktu. β: Laju perpindahan populasi dari golongan exposed ke golongan invectedsetiap satuan waktu. γ: Laju perpindahan populasi dari golongan invected ke golongan recovered setiap satuan waktu. N: Jumlah populasi. 2.2 Dasar- Dasar Matematika Sisitem Persamaan Diferensial Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem persamaan yang memuat turunan beberapa fungsi yang tak diketahui. Persamaan diferensial seringkali 7

21 muncul dalam model matematika yang mencoba menggambarkan keadaan dikehidupan nyata. Sebagai contoh, laju pertumbuhan populasi perokok. Suatu persamaan diferensial orde 1 adalah persamaan yang berbentuk dx nilainya oleh t. dt = f(x, t), x = (x 1x 2,, x n ), dengan x, x,, x (n) semuanya ditentukan Pada penelitian ini hanya akan dibahas sistem persamaan diferensial orde 1. Klasifikasi sistem persamaan diferensial yaitu: 1. Sistem persamaan diferensial liniear orde 1 Suatu fungsi f(x) merupakan fungsi yang linear misalnya f(x) = Ax. Sistem x = Ax dengan x vektor dalam R n disebut sistem linear berdimensi n, jika x: R n R n adalah pemetaan linear, dan R n = {(x 1,, x n ) x 1,, x n R} sedangkan x, x dan A ditulis: x 1 x = [ x n ], x = [ dx 1 dt dx n dt a 11 a 1n ] dan A = [ a n1 a nn ]. (2.2) 2. Sistem persamaan diferensial nonliniear Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear dx dt = f(x, t), x = (x 1,, x n ). (Arrowsmith dan Place, 1982). Sistem persamaan diferensial x = f(x, t) dikatakan nonlinear apabila fungsi f(x) tak linear dan kontinu. Sistem di atas dapat berbentuk: 8

22 dx 1 dt = f(x 1,, x n, t) dx n dt = f(x 1,, x n, t) kondisi awal x t (t ) = x i ; i = 1,2,, n. (2.3) 3. Sistem persamaan diferensial nonlinear yang autonomous Suatu sistem persamaan diferensial yang berbentuk dx 1 dt = f(x 1,, x n, t) dx n dt = f(x 1,, x n, t). (2.4) Dikatakan sistem autonomous apabila fungsi f tidak tergantung terhadap waktu yakni x = f(x) dengan f(x) merupakan fungsi yang nonlinear (Arrowsmith dan Place,1982) Titik Kesetimbangan Model matematika yang terbentuk pada populasi perokok adalah sistem persamaan diferensial non linear karena adanya interaksi antara komponenkomponen dari ke-empat sub-populasi, sehingga perlu dicari solusi khusus. Salah satu solusi khusus dari model matematika jumlah perokok adalah titik kesetimbangan yang berikutnya akan dianalisis kestabilannya dari titik kesetimbangan yang didapatkan. Berikut ini diberikan beberapa definisi dan teorema yang berhubungan dengan analisis kesetimbangan sistem linier: Definisi 2.1 (Olsder, 211). Titik x pada sistem autonomous dx dt = f(x), (2.5) Dikatakan titik setimbangan jika memenuhi f (x ) =. 9

23 Definisi Matriks Jacobian adalah matriks yang elemen-elemennya merupakan turunan parsial pertama dari beberapa fungsi. Misalkan terdapat tiga persamaan dengan tiga variabel sebagai berikut: y 1 = f 1 (x 1 x 2 x n ) y 2 = f 2 (x 1 x 2 x n ) (2.6) y n = f n (x 1 x 2 x n ) Ditulis dalam bentuk Matriks Jacobian sebagai berikut: J = y 1 y 1 x 1 x 2 y 2 y 2 x 1 x 2 [ y n x 1 y n x 2 y 1 x n y 2 x n y n x n ]. (2.7) (Kelley dan Peterson, 21) Linearisasi di Sekitar Titik Kesetimbangan Salah satu cara untuk menganalisa sistem nonlinear autonomous x = f(x) adalah menentukan titik kesetimbangan x = (x 1,, x n ) dan menentukan sifat solusi di sekitar titik tersebut. Sifat solusi sistem nonlinear x = f(x) dapat didekati dengan meninjau sifat solusi sistem linear x = Ax, dimana A matriks Jacobian A = Df(x 1,, x n ). Fungsi linear Ax = Df(x 1,, x n )x disebut bagian linear dari f di sekitar titik (x 1,, x n ). Definisi 2.2 Titik (x 1,., x n ) R n adalah titik kesetimbangan dari x = f(x), apabila f(x 1,., x n ) =. Titik kesetimbangan (x 1,, x n ) disebut titik 1

24 kesetimbangan hiperbolik dari x = f(x) jika semua nilai eigen dari matriks Df(x 1,, x n ) tidak nol bagian realnya. Deret Taylor f 1 (x 1,, x n ) sampai f n (x 1,, x n ) di sekitar titik kesetimbangan (x 1,, x n ) adalah: f 1 (x 1,, x n ) = f 1 (x 1,, x n ) + f 1(x 1,,x n ) (x x 1 x 1 ) + + f 1 (x 1,,x n ) (x n x n ) + 1 f 2 (x 1,, x n ) = f 2 (x 1,, x n ) + f 2(x 1,,x n ) (x x 1 x 1 ) + + f 2 (x 1,,x n ) (x 1 x n x n ) + n f n (x 1,, x n ) = f n (x 1,, x n ) + f n(x 1,,x n ) (x x 1 x 1 ) + + f n (x 1,,x n ) (x n x n ) + 1 Karena dititik kesetimbangan f 1 (x 1,, x n )=f 2 (x 1,, x n ) = = f n (x 1,, x n )= dan x = (x 1,, x n ) di sekitar titik kesetimbangan (x 1,, x n ) yang jaraknya dianggap cukup kecil, maka suku-suku yang memuat pangkat dua atau lebih seperti (x 1 x 1 ) 2, (x 2 x 2 ) 2, dan seterusnya, nilainya akan sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga diperoleh: f 1 (x 1,, x n ) f [ 2 (x 1,, x n ) ] f n (x 1,, x n ) x n x n f 1 (x 1,, x n ) f 1 (x 1,, x n ) x 1 x 2 f 2 (x 1,, x n ) f 2 (x 1,, x n ) x 1 x 2 [ f n (x 1,, x n ) x 1 f n (x 1,, x n ) x 2 f 1 (x 1,, x n ) x n f 2 (x 1,, x n ) x n f n (x 1,, x n ) x n ] x 1 x 1 x 2 x 2 [ ] x n x n (2.8) Hal ini menunjukkan bahwa fungsi linear Df(x 1,, x n )x merupakan aproksimasi linear untuk fungsi nonlinear f(x) di sekitar titik (x 1,, x n ), 11

25 sehingga tafsiran solusi dari sistem nonlinear x = f(x) di sekitar (x 1,, x n ) dapat didekati dengan solusi dari sistem x = Ax. x 1 dimana x = [ x n ], x = [ dx 1 dt dx n dt ] dan A = Df(x 1,, x n ) adalah matriks turunan parsial pertama (matriks Jacobian). Secara umum, jika komponen dari f berupa: f 1 (x 1, x 2,, x n ), f 2 (x 1, x 2,, x n ),, f n (x 1, x 2,, x n ) Maka dapat dituliskan matriks dari persamaan tersebut adalah: A = f 1 f 1 x 1 x 2 f 2 f 2 x 1 x 2 [ f n x 1 f n x 2 f 1 x n f 2 x n f n x n ]. (2.9) Nilai eigen matriks konstan A memberikan informasi kestabilan lokal di titik kesetimbangan (x 1,, x n ) (Nayfeh dan Balachendra,1995) Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 2.3 Misalkan A suatu matriks n x n. Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik (characteristic value) dari A jika terdapat suatu vector tidak nol x, sehingga Ax= λx. Vektor x disebut vector eigen atau vector karakteristik dari A yang bersesuaian dengan λ. Teorema 2.1 Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain: a) λ adalah nilai eigen dari A b) Sistem persamaan (λi A)b = mempunyai pemecahan yang tak nol. c) λ adalah pemecahan real dari persamaan det(λi A) = (Leon,21). 12

26 Bukti: (a) (b) Diketahui λ adalah nilai eigen dari A. berdasarkan Definisi 2.3, diperoleh Ax = λx atau λx Ax =, dengan mengalikan matriks identitas I yang berukuran n x n, dapat dituliskan dengan λix Ax = atau (λi A)x =. (b) (c) Diketahui (λi A)x = dan mempunyai pemecahan tak nol. Ambil vektor x 1 sehingga (λi A) =. Karena x 1, maka det(λi A) = (c) (a) Diketahui λ adalah pemecahan real dari dari persamaan det(λi A) =. Berarti ada x vektor tak nol sehingga dapat dituliskan (λi A)x = atau Ax λx. Berdasarkan Definisi 2.3, λ merupakan nilai eigen. Menurut Teorema 2.1 agar λ dapat menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan (λi A)x = dan pemecahan tak nol diperoleh jika dan hanya jika: det(λi A) =. (2.1) Sifat-Sifat Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan Sistem persamaan diferensial pada populasi perokok adalah sistem persamaan nonlinear x = f(x) yang telah dilinearisasi menjadi sistem diferensial linear berbentuk x = Ax, dengan A adalah matriks Jacobian yang mempunyai nilai eigen dan vektor eigen, misalkan w j = u j + iv j adalah vektor eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ j = a j + ib j.didefinisikan E s = span{u j, v j a j < }, E c = span{u j, v j a j = }, E u = span{u j, v j a j > }, Sehingga dapat dikatakan bahwa: 13

27 - Vektor-vektor eigen yang nilai-nilai eigen bagian realnya negative akan membentuk ruang stabil (E s ). Ruang stabil biasanya berbentuk spiral dan simpul. - Vektor-vektor eigen yang nilai-nilai eigen bagian realnya positif akan membentuk ruang tidak stabil (E u ). Ruang tidak stabil biasanya berbentuk spiral dan simpul. - Vektor-vektor eigen yang nilai-nilai eigen bagian realnya nol akan membentuk ruang pusat (E c ). Adapun bentuk-bentuk umum dan tipe-tipe kesetimbangan metode linear dengan enam sifat kestabilannya yaitu: I. Nilai eigen kompleks: 1. Bagian real nol, menghasilkan trayektori pusat sentral atau stabil netral (neutral center atau neutral stable). 2. Bagian real positif, menghasilkan spiral tak stabil. 3. Bagian real negative, menghasilkan spiral stabil. II. Nilai eigen real: 1. Kedua nilai eigen negative, menghasilkan simpul stabil (stable node). 2. Kedua nilai eigen positif, menghasilkan trayektori simpul tak stabil (unstable node). 3. Nilai eigen positif, yang lainnya negative, menghasilkan titik pelana (saddle point) (Tarumingkeng, 1994). 14

28 2.3 Solusi Numerik Metode Runge Kutta Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi (x,y) pada titik terpilih dalam setiap selang langkah. Metode Runge-Kutta adalah metode persamaan diferensial biasa yang paling popular karena banyak dipakai dalam praktek. Bentuk umum metode Runge Kutta orde-n ialah: y r+1 = y r + a 1 k 1 + a 2 k 2 + a n k n Dengan a 1, a 2,, a n adalah tetapan, dan k 1 = hf(x r, y r ) k 2 = hf(x r + p 1 h, y r + q 11 k 1 ) k 3 = hf(x r + p 2 h, y r + q 21 k 1 + q 22 k 2 ) k n = hf(x r + p n 1 h, y r + q n 1,1 k 1 + q n 1,2 k q n 1,n 1 k n 1 ) (2.11) Nilai a i, p i, q ij dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan galat perlangkah. Secara umum metode Runge-Kutta mempunyai tiga sifat utama yaitu: 1. Metodenya satu langkah : untuk mencapai y r+1 hanya diperlukan keterangan yang tersedia pada titik sebelumnya yaitu x r, y r 2. Mendekati ketelitian deret Taylor sampai suku dalam h p, dimana nilai p berbeda untuk metode yang berbeda, dan nilai p ini disebut derajat dari metode 15

29 3. Tidak memerlukan perhitungan turunan f(x, y) tetapi hanya memerlukan fungsi itu sendiri. Metode Runge-Kutta yang umum digunakan untuk mengintegrasikan persamaan differensial adalah metode Runge-Kutta orde keempat yang berbentuk dimana: k 1 = f(x r, y r ) y r+1 = y r + h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 k 2 = f (x r + h 2, y r + hk 1 2 ) k 3 = f (x r + h 2, y r + hk 2 2 ) k 4 = f(x r + h, y r + hk 3 ). (Djojodihardjo, 2). 16

30 BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ini dilaksanakan mulai bulan Agustus samapi Oktober 216. Kegiatan ini dilakukan di Laboratorium Komputasi Matematika dan Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo Kendari. 3.2 Metode dan Prosedur Penelitian Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan metode penelitian kepustakaan atau studi literature. Adapun langkah-langkah dalam pembentukan model SEIR pada populasi perokok. 1. Identifikasi masalah, yaitu membaca dan memahami literature yang berkaitan dengan model matematika tipe SEIR pada populasi perokok, sehingga dapat menentukan sub-sub populasi yang akan digunakan dalam model. 2. Menyusun model matematika pada penyebaran populasi perokok menggunakan tipe SEIR dengan asumsi-asumsi yang digunakan. 3. Menyusun sistem persamaan model matematika pada populasi perokok dengan menggunakan tipe SEIR. 4. Analisis titik kesetimbangan diperlukan untuk mendapatkan suatu titik dari persamaan ds dt = de dt = di dt = dr dt =. 5. Mencari nilai eigen berdasarkan matriks jacobian yang melibatkan titik kesetimbangan. 17

31 6. Menentukan sifat-sifat kesetimbangan. 7. Simulasi Numerik. 8. Interpretasi` 9. penarikan suatu kesimpulan sehingga mendapatkan suatu hasil yang akan didapatkan. Langkah-langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan tugas akhir tentang populasi perokok pada tipe SEIR pada waktu laten, secara skematik dapat diliat pada skema dalam Gambar 3.1. Asumsi Skema Modeling matematika Analisis titik kesetimbangan dari ds = de = dt dt di, = dr = dt dt Menentukan Nilai Eigen dari matriks jacobian Sifat-sifat kestabilan dari simulasi pada model matematika Interpestasi Gambar 3.1 Skema metode penelitian 18

32 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model Matematika Populasi Perokok Pada tipe SEIR Pembahasan pada penelitian populasi perokok dengan menggunakan tipe SEIR. yang terdapat empat sub-populasi, yakni individu sehat yang rentang untuk menjadi perokok yaitu (S), perokok kadang-kadang yaitu (E), perokok yaitu (I), dan individu yang pernah menjadi perokok tapi sudah berhenti merokok yaitu (R). Asumsi 4.1. Asumsi yang digunakan pada penelitian populasi perokok adalah sebagai berikut: 1. Populasi dibedakan menjadi empat kelompok yaitu susceptibel atau (S) adalah individu yang sehat tapi rentang untuk menjadi perokok, Exposed atau (E) adalah perokok yang kadang-kadang, Infected atau (I) adalah perokok, dan Recovered atau (R) adalah perokok yang telah berhenti merokok dan sudah kebal sehingga tidak akan kembali untuk merokok lagi. 2. Individu yang dapat menyebarkan populasi perokok meningkat dikelompokkan dalam dua kategori yaitu populasi perokok kadang-kadang atau Exposed atau (E) dimana individu tersebut sudah menjadi perokok tapi belum dapat menularkan menjadi perokok berat tetapi dapat berhenti sesaat dan belum menjadi perokok berat dan individu yang perokok berat atau Infected (I) individu yang perokok berat (2 atau 3 bungkus dalam 1 harian) yang dapat menularkan ke individu yang rentang. 19

33 3. Laju kelahiran individu baru yaitu φ, yang masuk ke perokok yang rentang sehingga individu yang baru lahir dapat menjadi individu yang rentang untuk menjadi perokok. 4. Laju kematian indidvidu yang sehat tapi rentang untuk menjadi perokok, perokok kadang-kadang, perokok dan perokok yang telah berhenti. Untuk laju kematian pada perokok yang rentang sebesar μs, laju kematian perokok kadangkadang sebesar μe, laju kematian pada perokok sebesar μi, dan laju kematian pada perokok yang berhenti sebesar μr. 5. Laju pertumbuhan populasi individu yang sehat tapi rentang untuk menjadi perokok terhadap waktu yang dipengaruhi oleh besarnya φ atau kelahiran individu yang masuk ke individu yang rentang, sehingga laju perubahan α 1 SE yang keluar dari populasi perokok yang rentang ke yang perokok kadangkadang, sehingga laju perubahan individu yang merokok dapat masuk ke perokok yang rentang sebesar β 2 I dan populasi individu yang kadang-kadang merokok yang masuk ke populasi perokok tapi rentang untuk merokok sebesar α 2 E sehingga keluar suatu kematian alami yang terjadi pada populasi individu yang tidak merokok tapi rentang untuk merokok sebesar μs. 6. Laju populasi individu yang kadang-kadang merokok terhadap waktu sehingga laju perubahan dari populasi individu yang tidak merokok tapi rentang untuk merokok besarnya α 1 SE yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok sehingga besarnya laju perubahan pada populasi kadang-kadang merokok ke yang tidak merokok dapat keluar sebesar α 2 E sehingga laju perubahan yang keluar dari populasi individu yang kadang-kadang ke yang berhenti merokok 2

34 yaitu sebesar γ 2 E sehingga dalam populasi individu yang kadang-kadang merokok dapat keluar suatu angkah kematian sebesar μe. 7. Laju populasi individu perokok berat terhadap waktu yang dapat mempengaruhi laju perubahan individu dari yang kadang-kadang merokok ke yang perokok yang masuk sebesar β 1 E sehingga besarnya β 2 I laju perubahan dari yang berhenti merokok ke individu yang perokok tapi rentang untuk merokok, serta besarnya laju perubahan γ 1 E yang keluar menjadi individu yang berhenti merokok sehingga dalam populasi perokok dapat keluar suatu kematian alami sebesar μr. 8. Laju populasi individu yang berhenti merokok terhadap waktu mempengaruhi laju perubahan dari populasi yang merokok ke yang berhenti merokok yang masuk sebesar γ 1 I dan besarnya laju perubahan dari populasi yang kadangkadang merokok ke yang berhenti merokok yang masuk sebesar γ 2 E sehingga dalam populasi yang berhenti merokok dapat keluar suatu angkah kematian alami sebesar μr Skema Model Tipe SEIR Pada populasi Perokok Dari Asumsi 4.1 maka didapatkan skema model Tipe SEIR Pada Populasi Perokok yang dapat dilihat pada Gambar 4.1. Gambar Tipe SEIR Pada Populasi Perokok 21

35 4.1.3 Model Matematika Berdasarkan Asumsi pada 4.1 dan skema Gambar 4.1 maka diperoleh model populasi perokok tipe SEIR sebagai berikut: ds dt = φ α 1SE + β 2 I + α 2 E μs. de dt = α 1SE α 2 E β 1 E γ 2 E μe. di dt = β 1E β 2 I γ 1 E μr. (4.1) di dt = γ 1I + γ 2 E μr. Keterangan sebagai berikut: φ adalah laju kelahiran individu baru yang masuk ke populasi yang berpotensial merokok S adalah tidak merokok tapi rentang untuk menjadi perokok. α 1 adalah laju perubahan populasi yang tidak merokok tapi rentang merokok yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok. α 2 adalah laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang masuk ke individu yang tidak merokok tapi rentang merokok E adalah perokok yang kadang-kadang. β 1 adalah laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang masuk kedalam populasi perokok berat. 22

36 I adalah perokok berat. γ 1 adalah laju perubahan populasi perokok berat yang masuk menjadi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok. R adalah perokok yang sudah berhenti merokok dan tidak lagi merokok. β 2 adalah laju perubahan perokok kadang-kadang sehingga masuk menjadi populasi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok. γ 2 adalah laju perubahan dari individu perokok potensial sehingga menjadi perokok berat akibat dari interaksi dari perokok mula-mula. μ adalah laju kematian alami pada semua populasi perokok. 4.2 Titik Kesetimbangan dari populasi perokok Kestabilan dari populasi perokok dapat ditentukan dengan mencari suatu titik kesetimbangan pada populasi perokok tipe SEIR, dapat ditentukan ketika laju perubahan populasi yang rentang, laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok, laju perubahan populasi perokok, dan laju perubahan populasi yang berhenti merokok berubah terhadap waktu. yang diperoleh secara sistem persamaan ds de di =, =, = dt dt dt,dr =. Didapatkan dua titik kesetimbangan dt yaitu sebagai berikut: a. Titik Kesetimbangan bebas perokok 23

37 Titik kesetimbangan bebas merokok dapat dinyatakan dalam bentuk E = (S, E, I, R ) terjadi jika E =, dan I =, sehingga berdasarkan sistem persamaan pada model tersebut diperoleh: ds dt = μ α 1SE + β 2 I + α 1 E μs =. dr dt = γ 1I + γ 2 E μr =. (4.2) Karena E =, dan I =, maka diperoleh: φ α 1 SE + β 2 I + α 1 E μs = φ α 1 S() + β 2 () α 2 () + μs = φ = μs (4.3) S = φ μ. Dan untuk mendapatkan nilai R diperoleh sebagai berikut: γ 1 I + γ 2 E μr = γ 1 () + γ 2 () μr = (4.4) μr =. Jadi, titik kesetimbangan bebas perokok adalah E = (S, E, I, R ) = ( φ,,,). (4.5) μ 24

38 b. Titik kesetimbangan epidemik Titik kesetimbangan epidemik dinyatakan dalam bentuk E 1 = (S 1, E 1, I 1, R 1 ) terjadi jika E > dan I >. Berdasarkan dengan sistem persamaan pada model tersebut diperoleh: Untuk de dt =, diperoleh sebagai berikut: α 1 SE α 2 E β 2 E γ 2 E μe = (α 1 S + α 2 )E (β 2 γ 2 μ)e (α 1 S + α 2 + β 2 + γ 2 + μ) (4.6) S 1 = α 2 + β 2 + γ 2 + μ α 1, Dengan bantuan soffwere Maple E 1 = φα 1β 2 φα 1 μ+μα 2 β 2 +γ 2 μ 2 +μ 3 +γ 2 μβ 2 +2μ 2 β 2 +μ 2 α 2 +μβ2 2, α 1 (γ 2 β 2 +β μβ 2 +μ 2 β 1 β 2 +β 2 γ 1 +μγ 2 ) I 1 = β 1φα 1 + γ 2 β 1 μ γ 2 γ 1 μ + β 1 μ 2 γ 1 μα 2 + β 1 μβ 2 + γ 1 φα 1 γ 1 μβ 2 γ 1 μ 2 α 1 (γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2, β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 ) R 1 = ( φα 1+μγ 2 +μ 2 +μα 2 +μβ 2 )(γ 2 β 2 +μγ 2 +β 1 γ 1 γ2 2. μα 1 (γ 2 β 2 +β μβ 2 +μ 2 β 1 β 2 +β 2 γ 1 +μγ 2 ) Jadi titik kesetimbangan epidemik perokok adalah E 1 = (S 1, E 1, I 1, R 1 ) = S 1 = α 2 + β 2 + γ 2 + μ α 1, E 1 = φα 1β 2 φα 1 μ+μα 2 β 2 +γ 2 μ 2 +μ 3 +γ 2 μβ 2 +2μ 2 β 2 +μ 2 α 2 +μβ2 2, α 1 (γ 2 β 2 +β μβ 2 +μ 2 β 1 β 2 +β 2 γ 1 +μγ 2 ) I 1 = β 1φα 1 +γ 2 β 1 μ γ 2 γ 1 μ+β 1 μ 2 γ 1 μα 2 +β 1 μβ 2 +γ 1 φα 1 γ 1 μβ 2 γ 1 μ 2, α 1 (γ 2 β 2 +β μβ 2 +μ 2 β 1 β 2 +β 2 γ 1 +μγ 2 ) R 1 = ( φα 1 + μγ 2 + μ μα 2 + μβ 2 )(γ 2 β 2 + μγ 2 + β 1 γ 1 γ 2 μα 1 (γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2. β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 ) 25

39 4.3 Analisis Kestabilan Pada Titik Kesetimbangan Pada pembahasan ini akan dilakukan analisis kestabilan pada titik kesetimbangan dengan cara pelinearisasian suatu sistem model penyebaran perokok. Persamaan yang akan dilinearisasikan adalah sebagai berikut: f 1 (S, E, I, R) = φ α 1 SE + β 2 I + α 2 E μs f 2 (S, E, I, R, ) = α 1 SE α 2 E β 2 E γ 2 E μe f 3 (S, E, I, R) = β 1 E β 2 I γ 1 E μi (4.7) f 4 (S, E, I, R) = γ 1 I + γ 2 E μr Dari keempat persamaan nonlinear di atas dapat dilinearkan sebagai berikut: df 1 ds = d(φ α 1SE + β 2 I + α 2 E μs) = α ds 1 E μ df 1 de = d(φ α 1SE + β 2 I + α 2 E μs) = α di 1 S + α 2 df 1 di = d(φ α 1SE + β 2 I + α 2 E μs) = β di 2 df 1 dr = d(φ α 1SE + β 2 I + α 2 E μs) = dr df 2 ds = d(α 1SE α 2 E β 2 E γ 2 E μe ) = α ds 1 E df 2 de = d(α 1SE α 2 E β 2 E γ 2 E μe ) = α de 1 S α 2 β 2 γ 2 μ df 2 di = d(α 1SE α 2 E β 2 E γ 2 E μe ) = di 26

40 df 2 dr = d(α 1SE α 2 E β 2 E γ 2 E μe ) = dr df 3 ds = d(β 1E β 2 I γ 1 E μi) = ds df 3 de = d(β 1E β 2 I γ 1 E μi) = β de 1 γ 1 df 3 di = d(β 1E β 2 I γ 1 E μi) = β di 2 μ df 3 dr = d(β 1E β 2 I γ 1 E μi) = dr df 4 ds = d(γ 1I + γ 2 E μr ) = ds df 4 de = d(γ 1I + γ 2 E μr ) = γ de 2 df 4 di = d(γ 1I + γ 2 E μr ) = γ di 1 df 4 dr = d(γ 1I + γ 2 E μr ) = μ dr Linearisasi sistem persamaan diatas adalah matriks jacobian J. Selanjutnya dari hasil persamaan linear yang didapatkan diatas, maka dimasukkan kedalam matriks jacobian J, sehingga diperoleh suatu matrik jacobian yang berukuran 4x4 sebagai berikut: 27

41 J = f 1 S f 2 S f 3 S f 1 E f 2 E f 3 E f 1 I f 2 I f 3 I f 1 R f 2 R f 3 R. f 4 [ S f 4 E f 4 I f 4 R ] Selanjutnya hasil yang didapatkan dari persamaan nonlinear diatas di subtitusikan ke dalam matriks jacobian, sehingga diperoleh matriks sebagai berikut: J = [ α 1 E μ α 1 s + α 2 β 2 α 1 E β 2 μ γ 1 α 1 S α 2 β 2 γ 2 μ β 1 γ 1 γ 2 ]. (4.8) μ Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan Bebas Dari Rokok Analisis kestabilan titik kesetimbangan bebas dari rokok E = (S E I R )dimana (S = φ, E =, I =, R = ). μ Disubtitusi pada persamaan 4.8 sehingga di peroleh sebagai berikut: J 1 = J(E ) [ μ α 1φ μ + α 2 β 2 α 1 φ μ α 2 β 2 γ 2 μ β 1 γ 1 γ 2 β 2 μ γ 1. μ ] Untuk mencari nilai eigen matriks jacobian yang berukuran 4x4, maka matriks jacobian J 1 ditulis sebagai berikut: det[λi J ] = 28

42 1 det λ [ ( 1 ] 1 1 [ μ α 1φ α 1 φ μ μ + α 2 β 2 α 2 β 2 γ 2 μ β 1 γ 1 γ 2 β 2 μ γ 1 μ ]) = λ det [ λ ] λ λ ( [ μ α 1φ α 1 φ μ μ + α 2 β 2 α 2 β 2 γ 2 μ β 1 γ 1 γ 2 β 2 μ γ 1 μ ]) = det ([ λ + μ λ + α 1φ μ α 1 φ μ + α 2 β 2 α 2 β 2 γ 2 μ β 1 γ 1 γ 2 λ + β 2 μ γ 1 μ ]) = Persamaan karakteristiknya adalah: ( λ + α 1φ α μ 2 β 2 γ 2 μ (λ + μ ) [ β 1 γ 1 γ 2 α 2 [ λ + β 2 μ ] γ 1 μ ) = λ + β 2 μ γ 1 ] α 1φ + μ μ (λ + μ ) ((λ + α 1φ μ β 2 μ)( μ) =. α 2 β 2 γ 2 μ) (λ + β 2 μ)( μ)) α 1φ μ + α 2(λ + Berdasarkan bantuan dari software maple, sehingga diperoleh nilai eigennya sebagai berikut: 29

43 λ 1 = μ 1, λ 2 = μ 1, λ 3 = φα 1+μγ 2 +μ 2 +μα 2 +μβ 2, μ (4.9) λ 4 = β 2 μ. Dari nilai eigen yang diperoleh, ditunjukkan bahwa λ 1, λ 2 <, dikarenakan nilai dari μ >. Jika φα 1+μγ 2 +μ 2 +μα 2 +μβ 2 μ pada λ 3 memiliki nilai real negatif, maka nilai eigen untuk λ 3 <, dan jika β 2 μ pada λ 4 memiliki nilai real negatif maka nilai eigen dari λ 4 < sehingga titik kesetimbangan bebas perokok menghasilkan perilaku stabil asimtotik., sebaliknya jika φα 1 > μγ 2+μ 2 +μα 2 +μβ 2 μ pada λ 3 memiliki nilai real positif maka nilai λ 3 > dan jika β 2 > μ pada λ 4 memiliki nilai real positif maka nilai λ 4 > sehingga titik kesetimbangan bebas perokok menghasilkan perilaku saddle point. Secara umum, sifat kestabilan bebas perokok di sajikan pada Tabel 4.1 berikut. Tabel 4.1 Kestabilan di titik kesetimbangan bebas perokok λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 Sifat kestabilan Titik kesetimbangan bebas dari perokok Real negative Real negative Real negative Real negative Stabil asimtotik Real negative Real negative Real positif Real positif Saddle Point 3

44 4.3.2 Analisis kestabilan titik kesetimbangan epidemik perokok Kestabilan titik kesetimbangan epidemik E 1 = (S 1, E 1, I, R 1 ) dimana, S 1 = α 2+β 2 +γ 2 +μ α 1, E 1 = φα 1β 2 φα 1 μ + μα 2 β 2 + γ 2 μ 2 + μ 3 + γ 2 μβ 2 + 2μ 2 β 2 + μ 2 2 α 2 + μβ 2 α 1 (γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2, β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 ) I 1 = β 1φα 1 + γ 2 β 1 μ γ 2 γ 1 μ + β 1 μ 2 γ 1 μα 2 + β 1 μβ 2 + γ 1 φα 1 γ 1 μβ 2 γ 1 μ 2 α 1 (γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2, β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 ) R 1 = ( φα 1+μγ 2 +μ 2 +μα 2 +μβ 2 )(γ 2 β 2 +μγ 2 +β 1 γ 1 γ2 2. μα 1 (γ 2 β 2 +β μβ 2 +μ 2 β 1 β 2 +β 2 γ 1 +μγ 2 ) Disubstitusi pada persamaan 4.1 sehingga diperoleh: J 2 = J(E 1 )= [ φα 1 β 2 φα 2 β 2 +γ 2 μ 2 +μ 3 +γ 2 μβ 2 +2μ 2 β 2 +μ 2 α 2 +μβ 2 2 γ 2 β 2 +β μβ 2 +μ 2 β 1 β 2 +β 2 γ 1 +μγ 2 μ β 2 γ 2 μ β 2 φα 1β 2 φα 1 μ+μα 2 β 2 +γ 2 μ 2 +μ 3 +γ 2 μβ 2 +2μ 2 β 2 +μ 2 α 2 +μβ 2 2 γ 2 β 2 +β μβ 2 +μ 2 β 1 β 2 +β 2 γ 1 +μγ 2 (4.1) β 1 γ 1 β 2 μ γ 2 γ 1 μ ] Untuk mencari nilai eigen matrik jacobian J 2 yang berukuran 4 x 4, maka matriks jacobian J 2 ditulis sebagai: det[λi J 2 ] = det ( 1 1 [ ] 1 1 φα 1 β 2 φα 2 β 2 + γ 2 μ 2 + μ 3 + γ 2 μβ 2 + 2μ 2 β 2 + μ 2 α 2 + μβ 2 2 γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2 β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 μ β 2 γ 2 μ β 2 φα 1β 2 φα 1 μ + μα 2 β 2 + γ 2 μ 2 + μ 3 + γ 2 μβ 2 + 2μ 2 β 2 + μ 2 2 α 2 + μβ 2 γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2 β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 [ = β 1 γ 1 β 2 μ γ 2 γ 1 μ ]) 31

45 det ( λ λ [ ] λ λ φα 1 β 2 φα 2 β 2 + γ 2 μ 2 + μ 3 + γ 2 μβ 2 + 2μ 2 β 2 + μ 2 2 α 2 + μβ 2 γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2 μ β 2 γ 2 μ β 2 β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 φα 1 β 2 φα 1 μ + μα 2 β 2 + γ 2 μ 2 + μ 3 + γ 2 μβ 2 + 2μ 2 β 2 + μ 2 2 α 2 + μβ 2 γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2 β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 β 1 γ 1 β 2 μ γ 2 γ 1 μ [ ]) = [ [ λ + (( φα 1β 2 φα 2 β 2 + γ 2 μ 2 + μ 3 + γ 2 μβ 2 + 2μ 2 β 2 + μ 2 α 2 + μβ 2 2 γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2 β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 ) ) + μ β 2 γ 2 μ β 2 = φα 1 β 2 φα 1 μ + μα 2 β 2 + γ 2 μ 2 + μ 3 + γ 2 μβ 2 + 2μ 2 β 2 + μ 2 α 2 + μβ 2 2 γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2 β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 β 1 γ 1 λ + β 2 μ γ 2 γ 1 λ + μ ] ] Persamaan karakteristiknya adalah (λ + (( φα 1β 2 φα 2 β 2 + γ 2 μ 2 + μ 3 + γ 2 μβ 2 + 2μ 2 β 2 + μ 2 α 2 + μβ 2 2 γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2 β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 ) ) + μ ) [ β 1 γ 1 λ + β 2 μ ] γ 2 γ 1 λ + μ 1 + (β 2 γ 2 μ) = [ φα 1 β 2 φα 1 μ + μα 2 β 2 + γ 2 μ 2 + μ 3 + γ 2 μβ 2 + 2μ 2 β 2 + μ 2 α 2 + μβ 2 2 γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2 β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 λ + β 2 μ γ 1 λ + μ] Untuk nilai eigen pada titik kesetimbangan epidemik perokok akan dihitung secara numeric. 32

46 4.4 Simulasi Numerik Dinamika Model SEIR Pada Populasi Perokok Pada subbab ini simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan metode rungge-kutta orde empat. Simulasi dinamika pada populasi perokok menggunakan model SEIR dilakukan dengan memvariasikan parameter-parameter yang mempengaruhi model tersebut. Beberapa parameter yang divariasikan yaitu φ adalah laju kelahiran individu baru yang masuk ke populasi yang berpotensial merokok, α 1 adalah laju perubahan populasi yang tidak merokok tapi rentang merokok yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok, α 2 adalah laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang masuk ke individu yang tidak merokok tapi rentang merokok, β 1 adalah laju perubahan populasi yang kadang-kadang merokok yang masuk kedalam populasi perokok berat, γ 1 adalah laju perubahan populasi perokok berat yang masuk menjadi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok, β 2 adalah laju perubahan perokok kadang-kadang sehingga masuk menjadi populasi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok. Sementara itu γ 2 adalah laju perubahan dari individu perokok potensial sehingga menjadi perokok berat akibat dari interaksi dari perokok mula-mula Simulasi Numerik Bebas Perokok Kasus 1 Simulasi pada keadaan bebas perokok menggunakan syarat awal untuk individu perokok yang rentan S() = 5, perokok yang kadang-kadang E() = 8, perokok berat I() = 1, dan perokok yang berhenti R() = 2, dan parameterparameter yang digunakan yaitu pada Tabel 4.2 berikut. 33

47 Tabel 4.2 Nilai parameter-parameter dalam model perokok Parameter Nilai Penafsiran φ 1 Laju kelahiran individu baru yang masuk ke populasi yang berpotensial merokok α 1,1 Laju pertumbuhan populasi yang tidak merokok tapi rentang merokok yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok. α 2,2 Laju pertumbuhan populasi yang kadangkadang merokok yang masuk ke individu yang tidak merokok tapi rentang merokok β 1,1 Laju pertumbuhan populasi yang kadangkadang merokok yang masuk kedalam populasi perokok berat. γ 1,5 Laju perubahan populasi perokok berat yang masuk menjadi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok. γ 2,6 Laju perubahan dari individu perokok potensial sehingga menjadi perokok berat akibat dari interaksi dari perokok mula-mula. μ,12 Laju kematian alami pada semua populasi perokok β 2,1 Laju perubahan perokok kadang-kadang sehingga masuk menjadi populasi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok. Untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan bebas virus, dapat dilakukan dengan cara mensubstitusi nilai parameter-parameter pada persamaan (4.1) sehingga didapatkan nilai eigen dan sifat kestabilannya, seperti yang ditunjukkan pada Tabel 4.3 berikut: 34

48 Tabel 4.3 Sifat kestabilan titik kesetimbangan bebas perokok bagian pertama Titik kesetimbangan Nilai eigen Sifat kestabilan ( φ μ E = (S, E, I, R ) =,,,) = (833,,,) λ 1 =,12 λ 2 =,12 λ 3 =,112 λ 4 = saddle point Berdasarkan nilai awal dan nilai dari parameter-parameter dari model populasi perokok maka diperoleh laju pertumbuhan bebas perokok seperti pada Gambar 4.1 berikut: Gambar 4.1 Laju pertumbuhan bebas perokok pada model SEIR dengan perilaku saddle point pada saat t 1. Berdasarkan Gambar 4.1 diatas, populasi individu yang rentang merokok akan mengalami suatu peningkatan dari waktu ke waktu karena semakin banyaknya kelahiran yang terjadi disetiap bulan sehingga individu yang baru lahir akan masuk ke yang rentang untuk merokok. Populasi individu yang kadang-kadang merokok mengalami suatu penurunan karena individu yang kadang-kadang merokok belum 35

49 menjadi perokok berat dan belum dapat terjadinya suatu penularan yang dapat memepenggaruhi populasi yang rentang merokok. Populasi individu yang perokok berat mendekati suatu keadaan minimum dan belum terjadi suatu penularan yang terjadi karenah pada perlakuan keadaan yang bebas dari pengaruh rokok tersebut maka populasi terbebas dari pengaruh rokok, maka populasi perokok berat akan mengalami suatu kepunahaan. Dan individu yang berhenti merokok akan mengalami suatu peningkatan dari waktu ke waktu karena tidak ada lagi pengaruh rokok sehingga kekebalan tubuh yang dimiliki akan membuat individu tersebut berhenti dan tidak lagi terpengaruhi oleh perokok. Gambar 4.2 Grafik 3 dimensi untuk susceptible atau individu yang rentang untuk menjadi perokok, exposed atau perokok yang kadang-kadang, dan infected atau perokok pada titik kesetimbangan bebas perokok dengan perilaku saddle point Simulasi Numerik Epidemik Simulasi pada keadaan epidemik perokok menggunakan syarat awal untuk individu perokok yang rentan S() = 9, kadang-kadang merokok E() = 2, 36

50 perokok berat I() = 3, dan berhenti merokok R() = 5, dan parameterparameter yang digunakan yaitu pada Tabel 4.4 berikut. Tabel 4.4 Nilai parameter-parameter dalam model Perokok Parameter Nilai Penafsiran φ 1 Laju kelahiran individu baru yang masuk ke populasi yang berpotensial merokok α 1,1 Laju pertumbuhan populasi yang tidak merokok tapi rentang merokok yang masuk ke individu yang kadang-kadang merokok. α 2,2 Laju pertumbuhan populasi yang kadangkadang merokok yang masuk ke individu yang tidak merokok tapi rentang merokok β 1,1 Laju pertumbuhan populasi yang kadangkadang merokok yang masuk kedalam populasi perokok berat. γ 1,5 Laju perubahan populasi perokok berat yang masuk menjadi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok. γ 2,6 Laju perubahan dari individu perokok potensial sehingga menjadi perokok berat akibat dari interaksi dari perokok mula-mula. μ,2 Laju kematian alami pada semua populasi perokok β 2,1 Laju perubahan perokok kadang-kadang sehingga masuk menjadi populasi individu yang berhenti merokok dan tidak lagi merokok. Untuk menganalisis kestabilan titik kesetimbangan epidemik, dapat dilakukan dengan cara mensubstitusi nilai dari parameter-parameter pada Tabel 37

51 (4.2) ke persamaan (4.3) sehingga didapatkan nilai eigen dan sifat kestabilannya, seperti yang ditunjukkan pada Tabel 4.5 berikut: Tabel 4.5 Sifat kestabilan titik kesetimbangan epidemik perokok Titik kesetimbangan E 1 = (S 1, E 1, I 1, R 1 ) = α 2 +β 2 +γ 2 +μ, φα 1β 2 φα 1 μ+μα 2 β 2 +γ 2 μ 2 +μ 3 +γ 2 μβ 2 +2μ 2 β 2 +μ 2 α 2 +μβ2 2 α 1 α 1 (γ 2 β 2 +β μβ 2 +μ 2 β 1 β 2 +β 2 γ 1 +μγ 2 ) Nilai eigen λ 1 =,2 λ 2 =,3 Sifat kestabilan, β 1φα 1 + γ 2 β 1 μ γ 2 γ 1 μ + β 1 μ 2 γ 1 μα 2 + β 1 μβ 2 + γ 1 φα 1 γ 1 μβ 2 γ 1 μ α 1 (γ 2 β 2 + β μβ 2 + μ 2 β 1 β 2 + β 2 γ 1 + μγ 2 ), ( φα 1+μγ 2 +μ 2 +μα 2 +μβ 2 )(γ 2 β 2 +μγ 2 +β 1 γ 1 γ 2 2 μα 1 (γ 2 β 2 +β μβ 2 +μ 2 β 1 β 2 +β 2 γ 1 +μγ 2 ) λ 3 =,16 λ 4 =,167 Saddle Point = (9,2,3,5) Berdasarkan nilai awal dan nilai parameter-parameter pada Tabel 4.4 maka diperoleh laju pertumbuhan epidemik perokok seperti Gambar 4.3 berikut. Gambar 4.3 Laju pertumbuhan epidemik perokok pada model SEIR pada saat t 1 38

52 Pada Gambar 4.3 Gambar tersebut merupakan grafik yang menunjukkan jumlah masing-masing subpopulasi dalam setiap satuan waktu, individu yang tidak merokok tapi rentang untuk menjadi perokok mengalami penurunan karena individu yang rentang sangat mudah terpengaruh untuk menjadi perokok, hal ini dipengaruhi oleh suatu interaksi yang terjadi antara perokok kadang-kadang dengan yang rentang. Perokok kadang-kadang mengalami penurunan karena adanya suatu interaksi dengan individu yang rentang masuk ke yang perokok kadang-kadang dalam waktu yang cukup lama sehingga dapat terpengaruh menjadi perokok. Perokok berat mengalami mula-mula terjadi penurunan karena individu tersebut memilih untuk berhenti karena adanya suatu individu yang telah berhasil sembuh dari pengaruh dari perokok akibat dari rokok yang dikonsumsi. Individu yang berhenti merokok mengalami kenaikan karenah semakin banyak perokok berat memilih untuk berhenti merokok dan memilih alternative lain untuk mengganti rokok yang biasa dikonsumsi (Gambar 4.4). Gambar 4.4 Grafik 3 dimensi untuk rentang merokok, kadang-kadang merokok dan perokok 39