Definisi 1: Sebuah fungsi f(x) dikatakan periodic dengan periode T > 0, jika berlaku: f(x + T) = f(x) untuk samua x.

Transkripsi

1 DERE FOURIER

2 PENDAHUUAN Dlm ii k dihs pryt drt dri sutu ugsi priodik. Jis ugsi ii mrik kr srig mucul dlm rgi prsol isik, sprti gtr mkik, rus listrik olk-lik AC, glomg uyi, glomg Elktromgt, htr ps, ds. Sm hly sprti pd uri drt ylor, ugsi-ugsi priodik yg rumit dpt dilisis scr sdrh dg cr mguriky k dlm sutu drt ugsi priodik sdrh yg digu olh ugsi si d tu ugsi ksposil i. Uri drt ugsi priodik ii disut uri drt Fourir. Pm ii utuk mghrgi js mtmtikw Prcis Josph Fourir, yg prtm kli mrumusk drt ii dlm suh mklh mgi htr ps, yg dilporky kpd kdmi ilmu pgthu Prcis pd thu 87.

3 FUNGSI PERIODIK Diisi : Suh ugsi diktk priodic dg priod >, jik rlku: utuk smu. ctt: Jik dlh priod trkcil, mk disut priod dsr, d slg < <, dim suh kostt, disut slg dsr ugsi priodik. Utuk sljuty sut priod dimksudk gi priod dsr ii. Kostt pd slg dsr dpt dipilih smrg, rhrg ol tu gti. Pilih - / srig diguk utuk mmrik slg dsr yg simtris trhdp, yki slg / < < /.

4 Cotoh ugsi priodik yg plig sdrh dlh ugsi si d, kr: si ± si d ± Yg mujukk hw kduy mmiliki priod. Dlm hl ii dlh vril sudut dg stu rdi tu drjd. Bil uk mrupk vril sudut, mk hrus diklik dg sutu ktor lih p, shigg rdimsi sudut. Jdi stu p dlh: [ stu p] [ rdi] [ Stu ] Mislk rdimsi pjg, dg stu mtr m, mk stu p rd/m. Dg dmiki pryt ugsi Si d Cos yg rsgkut mjdi: si si p ; p

5 Jdi trslsi sudut ssr stu priod dpt dilihk k trslsi vril sjuh, dg syrt: p ± p ± Huug ii mgitk p dg mllui huug: p Dg pryt ktor lih ii, sit priodik ugsi si p d p dirik olh huug: si p si p ± ; p p ± Yg mmprlihtk hw si p d p dlh priodik dg priod. Khusus dlm hl, mk p.

6 Slh stu cotoh sdrh d rmss m yg digtugk pd ujug suh pgs dg ttp pgs k. k titik kstimg

7 Jik d ditrik sjuh A dri kduduk stimgy, kmudi dilpsk, d trsut k rgrk scr hrmoik sdrh kit dy gy pmulih yg rhy sllu rlw dg rh simpg d. Simpg vrtikl d yt stip st t ruh-uh dri kduduk stimgy, murut prsm: Bsr A d ω rturut-turut dlh mplitudo d rkusi Bsr A d ω rturut-turut dlh mplitudo d rkusi sudut gtr, sdgk dlh s gtr, dg Φ sgi s wly, yg rdimsi sudut. Jik dlh priod tu wktu gtr wktu yg diprluk d utuk mlkuk stu kli gtr yg diukur dlm stu dtik, mk, rstu rd/s. Dg dmiki ω mrupk ktor lih p yg mmut ωt rdimsi sudut.

8 DERE FOURIER Adik dlh suh ugsi priodik dg priod yg trdiisik dlm slg dsr < <, yki, mk ugsi dpt diurik dlm drt Fourir sgi rikut: Dg koisi-koisi,, d yg disut sgi koisi-koisi Fourir, dittuk olh ugsi mllui huug itgrl: d si d d dg priod d ½

9 Cotoh. Dikthui ugsi sgi rikut: < < < < Priodik dg priod shigg Nytk ugsi ii dlm uri drt Fourir!!!

10 Pmch: Murut diisi ugsi priodik, priod ugsi di ts dlh, dg dmiki ½, slg dsry < <, jdi -. Di lur slg ii, didiisik sgi prlus slg dsr k rh kiri d k sumu, sprti trliht pd Gmr Gmr

11 Koisi-koisi Fourir dpt dicri sgi rikut: d d d d d si si si... d d d d d

12 { gjil gp d d d d d, /.,. si si..si si si Dg dmiki, uri Fourir utuk ugsi pd cotoh ii dlh: gjil si 5 5 si si si 5 5 si si si, si

13 Cotoh. Dikthui ugsi sgi rikut: {, < <, < < Priodik dg priod shigg Urik ugsi ii dlm uri drt Fourir.

14 Pmch: Priod, shigg ½. slg dsry < <, jdi. Prlus dlm drh kiri d k sumu dpt diliht dlm Gmr Gmr

15 d d d d d Koisi-koisi Fouriry dpt dicri sgi rikut: si si si... d d d d d

16 gjil gp d d d d d,.,. si si..si si si gp., Dg dmiki, uri Fourir utuk ugsi pd cotoh ii dlh: gjil si 5 5 si si si 5 5 si si si

17 SYARA DIRICHE Prsyrt suh ugsi gr dpt diurik dlm drt Forir dittuk olh syrt Dirichlt rikut: Jik:. priodik dg priod. Brili tuggl srt kotiu gi dmi gi dlm slg dsry; < <, d. iliy rhigg. d Mk drt Fourir di rus k kovrg k ili,. di smu titik kkotiu d. { lim lim } di stip titik ktkkotiu pd drh lompt.

18 Sol Pd cotoh di ts Prhtik Gmr!; tuklh kovrg k ili rp drt Fourir di titik-titik kkotiu 5,,, d di titik-titik ktkkotiu,,,.

19 FUNGSI GANJI DAN FUNGSI GENAP Prhitug koisi-koisi Fourir srig kli diprmudh, jik ugsi yg diurik mmiliki sit istimw trttu, yki gp tu gjil trhdp sumu sumu. Kduy didiisik sgi rikut: Diisi. Suh ugsi dlh: gp, jik rlku - gjil, jik rlku - - utuk smu dlm drh diisi.

20 Cotoh Fugsi d dlh ugsi gp, kr - d -. Sdgk ugsi d si dlh ugsi gjil, kr - - d si - - si. Pd umumy ugsi pgkt gp dri,, 6,... mrupk ugsi gp d ugsi pgkt gjil dri,, 5,... mrupk ugsi gjil. Dg diisi di ts dpt dicri cotoh-cotoh li dri kdu ugsi ii.

21 d Utuk mtuk koisi-koisi Fourir,, d dri ugsi priodik gp d gjil ii diprguk prumus rikut: d gp Jik : Dlm hl ii diktk trurik dlm drt kosius kr.

22 si : d gjil Jik si d Dlm hl ii, diktk trurik dlm drt sius kr. Sprti slumy ½ ½ priod

23 Cotoh. Dikthi ugsi:, < < Priodik dg priod, shigg. Nytk ugsi trsut dlm drt Fourir.

24 Pmch Fugsi dlh sutu ugsi gp, shigg ½ ½, k trurik dlm drt kosius., d dpt dittuk sgi rikut: d d / / 6 8

25 / / / d d d si

26 Dg dmiki pryt drt Fourir utuk ugsi dg slg dsr -½ < < ½ dlh:, / 6 6

27 tih Dikthui ugsi: ; < < Priodik dg priod, shigg. Nytk ugsi trsut dlm drt Fourir.

28 DERE FOURIER JANGKAUAN SEENGAH Dlm sutu prsol isik, ugsi mugki hy trdiisik dlm sutu slg positi; < < l. Olh kr itu srigkli prlu utuk mmprlusy k sluruh suu, ik k rh sumu positi mupu k rh sumu gti. Dlm hl ii d pilih yg dpt dilkuk sgi rikut: Fugsi diprlus mjdi ugsi priodik tidk gjil tidk gp sprti pd cotoh dg priod l; d slg dsry < < l, dg l smrg positi. Slg dsr < < l diprlus k slg gti scr simtris trhdp sumu mjdi l < < l, d ugsi diprlus mjdi ugsi priodik dg priod l. Dlm hl ii kit mmpuyi du pilih yki mmprlus ugsi sgi ugsi gp c tu ugsi gjil s.

29 Cotoh Dikthui suh ugsi yg trdiisi pd stgh drh: Skt: < < < < Nytk ugsi ii dlm:. drt Fourir ugsi kosius ugsi gp. drt Fourir ugsi sius ugsi gjil c. drt Fourir ugsi kosius sius ugsi tidk gp tidk gjil.

30 Pmch: Pryt ugsi dlm drt Fourir kosius ugsi gp Utuk mmtuk ugsi gp, mk slg dsr < < di ts diprlus k slg gti mjdi - < <, d ugsi diprlus mjdi ugsi priodik gp {- } dg priod sprti ditujukk pd gmr rikut: c

31 Utuk ugsi gp ii, d dittuk sgi rikut: d d d d d d d si si dst,, 9,, Mk diprolh uri drt Forir kosius utuk, sgi rikut: 9,

32 Pryt ugsi dlm drt Fourir sius ugsi gjil Utuk mmtuk ugsi gjil, mk slg dsr < < di ts diprlus k slg gti mjdi - < <, d ugsi diprlus mjdi ugsi priodik gjil {- -} dg priod sprti ditujukk pd gmr rikut:

33 d d d si si si si Utuk ugsi gjil ii,, d dittuk sgi rikut: dst,, 9 6,, si 9 6 si si,, si Mk diprolh uri drt Fourir sius utuk, sgi rikut:

34 c Pryt ugsi dlm drt Fourir sius-ius ugsi tidk gjil-tidk gp utuk mmtuk ugsi priodik ii, tiggl mmprlus k kiri d k k sumu dg priod sprti pd gmr rikut :

35 Koisi-koisi Fourir o,, d dpt dittuk sgi rikut : d d d d d d o gp gjil,, si si

36 d d d si si si si Shigg pryt drt Fouriry dlh : si gjil

37 DERE FOURIER EKSPONENSIA DERE FOURIER EKSPONENSIA Pryt drt Fourir sutu ugsi priodik dpt pul digu dri ugsi ksposil, dg mgguk huug Eulr s :, si ± ± i i i, si ± i i dg myisipk : i i i i i si d

38 k dlm pryt drt Fourir dri sutu ugsi priodik, s : si didpt : i i i i i i i i i

39 i i i i Idks jumlh pd drt k du tlh dimk ulg dg. Jik didiisik : C i /, < /, i /, > mk didpt pryt ugsi priodik dlm drt Fourir ksposil s :

40 i C Koisi C dpt dicri dg prsm itgrl rikut : d C d d C i

41 Cotoh 7 tuk pryt Fourir Eksposil dri ugsi priodik pd cotoh! Pmch : Fugsi priodik pd cotoh dlh :,, < < < < Brrti d.

42 Koisi-koisi Fourir ksposil dittuk sgi rikut : i i i o d d d d d C gjil i gp i i i i i i d d d d C,,

43 i i i i i i i i C Mk diprolh uri drt Fourir ksposil sgi rikut : i i i i i i

44 i i i i i i i i i i i i i i i i Utuk mmdigk hsil ii dg hsil yg diprolh pd Cotoh, mk kit guk kmli huug Eulr di ts :... 5 si 5 si si... 5 si 5 si si Prsis sm sprti hsil pd cotoh.

45 IDENIAS PARSEVA Skrg k dicri gim huug tr hrg rt-rt kudrt ugsi dlm slg dsry dg koisikoisi Fourir. Hsily dikl sgi idtits Prsvl tu huug klgkp Compltss Rltio yg tuky rgtug pd rumus pryt drt Fourir yg diguk. Utuk drt Fourir yg diurik dlm tuk : o si Jik ugsi pd rus kiri d rus k dikudrtk, mk k diprolh :

46 si o si si si m m m m o m m m Kmudi jik dicri rt-rt kudrt pd slg dsry, dg cr mgitgrsi rus kiri d k, mk didpt : si si si m m m m m m o m m m d d

47 tu m m m m m m m d δ δ mk tuk huugy dlh sgi rikut : o d Rus kiri dlh hrg rt-rt kudrt ugsi dlm slg dsry < <, sdgk rus k dlh jumlh kudrt smu koisi Fourir.

48 Utuk uri drt Fourir ksposil, C i mk tuk huugy dlh sgi rikut : d C Scr isis, jik mrupk ugsi priodik dri sutu sr isik, misly simpg gtr mkik systm pgs, mk utuk t dlh vril wktu, mk pryt :

49 p t dt Mytk dy rt-rt Joul/s dri gtr trsut dlm sutu priod. Dg dmiki idtits Psvl, mgitk dy rt-rt dg spruh jumlh kudrt mplitudo stip hrmoik pyusu priodik. Scr mtmtik, rus kiri dri idtits Prsvl mmrik jumlh drt ilg dirus ky, sprti pd cotoh rikut :

50 Cotoh 8 Guk idtits Psvl utuk mcri jumlh drt ilg yg rsgkut dg uri drt Fourir dri ugsi pd cotoh. Pmch Pd cotoh, dg priod d slg dsry dlh < < mmiliki uri drt Fourir dg koisi-koisi sgi rikut :

51 ,...,,, 6 o Hrg rt-rt kudrt dri dittuk sgi rikut : 5 d d d d Murut idtits Psvl, ili rt-rt kudrt ii sm dg o

52 shigg :, 8 8 tu 8 8 Shigg : 9 8

53 tu... 9

54

55

56 < <,...,,, 6 o Pmch Pd cotoh.. dg priod d slg dsry dlh, mmiliki uri drt Fourir dg koisi-koisi sgi rikut : Hrg rt-rt kudrt dri dittuk sgi rikut : d d

57 o Murut idtits Psvl, ili rt-rt kudrt ii sm dg shigg : 8 8, 8 8 tu

58 r 9 8 Shigg : tu 9 Smug Hl. 9 Cotoh 9