GEOMETRI ALJABARIK I: RUANG AFFINE DENIK AGUSTITO
|
|
- Yulia Pranoto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 GEOMETRI ALJABARIK I: RUANG AFFINE DENIK AGUSTITO Tulisan ini didukung oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika), Indonesia Selesai pada 28 Pebruari 2011 ABSTRAK. Terdapat sebuah padanan dari geometri ke aljabar dengan memadankan suatu himpunan titik-titik dalam ruang affine manjadi himpunan dari suku banyak-suku banyak melalui sebuah ideal dari himpunan titik-titik yang diberikan dan juga terdapat sebuah padanan dari aljabar ke geometri dengan memadankan himpunan dari suku banyak-suku banyak ke dalam himpunan dari titik-titik dalam ruang affine melalui himpunan nol atau himpunan aljabarik. Dengan himpunan aljabarik, diperoleh sebuah topologi pada ruang affine dan katakan topologi tersebut dengan nama topologi zarisky. Dengan topologi zarisky pada ruang affine, didefinisikan sebuah himpunan tak-tereduksi pada himpunan aljabarik dengan nama varieti affine. Pemadanan dari geometri ke aljabar melalui ideal telah membangkitkan sebuah varieti affine menjadi ideal prima. Acknowledgments. Terimakasih kepada M. Zaki Riyanto yang sebelumnya telah banyak berdiskusi kepada saya mengenai gagasan dari ruang affine dan varieti affine, dan juga kepada Rubono Setiawan yang telah banyak juga memberikan masukan dan mengoreksi tulisan ini sehingga diharapkan kepada pembaca dengan mudah untuk memahaminya. Tulisan ini memaparkan beberapa hal mengenai obyek utama kajian dalam geometri aljabarik yaitu ruang affine berdimensi n. Gagasan dari ruang affine berdimensi n dalam geometri aljabarik adalah perumuman dari ruang euclidean berdimensi n yang diotasikan dengan dengan menggantikan menjadi dimana adalah pergandaan sebanyak n dari lapangan yang tertutup secara aljabarik dan katakan sebagai ruang affine berdimensi n. Karena himpunan bilangan kompleks adalah lapangan tertututup secara aljabarik, dalam kenyataanya bahwa beberapa orang dapat menggantikan ruang euclidean berdimensi n yaitu menjadi ruang uniter berdimensi n yang dinotasikan dengan sehingga ruang uniter dapat dipandang sebagai ruang affine. Tujuan digantikannya ruang euclidean menjadi (lebih khususnya adalah ) adalah bahwa setiap kurva dalam ruang affine dapat terealisasi sebagai sebuah letak kedudukan titik-titik dimana titik-titiknya selalu ada dalam ruang affine. Seperti contoh bahwa kurva 1 0 tidak akan terealisasi dalam ruang euclidean artinya tidak titik-titik dalam ruang euclidean yang dinyatakan sebagai letak kedudukan dari kurva 1 0, tetapi kurva tersebut akan terealisasi dalam ruang uniter karena terdapat beberapa titik dalam ruang uniter yang merealisasikan kurva tersebut diantaranya adalah titik, 0 dan titik 0, pada. Pandang kurva 1 0 yang terealisasi dalam ruang uniter. Kurva tersebut juga dapat dipandang sebagai sebagai persamaan suku banyak dari suku banyak 1 dalam gelanggang suku banyak,. Jadi terdapat sebuah padanan dari geometri ke aljabar yang memadankan kurva-kurva dalam ruang affine yang Hak Cipta Tulisan ini dilindungi Oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika) Page 1
2 dipandang sebagai persamaan suku banyak menjadi suku banyak - suku banyak dalam gelanggang suku banyak,,,. Sebaliknya setiap suku banyak dalam gelanggang suku banyak,,, juga memadankan ke suatu kurva-kurva dalam ruang affine sehingga diperoleh sebuah padanan dari aljabar ke geometri. Tulisan ini akan mengkaji padanan-padanan tersebut dengan tujuan untuk mengetahui representatif geometri melalui beberapa sifat dari aljabar yang dipadankannya. Serupa dengan kajian algbraic topology, tujuannya yaitu untuk mengetahui representatif topologi melalui beberapa sifat dari aljabar yang dipadankanya. Pemadananya dikonstruksi melalui beberapa cara diantaranya adalah menggunakan teknik homotopi dan homologi dalam aljabar sehingga suatu masalah dalam topologi akan terselesaikan apabila masalah aljabar yang terpadankan juga terselesaikan. Sekarang pandang ruang affine sebagai obyek utama dalam kajian geometri dan gelanggang suku banyak,,, sebagai obyek utama dalam kajian aljabar. Suatu permasalahan dalam geometri adalah menentukan letak kedudukan titik-titik dalam ruang affine yang dinyatakan sebagai irisan dari beberapa kurva-kurva dalam ruang affine. Proses menentukan letak kedudukan titik-titik dalam ruang tersebut dinamakan solusi bersama yang diperoleh dari sistem persamaan suku banyak dimana persamaan suku banyak tersebut adalah kurva-kurva dalam ruang affine yang diberikan. Ini menegaskan bahwa untuk menyelesaikan masalah geometri diperlukan teknik-teknik aljabar agar supaya masalah geometri terselesaikan. Jadi terdapat sebuah padanan dari aljabar ke geometri yaitu menentukan sebuah solusi dari sistem persamaan suku banyak menjadi sebuah letak kedudukan titik dalam ruang affine. Sebagai sebuah catatan bahwa teknik-teknik aljabar tersebut telah dikaji dan dikembangkan dalam aljabar, seperti contoh teknik menentukan solusi dari sistem persamaan linear dalam aljabar linear menggunakan eliminasi Gaus-Jordan dan sebagaianya merupakan kasus khusus sebuah teknik dalam aljabar sehingga kajian mengenai solusi dari sistem persamaan linear dalam aljabar linear adalah salah satu bentuk realisasi padanan dari aljabar ke geometri. Diberikan suatu titik pada ruang affine yaitu,,,. Pertanyaanya: apakah ada satu atau beberapa kurva dalam ruang affine yang melalui titik P tersebut?. jawabanya adalah ya, pilih saja suatu kurva sebagai persamaan suku banyak : 0. Menentukan sebuah atau beberapa kurva dalam ruang affine yang terealisasi dari suatu himpunan titik-titik dalam ruang affine adalah suatu masalah dalam kajian geometri. Sebagai contoh dalam geometri analitik elementer adalah menentukan sebuah kerucut (garis, lingkaran, parabola, elips dan hiperbola) melalui suatu himpunan dari titik-titik pada bidang kartesian adalah contoh masalah geometri. Teknik-teknik yang dikembangkan adalah teknik-teknik aljabar. Hal ini menegaskan bahwa geometri analitik elementer merupakan sebuah kajian teknik-teknik aljabar yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan geometri salah satunya adalah menentukan sebuah kerucut dari suatu himpunan dari titik-titik yang diberikan dalam bidang kartesian. Dengan memandang sebuah kerucut sebagai sebuah suku banyak, hal ini juga menegaskan bahwa terdapat sebuah padanan dari geometri ke aljabar yang memadankan titik-titik pada bidang kartesian menjadi sebuah suku banyak. Secara umum terdapat sebuah padanan dari geometri ke aljabar yang memadankan sebuah himpunan titik-titik dari ruang affine ke dalam suku banyak-suku banyak dalam gelanggang suku banyak,,,. Pada sebuah titik dalam ruang affine yang diberikan dengan,,,, sebuah himpunan kurva-kurva dalam ruang affine yang melalui titik P dan dinotasikan dengan 0,,, akan memiliki sebuah sifat tertentu dalam gelanggang suku banyak,,,. Katakan sifat dari Hak Cipta Tulisan ini dilindungi Oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika) Page 2
3 0,,, adalah ideal dalam gelanggang suku banyak,,,. Jadi dari suatu titik dalam ruang affine yang diberikan dengan,,, dapat membangkitkan sebuah himpunan yang memiliki sifat ideal dari suku banyak dalam gelanggan suku banyak,,,. Terlihat bahwa sembarang titik pada ruang affine mengontrol perilaku dari gelanggang suku banyak,,,. Pertanyaannya lagi: apabila diberikan himpunan berhingga dari titiktitik dalam ruang affine, apakah terdapat himpunan bagian dari gelanggang suku banyak,,, dengan sifat ideal yang semua anggotanya dipandang sebagai kurva-kurva dengan himpunan X adalah titik-titik dari irisannya?. Selanjutnya dengan memandang kasus khusus dari ruang uniter yang dipandang sebagai sebuah ruang topologi, beberapa pertanyaan muncul lagi yaitu sebagai berikut: [A1]. Apakah mungkin ruang affine menjadi sebuah ruang topologi dengan sebuah topologi yang bagus? [A2]. Diberikan suatu himpunan dari titik-titik dalam ruang topologi (terkait dengan pertanyaan [1]) dan kemudian dipadankan ke suatu himpunan dari suku banyak-suku banyak dalam gelanggang suku banyak,,,. Akankah himpunan dari suku banyak-suku banyak tersebut memiliki sifat ideal yang istimewa?. Tulisan ini akan menjawab secara terperinci dari pertanyaan [A1] dan [A2] yang telah diberikan di atas dan berikut adalah pembahasan untuk menjawab dua pertanyaan tersebut. 1. JAWABAN DARI PERTANYAAN [A1] Bagian ini diawali dengan mengkaji sebuah padanan dari aljabar ke geometri. Untuk memadankan aljabar ke geometri, obyek kajian utama dalam aljabar disini adalah gelanggang suku banyak,,,. Seperti yang telah dipaparkan pada bagian sebelumnya bahwa padanan dari aljabar ke geometri terkait dengan solusi dari sistem persamaan suku banyak. Sebelum mempelajari beberapa sifat terkait dengan solusi dari sistem persamaan suku banyak, terlebih dahulu didefinisikan sebuah tempat yang dipadankan dari suku banyak agar supaya solusi dari suatu sistem persamaan suku banyak yang telah diberikan memiliki sebuah tempat. Definisi 1.1. Ruang affine berdimensi n atas lapangan tertutup secara aljabarik dinotasikan dengan,,,,,,. Definisi 1.1.telah mendefinisikan suatu tempat untuk solusi dari sistem persamaan suku banyak dalam gelanggang suku banyak,,, yang dikenal dengan ruang affine berdimensi n yaitu. Ruang affine dalam tulisan ini akan menjadi obyek kajian dalam geometri, jadi terdapat sebuah padanan dari aljabar ke geometri yaitu memadankan gelanggang suku banyak,,, ke ruang affine. Kemudian interpretasi geometri dari suku banyak dalam gelanggang suku banyak,,, dapat dipandang sebagai sebuah kurva dalam ruang afiine. Apabila diberikan sebuah suku banyak 2 dalam gelanggang suku banyak, maka suku banyak 2 dapat dipandang sebagai kurva dalam ruang uniter dimana solusi dari persamaan suku banyak 2 0 merupakan letak kedudukan titik-titik dari kurva 2 0. Sebagai sebuah catatan bahwa kurva yang disajikan melalui suku banyak diartikan sebagai persamaan suku banyak. Hak Cipta Tulisan ini dilindungi Oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika) Page 3
4 Diberikan sebuah himpunan berhingga dari suku banyak yaitu 1, 1,,,. Pandang kembali sebagai himpunan berhingga dari kurva atau persamaan suku banyak yaitu 1 0, 1 0. Solusi bersama dari anggota merupakan sebuah solusi dari sistem persamaan suku banyak yang ditulis sebagai berikut Sistem persamaan suku banyak tersebut memiliki himpunan solusi V, 0,, 0 yang dipandang sebagai letak kedudukan dari titik-titik bersama dari kurva 1 0 dan kurva 1 0 dalam ruang uniter. Secara geometris, ini artinya bahwa kurva 1 0 beririsan dengan kurva 1 0 dalam ruang uniter dititik, 0 dan, 0. Fenomena ini akan dijadikan sebuah motivasi untuk mendefinisikan himpunan aljabarik dalam ruang affine. Definisi 1.2. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik dan,,,. [1]. Himpunan nol dari yang dinotasikan dengan V adalah suatu himpunan yang didefinisikan dengan V 0 untuk semua. [2]. Himpunan dikatakan himpunan aljabarik jika terdapat himpunan,,, yang memenuhi sifat V. Sekarang akan ditentukan padanan geometrinya dari aljabar yang menghasilkan interpretasi geometri pada ruang affine melalui himpunan nol dengan mengamati beberapa kasus pada himpunan yang diberikan dalam Definisi 1.2. KASUS 1. Ketika adalah gelanggang suku banyak,,,. Dalam kasus ini geometri memikirkan apakah semua kurva dalam ruang affine saling beririsan?. Sebuah contoh diberikan dalam ruang uniter yaitu parabola 0 tidak akan pernah beririsan dengan parabola Ini adalah sebuah contoh balasan bahwa ketika adalah gelanggang suku banyak,,, maka terdapat sekurang-kurangnya dua kurva tidak saling beririsan dan akibatnya himpunan nol dari ketika,,, adalah himpunan kosong. Jadi V adalah himpunan kosong. KASUS 2. Ketika,,,, dengan. Dengan mengambil yaitu himpunan singelton yang terdiri dari hanya satu suku banyak yaitu 1 dan 1, 1 menegaskan bahwa. Jelas V V. Fenomena tersebut dapat dijadikan sebagai motivasi untuk fakta berikut ini. Teorema 1.3. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Jika,,,, dengan maka V V. BUKTI. Sembarang titik V memilik sifat bahwa P adalah titik yang dilalui oleh semua kurva-kurva yang disajikan dalam suku banyak pada. Karena, jelas bahwa titik P juga merupakan titik yang dilalui oleh semua kurva-kurva yang disajikan dalam suku banyak pada. Jadi V dan kesimpulannya adalah V V. Hak Cipta Tulisan ini dilindungi Oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika) Page 4
5 KASUS 3. Ketika,,,, dengan. Sebagai sebuah akibat dari Teorema 1.3 diperoleh fakta berikut ini. Akibat 1.4. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Jika adalah keluarga berindeks dari,,, untuk setiap maka V V. BUKTI. Karena, berdasarkan Teorema 1.3 diperoleh V V untuk semua. Karena berlaku untuk semua diperoleh V V. Sembarang titik V merupakan titik pada V untuk semua. Karena titik pada V untuk semua, diperoleh bahwa P merupakan titik yang dilalui oleh semua kurva-kurva yang disajikan dalam suku banyak pada untuk semua. Akibatnya P merupakan titik yang dilalui oleh semua kurva-kurva yang disajikan dalam suku banyak pada. Jadi V. Jadi V V. Jadi terbukti bahwa V V. KASUS 4. Ketika,,,, dengan. Didefinisikan bahwa adalah himpunan semua hasil kali dari suku banyak pada dengan suku banyak pada. Plih dengan motivasi sebelumnya yaitu 1 dan 1, 1. Jelas bahwa 1 1, 1. Jelas bahwa, 0 dan, 0 titik yang dilalui oleh semua kurva yang disajikan dalam suku banyak pada. Dan ini jelas bahwa V V V. Ini akan dijadikan sebuah motivasi dalam fakta berikut ini. Teorema 1.5. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Jika,,,, dengan didefinisikan sebagai himpunan semua hasil kali dari suku banyak pada dengan suku banyak pada maka V V V. BUKTI. Sembarang titik V V merupakan titik yang dilalui oleh semua kurva-kurva yang disajikan dalam suku banyak pada atau pada. Jelas bahwa P juga merupakan yang dilalui oleh semua kurva-kurva yang disajikan sebagai perkalian suku banyak pada. Jadi V dan diperoleh V V V. Kebalikannya mudah dibuktikan. KASUS 5. Ketika hanya terdiri hanya satu elemen yaitu elemen identitas terhadap operasi penjumlahan pada,,,. Dalam kasus ini hanya terdiri dari singelton 0. Persamaan suku banyak 0 dalam gelanggang suku banyak,,, memiliki solusi di setiap anggota pada. Jadi ketika 0 diperoleh V. Sebuah padanan dari aljabar ke geometri yang telah ditinjau dari kelima kasus yang telah dipaparkan sebelumnya ini pada,,, memberikan sebuah arti tersendiri untuk ruang affine. Dengan mengkaitkan Definisi 1.2 dengan kelima kasus di atas diperoleh sebuah kesimpulan berikut ini. [1]. Himpunan kosong dan ruang affine adalah himpunan aljabarik. [2]. Gabungan dari dua buah himpunan nol juga merupan himpunan nol dan ini mengakibatkan bahwa gabungan dari dua buah himpunan aljabarik juga merupakan himpunan aljabarik. Hak Cipta Tulisan ini dilindungi Oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika) Page 5
6 [3]. Sembarang irisan dari himpunan nol juga merupakan himpunan nol dan ini mengakitbatkan bahwa sembarang irisan dari himpunan aljabarik adalah himpunan aljabarik. Sebagai sebuah catatan ketiga kesimpulan ini serupa dengan pengertian himpunan tertutup dari suatu ruang topologi. Hal ini menjadi sebuah motivasi untuk mendefinisikan sebuah topologi pada ruang affine. Jadi ruang affine membentuk sebuah ruang topologi yang himpunan tertutupnya didefinisikan melalui himpunan aljabarik. Topologi pada ruang affine ini akan dinamakan sebagai topologi zarisky. 2. JAWABAN DARI PERTANYAAN [A2] Dalam geometri, letak kedudukan titik-titik pada ruang affine yang disajikan sebagai himpunan dari titik-titik pada ruang affine yang memenuhi pola tertentu dinamakan sebagai kurva. Karena kurva dalam ruang affine dapat dipandang sebagai sebuah suku banyak, diperoleh sebuah tempat dalam aljabar untuk menyajikan kurvakurva dalam ruang affine adalah himpunan semua dari suku banyak-suku banyak atas lapangan tertutup secara aljabarik dengan n indeterminat yang dinotasikan dengan,,,. Aljabar komutatif telah mengkaji himpunan,,, secara kritis dan himpunan ini memiliki struktur yang dikenal dengan gelanggang komutatif (dengan elemen satuan 1). Katakan himpunan ini dengan gelanggang suku banyak atas lapangan tertutup secara aljabarik dengan n indeterminat. Pandang himpunan bagian dari gelanggang suku banyak,,, yang dibangkitkan melalui suatu titik dalam ruang affine yaitu,,, yang dinotasikan dengan 0,,,. Aljabar komutatif membuktikan bahwa membentuk sebuah gelanggang komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang sama dengan operasi penjumlahan dan perkalian dari gelanggang suku banyak,,,. Dengan kata lain bahwa membentuk gelanggang bagian dari gelanggang sukubanyak,,,. Lebih lanjut jika diberikan sembarang suku banyak h dalam gelanggang suku banyak,,, selalu berlaku sifat.. Berikut adalah sebuah fakta mengenai hasil dari wacana tersebut yang diberikan tanpa bukti. Teorema 2.1. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik dan. [1]. Himpunan Himpunan I,,, 0 untuk semua membentuk sebuah gelanggang bagian dari gelanggang suku banyak,,,. [2]. Untuk setiap suku banyak,,, dan I, berlaku. I. Sebagai sebuah catatan bahwa sifat [2] dalam Teorema 2.1 dikatakan sifat ideal dari gelanggang bagian I dan gelanggang bagian I yang memenuhi sifat [2] dalam Teorema 2.1 dikatakan ideal dari gelanggang suku banyak,,,. Ideal yang diberikan dalam Teorema 2.1 adalah sebuah padanan untuk mengkaji masalah-masalah geometri dari ruang affine ke dalam masalah-masalah aljabar dari gelanggang suku banyak,,,. Dengan padanan yang telah diberikan dalam Teorema 2.1, akan ditinjau dari beberapa kasus mengenai himpunan dari titik-titik dalam ruang affine sehingga diperoleh beberapa perilaku dari ideal-ideal dalam gelanggang suku banyak,,,. Hak Cipta Tulisan ini dilindungi Oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika) Page 6
7 KASUS 6. Ketika hanya terdiri dari satu elemen yaitu,,,. Diberikan,,,. Suatu himpunan kurva-kurva dalam ruang affine yang melalui titik P adalah 0, 0,, 0. Kurva f dalam ruang affine akan melalui titik P jika suku banyak yang disajikan dalam kurva f memiliki faktor sekurang-kurangnya satu dari suku banyak untuk 1,2,,. Dengan kata lain suku banyak f bisa difaktorkan menjadi. untuk suatu suku banyak dalam gelanggang suku banyak,,,. Selanjutnya agar supaya kurva f melalui titik P, suku banyak f juga bisa dinyatakan sebagai..... untuk suatu suku banyak,,,,,, dalam gelanggang suku banyak,,,. Jelas,,, dan sebagai sebuah catatan bahwa,,, adalah sebuah ideal dari gelanggang suku banyak,,, yang dibangun secara hingga oleh himpunan,,,. Sifat dari ideal,,, dari gelanggang suku banyak,,, yang dipadankan dari suatu titik,,, dalam ruang affine telah dikaji secara kritis dalam aljabar komutatif dan sifat tersebut dinamakn dengan Nullstelensatz. Teorema 2.2. (Nullstelensatz) Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Setiap ideal maksimal dalam gelanggang suku banyak,,, dapat dinyatakan tepat dalam bentuk,,, untuk suatu titik,,, dalam ruang affine. Teorema 2.2 memperlihatkan bahwa setiap titik pada ruang affine membangkitkan dan mengontrol bentuk dari ideal maksimal dalam gelanggang suku banyak,,,. Ini artinya bahwa perilaku dari ideal maksimal dalam gelanggang suku banyak,,, dapat diyatakan dalam bentuk,,, untuk suatu titik,,, dalam ruang affine dan bentuk,,, dikatakan sebagai hasil kontrol dari titik,,, dalam ruang affine pada gelanggang suku banyak,,,. KASUS 7. Ketika, dengan. Kasus 7 ini serupa dengan kasus 2 sehingga diperoleh sebuah fakta yang akan diberikan berikut tanpa bukti. Teorema 2.3. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik dan,. Jika maka I I. KASUS 8. Ketika, dengan. Kasus 8 ini juga serupa dengan kasus 3 sehingga diperoleh sebuah fakta yang akan diberikan berikut tanpa bukti. Teorema 2.4. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik dan,. Jika I I I. KASUS 9. Ketika. Kurva dalam ruang affine yang dipandang sebagai suku banyak dalam gelanggang suku banyak,,, yang melalui di setiap titik dalam ruang affine adalah Hak Cipta Tulisan ini dilindungi Oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika) Page 7
8 suku banyak nol yang dinotasikan dengan 0. Jadi ketika diperoleh I 0. Diharapkan pembaca mengerti mengenai kajian dari suku banyak nol pada kajian aljabar komutatif agar supaya tidak ada kesulitan dalam mengkspresikan padanan geometrinya dari suku banyak nol. Sebelumnya bahwa himpunan nol atau himpunan aljabarik dari himpunan suku banyak memadankan ke suatu letak kedudukan titik-titik dalam ruang affine dan ideal dari himpunan titik-titik dalam ruang affine memadankan ke suatu himpunan dari suku banyak suku banyak. Pada bagian ini akan dikombinasikan kedua padanan untuk melihat beberapa sifat dan perilaku dalam geometri dan aljabar. Beberapa fakta dalam bagian ini akan diberikan tanpa bukti. Teorema 2.5. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. [1]. Jika X adalah sembarang himpunan bagian dari ruang affine maka V I adalah himpunan aljabarik terkecil yang memuat X. [2]. Jika X adalah sembarang himpunan aljabarik dari ruang affine maka V I. Kemudian kembali lagi dalam aljabar komutatif mengenai jenis ideal dari suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan yang dikenal dengan nama ideal radikal. Sebelum mendefnisikan ideal radikal, didefinisikan terlebih dahulu pengertian dari radikal dari suatu ideal dari suatu gelanggang komutatif dengan elemen satuan. Definisi 2.6. Diberikan R adalah gelanggang komutatif dengan elemen satuan dan I adalah ideal dari R. [1]. Radikal dari ideal I adalah himpunan Rad untuk suatu. [2]. Ideal I dikatakan ideal radikal jika Rad. Teorema 2.7. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Jika,, adalah sembarang ideal maka I V. Gagasan mengenai radikal dari suatu ideal juga dapat memberikan sebuah fakta mengenai I yaitu sebagai berikut. Teorema 2.8. Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik dan,. Jika dan adalah himpunan aljabarik maka I Rad I I. Bagian ini akan mengkaji beberapa sifat topologis dari ruang affine bersama dengan topologi zarisky serta menjawab point [A2}] yang telah diberikan sebelumnya. Definisi 2.9. Diberikan X adalah ruang topologi. [1]. Himpunan bagian dikatakan tereduksi jika A bisa dinyatakan sebagai gabungan dari dua himpunan tertutup dalam X yaitu (bisa himpunan kosong, asalkan salah satu dari dua himpunan tersebut tidak boleh sama dengan A). [2]. Himpunan bagian dikatakan tak-tereduksi jika bukan himpunan tereduksi. Diberikan garis affine atau himpunan bilangan kompleks dengan topologi biasa. Bisa ditunjukkan bahwa himpunan berikut 1 dan 1 adalah himpunan tertutup dalam garis affine dan garis affine dapat dinyatakan sebagai gabungan dan. Jadi garis affine adalah tereduksi. Sebagai Hak Cipta Tulisan ini dilindungi Oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika) Page 8
9 sebuah pertanyaan lanjut dari topologi pada garis affine terkait dengan topologi zarisky, apakah garis affine adalah tak-tereduksi bersama dengan topologi zarisky padanya?. Untuk menjawab pertanyaan ini, aljabar akan menggunakan tehnik-tehniknya dan kemudian dipadankan ke geometri untuk menjawab pertanyaan tersebut melalui fakta berikut. Teorema Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Himpunan aljabarik adalah tak-tereduksi jika dan hanya jika I adalah ideal prima dari gelanggang suku banyak,,,. BUKTI. Diketahui adalah himpunan aljabarik tak-tereduksi dan tulis. I dengan f dan adalah suku banyak-suku banyak dalam gelanggang suku banyak,,,. Karena X adalah himpunan aljabarik, tulis V V V. Ini jelas bahwa V V adalah gabungan dari dua buah himpunan tertutup dari X. Karena X adalah tak-tereduksi, diperoleh V atau V. Jelas V atau V. Jadi I atau I dan kesimpulannya bahwa I adalah ideal prima dari gelanggang suku banyak,,,. Sebaliknya dibuktikan oleh pembaca sebagai sebuah latihan. Dengan mengaplikasikan Kasus 9 dengan Teorema 2.9 diperoleh bahwa ruang affine adalah tak tereduksi karena I 0 adalah ideal prima dari gelanggang suku banyak,,,. Akibatnya garis affine atau himpunan bilangan kompleks dengan topologi zarisky adalah tak-tereduksi. Definisi Diberikan adalah lapangan tertutup secara aljabarik. Himpunan aljabarik tertutup tak-tereduksi terhadap topologi zarisky dinamakan varieti affine. Hasil utama dalam bagian ini adalah Teorema 2.10 yaitu dengan menambahkan sebuah kondisi bahwa varieti affine dalam ruang affine akan dipadankan ke himpunan suku banyak dalam gelanggang suku banyak,,, dan memenuhi sifat bahwa himpunan tersebut membentuk sebuah ideal prima. DAFTAR PUSTAKA [1]. Gathman. Andreas., Algebraic Geometry, available for download. [2]. Hartshorne, R., Alegbraic Geometry, Springer-Verlag, New-York Inc, [3]. Milne. J. S., Algebraic Geometry, available for download. Hak Cipta Tulisan ini dilindungi Oleh AJM (Arsip Jurnal Matematika) Page 9
GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI. Denik Agustito 1, Sriwahyuni 2
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI Denik Agustito 1, Sriwahyuni 2 Mahasiswa
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciPengantar Topologi - MK : Prinsip Matematika
Pengantar Topologi - MK : Prinsip Matematika Topologi merupakan kajian pemetaan dari suatu obyek dalam ruang baik dalam struktur global maupun dalam struktur lokal yang lebih halus. Dapat dikatakan bahwa
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciBAB III PERLUASAN INTEGRAL
BAB III PERLUASAN INTEGRAL Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan
Lebih terperinciIden Rainal Ihsan Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Islam Nusantara, Jln. Soekarno-Hatta No 530 Bandung
Jurnal Euclid, vol.3, No.1, p.485 TITIK TETAP (FIXED POINT) PADA TRANSFORMASI M BIUS Iden Rainal Ihsan Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Islam Nusantara, Jln. Soekarno-Hatta No 530 Bandung
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam ilmu matematika, banyak pembahasan di bidang analisis dan topologi yang memerlukan pengertian ruang Hilbert. Ruang Hilbert merupakan konsep abstrak yang mendasari
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer
Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah
Lebih terperinciMODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS
MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciKARAKTERISTIK GELANGGANG BILANGAN BULAT DAN PENGAITANNYA DENGAN TIGA STRUKTUR KHUSUS DAERAH INTEGRAL
ARATERISTI GELANGGANG BILANGAN BULAT DAN PENGAITANNYA DENGAN TIGA STRUTUR HUSUS DAERAH INTEGRAL Eka Susilowati Fakultas eguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas PGRI Adi Buana Surabaya eka250@gmailcom
Lebih terperinciMateri Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD:
Materi Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD: 1. Bilangan dan Operasinya 2. Kelipatan dan Faktor 3. Angka Romawi, Pecahan dan Skala 4. Perpangkatan dan Akar 5. Waktu, Kecepatan, dan Debit
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinciKumpulan Soal,,,,,!!!
Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1 1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciHimpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal
Vol. 9, No.1, 49-56, Juli 2012 Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Nur Erawaty 1, Andi Kresna Jaya 1, Nirwana 1 Abstrak Misalkan D adalah daerah integral. Unsur tak nol yang bukan unit
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi teorema sifat-sifat yang berhubungan dengan teori bilangan integer modulo aljabar abstrak masalah logaritma diskret
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Ring polinomial adalah himpunan semua fungsi dari himpunan semua bilangan bulat nonnegatif ke ring R dengan elemen identitas dan dilengkapi dengan operasi penjumlahan
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciBUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS. OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd
BUKU DIKTAT ANALISA VARIABEL KOMPLEKS OLEH : DWI IVAYANA SARI, M.Pd i DAFTAR ISI BAB I. BILANGAN KOMPLEKS... 1 I. Bilangan Kompleks dan Operasinya... 1 II. Operasi Hitung Pada Bilangan Kompleks... 1 III.
Lebih terperinciIDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL
Vol 11, No 1, 71-76, Juli 2014 IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawaty Abstrak Teori gelanggang merupakan salah satu bagian di matematika
Lebih terperinciKOMPETISI MATEMATIKA 2017 Tingkat SMA SE-SULAWESI UTARA dan Tingkat SMP Se-kota Manado
KOMPETISI MATEMATIKA 2017 Tingkat SMA SE-SULAWESI UTARA dan Tingkat SMP Se-kota Manado Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sam Ratulangi Kompetisi
Lebih terperinciKISI-KISI SOAL OLIMPIADE MATEMATIA VEKTOR NASIONAL (OMVN) 2015 HIMPUNAN MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI MALANG
KISI-KISI SOAL OLIMPIADE MATEMATIA VEKTOR NASIONAL (OMVN) 2015 HIMPUNAN MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS NEGERI MALANG TINGKAT SD 1. Bilangan dan Operasinya 2. Kelipatan dan Faktor 3. Angka Romawi,
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Bahan kuliah Matematika Diskrit 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan,
Lebih terperinciHimpunan (set) Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Teori Himpunan 2011 Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. -
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinciSYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH. Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstact. Keywords : extension fields, elemen algebra
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciLogika Matematika Modul ke: Himpunan
Logika Matematika Modul ke: Himpunan Fakultas FASILKOM Syukri Nazar. M.Kom Program Studi Teknik Informatika Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut
Lebih terperinciSistem-sistem Persamaan (Linear dan Non Linear)
Sistem-sistem Persamaan (Linear dan Non Linear) Pendekatan Menu Restoran Oleh: Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. 27 Bab 3 Sistem-Sistem Persamaan A. Pengantar Di dalam Aljabar representasi suatu besaran
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh
Lebih terperinciKajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan
Kajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan Soleha 1, Dian W. Setyowati 2, Satrio A. W. 3 1 Institut Teknologi Sepuluh Nopember, seha_07@matematika.its.ac.id 2 Institut
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciBahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1
Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Pada bab ini dibahas landasan teori yang akan digunakan untuk menentukan ciri-ciri dari polinomial permutasi atas finite field.
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas landasan teori yang akan digunakan untuk menentukan ciri-ciri dari polinomial permutasi atas finite field. Hal ini dimulai dengan memberikan pengertian dari group
Lebih terperinciRANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 1 (2013), hal. 63 70. RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Eka Wulan Ramadhani, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani INTISARI Rank dari matriks
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian, serta diakhiri dengan sistematika penulisan. 1.1 Latar
Lebih terperinciISNN WAHANA Volume 68, Nomer 1, 1 Juni 2017 HUBUNGAN ANTARA DAERAH IDEAL UTAMA, DAERAH FAKTORISASI TUNGGAL, DAN DAERAH DEDEKIND
HUBUNGAN ANTARA DAERAH IDEAL UTAMA, DAERAH FATORISASI TUNGGAL, DAN DAERAH DEDEIND Eka Susilowati Fakultas eguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas PGRI Adibuana Surabaya eka50@gmail.com Abstrak Setiap
Lebih terperinciTeorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik ( )
Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik (20110060311101) Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik Program
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciHIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma
HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Lebih terperinciPertemuan 6. Operasi Himpunan
Pertemuan 6 Operasi Himpunan Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B } Contoh (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika
Lebih terperinciGRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN
Saintia Matematika Vol. 1, No. 6 (2013), pp. 591 602. GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN L.F.D. Bali, Tulus, Mardiningsih Abstrak. Dalam teori grup topologi kompak lokal,
Lebih terperinciSOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciHimpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita. Matematika Diskret (TKE132107)
Lebih terperinciPeta Kompetensi Mata Kuliah Geometri Analitik Bidang dan Ruang (PEMA4317) xiii
ix G Tinjauan Mata Kuliah eometri Analitik merupakan suatu bidang studi dari hasil perkawinan antara Geometri dan Aljabar. Kita telah mengetahui bahwa himpunan semua titik pada suatu garis lurus berkorespondensi
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan
Lebih terperinciPETA KOMPETENSI MATA KULIAH GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG (PEMA4317) XIII
PETA KOMPETENSI MATA KULIAH GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG (PEMA4317) XIII ix Tinjauan Mata Kuliah G eometri Analitik merupakan suatu bidang studi dari hasil perkawinan antara Geometri dan Aljabar.
Lebih terperinciBahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1
Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciDEFINISI. Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
BAB 1 HIMPUNAN 1 DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK DENGAN RECTANGLE
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 1 Hal. 58 62 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA HIMPUNAN KUBIK ASIKLIK DENGAN RECTANGLE SISKA NURMALA SARI Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciHOMOLOGI DARI HIMPUNAN KUBIK YANG DIREDUKSI (ELEMENTARY COLLAPSE)
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 98 102 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND HOMOLOGI DARI HIMPUNAN KUBIK YANG DIREDUKSI (ELEMENTARY COLLAPSE) RISCHA DEVITA Program Studi Matematika,
Lebih terperinciTinjauan Terhadap Grup Cogenerated secara Hingga
Jurnal Matematika Integratif ISSN 112-618 Volume 10 No 1, April 201, hal 63-67 Tinjauan Terhadap Grup Cogenerated secara Hingga Edi Kurniadi Program Studi Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jalan
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciVariasi Fraktal Fibonacci Word
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Variasi Fraktal Fibonacci Word Kosala Dwidja Purnomo, Reska Dian Alyagustin, Kusbudiono Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember kosala.fmipa@unej.ac.id
Lebih terperinci1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Lebih terperinciMODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI
MODUL PEMBELAJARAN ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS 2/22/2012 IKIP BUDI UTOMO MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI IDENTITAS MAHASISWA NAMA NPM KELOMPOK : : : DAFTAR ISI Kata Pengantar Daftar Isi BAB I Bilangan
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Salah satu kajian menarik dalam analisis adalah teori himpunan.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu kajian menarik dalam analisis adalah teori himpunan. Himpunan merupakan konsep dasar dari semua cabang matematika bahkan sudah diperkenalkan dalam pendidikan
Lebih terperinciFERRY FERDIANTO, S.T., M.Pd. PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011
FERRY FERDIANTO, S.T., M.Pd. PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011 Operasi Himpunan Operasi Himpunan Operasi Himpunan Operasi Himpunan Operasi Himpunan 4. Beda Setangkup
Lebih terperinciGeometri di Bidang Euclid
Modul 1 Geometri di Bidang Euclid Dr. Wono Setya Budhi G PENDAHULUAN eometri merupakan ilmu pengetahuan yang sudah lama, mulai dari ribuan tahun yang lalu. Berpikir secara geometris dari satu bentuk ke
Lebih terperinciHIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si
HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga Jenis-jenis himpunan 3. Himpunan bagian (subset) 4. Himpunan saling lepas
Lebih terperinciPENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,
Lebih terperinciBuku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MIPA, JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara Yogyakarta Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER
Lebih terperinciAnalisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan didiskusikan tentang istilah-istilah, teorema-teorema yang akan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan didiskusikan tentang istilah-istilah, teorema-teorema yang akan digunakan dalam penelitian ini. 2.1 Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang memiliki karakteristik
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Masalah taklinear dalam sains dan teknik dituliskan dalam bentuk
4 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Masalah Taklinear (Urroz, 2001) Masalah taklinear dalam sains dan teknik dituliskan dalam bentuk persamaan taklinear. Persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk fungsi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinci44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA)
44. Mata Pelajaran Matematika untuk Sekolah Menengah Atas (SMA)/ Madrasah Aliyah (MA) A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan Enumerasi Simbol-simbol Baku Notasi
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis
1 I. PENDAHULUAN 1.2 Latar Belakang dan Masalah Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun
Lebih terperinciAnalisis Real. Johan Matheus Tuwankotta 1. December 3,
Analisis Real Johan Matheus Tuwankotta December 3, 200 Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no. 0, Bandung, Indonesia. mailto:theo@dns.math.itb.ac.id 2 Daftar Isi Sistem
Lebih terperinciPembelajaran Klasifikasi Geometris dari Transformasi Mӧbius Suatu Sarana Penyampaian Konsep Grup
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Pembelajaran Klasifikasi Geometris dari Transformasi Mӧbius Suatu Sarana Penyampaian Konsep Grup PM -45 Iden Rainal Ihsan Program Studi Pendidikan
Lebih terperinciHASIL KALI TENSOR: KONSTRUKSI, EKSISTENSI DAN KAITANNYA DENGAN BARISAN EKSAK
HASIL KALI TENSO: KONSTUKSI, EKSISTENSI AN KAITANNYA ENGAN BAISAN EKSAK Samsul Arifin samsul_arifin@mail.ugm.ac.id Mahasiswa S Matematika FMIPA UGM alam tulisan ini akan dibahas mengenai konstruksi hasil
Lebih terperinciMatematika Komputasional. Himpunan. Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB
Matematika Komputasional Himpunan Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah
Lebih terperinciCapaian Pembelajaran (CP)
INSTITUT TEKNOLOGI KALIMANTAN JURUSAN MATEMATIKA DAN TEKNOLOGI INFORMASI PROGRAM STUDI MATEMATIKA SILABUS MATA KULIAH KODE Rumpun MK BOBOT (sks) SEMESTER Tgl Penyusunan Geometri MA 1103 Analisis dan Aljabar
Lebih terperinciHimpunan dari Bilangan-Bilangan
Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 22, 2014 1 Khususnya dalam analisis, maka yang teristimewa penting adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil, yang dinyatakan dengan R. Himpunan
Lebih terperinciMatematika Terapan. Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 2
Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 2 2/24/2016 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Jl. Kolonel Wahid Udin Lk. I Kel. Kayuara, Sekayu 30711 web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.id
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh:
5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa.
Lebih terperinci