TRANSFORMASI CITRA: PROSES KONVOLUSI. Bertalya Universitas Gunadarma

Transkripsi

1 TRASFORMASI CITRA: PROSES KOVOLUSI Bertalya Universitas Gunadarma

2 PROSES KOVOLUSI Formula Konvolusi: dummy variable o integration Mekanisme konvolusi dalam bentuk integral ini tidak mudah untuk digambarkan (Gonzales and Woods, 992) 2

3 Konvolusi pada Domain Kontinue 3

4 Konvolusi dan Transormasi Fourier Konvolusi merupakan proses penting pada analisis domain rekwensi karena (x)*g(x) dan F(u)G(u) membentuk suatu pasangan transormasi Fourier (Fourier transorm pair) Teori konvolusi: (x)*g(x) F(u)G(u) (x)g(x) F(u)*G(u) 4

5 Konvolusi pada Domain Diskrit () Bila A adalah periode dalam diskritisasi (x) dan B adalah periode dalam diskritisasi g(x), maka hasil konvolusi akan mempunyai periode M dimana MA+B Periode (x) dan g(x) masing-masing dibesarkan menjadi M dengan menyisipkan (x) (x) bila g(x) g(x) bila dan (x) bila dan g(x) bila Konvolusi diskrit: (dilakukan melalui proses lip and shit terhadap ungsi g(x)) 5

6 Konvolusi pada Domain Diskrit (2): pendekatan shit kernel operator (x) [ ] [ ] g(x) [- 4 ] karena simetri di-lip tetap [- 4 ] [- 4 ] maka (x)*g(x) x- + x4 + x- + 2x + 3x + 4x + x + x + x - x + x- + x4 + 2X- + 3x + 4x + x + x +x 2 x + x + x- + 2x4 + 3x- + 4x + x + x + x 4 x + x + x + 2x- + 3x4 + 4x- + x + x + x 6 x +x + x + 2x + 3x- + 4x4 + x- + x + x 3 x + x + x + 2x + 3x + 4x- + x + x + x -4 x + x + x + 2x + 3x + 4x + x- + x4 + x- x + x + x + 2x + 3x + 4x + x + x- + x4 x + x + x + 2x + 3x + 4x + x + x + x- (x)*g(x) [ ] 6

7 Konvolusi pada Domain Diskrit (3): Pendekatan Rumus Konvolusi Kita lihat kembali rumusan konvolusi: () ; (); (2); (3)2; (4)3; (5)4; (6); (9) g(7); g(); g()-; g(-)4; g(-2)-; ()*g() ()g() + ()g(-) + (2)g(-2) + dst - ()*g() ()g() + ()g( ) + (2)g(-) + dst 2 (2)*g(2) ()g(2) + ()g() + (2)g() + dst 4 dst.nya hasil yang diperoleh sama dengan cara sebelumnya! 7

8 Proses Konvolusi pada Citra 2-D Bentuk Kontinue dan Diskrit: 8

9 Ilustrasi konvolusi 9

10 Contoh : citra (x,y) berukuran 5 X 5 dengan kernel atau mask 3 X 3 (x,y) * g(x,y) Operasinya : Tempatkan kernel pada sudut kiri atas kemudian hitung nilai piksel pada posisi (,) dari kernel Geser kernel satu piksel ke kanan kemudian hitung nilai piksel pada posisi (,) kernel, begitu seterusnya hingga geser satu piksel ke bawah, lalu mulai lagi melakukan konvolusi dari sisi kiri citra.

11 Dengan cara yang sama, setiap baris piksel dikovolusi

12 Hasil konvolusi : Jika nilai piksel (-), nilai tsb dijadikan, jika nilai > nilai max gray level maka dilakukan clipping Untuk masalah piksel pinggir, solusi untuk masalah ini adalah : Piksel pinggir diabaikan, tidak dikonvolusi Duplikasi elemen citra, elemen kolom ke- disalin ke kolom M+, begitu juga sebaliknya lalu konvolusikan. Elemen yang ditandai dengan (?) diasumsikan bernilai atau konstanta yang lain sehingga konvolusi piksel pinggir dapat dilakukan. Konvolusi piksel pinggir tidak memperlihatkan eek yang kasat mata. 2

13 Proses Konvolusi dan Dekonvolusi () Blurring merupakan eek pemerataan (integrasi), sedangkan deblurring / sharpening / outlining merupakan eek dierensiasi Proses blurring dapat diperoleh dengan mengaplikasikan low pass ilter dan sebaliknya, proses sharpening dapat diperoleh dengan mengaplikasikan high pass ilter Filtering akan dipelajari pada proses peningkatan mutu citra (image enhancement) 3

14 Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (2) Contoh eek blurring (bayangkan bila terjadi pada piksel citra 2-dimensi) point response unction (averaging) ideal response deconvolution unction (iltering) 4

15 Filter/ mask/ kernel gaussian 5

16 TRASFORMASI CITRA Mengapa perlu transormasi? Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu teknik analisis dengan transormasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,974] Contoh: penyelesaian ungsi y x/z Analisa konvensional : pembagian secara manual Analisa transormasi : melakukan transormasi log(y) log(x) log(z) look-up table pengurangan look-up table Transormasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatu inormasi tertentu yang tidak tersedia sebelumnya 6

17 Transormasi Citra Contoh : jika ingin mengetahui inormasi rekuensi kita memerlukan transormasi Fourier Jika ingin mengetahui inormasi tentang kombinasi skala dan rekuensi kita memerlukan transormasi wavelet Transormasi citra, sesuai namanya, merupakan proses perubahan bentuk citra untuk mendapatkan suatu inormasi tertentu Transormasi bisa dibagi menjadi 2 : Transormasi piksel/transormasi geometris Transormasi ruang/domain/space 7

18 Transormasi Piksel dan Ruang Transormasi piksel masih bermain di ruang/domain yang sama (domain spasial), hanya posisi piksel yang kadang diubah Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll. Transormasi jenis ini relati mudah diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dll) Transormasi ruang merupakan proses perubahan citra dari suatu ruang/domain ke ruang/domain lainnya, contoh: dari ruang spasial ke ruang rekuensi Ada beberapa transormasi ruang yaitu : Transormasi Fourier (basis: cos-sin) Transormasi Hadamard/Walsh (basis: kolom dan baris yang ortogonal) Transormasi DCT (basis: cos) 8

19 9

20 Transormasi Fourier (FT) Pada tahun 822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa: setiap ungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang sinus/cosinus. Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari ungsiungsi sinus berikut (x) sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 2

21 Fungsi kotak sebagai penjumlahan ungsi-ungsi sinus Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat sampai batas n berapa ungsi yang dihasilkan sudah berbentuk ungsi kotak. unction kotak(n) t :pi/2:8*pi; kot sin(t); or i 3 : 2: n kot kot + (sin(i*t))/i; end plot(kot) 2

22 (a) (b) (c) (d) Gambar a) n, b) n 3, c) n 7, d) n 99 22

23 FT - Motivasi Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam penjumlahan ungsi-ungsi sinus-cosinus, pertanyaan berikutnya yang muncul adalah: Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang, bagaimana saya tahu ungsi-ungsi cos sin apa yang membentuknya? Atau dengan kata lain Berapakah rekuensi yang dominan di sinyal tersebut? Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menghitung nilai F(u) dari sinyal tersebut. Dari nilai F(u) kemudian dapat diperoleh kembali sinyal awal dengan menghitung (x), menggunakan rumus: 23

24 Rumus FT D Rumus FT kontinu dimensi F( u) ( x) ( x)exp[ 2 jπux] dx F( u)exp[2 jπux] du Euler's ormula: exp[ 2 jπux] cos2πux jsin2πux Rumus FT diskret dimensi F( u) ( x) exp[ 2 jπux / ] x ( x) F( u) exp[2 jπux / ] x 24

25 Contoh FT D Contoh berikut diambil dari Polikar ( Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb: x(t) cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi**t) + cos(2*pi*2*t) + cos(2*pi*5*t) Sinyal ini memiliki empat komponen rekuensi yaitu 5,,2,5 25

26 Contoh sinyal Dimensi x(t) Gambar sinyal satu dimensi dengan rumus x(t) cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi**t) + cos(2*pi*2*t) + cos(2*pi*5*t) (Sumber: Polikar) 26

27 FT dari sinyal tersebut FT dari sinyal tersebut. Terlihat bahwa FT dapat menangkap rekuensirekuensi yang dominan dalam sinyal tersebut, yaitu 5,, 2, 5 (nilai maksimum F(u) berada pada angka 5,, 2, 5) 27

28 Contoh Penghitungan FT dimensi (Gonzalez hlm 9-92) 28 j j F F j j j j j j x j x x F x j x x F contoh ux j ux x ux j x u F x x x x.25.5 ] [2 4 (3).25 [] 4 (2).25.5 ) 2 ( 4 ) (2 4 ) 4( ) 4( ) 3( ) [2( 4 4))] / sin(2 / 4) )(cos(2 ( 4 () 3.25 (3)] (2) () () [ 4 ))] / sin(2 ) / )(cos(2 ( () 4 (3) 4, (2) 3, () 2, () : ))] / sin(2 ) / )(cos(2 ( ] / 2 )exp[ ( ) ( π π π π π π π

29 Contoh Penghitungan FT Hasil penghitungan FT biasanya mengandung bilangan real dan imajiner Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua bilangan tersebut shg F(u) [R 2 (u) + I 2 (u)] /2 Untuk contoh di halaman sebelumnya, Fourier Spectrumnya adalah sebagai berikut: F() 3.25 F() [(-.5) 2 +(.25) 2 ] /2.559 F(2).25 F(3) [(.5) 2 +(.25) 2 ] /

30 Rumus FT 2 D Rumus FT 2 dimensi FT : F( u, v) M M x y ( x, y)exp[ 2 jπ ( ux / M + vy / )] InversFT : M tinggi ( x, citra y) M u v (jumlah baris) F( u, v)exp[2 jπ ( ux / M + vy / )] lebar citra (jumlah kolom) 3

31 Contoh FT 2 Dimensi Sumber: Untuk menampilkan nilai FT suatu citra, karena keterbatasan display, seringkali digunakan nilai D(u,v) c log [ + F(u,v) ] 3

32 Siat-siat FT 2 dimensi Separable : Pemrosesan FT 2 dimensi dapat dilakukan dengan melakukan FT dimensi terhadap kolom, kemudian dilanjutkan dengan FT dimensi terhadap baris Translasi : ( x, y)exp[ 2 jπ( u ( xx, y x+ v y)/ ] F( uu y) F( u, v)exp[ 2 jπ( ux + vy, vv )/ ] ) 32

33 Siat-siat FT 2 dimensi Periodik FT dan IFT bersiat periodik dengan periode ( adalah jumlah titik) Rotasi Jika kita merotasikan (x,y) sebanyak θ. maka F(u,x) juga akan berotasi sebanyak θ, demikian pula sebaliknya. Distributi FT dan IFT bersiat distributi terhadap penjumlahan tapi tidak terhadap perkalian 33

34 Siat-siat FT 2 dimensi Penskalaan ) /, / ( ), ( ), ( ), ( b v a u F ab ax by v af u y x a ilai rata-rata 2 ) (, ), ( ), ( x y F y x y x 34

35 Fast Fourier Transorm (FFT) Merupakan algoritma penghitungan yang mengurangi kompleksitas FT biasa dari 2 menjadi log 2 saja Pada implementasinya, FFT merupakan cara yang umum digunakan untuk menghitung FT diskret InversFT juga dapat dihitung dengan kompleksitas log 2 (IFFT) Di Matlab : t(x) atau t2(x) untuk FT dan it(x) atau it2(x) untuk invers FT 35