Relasi Tegas (Crips Relation)

Transkripsi

1 Logika Fuzzy (3) 1

2 Cartesian Product Terdapat dua himpunan A = {0, 1} dan B = {a, b, c}. Maka beberapa variasi hasil-kali kartesian (cartesian product) dapat dituliskan sebagai berikut: 2

3 Relasi Tegas (Crips Relation) Relasi A 1 x A 2 x A 3 x x A r disebut r-ary relation antara A 1 hingga A r. Biasanya r =2 sehingga relasi tereduksi menjadi A 1 x A 2 dan relasi yang seperti ini disebut relasi biner (binary relation) dari A 1 ke A 2. Jika himpunan yang terlibat lebih banyak: 3 himpunan ternary relation 4 himpunan quartenary relation 5 himpunan quinary relation dst Jika tdk disebut secara eksplisit, maka relasi tegas mengacu ke relasi biner yang hanya melibatkan dua himpunan saja 3

4 Hasil-kali kartesian antara dua himpunan X dan Y didefinisikan sebagai: Yang akan membentuk pasangan terurut untuk setiap elemen x X dan y Y. Setiap elemen dalam X secara keseluruhan direlasikan dengan setiap elemen dalam Y. Kekuatan relasi antara pasangan-pasangan tersebut diukur dengan fungsi karakteristik (dinotasikan ) dimana nilai 1 berarti relasi penuh (complete relationship) dan nilai nol berarti tidak ada relasi (no relationship) atau dinyatakan: 4

5 Contoh berikut ini menunjukkan relasi antara himpunan X = {1, 2, 3} dan Y = {a, b, c} yang dinyatakan dalam bentuk matriks relasi: Atau dalam bentuk diagram Sagittal digambarkan sbb: 5

6 Relasi tegas secara umum juga dapat dinyatakan sbg: Contoh: Misalkan dalam bidang biologi, spesies tertentu hanya dapat disilangkan dengan species tertentu saja. Maka nilai relasi = 1 berarti dua species tsb bisa disilangkan, dan nilai relasi = 0 berarti dua species tsb tidak mungkin disilangkan. Misalkan himpunan species X = {1, 2} dan himpunan species Y = {a, b} dan relasinya dinyatakan dengan matriks relasi berikut: 6

7 Relasi Identitas dan Universal Untuk relasi biner (r = 2) terdapat dua jenis relasi yang khusus yaitu: Relasi identitas Jika A = {0, 1, 2} maka relasi identitas dinotasikan sebagai I A dan hasilnya adalah: Relasi universal Jika A = {0, 1, 2} maka relasi universal dinotasikan sebagai U A dan hasilnya adalah: 7

8 Relasi juga dapat didefinisikan untuk semesta pembicaraan yang kontinyu. Misalnya pernyataan berikut: dan fungsi karakteristiknya dinyatakan dalam bentuk: 8

9 Misalkan ada n elemen dalam himpunan X yang direlasikan ke m elemen dalam himpunan Y. Jika jumlah elemen X dinotasikan sbg n x dan jumlah elemen Y dinotasikan sbg n y, maka jumlah relasi R antara X dan Y dinyatakan dengan: n X x Y = n x n y dan jumlah himpunan bagian dalam relasi R dinyatakan dengan: ( ) ( ) 2 n x n y np X Y Definisi: Relasi nol Relasi penuh 9

10 Operasi pada Relasi Tegas Misalkan himpunan tegas R dan S, maka operasi antara R dan S: Union Irisan Komplemen Containment 10

11 Sifat-sifat Relasi Tegas Sifat-sifat yang berlaku untuk operasi pada relasi tegas adalah: Komutatif Asosiatif Distributif Involusi Idempontensi Prinsip De Morgan Law of excluded middle Keterangan: Relasi nol ekivalen dgn himpunan kosong 11

12 Komposisi Relasi Misalkan R adl relasi yang memetakan elemen dalam semesta X ke semesta Y, dan S adl relasi yang memetakan elemen dalam semesta Y ke semesta Z. Pertanyaannya, adakah satu relasi yang memetakan elemen dalam semesta X ke semesta Z? Ya, ada. Misalkan relasi T yang mrpk komposisi relasi R dan relasi S. Contoh: Diagram Sagittal 12

13 Ada 2 jenis komposisi relasi, yaitu: Komposisi maks min (max min composition) Komposisi maks hasil-kali (max - product composition) adl operator perkalian aritmatika biasa 13

14 Example Relasi R dan S yang telah ditampilkan sebelumnya yaitu: dapat ditampilkan dlm btk matriks sbb: dan 14

15 Maka relasi yang memetakan semesta X ke semesta Y dapat dibangun baik dengan komposisi maks min atau komposisi maks hasil-kali. Jika menggunakan komposisi maks min, maka dan carilah nilai-nilai yang lain dan nyatakan dalam bentuk matriks komposisi relasi T R S. 15

16 Dan hasil selengkapnya: Dan jika menggunakan komposisi maks hasil-kali maka: Carilah hasil selengkapnya, dan bandingkan hasil yang diperoleh dengan hasil operasi komposisi maks min. 16

17 Relasi Fuzzy Relasi fuzzy juga memetakan satu semesta ke semesta yang lain menggunakan hasil-kali kartesian antara kedua semesta tsb. notasi relasi fuzzy R: Kekuatan relasi diukur menggunakan fungsi keanggotaan yang menyatakan berbagai derajat kekuatannya pada interval [0, 1] notasi fungsi keanggotaan fuzzy R: Jika terdapat 2 relasi fuzzy R dan S, maka operasi-operasi yang dapat terjadi diantara keduanya adalah union, irisan, komplemen, dan containment. 17

18 Definisi operasi-operasi ini sangat mirip pada himpunan klasik 18

19 Sifat-sifat Relasi Fuzzy Sifat-sifat yang berlaku untuk operasi pada relasi fuzzy adalah: Komutatif Asosiatif Distributif Involusi Idempontensi Prinsip De Morgan Tetapi 19

20 Hasil-kali Kartesian Fuzzy Jika A adl himpunan fuzzy dalam semesta X dan B adl himpunan fuzzy dalam semesta Y, maka hasil-kali kartesian antara himpunan fuzzy A dan B akan menghasilkan relasi fuzzy R yang didefinisikan sbg: Dan relasi fuzzy R akan mempunyai fungsi keanggotaan (membership function) yang didefinisikan sbb: 20

21 Example Misalkan ada dua himpunan fuzzy yaitu A dan B. Himpunan fuzzy A berada dlm semesta tiga suhu diskret, X = {x 1, x 2, x 3 } dan B berada dlm semesta dua nilai tekanan, Y = {y 1, y 2 }. Misalkan himpunan fuzzy keduanya adl sbb: Maka relasi fuzzy yg terjadi sbg hasil-kali kartesian himpunan fuzzy A dan B adl sbb: 21

22 Komposisi Relasi Fuzzy Misalkan R adl relasi fuzzy yang memetakan elemen dalam semesta X ke semesta Y, dan S adl relasi fuzzy yang memetakan elemen dalam semesta Y ke semesta Z. Adakah satu relasi fuzzy yang memetakan elemen dalam semesta X ke semesta Z? Ya, ada. Misalkan relasi fuzzy T. Komposisi yang bisa terbentuk adl: Komposisi fuzzy maks min Komposisi fuzzy maks hasil-kali 22

23 Komposisi fuzzy maks min Komposisi fuzzy maks hasil-kali Ingat bahwa: 23

24 Example Misalkan terdapat tiga semesta pembicaraan X, Y, dan Z sbb: Relasi fuzzy R dari semesta X ke Y dinyatakan sbg: Relasi fuzzy S dari semesta Y ke Z dinyatakan sbg: Relasi fuzzy T dari semesta X ke Z dpt ditemukan menggunakan komposisi fuzzy maks min atau maks hasil-kali. 24

25 Menggunakan komposisi fuzzy maks min : Hasil selengkapnya: Menggunakan komposisi fuzzy maks hasil-kali: Dan hasil selengkapnya: 25

26 Homework Terdapat dua relasi klasik sbb: Temukan relasi R dan S menggunakan komposisi maks-min. Terdapat dua relasi fuzzy sbb: Temukan relasi menggunakan komposisi maks hasil-kali. 26