DERET FOURIER MATEMATIKA FISIKA II JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FPMIPA UPI

Transkripsi

1 DERET FOURIER MATEMATIKA FISIKA II JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FPMIPA UPI

2 PENDAHUUAN Dlm ii k dihs uri drt dri sutu ugsi priodik. Jis ugsi ii mrik kr srig mucul dlm rgi prsol isik, sprti gtr mkik, rus listrik olk-lik AC, glomg uyi, glomg Elktromgt, htr ps, ds. Sm hly sprti pd uri drt Tylor, ugsi-ugsi priodik yg rumit dpt dilisis scr sdrh dg cr mguriky k dlm sutu drt ugsi priodik sdrh yg digu olh ugsi si d tu ugsi ksposil i. Uri drt ugsi priodik ii disut uri drt Fourir. Pm ii utuk mghrgi js mtmtikw Prcis Josph Fourir, yg prtm kli mrumusk drt ii dlm suh mklh mgi htr ps, yg dilporky kpd kdmi ilmu pgthu Prcis pd thu 87.

3 Fugsi Priodik Diisi : Suh ugsi diktk priodik dg priod T >, jik rlku: T utuk smu. ctt: Jik T dlh priod trkcil, mk T disut priod dsr, d slg < < T, dim suh kostt, disut slg dsr ugsi priodik. Utuk sljuty sut priod dimksudk gi priod dsr ii. Kostt pd slg dsr dpt dipilih smrg, rhrg ol tu gti. Pilih - T/ srig diguk utuk mmrik slg dsr yg simtris trhdp, yki slg T/ < < T/.

4 Cotoh ugsi priodik yg plig sdrh dlh ugsi si d, kr: si si d Yg mujukk hw kduy mmiliki priod T. Dlm hl ii dlh vril sudut dg stu rdi tu drjd. Bil uk mrupk vril sudut, mk hrus diklik dg sutu ktor lih p, shigg rdimsi sudut. Jdi stu p dlh: [ stu p] [ rdi] [ Stu ]

5 Mislk rdimsi pjg, dg stu mtr m, mk stu p rd/m. Dg dmiki pryt ugsi Si d Cos yg rsgkut mjdi: si si p ; p Jdi trslsi sudut ssr stu priod T dpt dilihk k trslsi vril sjuh T, dg syrt: p ± p ± T

6 Huug ii mgitk p dg T mllui huug: p T Dg pryt ktor lih ii, sit priodik ugsi si p d p dirik olh huug: si p si p ± T ; p p ± T

7 Yg mmprlihtk hw si p d p dlh priodik dg priod T. Khusus dlm hl T, mk p. Slh stu cotoh sdrh d rmss m yg digtugk pd ujug suh pgs dg ttp pgs k. k titik kstimg

8 Jik d ditrik sjuh A dri kduduk stimgy, kmudi dilpsk, d trsut k rgrk scr hrmoik sdrh kit dy gy pmulih yg rhy sllu rlw dg rh simpg d. Simpg vrtikl d yt stip st t ruh-uh dri kduduk stimgy, murut prsm: ω y t A t Φ

9 Bsr A d ω rturut-turut dlh mplitudo d rkusi sudut gtr, sdgk Φ ωt Φ dlh s gtr, dg ф sgi s wly, yg rdimsi sudut. Jik T dlh priod tu wktu gtr wktu yg diprluk d utuk mlkuk stu kli gtr yg diukur dlm stu dtik, mk, ω /T rstu rd/s. Dg dmiki ω mrupk ktor lih p yg mmut ωt rdimsi sudut.

10 Drt Fourir Adik dlh suh ugsi priodik dg priod T yg T trdiisik dlm slg dsr < < T, yki T, mk ugsi dpt diurik dlm drt Fourir sgi rikut: si

11 Dg koisi-koisi,, d yg disut sgi koisi-koisi Fourir, dittuk olh ugsi mllui huug itgrl: T d T T d d si Dg T priod d ½ priod.

12 Cotoh. Dikthui ugsi sgi rikut: < < < < Priodik dg priod shigg Urik ugsi ii dlm uri drt Fourir.

13 Pmch: Murut diisi ugsi priodik, priod ugsi di ts dlh T, dg dmiki ½ T, slg dsry < <, jdi -. Di lur slg ii, didiisik sgi prlus slg dsr k rh kiri d k sumu, sprti trliht pd Gmr Gmr

14 Koisi-koisi Fourir dpt dicri sgi rikut: d d d d d T T si si si... d d d d d T

15 { gjil gp T d d d d d, /., si si. si si si Dg dmiki, uri Fourir utuk ugsi pd cotoh ii dlh: gjil si 5 5 si si si 5 5 si si si, si

16 Cotoh. Dikthui ugsi sgi rikut: {, < <, < < Priodik dg priod shigg Urik ugsi ii dlm uri drt Fourir!

17 Pmch: Priod T, shigg ½ T. slg dsry < <, jdi. Prlus dlm drh kiri d k sumu dpt diliht dlm Gmr Gmr

18 d d d d d T Koisi-koisi Fouriry dpt dicri sgi rikut: si si si... d d d d d T

19 gjil T d d d d d,. si si..si si si gp., Dg dmiki, uri Fourir utuk ugsi pd cotoh ii dlh: gjil si 5 5 si si si 5 5 si si si

20 SYARAT DIRICHET Prsyrt suh ugsi gr dpt diurik dlm drt Fourir dittuk olh syrt Dirichlt rikut: Jik:. priodik dg priod T. Brili tuggl srt kotiu gi dmi gi dlm slg dsry; < < T, d. T iliy rhigg. d Mk drt Fourir di rus k kovrg k:. di smu titik kkotiu d. { lim lim } di stip titik ktkkotiu pd drh lompt.

21 tih. Pd cotoh di ts Prhtik Gmr ; Ttuklh kovrg k ili rp di titik-titik kkotiu! 5,,, d di titik-titik ktkkotiu,,,.

22 FUNGSI GANJI DAN FUNGSI GENAP Prhitug koisi-koisi Fourir srig kli diprmudh, jik ugsi yg diurik mmiliki sit istimw trttu, yki gp tu gjil trhdp sumu sumu. Kduy didiisik sgi rikut: Diisi. Suh ugsi dlh: gp, jik rlku - gjil, jik rlku - - utuk smu dlm drh diisi.

23 Sgi cotoh: Fugsi d dlh ugsi gp, kr - d -. Sdgk ugsi d si dlh ugsi gjil, kr - - d si - - si. Pd umumy ugsi pgkt gp dri,, 6,... mrupk ugsi gp d ugsi pgkt gjil dri,, 5,... mrupk ugsi gjil. Dg diisi di ts dpt dicri cotoh-cotoh li dri kdu ugsi ii.

24 d d gp Jik Utuk mtuk koisi-koisi Fourir,, d dri ugsi priodik gp d gjil ii diprguk prumus rikut: si d gjil Jik Dlm hl ii diktk trurik dlm drt kosius. Dlm hl ii, diktk trurik dlm drt sius. Sprti smul ½ T ½ priod.

25 Cotoh. Dikthi ugsi:, < < Priodik dg priod, shigg. Urik ugsi trsut dlm drt Fourir.

26 Pmch: Fugsi dlh sutu ugsi gp T, shigg ½ T ½, k trurik dlm drt kosius., d dpt dittuk sgi rikut: / / / 6 8 d d d d / / si si d

27 Dg dmiki uri drt Fourir utuk dg slg dsr -½ < < ½ dlh:, 6 6

28 tih. Dikthui ugsi: ; < < Priodik dg priod, shigg. Utuk ugsi trsut dlm drt Fourir. COBA KERJAKAN DENGAN ANAOGI ANGKAH PADA FUNGSI GENAP!

29 DERET FOURIER JANGKAUAN SETENGAH Dlm sutu prsol isik, ugsi mugki hy trdiisik dlm sutu slg positi; < < l. Olh kr itu srigkli prlu utuk mmprlusy k sluruh sumu, ik k rh sumu positi mupu k rh sumu gti. Dlm hl ii d pilih yg dpt dilkuk sgi rikut: Fugsi diprlus mjdi ugsi priodik tidk gjil tidk gp sprti pd cotoh dg priod T l; d slg dsry < < l, dg l smrg positi. Slg dsr < < l diprlus k slg gti scr simtris trhdp sumu mjdi l < < l, d ugsi diprlus mjdi ugsi priodik dg priod T l. Dlm hl ii kit mmpuyi du pilih yki mmprlus ugsi sgi ugsi gp c tu ugsi gjil s.

30 Cotoh Dikthui suh ugsi yg trdiisi pd stgh drh: < < < < Skt: Urik ugsi ii k dlm:. drt Fourir ugsi kosius ugsi gp. drt Fourir ugsi sius ugsi gjil c. drt Fourir ugsi kosius sius ugsi tidk gp tidk gjil.

31 Pmch: Uri drt Fourir kosius ugsi gp Utuk mmtuk ugsi gp, mk slg dsr < < di ts diprlus k slg gti mjdi - < <, d ugsi diprlus mjdi ugsi priodik gp {- } dg priod T sprti ditujukk pd gmr rikut: c

32 Utuk ugsi gp ii, d dittuk sgi rikut: d d d d d d d si si dst,, 9,, Mk diprolh uri drt Forir kosius utuk, sgi rikut: 9,

33 Uri drt Fourir sius ugsi gjil Utuk mmtuk ugsi gjil, mk slg dsr < < di ts diprlus k slg gti mjdi - < <, d ugsi diprlus mjdi ugsi priodik gjil {- -} dg priod T sprti ditujukk pd gmr rikut:

34 d d d si si si si Utuk ugsi gjil ii,, d dittuk sgi rikut: dst,, 9 6,, si 9 6 si si,, si Mk diprolh uri drt Fourir sius utuk, sgi rikut:

35 Utuk mmtuk ugsi priodik ii, tiggl mmprlus k kiri d k k sumu dg priod T sprti pd gmr rikut: s Koisi-koisi Fourir,, d dpt dittuk sgi rikut: Diprlus mjdi ugsi priodik gjil { } dg priod T sprti ditujuk pd gmr rikut :

36 6 si si si si si d d d Utuk ugsi gjil ii o, d dittuk sgi rikut :.,, 9 6,, dst... si 9 6 si si,, si o Mk diprolh uri drt Fourir sius utuk, sgi rikut :

37 c Uri drt Fourir sius-ius ugsi tidk gjil-tidk gp utuk mmtuk ugsi priodik ii, tiggl mmprlus k kiri d k k sumu dg priod T sprti pd gmr rikut :

38 Koisi-koisi Fourir o,, d dpt dittuk sgi rikut : d d d d d d T T o gp gjil,, si si

39 d d d T si si si si

40 DERET FOURIER EKSPONENSIA i i i i i i si si i i i i dg i i i i i ; ; si

41 Koisi-koisi Fourir ksposil dittuk sgi rikut : i i i i T i T o d d d d T C d d d d d T C gjil i gp i i i d,, Mk diprolh uri drt Fourir ksposil sgi rikut : i i i i i i i i C

42 Utuk mmdigk hsil ii dg hsil yg diprolh pd Cotoh, mk kit guk kmli huug Eulr di ts :... si 5 si si i i i i i i i i i i i i i i i i... 5 si 5 si si... 5 Prsis sm sprti hsil pd cotoh.

43 IDENTITAS PARSEVA Skrg k diri gim huug tr hrg rt-rt kudrt ugsi dlm slg dsry dg koisi-koisi Fourir. Hsily dikl sgi idtits Prsvl tu huug klgkp Comptss Rltio yg tuky rgtug pd rumus uri Fourir yg diguk. Utuk drt Fourir yg diurik dlm tuk : o si Atu tuk huugy dlh sgi rikut : T o T d

44 Rus kiri dlh hrg rt-rt kudrt ugsi dlm slg dsry < < T, smtr rus k dlh jumlh kudrt smu koisi Fourir. Utuk uri drt Fourir ksposil, tuk huugy : C i T T d C Scr isis, jik mrupk ugsi priodik dri sutu sr isik, misly simpg gtr mkik sistm pgs, mk utuk t dlh vril wktu, mk pryt : p T T T t dt

45 Mytk dy rt-rt Joul/s dri gtr trsut dlm sutu priod T. Dg dmiki idtits Psvl, mgitk dy rt-rt dg spruh jumlh kudrt mplitud stip hrmoik pyusu priodik. Scr mtmtik, rus kiri dri idtits Psvl mmrik jumlh drt ilg dirus ky, sprti pd cotoh rikut : Cotoh 5 Guk idtits Psvl utuk mcri jumlh drt ilg yg rsgkut dg uri drt Fourir dri ugsi Dikthui ugsi:, < < Priodik dg priod, shigg.

46 < <,...,,, 6 o Pmch Pd cotoh.. dg priod d slg dsry dlh, mmiliki uri drt Fourir dg koisi-koisi sgi rikut : Hrg rt-rt kudrt dri dittuk sgi rikut : d d

47 o Murut idtits Psvl, ili rt-rt kudrt ii sm dg shigg : 8 8, 8 8 tu

48 Shigg : r tu 8 9 9

49 Cotoh 9 Guk idtits Prsvl utuk mcri jumlh drt ilg yg rsgkut dg uri Fourir dri ugsi pd cotoh 7. Pmch Pd cotoh.7, diurik dlm drt Fourir ksosil dg priod d slg dsr T Koisi Fourir dri uri trsut dlh : < < Co d C i utuk gjil,, 5,.

50 Hrg rt-rt kudrt dri dlm slg < < dittuk sgi rikut : d dd d Murut idtits Psvl, hrg rt-rt kudrt ii sm dg C, shigg : C o C i, gjil

51 ,,, gjil gjil i gjil i tu : gjil gjil

52 SPEKTRUM FOURIER Uri Fourir sutu ugsi priodik, pd dsry dlh uri ugsi kdlm kompo-kompo hrmoiky, yki rgi kompo rkusiy. Jik P mrupk rkusi hrmoik dsry, mk rkusi hrmoik k-, P, dirik olh huug : Dg P P.P,,, 5,, dim T mrupk priod dsry. T Himpu smu kompo rkusi P.P yg mmtuk ugsi priodik ii disut spctrum rkusi tu spctrum ugsi

53 AMPITUDO HARMONIK Spktrum rkusi srigkli divisulk scr gris, dg mggmrk Amplitudo msig-msig hrmoiky. Utuk uri drt Fourir ius, siu, mplitud hrmoik k- dittuk sgi rikut : Suku k- dri uri drt Fourir ius-sius dpt ditulisk : S yg jug dpt ditulisk dlm ugsi tuggl ius sgi rikut : S si A δ

54 dg A d δ rc tg Koisi A dδ rturut-turut disut mplitudo d s wl hrmoik k-, dg A o o d δ o Grik ris mplitud stip hrmoik A trhdp,,,,,, rtuk pcg jrk sm, yg dikl sgi spktrum gris.

55 Cotoh: Smug Hl.