Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method)

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Metode Kekakuan Langsung (Direct Stiffness Method)"

Agus Halim
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Metode Kekakuan angsung (Direct Stiffness Method) matriks kekakuan U, P U, P { P } = [ K ] { U } U, P U 4, P 4 gaya perpindahan P K K K K 4 U P K K K K 4 U P = K K K K 4 U P 4 K 4 K 4 K 4 K 44 U 4

2 P = K. U + K. U + K. U + K 4. U 4 Kesetimbangan gaya di arah U P = K. U + K. U + K. U + K4. U4 Kesetimbangan gaya di arah U P = K. U + K. U + K. U + K4. U4 Kesetimbangan gaya di arah U P4 = K4. U + K4. U + K4. U + K44. U4 Kesetimbangan gaya di arah U4

3 Jika U = dan U = U = U4 =, maka : P = K ; P = K ; P = K ; P4 = K4 ihat Gambar (a) Jika U = dan U = U = U4 =, maka : P = K ; P = K ; P = K ; P4 = K4 ihat Gambar (b) Jika U = dan U = U = U4 =, maka : P = K ; P = K ; P = K ; P4 = K4 ihat Gambar (c) Jika U4 = dan U = U = U4 =, maka : P = K4 ; P = K4 ; P = K4 ; P4 = K44 ihat Gambar (d)

4 U = P = K P = K P = K P4 = K4 U = P = K P = K P = K P4 = K4 U = P = K P = K P = K P4 = K4 U = P = K P = K P = K P4 = K4

5 Matrix kekakuan: K K K K 4 K = K K K K 4 K K K K 4 K 4 K 4 K 4 K 44 EI EI K = EI EI EI Matriks Kekakuan EI Gambar (a) (b) (c) (d)

6 Jika pada batang bekerja gaya aksial : U,P U,P, EA K = EA K = EA U = K = EA Matriks kekakuan elemen dengan melibatkan gaya aksial : K = EA U = U, P U, P U, P U 4, P 4 K = 6 x 6 EA EI EI EA EI EA EA EI EI EI

7 Contoh Sebuah balok statis tak tentu seperti pada gambar q, EI, EI Menentukan keaktifan ujungujung elemen Menentukan matriks tujuan DOF : rotasi Matriks kekakuan struktur [ Ks ] x Membuat matrik kekakuan elemen : [ Ks ] = [ K ] + [ K ]

8 Membuat matrik kekakuan elemen : Elemen EI EI K = EI EI EI EI Matriks Tujuan { T } = { } T [ K ] = x

9 Elemen K = EI EI EI EI EI EI Matriks Tujuan { T } = { } T [ K ] = x EI EI

10 Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K ] + [ K ] [ Ks ] x = + EI EI = 8 EI EI EI Untuk mendapatkan deformasi ujungujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ] { Ps } dimana : Us = deformasi ujungujung aktif Ks = kekakuan struktur Ps = gayagaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)

11 Untuk contoh di atas, maka : q Ps = q q q q Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ] [ Ks ] = 8 EI EI EI [ Ks ] = EI 4 8 = 8 EI 4 8 Jadi : { Us } = [ Ks ] { Ps } Us = 8 EI 4 8 q q

12 Us = 8 EI 6 q q q q Us = q EI q EI Rotasi di joint Rotasi di joint Deformasi untuk masingmasing elemen U U Elemen : U = U = 4 U q 68 EI U U Elemen : U = U = 4 U q 68 EI 5 q 68 EI

13 Reaksi akibat beban luar : q P R = q P R = q q q q q q q

14 Gaya akhir elemen : Elemen : { P } = [ K ] + { P R } EI EI EI P = EI EI + EI q 68 EI 6 q 56 q 56 P = 6 = q 56 4 q 56 q 8 q 8 q 8 q 8

15 Elemen : { P } = [ K ] + { P R } EI EI EI P = EI EI + EI 5 q 68 EI 68 q EI q q q q q 56 4 q 56 P = = 4 q 56 6 q 8 q 8 q 8

16 Free Body Diagram : q 8 q 8 q 8 q q 8 q 8 6 q 8 q 8 Menggambar gayagaya dalam : Bidang D : 6 q 8 q 8 + q 8 q 8 Bidang M : q q 8

17 Elemen Portal D Sebuah portal statis tak tentu seperti pada gambar B P C B C EI EI DOF = A A / / Matriks kekakuan struktur [ Ks ] x [ Ks ] = [ K ] + [ K ]

18 Elemen EI K = EI x Matriks Tujuan { T } = { } T [ K ] = x Elemen EI K = EI x Matriks Tujuan { T } = { } T [ K ] = x EI EI

19 Matriks Kekakuan Global Struktur [ Ks ] = [ K ] + [ K ] [ Ks ] x = + EI EI = 8 EI EI EI Untuk mendapatkan deformasi ujungujung aktif struktur, maka digunakan hubungan : { Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ] { Ps } dimana : Us = deformasi ujungujung aktif Ks = kekakuan struktur Ps = gayagaya pada ujung aktif elemen akibat beban luar (aksi)

20 Untuk contoh di atas, maka : P 8 P P 8 Ps = 8 8 P P Menghitung invers matrik kekakuan global [ Ks ] [ Ks ] = 8 EI EI EI [ Ks ] = EI 4 8 = 8 EI 4 8

21 Jadi : { Us } = [ Ks ] { Ps } Deformasi untuk masingmasing elemen Us = 8 EI P P U Elemen : U = = U P EI Us = 8 EI 6 q q q q U Elemen : U = = U 5 P EI P EI Us = 5 P EI P EI Rotasi di joint B Rotasi di joint C

22 Reaksi akibat beban luar : P P 8 P 8 P R = P R = 8 8 P P Gaya akhir elemen : Elemen : { P } = [ K ] + { P R } Elemen : { P } = [ K ] + { P R } EI P = + EI P EI EI P EI P = + EI 5 P EI P 8 P 8 P = P P Hasil perhitungan hanya momen saja 6 q q 56 8 P = = Hasil perhitungan hanya momen saja

23 Free Body Diagram : 6 56 P 7 P 8 9 P 56 9 P P 8 P Dihitung lagi P P P 56 P 9 P 56 Dihitung lagi Bidang D : 7 P 8 + P P 8 Bidang M : 7 P 8 6 P 56 + P 56 Bidang N : 9 P 56 9 P 56 + P 56 7 P 8

24 Transformasi Sumbu U, P u, p u, p u, p U, P U, P u u u = Koordinat okal dan Global C S S C U U U C = cos S = sin

25 Atau dapat ditulis : Dimana : u = U = C S S C C = cos S = sin Untuk transformasi sumbu sebuah titik dengan 6 dof dapat ditulis : u u u u 4 u 5 u 6 = U U U U 4 U 5 U 6 [ u ] = [ R ] [ U ] R = matriks rotasi

26 Transformasi sumbu juga berlaku untuk gaya : p = P P = p = T P = T p P P P P 4 P 5 P 6 = p p p p 4 p 5 p 6 [ P ] = [ R ] T [ p ] R = matriks rotasi p = k u ; u = R U P = R T p P = K U = R T k u K = R T k R = R T k R U K

27 Matriks kekakuan elemen untuk 6 dof : EA EA k = 6 x 6 EI EI EA EI EA EI EI EI k = Dimana : = EI = A I [ K ] = [ R ] T [ k ] [ R ]

28 K = C S S C C S S C C S S C C S S C g g g 4 g g g 4 g g 5 g g g 5 K = g 6 g 4 g 5 g 7 g g g 4 g g 5 g 6 Dimana : g = ( C + S ) g 5 = 6 C g = C S ( ) g 6 = 4 g = ( S + C ) g 7 = g 4 = 6 S

29 Sebuah portal seperti gambar, dengan menggunakan transformasi sumbu hitunglah gayagaya dalam yang bekerja E =. ksi A = 5 in I = 5 in 4 = ft = ft q =,68 k/ft = ft M = 4 kft = 68 kin Sumbu Global Sumbu okal DOF [ Ks ] x DOF [ k ] x

30 Matriks transformasi batang : Batang : = 7 o cos 7 o = sin 7 o = = 7 o x = C S S C = x Batang : = o cos o = sin o = = o x x = C S S C =

31 C S S C R = = C S S C C S S C R = = C S S C

32 Matriks kekakuan system struktur Elemen : EI..5 = =,87 (. ) = A I 5.(.) =.44 5 C = ; S = { T } = { } T g g g 4 g g g 4 K = g g 5 g g g 5 g 6 g 4 g 5 g 7 g g g 4 g g 5 K = g g 4 g 4 g 6 g 4 g 6 g = ( C + S ) =,87 [ + () ] =,44 g 4 = 6 S =, () = 66,4 g 6 = 4 =, = 5. Sehingga :,44 66,4 K = 66,4 5.

33 Elemen : EI..5 = =,87 (. ) = A I C = ; S = 5.(.) =.44 5 g = ( C + S ) =,87 [ () ] =.5,8 g 4 = 6 S =, () = g 6 = 4 =, = 5. g 7 = =,87.. = 5.56 Sehingga : { T } = { } T K =.5, g g g 4 g g g g g 5 g g g 5.6,4 66,4 K = g 4 g 6 g 4 g 5 g 7 K S = 66, g g g g g 5 g 4 g 7 g 6 K = g g 4 g 4 g 4 g 6 g 7 g 4 g 7 g 6

34 Matriks beban : 8,4 8,4 q =,4 k/in 68 kin 68 kin 68 kin P S = 68 { Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ] { Ps }.6,4 66,4 U S = 66, U S =,95,9,96 Defleksi horizontal di Rotasi di Rotasi di

35 Displasement masingmasing batang (koordinat lokal) u u u u = = u 4,95 = u 5,95 u 6,9,9 u,95,95 u u u = = u 4,9 =,9 u 5 u 6,96,96

36 Gaya akhir batang : Elemen : Elemen : { P } = [ k ] { u } + { },9 k 47,5 kin P = =,9 k,959 kft { P } = [ k ] { u } + { F aksi },9 k 7,8 k 95,84 kin P = =,9 k,9 k 7,8 k 7,99 kft,9 k,9 k,9 k 9 k 9 k 95,6 kin 7,968 kft 68 kin 4 kft

37 Free body diagram :,9,9 k, ,968 kft,9 k,9 k 7,99 kft q =,68 k/ft 4 kft,9 k,9 7,8 +,959 7,8 k 9 k +,9, ,99 4

38 KONSTRUKSI RANGKA BATANG Pada Konstruksi Rangka Batang (KRB), perhitungan matriks kekakuan elemen [ K ] berdasarkan kasus rangka batang Dimensi. Gaya yang bekerja hanya tarik dan tekan aksial saja, sedang gaya momen dan lintang tidak terjadi. Perhatikan gambar dengan elemen struktur batang dengan luas A dan Modulus Elastisitas E konstan. Perhitungan kekakuan elemen hanya mengandung elemen A, E dan empat titik koordinat, yaitu : xi, xj, yi, dan yj.

39 y,v c = cos j i j x,u cu i i u i q i p i p j q j d Elemen Rangka Batang, dengan sudut pada bidang xy Elemen Rangka Batang setelah perpindahan titik u i >, titik lain tetap

40 Pertama, harus menghitung : = x j x C = cos = S = sin = i y x j j y x y j i y Perpendekan aksial cu i menghasilkan gaya tekan aksial F = AE cu i Dimana : x dan y merupakan komponen dari ; p i = p j = Fc q i = q j = Fs i i Komponen ini menghasilkan kesetimbangan statis, sehingga diperoleh : C p i AE CS C u i = q i p j CS q j

41 Hasil yang sama juga akan diperoleh dengan cara memberikan perpindahan pada v i, u j, dan v j, dimana gaya bekerja sendirisendiri. Dan jika 4 dof dengan nilai tidak nol bekerja bersamasama, dan dengan superposisi masingmasing elemen matriks kekakuan, dapat dihitung sebagai berikut : C CS C CS K = AE CS S CS S C CS C CS CS S CS S

42 Hubungan matriks kekakuan dengan gaya dapat ditulis sebagai berikut : [ K ] { D } = { F } C CS C CS u i p i AE CS S CS S C CS C CS v i u j = q i p j CS S CS S v j q j Untuk kasus khusus :. Jika nilai =, sebagai batang horizontal, matriks kekakuan elemen [ K ] 4 x 4 Hanya berisi 4 komponen yang tidak bernilai nol, yaitu : k = k = k = k = AE K = AE

43 . Jika nilai = 9, sebagai batang vertikal, matriks kekakuan elemen [ K ] 4 x 4 Hanya berisi 4 komponen yang tidak bernilai nol, yaitu : k = k 44 = k 4 = k 4 = AE K = AE

44 Sebuah Konstruksi Rangka Batang dengan luas A dan Modulus Elastisitas E yang sama, seperti pada Gambar v 6 7 u Hitunglah matriks kekakuaan masingmasing elemen

45 Perumusan untuk mencari nilai matriks kekakuan elemen dengan sudut : C CS C CS K = AE CS S CS S C CS C CS CS S CS S Batang, dan merupakan batang horizontal, sehingga = o Maka : [ K ] = [ K ] = [ K ] K = AE

46 Batang 4 dan 6 merupakan batang diagonal dengan sudut = 6 o Dimana : C = cos 6 o =,5 S = sin 6 o =,866 Maka : [ K 4 ] = [ K 6 ],5,4,5,4 K 4 = AE,4,75,4,75,5,4,5,4,4,75,4,75 Batang 5 dan 7 merupakan batang diagonal dengan sudut = o Dimana : C = cos o =,5 S = sin o =,866 Maka : [ K 5 ] = [ K 7 ],5,4,5,4 K 5 = AE,4,75,4,75,5,4,5,4,4,75,4,75

dokumen-dokumen yang mirip

ANALISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM)

ANAISA STRUKTUR METODE MATRIKS (ASMM) Endah Wahyuni, S.T., M.Sc., Ph.D Matrikulasi S Bidang Keahlian Struktur Jurusan Teknik Sipil ANAISA STRUKTUR METODE MATRIKS Analisa Struktur Metode Matriks (ASMM)