PADA PATH DAN CYCLE. oleh Priyanto M

Transkripsi

1 PELABELAN γ PADA PATH DAN CYCLE oleh Priyanto M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 009

2 Pembimbing I, PELABELAN γ SKRIPSI PADA PATH DAN CYCLE yang disusun oleh PRIYANTO M dibimbing oleh Pembimbing II, Dra. Mania Roswitha, M.Si NIP Drs. Muslich, M.Si NIP Telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Selasa, tanggal 8 Juli 009 dan dinyatakan telah memenuhi syarat. Anggota Tim Penguji Tanda Tangan 1. Drs. Tri Atmojo K, M.Sc., Ph.D NIP Dra. Diari Indriati, M.Si.... NIP Winita Sulandari, M.Si NIP Disahkan oleh Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan, Ketua Jurusan Matematika, Prof. Drs. Sutarno, M.Sc., Ph.D Drs. Kartiko, M.Si NIP NIP

3 ABSTRAK Priyanto, 009. PELABELAN γ PADA PATH DAN CYCLE, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Suatu graf menyatakan himpunan titik yang disebut vertex dan dihubungkan dengan garis disebut edge. Pelabelan γ dari graf G dengan order V(G) dan size E(G) adalah fungsi satu satu f : V(G) { 0, 1,,..., E(G) } yang menghasilkan pelabelan f : E(G) { 1,,..., E(G) } dari edge di G yang ditulis sebagai f (e) = f (u) f (v) pada e = uv di G. Nilai dari f ditulis sebagai f '( e) e E ( G ) val(f) =. Nilai maksimal dari pada G ditulis sebagai val max (G) = max{ val(f) : f adalah dari G }. Sedangkan nilai minimal dari pada G ditulis sebagai val min (G) = min{ val(f) : f adalah dari G }. Tujuan dari penulisan ini adalah dapat mendeskripsikan pada path dan cycle kemudian menghasilkan nilai maksimal dan nilai minimalnya. Metode yang digunakan pada skripsi ini adalah studi literatur. Selanjutnya dapat ditarik kesimpulan bahwa n 1. val min (P n ) = n 1 dan val max (P n ) = untuk setiap bilangan bulat n. ( n 1)( n 3). val min (C n ) = (n 1), val max (C n ) = untuk setiap bilangan bulat ganjil n 3 dan n( n ) val max (C n ) = untuk setiap bilangan bulat genap n 4.

4 ABSTRACT Priyanto, 009. γ LABELING of PATH AND CYCLE, Faculty of Mathematic and Natural Science, Sebelas Maret University. A graph explained set of points called vertices and together with lines called edge. A γ labeling of a graph G of order V(G) and size E(G) is a one to one function, f : V(G) { 0, 1,,..., E(G) } that induces a labeling f : E(G) { 1,,..., E(G) } of the edges of G, f (e) = f (u) f (v) for edge e = uv of G. Value of γ labeling f denoted by val(f) = ( ) f '( e) e E G. The maximum value of γ labeling of G is defined by valmax (G) = max{val(f) : f is a γ labeling of G}. And the minimum value of γ labeling of G is defined by valmin (G) = min {val(f) : f is a γ labeling of G}. The aims of research are to describe γ labeling of path and cycle and resulting of the maximum and minimum values. The method on this research is a literary study. The result shows that n 1. val min (P n ) = n 1, val max (P n ) = for every integer n ( n 1)( n 3). val min (C n ) = (n 1), val max (C n ) = for every odd integer n 3 and val max (C n ) = n( n ) for every even integer n 4.

5 MOTO Allah akan meninggikan orang orang yang beriman di antara kamu dan orang orang yang diberi pengetahuan beberapa derajat (QS. Al Mujaadalah : 11) Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (QS. Al Insyirah : 6)

6 PERSEMBAHAN Karya sederhana ini aku persembahkan kepada : Bapak, Ibu (almarhumah), Mbah Putri dan Kakakku atas semua doa, kasih sayang, tetes keringat dan pengorbanan yang tiada henti atas diriku.

7 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa selesainya skripsi ini tidak lepas dari bimbingan, petunjuk, saran, dan dukungan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Ibu Dra. Mania Roswitha, M.Si sebagai Dosen Pembimbing Akademis dan juga selaku Dosen Pembimbing I yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, nasehat dan pengarahan dalam penyusunan skripsi ini.. Bapak Drs. Muslich, M.Si sebagai Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bantuan dan pengarahan serta perhatian dalam penulisan skripsi ini. 3. Teman teman angkatan 001 atas bantuan, semangat, serta dukungan untuk menyelesaikan skripsi ini. Penulis berharap tulisan ini dapat menambah wawasan mahasiswa FMIPA UNS, terutama tentang teori graf. Surakarta, Juli 009 Penulis

8 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PENGESAHAN... ii ABSTRAK... iii ABSTRACT... iv MOTO... v PERSEMBAHAN... vi KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... viii DAFTAR GAMBAR... x DAFTAR LAMPIRAN... xi DAFTAR NOTASI... xii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penulisan Manfaat... 3 BAB II LANDASAN TEORI.1 Tinjauan Pustaka Teori Graf Pelabelan dan Pelabelan γ Kerangka Pemikiran BAB III METODE PENELITIAN BAB IV PEMBAHASAN 4.1 Pelabelan γpada Subgraf Pelabelan γpada Path Mencari val min (P n ) 19

9 4.. Mencari val max (P n ) Pelabelan γpada Cycle Mencari val min (C n ) Mencari val max (C n ).. 8 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Saran... 3 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 34

10 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar.1 Graf G... 4 Gambar..a Graf Tak Berarah... 5 Gambar..b Graf Berarah... 7 Gambar.3.a Graf dengan Edge Sejajar... 6 Gambar.3.b Graf dengan Loop dan Isolated Vertex... 6 Gambar.4 Graf Sederhana... 7 Gambar.5 Graf yang Memuat Walk, Trail, dan Path... 7 Gambar.6.a Graf Terhubung... 8 Gambar.6.b Graf Tak Terhubung... 8 Gambar.7 Order dan Size dari Graf G... 8 Gambar.8 Cycle... 9 Gambar.9.a Cycle Ganjil Gambar.9.b Cycle Genap Gambar.10 Graf Beserta Degree dari Vertex Gambar.11 G Isomorfis dengan H Gambar.1 H 1 dan H Subgraf dari G Gambar.13 Spanning Subgraf H dari Graf G Gambar.14 Graf 3 regular Bipartite... 1 Gambar.15 Subdivisi dari Graf G... 1 Gambar.16 Pelabelan Graf Gambar.17 Beberapa Pelabelan γ dari P Gambar 4.1 Salah Satu Pelabelan γ f dari P Gambar 4. Salah Satu Pelabelan γ f dari P 8....

11 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran1: Listing Program Lampiran: Listing Program Pelabelan γ pada Path Pelabelan γ pada Cycle Halaman

12 NOTASI G U,V E e u,v γ, γ P n C n deg f V Z ϕ : Nama suatu graf : Himpunan vertex : Himpunan edge : Nama edge suatu graf : Nama vertex suatu graf : Nama suatu pelabelan : Path dengan order n : Cycle dengan order n : Degree : Fungsi yang dibatasi pada V : Himpunan bilangan bulat positif : Pemetaan satu satu pada graf isomorfis : Isomorfisme : Bukti selesai

13 BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan dan manfaat penulisan skripsi. 1.1 Latar Belakang Masalah Manusia adalah makhluk sosial yang tidak bisa hidup sendiri tanpa bantuan orang lain. Dalam menjalankan kehidupannya manusia akan saling berhubungan dengan sesamanya. Hubunganhubungan pada manusia tersebut dapat membentuk suatu jaringan. Jaringan yang terbentuk akibat hubungan manusia saat ini besar sekali, karena seluruh manusia yang ada di muka bumi ini akan terjalin dalam jaringan itu. Misalkan hubungan dua manusia digambarkan dengan titik dan garis. Kedua manusia dimisalkan dengan titik yang dihubungkan dengan garis. Dua titik itu adalah vertex dan garis yang menghubungkannya adalah edge. Jaringan itu dapat digambarkan dalam bentuk graf. Suatu graf menyatakan himpunan titik yang disebut vertex dan dihubungkan dengan garis yang disebut edge. Oleh karena itu graf dapat digunakan untuk menyatakan jaringan komplex yang terdiri dari komponen komponen yang berhubungan. Contoh sederhana dari graf adalah peta jalan raya. Kotakota dalam peta tersebut digambarkan sebagai vertex dan jalan yang menghubungkan kota kota adalah edge (Chartrand dan Ollermann, 1993). Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang telah banyak memberi peran dalam pengembangan matematika terapan dan mengalami perkembangan sangat cepat sejak tahun 190 an. Tidak diragukan lagi, alasan ketertarikan terhadap teori graf adalah aplikasinya dalam berbagai bidang antara lain : Ilmu Komputer, Kimia, Riset Operasi, dan Ekonomi. Sebagai contoh, teori graf memberikan solusi dalam masalah penentuan rute terpendek dengan menggunakan pelabelan yang merupakan salah satu pokok bahasan dalam teori graf (Wijaya, 004). Pelabelan (labeling / valuation) pada graf menjadi topik yang banyak mendapat perhatian, karena model model yang ada pada pelabelan graf berguna untuk aplikasi yang luas, seperti dalam masalah teori koding, kristalografi, sinar x, radar, sistem alamat jaringan komunikasi dan desain sirkuit. Pelabelan dari suatu graf G(V,E) adalah pemetaan satu satu yang membawa elemen graf

14 berupa himpunan vertex V(G) atau himpunan edge E(G) sebagai domain ke bilangan bilangan bulat positif sebagai kodomain, yang disebut label. Jika domain yang digunakan adalah himpunan semua edge dan himpunan semua vertex maka disebut sebagai pelabelan total (total labeling). Pelabelan yang menggunakan domain himpunan semua edge atau himpunan semua vertex saja masing masing disebut sebagai pelabelan edge (edge labeling) dan pelabelan vertex (vertex labeling) (Wallis, 001). Salah satu contoh pelabelan adalah pelabelan ajaib (magic labeling) yang diperkenalkan oleh Wallis (001). Pada perkembangan selanjutnya, (γ labeling). Chartrad, et al. (005) menulis tentang Pelabelan γ pada graf G adalah fungsi satu satu f : V(G) { 0, 1,,, E(G) } yang menghasilkan f : E(G) { 1,,, E(G) } dari edge di G yang ditulis sebagai f (e) = f(u) f(v) untuk semua edge e = uv dari G. Pelabelan γ dari graf G menghasilkan nilai val(f) yang f e E ( G ) ditulis sebagai val(f) = '( e). Nilai maximum dari graf G, val max (G) = max { val(f) : f adalah dari G}. Sedangkan nilai minimum dari pada graf G, val min (G) = min { val(f) : f adalah dari G}. Tujuan penulisan skripsi ini adalah mengkaji kembali secara teoritis mengenai pada path dan cycle (Chartrand, et al., 005). 1. Perumusan Masalah Berdasarkan pada latar belakang masalah di atas, masalah yang dikaji dalam penulisan skripsi ini adalah bagaimanakah cara mendeskripsikan pada path? bagaimanakah cara mendeskripsikan pada cycle? bagaimanakah mensimulasikan pada path dan

15 cycle menggunakan program komputer? 1.3 Batasan Masalah Penulisan skripsi ini membahas mengenai pada path dan cycle yang dibatasi pada kajian teoritis, graf berhingga, graf sederhana dan graf tak berarah. Simulasi program menggunakan bahasa Pascal. 1.4 Tujuan Penulisan Tujuan yang dicapai dari penulisan tugas akhir ini adalah 1. dapat mendeskripsikan pada path. dapat mendeskripsikan pada cycle 3. dapat menyusun program komputer untuk simulasi pada path dan cycle. a. Manfaat Manfaat yang ingin diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah 1. dapat memberikan wawasan kepada pembaca khususnya yang berminat dengan teori graf khususnya tentang. dapat mengetahui nilai minimal dan nilai maksimal dari pada path dan cycle.

16 BAB II LANDASAN TEORI.1 Tinjauan Pustaka Untuk menyelesaikan masalah dengan baik diperlukan suatu pengetahuan yang cukup. Di bawah ini diuraikan beberapa hal yang mendasari penulisan skripsi ini untuk mencapai tujuan penulisan. Di sini akan diuraikan beberapa definisi dalam teori graf dan konsep dasar. ii.teori Graf Definisi.1 [Bondy dan Murty, 1976] Suatu graf G(V,E) merupakan himpunan V(G) dan E(G), dengan V(G) = {v 1, v, v 3,..., v v } merupakan vertex berhingga yang tidak kosong dan E(G) = {e 1, e, e 3,,e ε } merupakan himpunan pasangan tak berurutan dari anggota anggota V(G), yang disebut edge. E(G) bisa bernilai kosong. Setiap pasang vertex (v i,v j ) dihubungkan oleh edge e. Berikut ini diberikan suatu graf G dengan 4 vertex dan 4 edge. v 1 v 4 V(G) = {v 1, v, v, v } 3 4 e 1 e e 4 E(G) = {e 1, e, e, e } 3 4 v e 3 v 3 Gambar.1 Graf G

17 Definisi. [Harsfield dan Ringel, 1990] Graf tak berarah (undirected graph) adalah graf yang edge nya tak mempunyai arah. Jika terdapat edge e yang terhubung dengan pasangan tak berurutan vertex v 1 dan vertex v j, maka ditulis sebagai v i v j atau v j v i. Definisi.3 [Harsfield dan Ringel, 1990] Graf berarah (directed graph) adalah graf yang edgenya mempunyai arah. Edge e yang terhubung dengan pasangan berurutan vertex v i dan v j, ditulis sebagai v i v j yang melambangkan sebuah edge dari v i ke v j. Arah edge biasanya ditunjukkan dengan panah. Gambar..a merupakan contoh graf tak berarah dan Gambar..b merupakan contoh graf berarah, masing masing graf memiliki 4 vertex dan 4 edge. v 1 e 1 v v 1 v e 4 e v 3 e 3 v 4 v 3 v 4 Gambar..a Graf Tak Berarah Gambar..b Graf Berarah Definisi.4 [Johnsonbaugh, 001] Sebuah edge e dalam sebuah graf G ( berarah atau tidak berarah ) yang terhubung dengan pasangan vertex v i dan vetex v j disebut berhubungan ( incident) terhadap v i dan v j atau sebaliknya sedangkan v i dan v merupakan vertex vertex yang berdekatan ( adjacent ) yang dinotasikan dengan v ~ v. j i j Pada Gambar..a edge e 1 berhubungan dengan vertex v 1 dan v sedangkan vertex v berdekatan dengan v 1 dan v 4.

18 Definisi.5 [Johnsonbaugh, 001] Dua edge atau lebih yang terhubung terhadap pasangan vertex yang sama disebut edge sejajar ( parallel edge ). Sebuah edge yang berhubungan terhadap satu vertex disebut loop. Sebuah vertex yang tidak berhubungan terhadap sembarang edge disebut isolated vertex. Gambar.3.a merupakan contoh graf dengan edge sejajar dan Gambar.3.b merupakan contoh graf dengan loop dan isolated vertex. v v 3 v 3 v 1 v 4 v 1 v Gambar.3.a Graf dengan Edge Sejajar Gambar.3.b Graf dengan Loop dan Isolated Vertex Definisi.6 [Johnsonbaugh, 001] Graf dikatakan sebagai graf sederhana (simple graph) jika tidak terdapat loop dan edge sejajar. Berikut diberikan contoh graf sederhana dengan 6 vertex dan 7 edge.

19 v 6 v 5 v 3 v 1 v v 4 Gambar.4 Graf Sederhana Definisi.7 [Bondy dan Murty, 1976] Graf G dikatakan berhingga jika V(G) dan E(G) merupakan himpunan berhingga. Definisi.8 [Bondy dan Murty, 1976] Walk merupakan suatu deret bergantian vertex dan edge v 0, e 1, v 1,, v v 1, e v, v v dengan awal dan akhirnya berupa vertex. Trail adalah walk yang semua edge nya berbeda (tidak boleh diulang), tetapi vertex nya boleh diulang. Path adalah walk yang semua vertex nya berbeda. Contoh graf yang memuat walk, trail dan path tampak pada Gambar.5 v e v 3 e 1 v 1 e 6 e 7 e 8 e 3 e 5 v 5 e 4 v 4 Gambar.5 Graf yang memuat Walk, Trail, Path Salah satu contoh walk, trail dan path yang termuat dalam Gambar.5 adalah sebagai berikut walk : v 1, e,v, e 6, v 5, e 5, v 1, e 1, v, e, v 3, e 8, v 5, e 4, v 4

20 trail : v 3, e 3, v 4, e 4, v 5, e 8, v 3, e, v, e 6, v 5 path : v 4, e 3, v 3, e 8, v 5, e 5, v 1, e 1, v. Definisi.9 [Bondy dan Murty, 1976] Graf G dikatakan graf terhubung ( connected graph ) jika terdapat suatu path di antara sebarang dua vertex dari graf G. Jika tidak demikian, maka disebut graf tak terhubung ( disconnected graph ). Contoh graf terhubung dan graf tak terhubung dapat dilihat pada Gambar.6.a dan Gambar.6.b. v 3 v v v 1 v 7 v 4 v 1 v 5 v 6 v 1 v 3 Gambar.6.a Graf Terhubung Gambar.6.b Graf Tak Terhubung Definisi.10 [Bondy dan Murty, 1976] Banyaknya vertex dalam graf G dinamakan order yang dinotasikan dengan n dan banyaknya edge dalam suatu graf dinamakan size yang dinotasikan dengan m. Contoh graf dengan order 5 dan size 6 ditunjukan pada Gambar.7. e 6 v 1 e 1 v 5 v Order G adalah n = V(G) = 5 e 5 e 3 e Size G adalah m = E(G) = 6 v 4 e 4 v 3 Gambar.7 Order dan Size dari Graf G Definisi.11 [Bondy dan Murty, 1976]

21 Cycle adalah path dengan setiap vertex yang dilewati tidak boleh sama kecuali vertex awal dan vertex akhir. Contoh cycle dengan 3 vertex ditunjukkan pada Gambar.8. v 1 v v 3 Gambar.8 Cycle Definisi.1 [Bondy dan Murty, 1976] Cycle dengan panjang n dinotasikan dengan n cycle atau C n. Jika n adalah bilangan ganjil maka C n disebut sebagai cycle ganjil dan jika n genap maka C n disebut sebagai cycle genap. Gambar.9.a dan Gambar.9.b adalah contoh cycle ganjil dan cycle genap. v 1 v 1 v v v 3 v 4 v 3 Gambar.9.a Cycle Ganjil Gambar.9.b Cycle Genap Definisi.13 [Bondy dan Murty, 1976] Degree suatu vertex v dalam graf G adalah banyaknya edge yang berhubungan dengannya dan dinotasikan dengan deg(v). Gambar.10 adalah contoh graf dengan degree masing masing vertex nya.

22 v 1 v 5 e 6 e 1 deg(v 1 ) = 3 deg(v ) = deg(v 3 ) = 3 deg(v 4 ) = e 5 e 3 v deg(v 5 ) = deg(v 6 ) = 0 e v 4 e 4 v 6 v 3 Gambar.10 Graf Beserta Degree dari Vertex Definisi.14 [Wallis, 001] Isomorfisme dari graf G terhadap Hadalah pemetaan satu satu ϕ dari V(G) pada V(H) dengan sifat bahwa v 1, v adalah vertex yang berhubungan dalam G jika dan hanya jika ϕ (v 1 ) dan ϕ (v ) adalah vertex yang berhubungan dalam H. Gambar.11 adalah bentuk isomorfisme G pada H atau dapat ditulis dengan G H. u 4 v 1 v v 3 u 1 u 3 G H u 6 u 5 v 6 v 5 v 4 u G H karena ϕ (v i ) = u i, i = 1,,..., 6. Gambar.11 G Isomorfis dengan H

23 Definisi.15 [Harsfield dan Ringel, 1990] Graf H disebut subgraf dari graf G jika setiap vertex H adalah vertex dari G dan setiap edge H adalah edge dari G, dengan kata lain V(H) V(G) dan E(H) E(G). Berikut ini diberikan contoh graf G dengan subgraf H 1 dan H. G H 1 H Gambar.1 H 1 dan H Subgraf dari G Definisi.16 [Wallis, 001] Subgraf H dari graf G dinamakan spanning subgraf jika V(G) = V(H). Berikut diberikan contoh spanning subgraf H dari graf G. G v 1 H v 1 v v 6 v v 6 v 3 v 4 v 5 v 3 v 4 v 5 Gambar.13 Spanning Subgraf H dari Graf G Definisi.17 [Chartrand dan Oellerman, 1993] Suatu graf yang setiap vertexnya mempunyai degree sama yaitu r, disebut bipartite. graf r regular

24 Berikut diberikan contoh 3 regular bipartite graf. Gambar.14 3 regular bipartite graf Definisi.18 [Aldous dan Wilson] Suatu graf yang dibentuk dengan cara menambahkan vertex dengan degree disebut subdivisi. Gambar.15 adalah contoh subdivisi dari graf G G Gambar.15 Subdivisi dari Graf G iii.pelabelan dan Pelabelan γ Pada prinsipnya pelabelan graf merupakan pemberian nilai (label) pada vertex, edge, kedua vertex dan edge ataupun pada bidang. Definisi.19 [Wallis,001] Pelabelan dari sebuah graf adalah pemetaan elemen elemen graf ke bilangan bilangan ( biasanya bilangan bulat positif atau non negatif ).

25 1v 1 8 v 7 5v v 4 8 3v 3 Gambar.16 Pelabelan Graf Definisi.0 [Chartrand, et.al., 005] Jika diberikan graf G dengan order n dan size m maka pelabelan γ dari G adalah fungsi satu satu f : V(G) { 0, 1,,, m } yang menghasilkan f : E(G) { 1,,, n } dari edge di G ditulis sebagai f ( e ) = f (u ) f (v) untuk semua edge e = uv dari G. Pada pelabelan γ dari graf G menghasilkan nilai val(f) yang ditulis sebagai f e E ( G ) val(f) = '( e). Contoh Beberapa Pelabelan γ dari P5 ditunjukkan Gambar.17. f 1 : f : val(f 1 ) = 4 val(f ) = 5 f 3 : f 4 : val(f 3 ) = 6 val(f 4 ) = 7 Gambar.17 Beberapa Pelabelan γ dari P5

26 Nilai maksimal dari graf G didefinisikan sebagai val max (G) = max{val(f) : f adalah dari G}. Sedangkan nilai minimal dari pada graf G didefinisikan sebagai : val min (G) = min{val(f) : f adalah dari G}. Pelabelan γ g pada graf G adalah pelabelan max γ ( γ max labeling) jika val(g) = val max (G) dan h adalah pelabelan min γ ( γ min labeling) jika val(h) = val min (G). Span(f) dari f pada graf G didefinisikan sebagai span( f ) = max{f(v) : V V(G) } min{ f(v) : v V(G) }. b. Kerangka Pemikiran Suatu graf menyatakan himpunan titik yang disebut vertex dan dihubungkan dengan garis yang disebut edge. Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang telah banyak memberi peran dalam pengembangan matematika terapan dan mengalami perkembangan sangat cepat sejak tahun 190 an. Pelabelan merupakan salah satu pokok bahasan dalam teori graf. Pada perkembangan selanjutnya, Chartrad, et al. (005) menulis tentang. Skripsi ini mengkaji ulang mengenai pada suatu graf G yang diperkenalkan oleh Chartrand, et al. (005). Penulisan skripsi ini membahas mengenai pada path dan cycle yang dibatasi pada kajian teoritis, graf berhingga, graf sederhana dan graf tak berarah. Nilai val max dan val min pada dapat diperoleh dengan cara membuktikan proposisi dan teorema teorema dengan terlebih dahulu mempelajari definisi definisi yang ada. Setelah itu dibuat program komputer dengan menggunakan bahasa Pascal.

27 BAB III METODE PENELITIAN Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah studi literatur, yaitu metode penulisan dengan bahan diambil dari buku referensi, jurnal dan artikel. Definisi definisi dan teoremateorema dalam referensi dikaji ulang, kemudian digunakan dalam pembahasan perumusan masalah yang telah dirumuskan. Adapun langkah langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut 4. mempelajari buku buku, jurnal jurnal dan artikel artikel referensi 5. mengkaji definisi definisi dan teorema teorema 6. menguraikan proses pada suatu path dan cycle 7. menghitung val(f) dari suatu path dan cycle 8. membuktikan teorema teorema dan lemma lemma 9. menentukan val max dan val min dari path dan cycle 10. membuat program komputer dengan bahasa Pascal 11. menarik kesimpulan.

28 BAB IV PEMBAHASAN Bab ini membahas pada path dan cycle. Nilai val max dan val min dideskripsikan dari pengamatan, proposisi dan teorema teorema yang diperkenalkan oleh Chartrand, et al. (005). Sebelum pembahasan mengenai pada subgraf. pada path dan cycle, terlebih dahulu dibahas mengenai 4.1 Pelabelan γ pada Subgraf Bagian ini membahas hubungan antara nilai maksimal dan nilai minimal dari graf terhubung dan subgraf terhubung. Pada graf G, dimisalkan m(g) sebagai size dari G. Proposisi Jika H adalah subgraf terhubung dari graf terhubung G, maka val min (H) < val min (G) dan val max (H) < val max (G) Bukti Jika dimisalkan G memiliki order n dan f adalah pelabelan min γ dari G, maka f (V(H)) = { a 1, a,..., a k }, dengan k n dan a 1 < a <... < a k. Selanjutnya akan dipertimbangkan bahwa fungsi g : { a 1, a,..., a k } { 0, 1,..., k 1 }didefinisikan sebagai g(a i ) = i 1. Sebagai akibatnya, g ο (f V(H) ) : V(H) { 0, 1,..., m(h) } adalah dari H dan val (gο (f V(H) )) val (f V(H) ). Karena H adalah subgraf dari G, maka terdapat e E(G) E(H), sehingga val min (H) val(f H ) val(f) f (e) = val min (G) f (e), dengan val(f) = val min (G) berakibat val min (H) < val min (G). Selanjutnya dimisalkan bahwa f sebagai pelabelan max γ dari H. Jika H adalah spanning

29 subgraf dari G, maka pasti nilai f di H lebih kecil dari pada val max (G), sehingga val max (H) < val max (G). Selanjutnyat diasumsikan bahwa H bukan spanning subgraf dari G. Jika H adalah subgraf terhubung dari G yang dihasilkan dari V(H), maka nilai f kurang dari atau sama dengan nilai f pada H ( dan jika H H, maka nilai f pada H melampaui nilai f pada H ). Selanjutnya diasumsikan, bahwa H adalah subgraf yang dihasilkan dari G. Karena H dan G keduanya terhubung, maka terdapat barisan H 0, H 1,..., H t dari yang dihasilkan subgraf terhubung dari G dengan H 0 = H dan H t = G sedemikian sehingga terdapat bilangan bulat i dengan 1 i t, V( H i ) = V(H) i dan H i 1 H i. Misalkan f 0 = f, dan terdapat bilangan bulat i dengan 1 i t,didefinisikan f i menjadi f i 1 yang dibatasi pada V(H i 1 ), dan f i (x) = m( H i ) pada vertex x V(H i ) V(H i 1 ). Sehingga terdapat i dengan 1 i t, fungsi f i adalah dan val( f i 1 ) < val( f i ) sehingga berakibat bahwa val max (H) < val max (G). Lemma 4.1. Jika G adalah graf terhubung dengan order n dan f : V(G) Z adalah fungsi satu satu, maka terdapat g pada G dengan val(g) val(f). Selanjutnya, jika span( f ) n, maka terdapat g dengan val(g) < val(f). Bukti Misalkan V(G) = { v 1, v,..., v n } dan f ( v i ) = a i, untuk a 1 < a <... < a n, fungsi h : { a 1, a,..., a n } { 0, 1,..., n 1 } didefinisikan sebagai h(a i ) = i 1 pada 1 i n. Dengan demikian g = h ο f adalah pada G. Selanjutnya untuk setiap edge e pada G, dapat diperoleh g (e) f (e) sehingga val(g) val(f). Selanjutnya dimisalkan bahwa span( f ) n. Karena span( f ) = n 1 jika dan hanya jika a i 1 a i = 1 untuk setiap bilangan bulat i dengan 1 i n 1, maka terdapat bilangan bulat j dengan a j 1 a j. Karena G terhubung, maka terdapat edge e yang menghubungkan vertex x dan y, dengan x { v 1, v,..., v j } dan y { v j 1, v j,..., v n }. Oleh karena itu f (x) = a j1 δ y dan f (y) = a j δ x, dengan δ δ x, y 0 sehingga f (e) = a j 1 δ y a δ j x δ y ( j 1 ) ( j δ x ) 1

30 > 1 δ x δ y = g (e). Lemma 4.1. memberikan Akibat dan Proposisi Akibat Jika G graf terhubung dengan order n, maka G memiliki pelabelan min diberi label 0, 1,...,n 1. γ dengan vertex vertexnya Proposisi Jika H adalah sub divisi dari graf terhubung G, maka val min (G) < val min (H) dan val max (G) < val max (H) Bukti Hal ini cukup dibahas pada kasus H yang memuat edge tunggal pada G yang menjadi subdivisi. Misalkan uv edge pada G adalah bagian dari subdivisi H, sehingga terdapat edge uw dan vw pada H. Selanjutnya dibuktikan pertidaksamaan pertama. Jika f adalah pelabelan min γ, maka berakibat f V(G) sedemikian sehingga f, V ) ( G ( uv) f '( uv) f '( vw) pada graf G. Sehingga dari Lemma 4.1. dihasilkan val(g) < val(h). Oleh karena itu dihasilkan val min (G) val(g) < val min (H) val(h). Selanjutnya dimisalkan bahwa f sebagai pelabelan max γ dari graf G, sehingga dapat diturunkan g dari H yang didefinisikan sebagai berikut g(x) = m( H ) f ( x), jika x = w, jika x w Dari uraian di atas dihasilkan val(g) val max (G) < val(h) val max (H). 4. Pelabelan γ pada Path

31 Sebuah path dengan order n ditulis sebagai P Pelabelan γ n. f dari path yang ditulis sebagai P n : v 1, v,...,v n didefinisikan sebagai f(v i ) = i 1 sehingga val(f) = n 1. Karena f adalah fungsi satusatu dari V(P n ) ke { 0, 1,,, m }, maka dapat diturunkan bahwa f (e) 1 untuk setiap edge di P n sehingga val(f) m. (4.1) 4..1 Mencari val min (P n ) Berdasarkan persamaan (4.1) dapat ditunjukkan Pengamatan Pengamatan 4..1 Untuk setiap bilangan bulat n, berlaku val min (P n ) = n 1. Bukti f e E ( G ) Karena f (v i ) = i 1 maka val(f) = '( e) = n 1.Oleh karena itu val min (P n ) n 1. Selanjutnya persamaan (4.1) menyatakan bahwa val(f) m oleh karena itu dapat diturunkan bahwa val(f) n 1, sehingga val min (P n ) n Mencari val max (P n ) Untuk menentukan val max (P n ) langkah pertama adalah dimisalkan bahwa n = k 1 3 ganjil. Pelabelan γ pada Pn didefinisikan sebagai

32 = < =., 1, 1, 1 ) ( jika i adalah genap i k jika i k k i dan jika i adalah ganjil i k i v f (4.) Dari persamaan (4.) dapat ditunjukkan bahwa k edge dari P n diberi label k 1, satu edge diberi label 1 dan yang lainnya k 1 edge diberi label k sehingga val (f) = k( k 1 ) 1 ( k 1 )( k ) (4.3) ) ( 1 1 = = = = = = n n n n k k k k k k k k Sebagai contoh diberikan n = 7, maka salah satu pada P 7 adalah sebagai berikut f (v 1 ) = 4 f (v ) = 0 f (v 3 ) = 5 f (v 4 ) = 1 f (v 5 ) = 6 f (v 6 ) = f (v 7 ) = 3. Sebagai ilustrasi, f dari P 7 ditunjukkan pada Gambar 4.1 di bawah ini.

33 i 1 k g( v = i ) i, jika i adalah ganjil, jika i adalah genap. f : val (f ) = 3 Gambar 4.1 Salah Satu Pelabelan γ f dari P 7 Selanjutnya jika dimisalkan bahwa n = k adalah genap. didefinisikan sebagai berikut : Pelabelan γ g pada P n (4.4) Dari persamaan (4.4) dapat ditunjukkan bahwa k edge dari P n diberi label k dan sisanya k 1 edge diberi label k 1 sehingga val (f) = k. k ( k 1 )( k 1 )

34 = k = k ( k n = 1 n = 1 n =. 1 1) (4.5) Sebagai contoh diberikan n = 8, maka pada P 8 adalah sebagai berikut g (v 1 ) = 4 g (v ) = 0 g (v 3 ) = 5 g (v 4 ) = 1 g (v 5 ) = 6 g (v 6 ) = g (v 7 ) = 7 g (v 8 ) = 3. Sebagai ilustrasi g dari P 8 ditunjukkan pada Gambar 4.. g : val (g ) = 31 Gambar 4. Salah Satu Pelabelan γ pada P8 Berdasarkan persamaan (4.3) dan persamaan (4.5) dapat diturunkan Proposisi 4..

35 g( vi ) g'( vi ) = g( vt ) g( vt 1) Proposisi 4.. Untuk setiap bilangan bulat n, berlaku val max (P n ) n. Lemma Nilai dari val max (P n ) pada semua n dicari dengan cara terlebih dahulu dibangun Lemma 4..3 Untuk setiap n 3, terdapat pelabelan max γ ( γ max labeling) f dari P n : v 1, v,..., v n, dengan sifat bahwa untuk setiap bilangan bulat i dengan 1 i n, berlaku barisan suku 3 (3 term sequence) s i (f) = { f(v i ), f(v i1 ), f (v i ) } tidak monoton. Bukti Terdapat pelabelan max γ f dari P n, misalkan S(f) = { s 1 (f), s (f),, s n (f)}. Asumsikan bahwa lemma salah. Sebagai akibatnya, setiap pelabelan max γ f dari P n memiliki beberapa anggota dari S(f) yang monoton. Di antara semua pelabelan max γ dari P n, misalkan g sebagai salah satunya dengan t adalah bilangan bulat terbesar yaitu 1 t n, dengan demikian s t (g) monoton dan s i (g) tidak monoton pada 1 i t. Selanjutnya akan didefinisikan pelabelan max γ baru g untuk P n dari g sebagai, jika i t 1, t, jika i = t 1, jika i = t.

36 n val( f ), jika n genap n= f ( v) deg v f ( v) deg v. val( f ) v T ( f = ) v B( f ) n 3, jika n ganjil. Untuk setiap bilangan bulat i dengan 1 i t sedemikian sehingga val(g ) val(g). Karena g n / 1 i= 1 adalah pelabelan max γ dari P n / 1 n, dengan demikian val(g ) = val(g) dan g juga n n n ( n i) ( 1) ( 1) = i 1 pelabelan max i= γ dari P n. Ini kontradiksi dengan definisi dari g. Path P n dapat dibentuk partisi dari himpunan vertex nya. Jika dimisalkan himpunan vertex dari P n adalah V(P n ) maka terdapat dua himpunan saling bebas T(f) dan B(f) dengan f adalah dari P n. Lipschutz (1989) menyatakan bahwa jika { B } i i ε I adalah sebuah keluarga subhimpunan yang tak kosong dari A maka { Bi} i P 1 : U i ε I B i = A ε I dinamakan sebuah partisi dari A jika P : Untuk sebarang B i, maka B i = B j atau B i B j = φ. Proposisi 4..4 Untuk setiap bilangan bulat n dan setiap pelabelan max γ f dari P n, berlaku Bukti Sebuah pelabelan max γ f dengan sifat yang telah diperkenalkan dalam Lemma menyebabkan partisi dari V(P n ) dengan dua himpunan saling bebas, T(f) dan B(f), sedemikian sehingga untuk setiap edge uv yang menghubungkan vertex u є T(f) dengan vertex v є B(f), maka f(u) > f(v) sehingga (4.6) Karena sisi kanan dari persamaan (4.4) tidak lebih besar dari pada jumlah yang ditunjukkan oleh nilai

37 ( n 3) / ( n 1) / n 1 n 1 n 3 ( n i) ( i 1) = i = 1 terbesar yang mungkin i = dari 1 vertex vertex pada T(f) dan nilai terkecil yang mungkin dari vertex vertex pada B(f), maka batas val(f) dapat ditunjukkan sebagai, jika n genap (4.7) val max ( P ) = n n, jika n ganjil. (4.8) Jika persamaan (4.7) dan persamaan (4.8) digabungkan maka akan menghasilkan proposisi Proposisi 4.. dan proposisi 4..4 menghasilkan Teorema Teorema 4..5 Untuk setiap bilangan bulat n, berlaku 4.3 Pelabelan γ pada Cycle Bagian ini membahas val min dan val max pada cycle. Cycle dengan order n didefinisikan sebagai C n : v 1, v,..., v n, v 1. Nilai dari val min dan val max dicari pada cycle ganjil dan cycle genap Mencari val min (C n ) Akan dicari formula val min (C n ) untuk semua n 3. Teorema Untuk setiap bilangan bulat n 3, berlaku

38 val min (C n ) = (n 1). Bukti Ambil C n : v 1, v,..., v n, v 1. Misalkan h(v i ) = i 1untuk 1 i n. Dengan demikian h dari C n didefinisikan sebagai n 1 val( h) = h(vi 1 ) h(vi ) h( v1 ) h( vn ) i= 1 = (n 1).1 (n 1) = (n 1). Oleh karena itu val min (C n ) (n 1). Selanjutnya tinggal ditunjukkan val min (C n ) (n 1). Dengan kesimpulan 4.1.3, akan diasumsikan bahwa C n diberi label dengan elemen elemen pada himpunan { 0, 1,..., n 1 }. Jika diasumsikan bahwa f(v i ) = 0, maka ditunjukkan bahwa f(v t ) = n 1, dengan t n. Cycle C n memuat dua edge yang terhubung v 1 v t yang membentuk path, dinamakan P : v 1, v,..., v t dan P : v 1, v n, v n 1,..., vt. Misalkan fp sebagai pembatasan (restriction) dari f pada P dan fp sebagai pembatasan dari f pada P. Oleh karena itu fp dan fp adalah dari P dan P, berturut turut sehingga val(f) = val(fp) val(fp ). (4.9) Selanjutnya ditunjukkan bahwa val(fp) n 1 dan val(fp ) n 1. Caranya adalah dengan mempertimbangkan path P. Jika f(v 1 ), f(v ),..., f(v t ) adalah barisan bilangan naik, maka val( fp) = t 1 i= 1 [ f ( v i 1) f ( vi )] = f ( vt ) f ( v1) = n 1 Jika f(v 1 ), f(v ),..., f(v t ) tidak naik, maka barisan ini dapat dibagi menjadi subbarisan bilangan ganjil yang bisa saja naik ataupun turun. Oleh karena itu terdapat bilangan bulat ganjil s 3 sedemikian sehingga I = i 0 < i 1 <...< i s = t dan f ( v1 ), f ( v ),..., f ( vi ) 1 naik,

39 f ( vi 1 i ), f ( vi ),..., f ( v ) i 1 turun, selanjutnya untuk f ( vi ), f ( v 1),..., ( ) s 1 i s f v 1 is naik. Maka val( fp) = = [ f ( v i1 )... [ f ( v [ f ( v )... [ f ( v t is f ( v ) f ( v )] {[ f ( v is i0 ) )] [ f ( v f ( v is 1 f ( v )] is 1 )] ( n 1) ( s 1) > n 1 1 i1 ) i1 ) f ( v i f ( v )] [ f ( v i i3 )] [ f ( v ) i3 ) f ( v i f ( v )] i4 )] Dengan demikian maka val(f p ) n 1. Dengan cara yang sama didapatkan val(f p ) (n 1). Sehingga dari persamaan (4.7) dapat diturunkan bahwa val(f) (n 1). Oleh karena itu dapat diturunkan bahwa val min (C n ) = (n 1). Karena setiap pelabelan edge yang dihasilkan dari pada suatu graf yang memuat sebuah vertex v dengan deg v 3 menunjuk label atau lebih pada satu edge terkecil yang berhubungan dengan v, dapat diturunkan akibat dari Teorema Akibat 4.3. Jika G adalah graf terhubung dengan order n dan size m, maka val min (G) = m jika dan hanya jika G P n 4.3. Mencari val max (C n ) Proposisi Jika G graf terhubung r regular bipartite dengan order n dan size m, dengan r, maka

40 rn ( m n ) val max (G) = 4 Bukti Ambil n = k, V 1 = { u 1, u,, u k } dan V = { v 1, v,, v k } bagian dari himpunan G. Pelabelan γ g dari G didefinisikan sebagai : g(u i ) = i 1 dan g(v i ) = m ( i 1 ), untuk 1 i k Karena m = rk k, dapat diturunkan bahwa g(u) < g(v) jika u V 1 dan v V. Maka k r g( v ) val(g) = i i u i = 1 i= 1 k g( ) = r{[ m m( m 1)... ( m k 1)] [ 1... ( k 1) k k r mk = r [ mk k( k 1)] = rn( m n ) = 4 rn( m n ) Oleh karena itu, val max (G) val(g) = 4 rn( m n ) Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa val max (G) 4. Misalkan f adalah pelabelan max γ dari G. Jika dimisalkan E(G) = { e 1, e,, e m }, dengan e i = x i y i dan f (x i ) < f (y i ) untuk 1 i m, maka val( f ) = m [ f ( yi ) f ( xi )] = f ( yi ) i= 1 i= 1 i= 1 m m f ( x ). i (4.10)

41 Ambil X = { x i : 1 i m } dan Y = { y i : 1 i m }, sehingga X = Y = m = rk. Karena r vertex terbesar dari X dapat diberi label dengan label 0, 1,, k 1 dan r vertex terbesar dari Y dapat diberi label m, m 1,, m (k 1), sehingga dapat diturunkan m i= 1 m i= 1 f ( x ) i f ( y ) i = k r[1... ( k 1)] = r r[ m ( m 1)... ( m k 1) k r mk. Dari persamaan (4.8) dapat diturunkan bahwa k k rn(m n ) val( f ) r mk r = 4. rn( m n ) Oleh karena itu, val max (G) = val(f) 4. Dari uraian di atas dapat diturunkan Akibat Akibat Untuk setiap bilangan bulat genap n 4, n( n ) val max (C n ) =. Selanjutnya akan dideskripsikan val max (C n ) dengan n ganjil. Pelabelan γ pada graf terhubung G dengan order n dan size m adalah fungsi satu satu f : V(G) {0, 1,, m1}, sehingga pelabelan max γ menghasilkan val max (G) yang didefinisikan sebagai val max (G) = max{val(f) : f adalah Pelabelan γ pada graf G }. Lemma Untuk setiap bilangan bulat k, berlaku

42 val max (C k1 ) = val max (C k ). Bukti Misalkan f sebagai pelabelan max γ dari C k. Maka terdapat dua bilangan a,b { 0, 1,,, m 1 } dengan ditunjukkan bahwa tidak ada vertex pada C k dari f. Sebagai akibatnya f dapat menjadi pelabelan γ h pada C k1, dapat diamati bahwa C k1 sebagai subdivisi dari C k, selanjutnya dapat ditunjuk bilangan a,b pada vertex unik di V(C k1 ) V(C k ). Dari pertidaksamaan segitiga nilai dari h kurang dari atau sama dengan f. Dengan demikian val max (C k1 ) val max (C k ). Selanjutnya dibuktikan pertidaksamaan kebalikannya. Misalkan g adalah pelabelan max γ dari C k1, dapat disusun graf berarah D dari C k1 dengan ditunjuk uv dengan arah (u,v) jika g(v) > g(u). Sehingga D memuat Path x, y, z dengan order 3. Jika vertex y dihapus dari (C k1 ) dan menghubungkan vertex x dan z, sehingga dihasilkan graf G isomorfis dengan C k dan pembatasan g dari g pada V (C k1 ) { y } memiliki nilai yang sama pada G dengan g pada C k1. Fungsi g adalah pada C k, sehingga dapat dihasilkan Teorema Teorema Untuk setiap bilangan bulat ganjil n 3, ( n 1)( n 3) val max (C n ) =

43 Bukti Hasil diabaikan untuk n = 3, selanjutnya diasumsikan bahwa n = k 1 5. Dari Lemma 4.3.5, cukup ditunjukkan bahwa val max (C n 1 ) = (n 1) (n 3) /. C n 1 didefinisikan sebagai C n 1 : x 1, y 1, x, y,, x k, y k, x 1. Pelabelan γ dari C n 1 didefinisikan sebagai berikut : f (x i ) = i 1 dan f (y i ) = k i, untuk 1 i k. Sehingga val ( f ) = (n 1) (n 3) / sedemikian sehingga val max (C n 1 ) (n 1) (n 3) /. Selanjutnya ditunjukkan bahwa val max (n 1) (n 3) /. Misalkan g adalah pelabelan max γ dari C n 1, dengan E (C n 1 ) = { e 1, e,, e n 1 }. Sehingga terdapat bilangan bulat i dengan 1 i n 1, misalkan e i = u i v i, dengan g(u i ) < g(v i ). Sehingga val( g) = n i n 1 1 g( v ) ( i= 1 i g u = 1 i ). Karena dua vertex terbesar di { u 1, u,, u n 1 } dapat ditunjukkan dengan label 0, 1,, k 1 dan dua vertex terbesar di { v 1, v,, v n 1 } dapat ditunjukkan dengan label k, k 3,, k 1, sehingga dapat ditulis sebagai n 1 i= 1 g( u ) k k dan g( v ) 3k 3k i n 1 i= 1 i sehingga val(g) ( 3k 3k ) ( k k ) = (n 1) (n 3) /.

44 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1. Kesimpulan Berdasar uraian pada pembahasan, maka dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut setiap bilangan bulat n pada path menghasilkan val min (P n ) = n 1, val max (P n ) = n, untuk pada cycle menghasilkan val min (C n ) = (n 1), untuk setiap bilangan bulat n 3. Pelabelan γ C n dengan bilangan bulat ganjil n 3 menghasilkan val max (C n ) = ( n 1)( n 3), sedangkan C n dengan bilangan bulat genap n 4 n( n ) menghasilkan val max (C n ) =. 5.. Saran Pelabelan γ yang dibahas dalam penulisan ini adalah pada path dan cycle, disarankan agar juga bisa dikerjakan pada graf yang lain.

45 DAFTAR PUSTAKA Aldous, J. M. and R. J. Wilson (007) Graphs and Applications : An Introductory Approuch. Springer. Great Britain. Bondy, J. A. and U.S.R. Murty (1976). Graph Theory with Applications. Elsevier Science Publishing Company Inc. New York. Chartrand, G., D. Erwin, D.W. VanderJaght and P. Zhang (005) Bulletin of the ICA.,vol. 44, pp : γ labeling of Graphs. Chartrand, G and O.R Ollermann (1993). Applied and Algorithmic Graph Theory. Mc Graw Hill. USA. Harsfield, N and G. Ringel (1990). Pearls and Graph Theory : Comprehensive Introduction. Academic Press, Inc. Sandiego. A Johnsonbaugh, R. (001). Discrete Mathematics. 5 th edition. Prentice Hall. New Jersey. Lipschutz, S. (1989). Teori Himpunan ( Set Theory). Erlangga. Jakarta Wallis, W.D. ( 001). Magic Graphs. Birkhauser. Boston Wijaya, K. (004), Pelabelan Konsekutif pada Graf Sikel dan Graf Bipartite Komplit, Jurnal Ilmu Dasar Vol. 5 No 1;1 7

46 LAMPIRAN Lampiran1: Listing Program program path; uses crt; label 77; var n,m,vmn,vmx : integer; lagi : char; Pelabelan γ pada Path begin clrscr; 77 : writeln; gotoxy(0,8);writeln('<<< PROGRAM PELABELAN GAMMA PADA PATH Pn>>>'); gotoxy(0,16);writeln( TEKAN ENTER ); gotoxy(0,13);write('masukkan ORDER DARI PATH n : ');readln(n); writeln; m:= (n MOD ); if (n =0) or (n=1) then begin gotoxy(0,3);writeln('tak ADA PATH YANG TERBENTUK'); end else begin if m=0 then(* n genap*) begin Vmn :=n 1; Vmx :=((n*n) ) div ; gotoxy(0,3);writeln('nilai Valmin Pn adalah : ',Vmn:3);

47 end gotoxy(0,5);writeln('nilai Valmax Pn adalah : ',Vmx:3); else begin(* n ganjil*) Vmn:=n 1; Vmx:=((n*n) 3) div ; gotoxy(0,3);writeln('nilai Valmin Pn : ',Vmn:3); gotoxy(0,5);writeln('nilai Valmax Pn : ',Vmx:3); end end; writeln; gotoxy(0,39);writeln('lalu TEKAN ENTER'); gotoxy(0,36);write('mau MENGHITUNG LAGI?(Y/T) ');readln(lagi);clrscr; if (lagi='y') or (lagi='y') then goto 77; end. Lampiran: Listing Program Pelabelan γ pada Cycle program cycle; uses crt; label 77; var n,m : integer; Vmn,Vmx : real; lagi : char; begin clrscr; 77 : writeln; gotoxy(0,8);writeln('<<< PROGRAM PELABELAN GAMMA PADA CYCLE Cn >>>');

48 gotoxy(0,16);writeln( TEKAN ENTER ); gotoxy(0,13);write('masukkan ORDER DARI CYCLE n : ');readln(n); writeln; m:= (n MOD ); if (n =0) or (n=1) or (n=) then begin gotoxy(0,3);writeln('tak ADA CYCLE YANG TERBENTUK'); end else begin if m=0 then(* n genap*) begin Vmn :=*(n 1); Vmx :=(n)*(n1)*0.5; gotoxy(0,3);writeln('nilai Valmin Cn : ',Vmn:1:0); gotoxy(0,5);writeln('nilai Valmax Cn : ',Vmx:1:0); end else begin(* n ganjil*) Vmn:=*(n 1); Vmx:=(n 1)*(n3)*0.5; gotoxy(0,3);writeln('nilai Valmin Cn : ',Vmn:1:0); gotoxy(0,5);writeln('nilai Valmax Cn : ',Vmx:1:0); end end; writeln;

49 gotoxy(0,39);writeln('lalu TEKAN ENTER'); gotoxy(0,36);write('mau MENGHITUNG LAGI? (Y/T) ');readln(lagi);clrscr; if (lagi='y') or (lagi='y') then goto 77; end; end.