MODEL SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) DENGAN IMIGRASI DAN SANITASI

Transkripsi

1 MODEL SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) DENGAN IMIGRASI DAN SANITASI oleh EVY DWI ASTUTI M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2012 i

2 ii

3 ABSTRAK Evy Dwi Astuti MODEL SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVE- RED (SIR) DENGAN IMIGRASI DAN SANITASI. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Salah satu model matematika yang dapat digunakan untuk menggambarkan fenomena penyebaran penyakit yaitu model SIR. Penyakit yang berkarakteristik SIR yaitu, apabila individu telah terinfeksi penyakit kemudian sembuh, individu tersebut tidak terinfeksi lagi. Penyebaran penyakit infeksi dapat dipengaruhi oleh faktor imigrasi. Upaya pencegahan penyebaran penyakit infeksi dapat dilakukan dengan cara perbaikan sanitasi. Sanitasi merupakan program kebersihan lingkungan yang diharapkan dapat menurunkan kontak antara individu yang rentan penyakit dengan individu yang terinfeksi penyakit. Dengan demikian, penyebaran penyakit dapat dikurangi dengan program sanitasi. Tujuan dari penelitian adalah mengkonstruksi model SIR dengan imigrasi dan sanitasi, menganalisis model dan menginterpretasi model. Model SIR dengan imigrasi dan sanitasi memiliki dua jenis titik kesetimbangan yaitu, titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Simulasi dilakukan untuk mengetahui pengaruh sanitasi terhadap jumlah individu terinfeksi. Semakin tinggi tingkat sanitasi, jumlah individu terinfeksi semakin berkurang. iii

4 ABSTRACT Evy Dwi Astuti SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) MODEL WITH IMMIGRATION AND SANITATION. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. One of the mathematical models that can be used to describe the phenomenon disease spread is SIR model. The characterized SIR s diseases is if an individual has been infected and then recovered, the individual will not be infected again. The infectious diseases s spread can be affected by immigration factor. The efforts prevent infectious diseases s spread can be done by improved sanitation. The sanitation is a environmental hygiene can be expected to reduce the contact between susceptible individuals with the infected individuals. Thus, the spread of disease can be reduced by sanitation program. The purposes of the research are to construct the SIR model with immigration and sanitation, to analize the model and to interpret the model. The SIR model with immigration and sanitation have two kinds equilibrium point. They are disease free equilibrium point and endemic equilibrium point. The sanitation was done to know the affect of sanitation toward a number of infected individuals. When the sanitation increase, the number of infected individuals decreases. iv

5 KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis berhasil menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada 1. Ibu Sri Kuntari, M.Si. sebagai pembimbing I dan Bapak Bowo Winarno, S.Si, M.Kom. sebagai pembimbing II yang telah memberi bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi. 2. Ibu Dra.Purnami Widyaningsih, M.App.Sc, Ibu Dra. Respatiwulan M.Si. yang telah memberikan saran dan masukan dalam penulisan skripsi ini. 3. Seluruh pihak yang telah memberikan semangat, motivasi dan kerja samanya. Penulis berharap semoga laporan ini bermanfaat. Surakarta, Juli 2012 Penulis v

6 PERSEMBAHAN Sebuah karya sederhana ini kupersembahkan untuk Bapak, Ibu, kakak serta adik sebagai wujud atas doa, semangat, dan pengorbanan yang diberikan kepada saya. vi

7 Daftar Isi HALAMAN JUDUL i HALAMAN PENGESAHAN ii ABSTRAK iii ABSTRACT iv KATA PENGANTAR v PERSEMBAHAN vi DAFTAR ISI vii DAFTAR GAMBAR ix I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Tujuan Manfaat II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Pemodelan Matematika Sistem Autonomous Model SIR Klasik Kesetimbangan dan Kestabilan Kerangka Berpikir III METODE PENELITIAN 12 IV PEMBAHASAN Konstruksi Model..... commit.... to. user Kesetimbangan Model vii

8 4.2.1 Titik Kesetimbangan Tanpa Sanitasi Titik Kesetimbangan Sanitasi Maksimal Kestabilan Titik Kesetimbangan Kestabilan Titik Kesetimbangan E 00 dan E e Kestabilan Titik Kesetimbangan E 01 dan E e Penerapan V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 28 viii

9 Daftar Gambar 2.1 Perubahan jumlah individu pada model epidemi SIR Perubahan jumlah individu pada model endemik SIR Trayektori pada bidang fase Perubahan jumlah individu model SIR dengan imigrasi Perubahan jumlah individu model SIR dengan imigrasi dan sanitasi (a) Jumlah individu susceptible (b) Jumlah individu infected (garis putus-putus), dan jumlah individu recovered (garis putus-putus renggang) (a) Trayektori di titik kesetimbangan (1500,0) ketika H = 0 (b) Trayektori di titik kesetimbangan (1500,0) ketika H = Penurunan jumlah individu kelompok I ketika H = 0 (garis tebal putus-putus), H = 0.25 (garis tipis), H = 0.5 (garis tipis putusputus), H = 0.75 (garis tebal) dan H = 1 (garis tebal putus-putus renggang) ix

10 Bab I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Menurut CDC [3], penyakit kolera pertama kali muncul di Peru pada bulan Januari 1991 kemudian menyebar ke Ecuador, Colombia, Chile, Brazil, Mexico, dan Guatemala. Penyakit kolera dapat menjadi parah, dan mengancam jiwa tetapi dapat dicegah dan diobati. Penyakit kolera disebabkan oleh bakteri vibrio cholerae yang berkembang biak dan menyebar melalui kotoran manusia. Apabila kotoran yang mengandung bakteri ini mengkontaminasi air mengalir seperti air sungai, mengakibatkan individu lain yang melakukan kontak dengan air tersebut beresiko terinfeksi. Misalnya cuci tangan yang tidak bersih lalu makan, mencuci sayuran atau makanan dengan air yang telah terkontaminasi. Bahkan penyakit tersebut dapat bersifat endemik, yaitu penyakit menyerang suatu wilayah tertentu dalam kurun waktu lebih dari satu tahun. Kolera merupakan penyakit yang telah lama menyerang manusia, dan terus menjadi masalah bagi kesehatan masyarakat dunia (Johnson [9]). Lebih dari orang di dunia meninggal akibat penyakit kolera setiap tahunnya. Perpindahan individu dari satu wilayah ke wilayah lain sangat mempengaruhi penyebaran penyakit. Seseorang yang telah terinfeksi membawa penyakit ketika masuk ke wilayah tertentu, orang tersebut berpotensi menularkan penyakit ke orang lain. Imigrasi dapat berpengaruh terhadap penyebaran penyakit infeksi. Menurut Picollo dan Billings [13], faktor imigrasi sangat mempengaruhi laju penyebaran penyakit infeksi. Menurut Cláudia [4], penyakit kolera berkembang di daerah dengan lingkungan yang kotor atau kebersihan lingkungan yang rendah. Untuk mengurangi penyebaran penyakit infeksi dibutuhkan upaya pencegahan. Upaya yang da- 1

11 pat dilakukan yaitu dengan perbaikan sanitasi. Hetchcote [7], Guimaraens dan Codeço [6] menyebutkan bahwa adanya keefektifan sanitasi dapat mengurangi penyebaran penyakit infeksi. Faktor-faktor yang termasuk dalam sanitasi dapat berupa kebersihan saluran air, pengelolaan air bersih, kebersihan air minum, kebersihan makanan. Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi di segala bidang mempunyai peranan yang penting dalam kehidupan manusia khususnya dalam masalah penyebaran penyakit infeksi. Fenomena penyebaran penyakit dapat digambarkan melalui pemodelan matematika. Menurut Hetchcote [7], model SIR dapat digunakan untuk menggambarkan fenomena penyebaran penyakit infeksi. Untuk mengkonstruksi model dibutuhkan asumsi, batasan dan parameter-parameter yang berpengaruh. Kemudian dari model tersebut dapat diketahui perilaku penyebaran penyakit infeksi pada suatu populasi. Model SIR dibagi menjadi tiga kelompok yaitu kelompok individu rentan terinfeksi penyakit Susceptible (S), kelompok individu terinfeksi penyakit Infected (I) dan kelompok telah sembuh dari penyakit Recovered (R). Pada model SIR, individu yang telah sembuh dari penyakit tidak terinfeksi lagi dikarenakan telah memiliki kekebalan tubuh. Pada tahun 2005, Picollo dan Billings [13] telah meneliti tentang model SIR dengan memperhatikan faktor imigrasi. Pada tahun yang sama Guimaraens dan Codeço [6] telah meneliti tentang model SIR dengan memperhatikan faktor sanitasi. Selanjutnya, penulis meneliti tentang model SIR dengan imigrasi dan sanitasi. Penelitian meliputi konstruksi model, menganalisis model dan mengintepretasi model. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah dapat diambil tiga perumusan masalah yaitu 1. bagaimana mengkonstruksi model SIR dengan imigrasi dan sanitasi? 2

12 2. bagaimana menentukan titik kesetimbangan dan kestabilan titik kesetimbangan tersebut? 3. bagaimana mengintepretasikan model SIR dengan imigrasi dan sanitasi? 1.3 Tujuan Tujuan dari penelitian ini adalah 1. dapat mengkonstruksi model SIR dengan imigrasi dan sanitasi, 2. dapat menentukan titik kesetimbangan dan kestabilan titik kesetimbangan tersebut, dan 3. dapat mengintepretasikan model SIR dengan imigrasi dan sanitasi. 1.4 Manfaat Penelitian ini diharapkan dapat menambah pengetahuan tentang pengaruh imigrasi serta sanitasi terhadap penyebaran penyakit infeksi sehingga dapat menurunkan jumlah individu terinfeksi. 3

13 Bab II LANDASAN TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka Kermak dan McKendrick [10] pada tahun 1929 menyatakan bahwa fenomena penyebaran penyakit dapat dijelaskan melalui model epidemi SIR. Tetapi model tersebut hanya dapat digunakan untuk mempelajari penyebaran penyakit infeksi yang terjadi dalam kurun waktu kurang dari satu tahun. Menurut Hetchcote [7], penyebaran penyakit infeksi yang terjadi dalam kurun waktu lebih dari satu tahun digunakan model endemik SIR. Pada penelitian sebelumnya, Picollo dan Billings [13] telah meneliti tentang fenomena penyebaran penyakit infeksi yang mempertimbangkan faktor imigrasi. Faktor imigrasi memiliki pengaruh cukup tinggi dalam penyebaran penyakit, untuk mengurangi penyebarannya dibutuhkan upaya pencegahan yaitu sanitasi pada wilayah tertentu. Pada artikel Guimaraens dan Codeço [6] meneliti tentang model SIR dengan pengaruh sanitasi, untuk mengetahui seberapa besar pengaruh sanitasi terhadap penurunan individu infected. Dalam penelitian ini ingin mengetahui pengaruh dari sanitasi terhadap model SIR dengan imigrasi. Berikut ini, diberikan landasan teori untuk mendukung tujuan penelitian. Landasan teori tersebut meliputi pemodelan matematika, sistem autonomous, model SIR, kesetimbangan dan kestabilan Pemodelan Matematika Menurut Meyer [11], pemodelan matematika merupakan suatu alat yang digunakan untuk mendeskripsikan permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari ke dalam bentuk matematis. Sehingga permasalahan tersebut dapat lebih mudah untuk diselesaikan. 4

14 2.1.2 Sistem Autonomous Sistem persamaan diferensial nonlinear orde satu yang terdiri dari tiga persamaan, mempunyai bentuk umum ds dt = f 1(S, I, R), di dt = f 2(S, I, R), dr dt = f 3(S, I, R), (2.1) dengan f 1, f 2, f 3 adalah persamaan nonlinier. Menurut Ross [14], sistem (2.1) akan memiliki penyelesaian jika fungsi f 1, f 2, f 3 merupakan fungsi kontinu. Menurut Boyce [2], jika variabel t tidak muncul secara eksplisit untuk setiap f 1, f 2, f 3 maka sistem (2.1) disebut sistem autonomous. Nilai (S, I, R) yang memenuhi sistem (2.1) secara simultan disebut penyelesaian dari sistem. Jika penyelesaian sistem persamaan (2.1) disajikan dalam bidang fase, maka akan terbentuk kurva penyelesaian di bidang fase yang disebut dengan trajektori Model SIR Klasik Menurut Hetchcote [7], dalam model SIR populasi terbagi menjadi 3 kelompok yaitu kelompok individu susceptible (S), kelompok individu infected (I ) dan kelompok individu recovered (R). Dalam model ini diasumsikan populasi konstan dengan populasi bercampur secara homogen. Hanya terdapat satu macam penyebaran penyakit infeksi sehingga hanya terdapat satu macam kontak penularan penyakit infeksi, yaitu kontak dengan penderita penyakit infeksi yang sama dengan masa inkubasi diabaikan. Individu yang telah sembuh dari penyakit infeksi tidak akan tertular lagi. Pada penyebaran penyakit infeksi terdapat dua macam model SIR klasik yang dapat dipelajari yaitu model epidemi SIR dan model endemik SIR. Model epidemi SIR digunakan untuk mempelajari fenomena penyebaran penyakit infeksi dalam kurun waktu kurang dari satu tahun. Perubahan jumlah individu pada model epidemi SIR dapat dilihat pada Gambar

15 SI N I S I R Gambar 2.1. Perubahan jumlah individu pada model epidemi SIR Sehingga model epidemi SIR dapat disajikan pada sistem (2.2) ds SI = β dt N, di dt = β SI N γi, dr dt = γi, (2.2) dengan β merupakan laju kontak dan γ merupakan laju kesembuhan. Sedangkan S, I, dan R berturut-turut merupakan banyaknya individu susceptible, infected, dan recovered. Jumlah populasi sistem (2.2) adalah konstan sehingga mengakibatkan S(t) + I(t) + R(t) = N. Sedangkan model endemik SIR digunakan untuk mempelajari fenomena penyebaran penyakit yang terjadi dalam kurun waktu lebih dari satu tahun. Dalam model endemik SIR terdapat faktor yang harus dipertimbangkan yaitu laju kelahiran dan laju kematian. Perubahan jumlah individu pada model endemik SIR dapat dilihat pada Gambar 2.2. N SI N I S I R S I R Gambar 2.2. Perubahan jumlah individu pada model endemik SIR Sehingga model endemik SIR dapat disajikan pada sistem (2.3) ds SI = µn β dt N µs, di dt = β SI γi µi, commit N to user dr = γi µr, dt (2.3) 6

16 dengan µ merupakan laju kelahiran, laju kematian pada sistem (2.3) sama dengan laju kelahiran. Sehingga mengakibatkan jumlah populasi konstan, S(t) + I(t) + R(t) = N Kesetimbangan dan Kestabilan Menurut Panfilov [12], jika penyelesaian dari sistem merupakan titik setimbang maka sistem tidak berubah sepanjang waktu. Menurut Bellomo dan Preziosi [1], definisi titik kesetimbangan dapat diartikan secara matematis, yang disajikan pada Definisi Definisi Titik (S, I, R ) yang berada pada bidang fase merupakan titik kesetimbangan apabila f 1 (S, I, R ) = 0, f 2 (S, I, R ) = 0, f 3 (S, I, R ) = 0. Menurut Bellomo dan Preziosi [1], untuk mengetahui perilaku sistem di sekitar titik kesetimbangan digunakan kestabilan titik kesetimbangan. Titik kesetimbangan yang stabil berarti jika terdapat perubahan kecil pada sistem maka akan berpengaruh kecil terhadap penyelesaiannya. Sedangkan, titik kesetimbangan yang stabil asimtotis memiliki arti jika terdapat perubahan pada sistem, maka perubahan tersebut cenderung menghilang. Sedangkan titik kesetimbangan yang tidak stabil berarti bahwa jika terdapat perubahan kecil pada sistem maka akan terjadi perubahan yang besar pada penyelesaiannya (Finizio dan Ladas [5]). Titik (S, I, R ) merupakan titik kesetimbangan dari (2.1). Dengan demikian untuk titik (S, I, R) di sekitar titik kesetimbangan, fungsi f dapat didekati 7

17 dengan deret Taylor. f 1 (S, I, R) f 1 (S, I, R ) + (S S ) f 1(S, I, R ) S (R R ) f 1(S, I, R ) R f 2 (S, I, R) f 2 (S, I, R ) + (S S ) f 2(S, I, R ) S + (I I ) f 1(S, I, R ) + I + (I I ) f 2(S, I, R ) + I (R R ) f 2(S, I, R ) R f 3 (S, I, R) f 3 (S, I, R ) + (S S ) f 3(S, I, R ) S (R R ) f 3(S, I, R ) R Karena titik (S, I, R ) merupakan titik kesetimbangan, sehingga + (I I ) f 3(S, I, R ) + I f 1 (S, I, R ) = 0, f 2 (S, I, R ) = 0, f 3 (S, I, R ) = 0. Suku yang memuat (S S ), (I I ), (R R ) bernilai kecil, karena (S, I, R) terlalu dekat dengan titik kesetimbangan (S, I, R ). Dengan demikian, sistem (2.1) dapat didekati dengan, ds dt = f 1(S, I, R ) S + f 1(S, I, R ) I + f 1(S, I, R ) R S I R di dt = f 1(S, I, R ) S + f 1(S, I, R ) I + f 1(S, I, R ) R (2.4) S I R dr dt = f 1(S, I, R ) S + f 1(S, I, R ) I + f 1(S, I, R ) R S I R dengan S = (S S ), I = (I I ) dan R = (R R ). Sistem linier (2.4) dapat disajikan dalam bentuk matriks ds dt di dt dr dt dengan J(x) = Jacobian. = f 1 (S,I,R ) S f 2 (S,I,R ) S f 3 (S,I,R ) S S = J(x) I R f 1 (S,I,R ) S f 2 (S,I,R ) S f 3 (S,I,R ) S f 1 (S,I,R ) I f 2 (S,I,R ) I f 3 (S,I,R ) I f 1 (S,I,R ) I f 2 (S,I,R ) I f 3 (S,I,R ) I f 1 (S,I,R ) R f 2 (S,I,R ) R f 3 (S,I,R ) R f 1 (S,I,R ) R f 2 (S,I,R ) R f 3 (S,I,R ) R S I R merupakan matriks Masih menurut Bellomo dan Preziosi [1], Haberman [8], kestabilan 8

18 dari sistem linear (2.4) dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen dari J(x). Hal tersebut akan disajikan dalam Teorema Teorema Misal λ i merupakan nilai eigen dari matriks Jacobian J(x) yang dievaluasi pada titik kesetimbangan (S, I, R ) dan R e (λ i ) adalah bagian real dari λ i maka 1. untuk setiap i berlaku Re(λ i ) < 0, maka (S, I, R ) stabil asimtotis, 2. untuk setiap i berlaku Re(λ i ) > 0, maka (S, I, R ) tidak stabil. Selanjutnya, tipe kestabilan dari sistem berdasarkan nilai eigen matriks Jacobian disajikan pada Tabel 2.1 dan trajektori pada bidang fase disajikan pada Gambar 2.3. Tabel 2.1. Kriteria kestabilan berdasarkan nilai eigen Nilai eigen Titik Kestabilan real, tidak sama, simpul stabil asimtotis : semuanya negatif bertanda sama tidak stabil : semuanya positif real, tidak sama, sadel tidak stabil berlawanan tanda real, sama simpul stabil asimtotis : semuanya negatif tidak stabil : jika semuanya positif kompleks konjugate spiral stabil asimtotis : bagian real negatif bukan imajiner murni tidak stabil : bagian real positif imajiner murni pusat stabil 9

19 perpustakaan.uns.ac.id Gambar 2.3. Trajektori pada bidang fase 2.2 Kerangka Berpikir Berdasarkan landasan teori yang telah diuraikan dapat disusun kerangka pemikiran sebagai berikut. Penyakit kolera dapat menjadi parah, dan mengancam jiwa tetapi dapat dicegah dan diobati. Penyakit kolera disebabkan oleh bakteri vibrio cholerae yang berkembang biak dan menyebar melalui kotoran manusia. Penyakit tersebut dapat bersifat endemik, yaitu penyakit menyerang suatu wilayah tertentu dalam kurun waktu lebih dari satu tahun. Perpindahan individu dari satu wilayah ke wilayah lain sangat mempengacommit to user ruhi penyebaran penyakit. Seseorang yang telah terinfeksi membawa penyakit 10

20 ketika masuk ke wilayah tertentu, orang tersebut berpotensi menularkan penyakit ke orang lain. Imigrasi dapat berpengaruh terhadap penyebaran penyakit infeksi. Menurut Picollo dan Billings [13], faktor imigrasi sangat mempengaruhi laju penyebaran penyakit infeksi. Upaya pencegahan penyebaran penyakit infeksi dapat dilakukan dengan cara perbaikan sanitasi. Faktor-faktor yang termasuk dalam sanitasi dapat berupa kebersihan saluran air, pengelolaan air bersih, kebersihan air minum, kebersihan makanan. Model SIR dengan imigrasi dan sanitasi dapat digunakan untuk memodelkan fenomena penyebaran penyakit infeksi. Model SIR merupakan sistem persamaan differensial nonlinier orde satu. Pada model ini, variabel t tidak muncul secara eksplisit sehingga model dapat disebut sebagai sistem autonomous. Perilaku sistem dari model endemik SIR dapat dilihat dari kestabilan titik kesetimbangannya. Tipe kestabilan dapat ditentukan melalui nilai eigen dari matriks Jacobian atau melihat perilaku sistem dari trayektori pada bidang fase. 11

21 Bab III METODE PENELITIAN Metode yang diterapkan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Langkahlangkah yang dilakukan untuk mencapai tujuan dalam penelitian. 1. Mengidentifikasi keadaan, perilaku, interaksi, dan kejadian dalam populasi tetap dengan adanya imigrasi dan perlakuan sanitasi. 2. Menentukan batasan, asumsi, dan parameter yang dibutuhkan untuk membentuk model. 3. Membentuk model SIR dengan imigrasi dan sanitasi berdasarkan langkah 1 dan 2. Langkah 1-3 dilakukan untuk membentuk model SIR dengan imigrasi dan sanitasi. 4. Menentukan titik kesetimbangan dari model SIR dengan imigrasi dan sanitasi menggunakan Definisi Menentukan tipe kestabilan dari titik kesetimbangan menggunakan Teorema dan Tabel 2.1. Langkah 4-5 dilakukan untuk menentukan tipe kestabilan dari titik kesetimbangan. 6. Menerapkan model yang didapat pada suatu kasus. 7. Menggambarkan grafik penyelesaian fungsi S dan I untuk membantu mendeskripsikan perilaku model SIR. 8. Melakukan simulasi numerik menggunakan parameter yang bervariasi untuk mengetahui perubahan puncak endemik. 12

22 9. Membandingkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah (8). 10. Menginterpretasikan hasil yang diperoleh. Langkah 6-10 dilakukan untuk mengintepretasikan model SIR dengan imigrasi dan sanitasi. 13

23 Bab IV PEMBAHASAN 4.1 Konstruksi Model Pada bagian ini, dibahas tentang penurunan model SIR dengan imigrasi dan sanitasi. Penurunan model ini mengacu pada Hetchcote [7] dan Guimaraens dan Codeço [6]. Menurut Hetchcote [7], penyebaran penyakit infeksi dapat dimodelkan dengan mengelompokkan jumlah individu pada populasinya menjadi 3 kelompok, yaitu susceptible, infected, dan recovered. Pada kelompok susceptible yaitu S(t) merupakan kelompok yang sehat tetapi rawan terinfeksi penyakit dalam waktu t. Kelompok infected yaitu I(t) merupakan kelompok yang telah terinfeksi penyakit dalam waktu t, sedangkan kelompok recovered yaitu R(t) merupakan kelompok yang telah memiliki kekebalan tubuh dalam waktu t. Untuk penurunan model SIR diperlukan asumsi-asumsi. Berikut ini asumsiasumsi menurut Hetchcote [7], 1. populasi konstan, 2. individu lahir dan imigrasi merupakan individu sehat tetapi rentan terinfeksi penyakit, 3. jumlah individu dalam populasi bercampur secara homogen, sehingga bisa terjadi kontak langsung dengan individu terinfeksi atau melalui perantara lainnya dalam penularan penyakit. Laju kontak atau penularannya adalah konstan, 4. masa inkubasi penyakit diabaikan, 5. hanya terdapat satu macam penyebaran penyakit infeksi, dan 14

24 6. individu yang sembuh dari penyakit infeksi tidak akan terinfeksi lagi. Seperti yang telah diasumsikan bahwa hanya terdapat satu macam jenis penyakit sehingga setiap individu pada kelompok S dan R memiliki kemungkinan yang sama dapat melakukan kontak dengan kelompok I. Terdapat sebanyak I individu yang terinfeksi yang mengakibatkan kelompok S mempunyai kemungkinan terinfeksi sebesar proporsi kelompok I yaitu I N dengan laju kontak β, yang mengakibatkan berkurangnya jumlah individu pada kelompok S sebesar β SI N pada waktu t. Adanya kelahiran yang merupakan individu yang sehat tetapi rentan terserang penyakit mengakibatkan bertambahnya jumlah individu pada kelompok S. Dimisalkan µ 1 dan µ 2 merupakan laju kelahiran dan laju imigrasi, oleh karena itu individu pada kelompok S bertambah sebesar (µ 1 + µ 2 )N. Adanya kematian alami karena kerentanan individu pada kelompok S terhadap penyakit mengakibatkan berkurangnya individu pada kelompok S sebesar (µ 1 + µ 2 )S. Sehingga didapat laju perubahan individu pada kelompok S pada waktu t adalah ds dt = (µ 1 + µ 2 )N β SI N (µ 1 + µ 2 )S. (4.1) Berkurangnya individu pada kelompok S karena terinfeksi penyakit mengakibatkan bertambahnya individu pada kelompok I sebesar individu pada kelompok S yang terinfeksi yaitu β SI. Pada kelompok individu I terjadi kematian N alami mengakibatkan berkurangnya individu pada kelompok I sebesar (µ 1 +µ 2 )I. Individu pada kelompok I yang sembuh dari penyakit tidak akan terinfeksi lagi mengakibatkan berkurangnya jumlah individu infected dengan laju kesembuhan γ sebanyak γi. Sehingga didapat laju perubahan individu pada kelompok I pada waktu t adalah di dt = β SI N γi (µ 1 + µ 2 )I. (4.2) Individu infected yang telah sembuh dan memiliki kekebalan permanen mengakibatkan bertambahnya jumlah individu pada kelompok R sebesar γi. Individu pada kelompok R yang tidak dapat bertahan karena daya tahan tubuh individu yang cenderung lemah sehingga menyebabkan terjadinya kematian sehingga mengakibatkan berkurangnya individu recovered sebesar (µ 1 +µ 2 )R. Se- 15

25 hingga didapat laju perubahan individu pada kelompok R pada waktu t adalah dr dt = γi (µ 1 + µ 2 )R. (4.3) Perubahan jumlah individu pada model SIR dengan imigrasi dapat dilihat pada Gambar 4.1. Gambar 4.1. Perubahan jumlah individu pada model SIR dengan imigrasi Memperhatikan persamaan (4.1), (4.2) dan (4.3) diperoleh sistem autonomous model SIR dengan imigrasi sebagai berikut. ds dt = (µ 1 + µ 2 )N β SI N (µ 1 + µ 2 )S, di dt = β SI N γi (µ 1 + µ 2 )I, dr dt = γi (µ 1 + µ 2 )R. (4.4) Menurut Guimaraens dan Codeço [6], faktor sanitasi dapat menurunkan laju kontak. Faktor sanitasi merupakan fungsi c(h) yang berpengaruh terhadap laju kontak individu pada kelompok S dengan individu pada kelompok I. Fungsi c(h) = (β αh) merupakan sebuah fungsi kontinu yang mendeskripsikan efek sanitasi pada laju kontak, dengan α merupakan sebuah konstanta dan H merupakan tingkat sanitasi yang bernilai 0 sampai 1. Penambahan faktor sanitasi pada laju kontak penyebaran pada sistem persamaan (4.20) dapat dilihat pada Gambar 4.2. Mempertimbangkan faktor sanitasi pada model SIR dengan imigrasi dan sanitasi maka model dapat dimodifikasi menjadi ds dt = (µ 1 + µ 2 )N c(h) SI N (µ 1 + µ 2 )S, di dt = c(h)si N commit γi (µ to user 1 + µ 2 )I, dr dt = γi (µ 1 + µ 2 )R, 16 (4.5)

26 Gambar 4.2. Perubahan jumlah individu pada model SIR dengan imigrasi dan sanitasi dengan S(0), I(0), µ 1, µ 2, β, γ > 0 dan R(0) 0. Sistem (4.5) bukan merupakan sistem yang autonomous, selanjutnya diselidiki ketika sistem (4.5) tanpa sanitasi (H = 0) dan ketika sistem (4.5) dengan sanitasi maksimal (H = 1). 4.2 Kesetimbangan Model Kesetimbangan model dilihat ketika tanpa sanitasi dan sanitasi maksimal. Hal ini dikarenakan akan dilihat perbedaan titik kesetimbangan ketika model tanpa sanitasi dengan sanitasi maksimal Titik Kesetimbangan Tanpa Sanitasi Individu yang telah sembuh memiliki kekebalan tubuh, sehingga tidak menjadi pertimbangan yang serius. Oleh karena itu, individu yang menjadi pertimbangan adalah individu susceptible dan individu infected. Pada sistem persamaan (4.5) baris pertama dan kedua tidak mengandung R, sehingga baris ketiga dapat ditentukan melalui baris pertama dan kedua yang telah dihitung, dan S +I +R = N. Oleh karena itu, sistem persamaan (4.5) dapat dituliskan sebagai sistem ds dt = (µ 1 + µ 2 )N β SI N (µ 1 + µ 2 )S, di dt = β SI (4.6) N γi (µ 1 + µ 2 )I. Menurut Bellomo dan Preziosi [1], sistem persamaan (4.6) dalam keadaan 17

27 setimbang jika 0 = (µ 1 + µ 2 )N β SI N (µ 1 + µ 2 )S, 0 = β SI (4.7) N γi (µ 1 + µ 2 )I. Dari sistem persamaan (4.7), diperoleh dua jenis titik kesetimbangan sebagai berikut. 1. Titik kesetimbangan E 00 = (S 00, I 00, R 00 ). Titik kesetimbangan E 00 merupakan titik kesetimbangan yang bebas penyakit dengan S 00 = N, I 00 = 0 dan R 00 = 0. Nilai I 00 = 0 berarti tidak terdapat individu infected yang menyebarkan penyakit. 2. Titik kesetimbangan E e0 = (S e0, I e0, R e0 ). Titik kesetimbangan E e0 merupakan titik kesetimbangan endemik dengan S e0 = N(µ 1+µ 2 +γ) β, I e0 = N(µ 1+µ 2 ) Nµ 1(µ 1+µ 2+γ) Nµ 2 (µ 1 +µ 2 +γ) β β µ 1 +µ 2 dan R +γ e0 = Nγ(β γ µ 1 µ 2 ) β(γ+µ 1 +µ 2. Selanjut- ) nya dilihat kesetimbangan model ketika sanitasi mencapai maksimal Titik Kesetimbangan Sanitasi Maksimal Sistem persamaan (4.5) dapat dituliskan sebagai sistem ds dt = (µ 1 + µ 2 )N (β α) SI N (µ 1 + µ 2 )S, di = (β α)si dt N γi (µ 1 + µ 2 )I. (4.8) Menurut Bellomo dan Preziosi [1], sistem persamaan (4.8) dalam keadaan setimbang jika 0 = (µ 1 + µ 2 )N (β α) SI N (µ 1 + µ 2 )S, 0 = (β α) SI (4.9) N γi (µ 1 + µ 2 )I. Dari sistem persamaan (4.9), diperoleh dua jenis titik kesetimbangan sebagai berikut. 1. Titik kesetimbangan E 01 = (S 01, I 01, R 01 ). Titik kesetimbangan E 01 merupakan titik kesetimbangan bebas penyakit 18

28 dengan S 01 = N, I 01 = 0 dan R 01 = 0. Nilai I 01 = 0 berarti tidak terdapat individu infected yang menyebarkan penyakit. 2. Titik kesetimbangan E e1 = (S e1, I e1, R e1 ). Titik kesetimbangan E e1 merupakan titik kesetimbangan endemik dengan S e1 = N(µ 1+µ 2 +γ) (α β), I e1 = Nµ 1(α β+γ+µ 1 )+Nµ 2 (α β+γ+µ 2 )+2Nµ 1 µ 2 (α β)(γ+µ 1 +µ 2 ) dan R e1 = N S e1 I e1. Dilihat dari E e0 dan E e1, individu terinfeksi mengalami penurunan ketika memperhatikan faktor sanitasi. 4.3 Kestabilan Titik Kesetimbangan Menurut Bellomo dan Presziosi [1], kriteria kestabilan sistem persamaan diferensial dapat ditentukan dari nilai eigen matriks Jacobian Kestabilan Titik Kesetimbangan E 00 dan E e0 1. Kestabilan Titik Kesetimbangan E 00. Berdasarkan (4.6) didapat matriks Jacobian sebagai berikut. β S N J = β I µ N 1 µ 2 (4.10) β I β S γ µ N N 1 µ 2 Dengan mengevaluasi matriks Jacobian (4.10) di titik kesetimbangan E 00, diperoleh J(E 00 ) = µ 1 µ 2 β. (4.11) 0 β γ µ 1 µ 2 Persamaan karakteristik dari (4.11) sebagai berikut P (λ) = λ 2 + λ(2µ 1 + 2µ 2 β + γ) + (( µ 1 µ 2 )(β γ µ 1 µ 2 )) (4.12) Nilai eigen matriks Jacobian (4.11) merupakan akar persamaan karakteristik (4.12). Nilai eigen (4.12) yaitu commit λ 1 to = user µ 1 µ 2 dan λ 2 = β γ µ 1 µ 2. Sistem (4.6) stabil asimtotis ketika β γ µ 1 µ 2 < 0. 19

29 2. Kestabilan Titik Kesetimbangan E e0. Mengevaluasi matriks Jacobian (4.10) di titik kesetimbangan E e0, diperoleh dengan J(E e0 ) = µ 1 µ 2 β I e N γ µ 1 µ 2 β Ie N 0 I e = N(µ 1 + µ 2 ) Nµ 1(µ 1+µ 2+γ) β (µ 1 + µ 2 + γ) Persamaan karakteristik dari (4.13) adalah dengan Nµ 2(µ 1 +µ 2 +γ) β (4.13) P (λ) = λ 2 + Aλ + B (4.14) A =(µ 1 + µ 2 ) + µ 1(β γ µ 1 ) (γ + µ 1 + µ 2 ) + µ 2(β γ µ 1 ) (γ + µ 1 + µ 2 ) 2µ 1 µ 2 (γ + µ 1 + µ 2 ) B = µ 1(βγ γ 2 + βµ 1 2γµ 1 µ 2 1) + µ 2 (βγ γ 2 + βµ 2 2γµ 2 µ 2 2) + (γ + µ 1 + µ 2 ) µ 1 µ 2 (2β 4γ 3µ 1 3µ 2 ). (γ + µ 1 + µ 2 ) Nilai eigen matriks Jacobian (4.13) merupakan akar persamaan karakteristik (4.14). Nilai eigen (4.14) yaitu 1 λ 1 = 2(γ + µ 1 + µ 2 ) ( β(µ 1 + µ 2 ) (β(µ 1 + µ 2 )) 2 4(γ + µ 1 + µ 2 )C, 1 λ 2 = 2(γ + µ 1 + µ 2 ) ( β(µ 1 + µ 2 ) + (β(µ 1 + µ 2 )) 2 4(γ + µ 1 + µ 2 )C dengan C = (µ 1 +µ 2 )(βγ γ 2 ) µ 2 1(β+µ 1 +3µ 2 ) µ 2 2(2γ+µ 2 +3µ 1 )+2µ 1 µ 2 (β 2γ). Sistem (4.6) stabil asimtotis ketika pada λ 1 nilai dari (β(µ 1 + µ 2 )) 2 4(γ + µ 1 + µ 2 )C dan pada λ 2 nilai dari (β(µ 1 + µ 2 )) 2 4(γ + µ 1 + µ 2 )C Kestabilan Titik Kesetimbangan E 01 dan E e1 1. Kestabilan Titik Kesetimbangan E 01. Berdasarkan (4.6) didapat matriks Jacobian sebagai berikut. J = (β α) I µ N 1 µ 2 (β α) S N (4.15) (β α) I N (β α) S γ µ N 1 µ 2 20

30 Dengan mengevaluasi matriks Jacobian (4.15) di titik kesetimbangan E 01, diperoleh J(E 01 ) = µ 1 µ 2 α β. (4.16) 0 β α γ µ 1 µ 2 Persamaan karakteristik dari (4.16) sebagai berikut. P (λ) =λ 2 + λ(2µ 1 + 2µ 2 β + α + γ) + (( µ 1 µ 2 ) (β α γ µ 1 µ 2 )) (4.17) Nilai eigen matriks Jacobian (4.16) merupakan akar persamaan karakteristik (4.17). Nilai eigen (4.17) yaitu λ 1 = µ 1 µ 2 dan λ 2 = β α γ µ 1 µ 2. Sistem (4.8) stabil asimtotis ketika β < Kestabilan Titik Kesetimbangan E e1. Mengevaluasi matriks Jacobian (4.15) di titik kesetimbangan E e1, diperoleh J(E e1 ) = dengan µ 1 µ 2 (β α) Ie N (β α)(γ µ 1 µ 2 ) β (β α) Ie ( γ µ N 1 µ 2 ) + (β α)(γ µ 1 µ 2 ) β (4.18) I e = N(µ 1 + µ 2 ) Nµ 1(µ 1+µ 2+γ) β (µ 1 + µ 2 + γ) Persamaan karakteristik dari (4.18) adalah Nµ 2(µ 1 +µ 2 +γ) β P (λ) = λ 2 +λ((γ+2µ 1 +2µ 2 )+(β α) I e N (β α)(γ µ 1 µ 2 ) )+A (4.19) β dengan A = α β+(β α) γ+ 2(β α)(γ+µ 1+µ 2 ). Nilai eigen matriks Jacobian β (4.18) merupakan akar persamaan karakteristik (4.19). Nilai eigen (4.19) yaitu 1 λ 1 = 2β(γ + µ 1 + µ 2 ) B (( B) 2 4β(γ + µ 1 + µ 2 )C)), 1 λ 2 = 2β(γ + µ 1 + µ 2 ) B + (( B) 2 4β(γ + µ 1 + µ 2 )C)). 21

31 dengan B = αγ 2 + (µ 1 + µ 2 )(αβ 3αγ) + β 2 µ 1 2α(µ µ 2 2) 4αµ 1 µ 2, C =(µ 1 + µ 2 )( αβγ + β 2 γ + 2αγ 2 βγ 2 ) + β 2 µ 2 1 (µ µ 2 2) (αβ 4αγ + 2βγ) µ 1 µ 2 (2αβ 2β 2 8αγ + 4βγ)+ (µ 2 1µ 2 + µ 1 µ 2 2)(6α 3β) + 2α(µ µ 3 2) βµ 3 2. Sistem (4.8) stabil asimtotis ketika pada λ 1 nilai dari (( B)2 4β(γ + µ 1 + µ 2 )C) > 1 2β(γ+µ 1 +µ 2 ) B dan pada λ 2 nilai dari 1 B + 2β(γ+µ 1 +µ 2 (( B) ) 2 4β(γ + µ 1 + µ 2 )C)) Penerapan Diberikan data penyebaran penyakit kolera menurut Cláudia [4] dan Leah [9]. Diberikan nilai parameter yaitu laju kontak β = 0.8, laju kesembuhan γ = 0.4, laju kelahiran µ 1 = , laju imigrasi µ 2 = Jumlah populasi yaitu N = 1500 individu, dengan banyaknya individu awal terinfeksi I(0) = 100 individu, sedangkan banyaknya individu awal yang sehat tetapi rawan terinfeksi S(0) = 1400 individu. Berdasarkan sistem (4.1) dan data yang telah diberikan diperoleh, ds IS(0.8 αh) = S, dt 1500 di IS(0.8 αh) = I, (4.20) dt 1500 dr = 0.4I R. dt Sistem (4.20) bukan merupakan sistem autonomous. Terlebih dahulu sistem (4.20) dilihat tanpa sanitasi dengan nilai α = Menggunakan metode Runge- Kutta orde empat dan bantuan software Mathematicha 8.0, penyelesaian sistem (4.20) dalam waktu 50 hari dapat dilihat pada Gambar

32 Gambar 4.3. (a) Jumlah individu susceptible (b) Jumlah individu infected (biru), dan jumlah individu recovered (hijau) Dari Gambar 4.3(a) tampak bahwa pada kelompok S keadaan yang setimbang diperoleh ketika jumlah individu sebesar 1329 individu pada hari ke 48. Berdasarkan Gambar 4.3(b), keadaan setimbang pada kelompok I diperoleh ketika jumlah individu sebesar 74 individu pada hari ke 48. Sedangkan pada kelompok R, keadaan setimbang diperoleh ketika jumlah individu sebesar 97 individu pada hari ke 48. Untuk mengetahui perilaku penyebaran penyakit kolera akan ditentukan kestabilan disekitar titik kesetimbangan. Untuk mengetahui tipe kestabilan tersebut dapat digunakan nilai eigen dari matriks Jacobian atau trayektori di sekitar titik kesetimbangannya. Berdasarkan nilai eigen matriks Jacobian, ketika H < jenis titik kesetimbangan bebas penyakit adalah simpul dengan tipe kestabilan tidak stabil. Ketika H jenis titik kesetimbangan bebas penyakit adalah simpul dengan tipe kestabilan stabil asimtotis. Tipe kestabilan di titik kesetimbangan dapat dilihat dari trayektori di sekitar titik kesetimbangan. Trayektori di titik kesetimbangan bebas penyakit ketika H = 0 dan H = 1 dapat dilihat pada Gambar

33 Gambar 4.4. (a) Trajektori di titik kesetimbangan (1500, 0) ketika H = 0 (b) Trayektori di titik kesetimbangan (1500, 0) ketika H = 1 Berdasarkan Gambar 4.4(a), tampak bahwa arah trajektori tidak menuju titik kesetimbangan bebas penyakit (1500, 0). Melainkan arahnya berhenti di titik kesetimbangan endemik (1329, 74). Artinya tipe kestabilan titik kesetimbangan bebas penyakit adalah tidak stabil. Berdasarkan Gambar 4.4(b), tampak bahwa arah trajektori menuju titik kesetimbangan (1500, 0). Dengan demikian tipe kestabilan di titik kesetimbangan bebas penyakit ketika H = 1 adalah stabil asimtotis. Ketika dilakukan simulasi terhadap faktor imigrasi, didapat hasil bahwa semakin tinggi laju imigrasi maka jumlah individu terinfeksi juga semakin bertambah. c(h) SI N Hal ini dikarenakan pada perubahan jumlah individu infected ( di dt = γi (µ 1 + µ 2 ))I. Hal ini mengakibatkan jumlah individu terinfeksi semakin berkurang. Puncak endemik pada kelompok I dapat berubah sewaktu-waktu dengan nilai parameter yang berubah-ubah pula. Untuk menurunkan puncak endemik 24

34 dibutuhkan suatu upaya pencegahan. Upaya pencegahan dapat dilakukan dengan cara memperbaiki sanitasi untuk menurunkan jumlah individu terinfeksi. Menurut Guimaraens dan Codeço [6], tingkat sanitasi bernilai dari 0 sampai 1. Simulasi dilakukan pada nilai H = 0, H = 0.25, H = 0.5, H = 0.75 dan H = 1. Penurunan jumlah individu pada kelompok I dapat dilihat dari Gambar 4.5. I H = 0 H = 0.75 H = 1 H = 0.5 H = t Gambar 4.5. Penurunan jumlah individu kelompok I Dari Gambar 4.5 tampak bahwa adanya sanitasi dapat menurunkan jumlah individu terinfeksi. 25

35 Bab V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan dapat disimpulkan bahwa 1. Model SIR dengan imigrasi dan sanitasi dapat di tuliskan sebagai ds dt = (µ 1 + µ 2 )N c(h) SI N (µ 1 + µ 2 )S, di dt = c(h)si N γi (µ 1 + µ 2 )I, dr dt = γi (µ 1 + µ 2 )R, dengan c(h) = β αh. Sedangkan S(0), I(0), µ 1, µ 2, β, γ > 0, R(0) 0, α merupakan konstanta, dan 0 H Ada dua jenis titik kesetimbangan pada model SIR dengan imigrasi dan sanitasi yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik. (a) Titik Kesetimbangan ketika H = 0, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit E 00 = (S 00, I 00, R 00 ) = (N, 0, 0) dan titik kesetimbangan endemik E e0 = (S e0, I e0, R e0 ) dengan S e0 = N(µ 1+µ 2 +γ) I e0 = N(µ 1+µ 2 ) β, Nµ 1(µ 1+µ 2+γ) Nµ 2 (µ 1 +µ 2 +γ) β β µ 1 +µ 2 dan R +γ e0 = Nγ(β γ µ 1 µ 2 ) β(γ+µ 1 +µ 2. ) (b) Titik Kesetimbangan ketika H = 1, yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit E 01 = (S 01, I 01, R 01 ) = (N, 0, 0) dan titik kesetimbangan endemik E e1 = (S e1, I e1, R e1 ) dengan S e1 = N(µ 1+µ 2 +γ) (α β), I e1 = Nµ 1(α β+γ+µ 1 )+Nµ 2 (α β+γ+µ 2 )+2Nµ 1 µ 2 (α β)(γ+µ 1 +µ 2 ) dan R e1 = N S e1 I e1. 3. Adanya faktor sanitasi dapat mempengaruhi jumlah individu terinfeksi. Semakin tinggi tingkat sanitasi mampu menurunkan jumlah individu terinfeksi menuju kondisi bebas penyakit. 26

36 5.2 Saran Dalam penulisan skripsi ini, untuk mengetahui perubahan jumlah individu terinfeksi melalui grafik penyelesaian. Bagi pembaca yang tertarik, dapat menentukan besarnya rasio reproduksi untuk mengetahui terjadinya perubahan jumlah individu terinfeksi. 27

37 DAFTAR PUSTAKA [1] Bellomo, N., and L. Preziosi, Modelling Mathematical Methods and Scientific Computation, CRC Press, Florida, [2] Boyce, W. E., and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equation and Boundary Value Problem, John Wiley and Son,Inc, New York, [3] CDC, Cholera western hemisphere, and recommendations for treatment of cholera, [4] Codeço, C. T., Endemic and Epidemic Dynamics of Cholera: The Role of The Aquatic Reservoir, Rio de Janeiro, [5] Finizio, N., and G. Ladas, Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern, Proceedings of the Royal Society of London Series A 2ed (1988). [6] Guimaraens, M. A. and C. T. Codeço, Experiments with Mathematical Models to Simulate Hepatitis A Population Dynamics Under Different Levels of Endemicity, Cad. Saúde Pública, Rio de Janeiro, [7] Hetchcote, H. W., The Mathematics of Infectious Diseases, SIAM Review 42 (2000), no. 4, [8] Haberman, R., Mathematical Models (Mechanical Vibrations, Population Dynamic, and Traffic Flow), Prentice-Hall, Inc, New Jersey, [9] Johnson, L., Modeling Cholera, University of California Santa Cruz,

38 [10] Kermack W. O., and A. G. McKendrick,. A Contribution to The Mathematical Theory of Epidemics, Proceedings of the Royal Society of London Series A 115 (1927), [11] Meyer, W. J., Concepts of mathematical modeling, McGraw-Hill, Inc, New York, [12] Panvilov, A., Qualitive Analysis of Differential Equations, Utrecht University, Utrecht, [13] Picollo, C. III, and L. Billings, The Effect of Vaccinations in an Immigrant Model, Mathematical and Computer Modelling 42 (2005), [14] Ross, S. L., Differential Equations, John Wiley and Sons, Inc, New York,