Transformasi Fourier

Transkripsi

1 Transormasi Fourier

2 Aplikasi Transormasi Fourier Koeisien serapan Resolusi spektral Analisis proil garis Pola antena Studi derau noise Teorema konvolusi dipergunakan dalam melakukan perkalian dua ungsi secara eisien Reerensi:. Bracewell, R. 965 The Fourier Transorm Spectroscopy, Academic, ew York. Bell, R.J. 97 The Fourier Transorm and Its Application, Mc.Graw- Hill, ew York Transormasi Fourier

3 Deinisi Tranormasi Fourier suatu ungsi: Spesiikasi amplitudoamplitudo dan asease sinusoidal yang jika dijumlahkan bersama menghasilkan ungsi baru Tinjau ungsi F, maka Transormasi Fourier dari F: F ep i d, : pasangan variabel Fourier Transormasi invers: F ep i d Transormasi Fourier 3

4 Rumus Euler untuk F: ep i cos isin sehingga F F F R real I imajiner F cos d i F cos d i F sin d F sin d R I R I Fungsi sinus dengan periode / R :Fungsi kompleks I Transormasi Fourier 4

5 Kasus F real Contoh: Spektrum luks bintang F I 0, sehingga F cos d i F sin d F R R :ungsi genap [ F F cos d R R R F R ], maka : σ Tetap merupakan ungsi kompleks Siat genap F R bersama siat ganjil sin πσ suku imajiner = 0 Bilangan kompleks: tan R I R i R I, :sudut ase I ep i / : Amplitudo Transormasi Fourier 5

6 Kasus σ = 0 0 F d F0 d Luas daerah di bawah ungsi semula Aplikasi: Dlm transormasi Fourier garis spektrum, σ = 0 berarti absorpsi garis total Transormasi Fourier 6

7 Transormasi Fourier 7 Transormasi umum W W W W i i iw iw i i i d i d i B b W W W W B W W W W sin ] [sin ep ep ep ep ep, 0, / / / / Fungsi kotak Bo unction

8 Fungsi delta Fungsi Arti isis : Pulsa, d Siat-siat:. 0, 0 pulsa terjadi pada =0. pulsa terjadi pada = 3. Perkalian ungsi dengan ungsi delta F F F d F d F Transormasi Fourier 8

9 9 Transormasi Fourier ep ep ep i d i d i Amplitudo σ tidak tergantung pada σ tapi pada suku ase linier πi σ Fungsi delta dapat dipergunakan untuk transormasi ungsi kosinus dan sinus Tinjau: sin cos ep ep ep ep i F d i d i F Transormasi Fourier

10 Untuk sejumlah n buah ungsi delta n dengan selang Δ Fungsi Shah III n III n, n : bilangan Transormasi III: sejumlah ungsi delta, bulat III n Selang antar puncak pada IIIσ=kebalikan selang pada III Transormasi Fourier 0

11 Transormasi Fourier

12 Cuplik & jendela data Penggunaan III: Perkalian dg suatu ungsi kontinu yg hasilnya sama dengan apabila ungsi dicuplik sampled pada titik-titik =nδ D III F Proil garis yang diukur Fungsi garis spektrum Jendela data : Fungsi kotak B yang merepresentasikan rentang pengambilan data t, λ,,.. D B III F Transormasi Fourier

13 Transormasi Fourier 3 Konvolusi Transormasi Fourier dari suatu perkalian ungsi G F Perkalian ungsi g K d g K Arti konvolusi: Kσ dievaluasi titik demi titik, integrasi dilakukan thd σ dengan σ tetap. Fungsi gσ- σ digeser sebesar σ thd σ ke arah kiri. Perkalian σ dan gσ- σ dibentuk dan luas daerah perkalian = Kσ. Perubahan σ pergeseran gσ- σ ke posisi baru Siat: g g

14 Transormasi Fourier 4

15 Transormasi Fourier 5 Konvolusi ungsi Transormasi ungsi terhadap seluruh σ nilai = F F F F F berpindah sejauh posisi ungsi Konvolusi ungsi gaussian dan proil dispersi ep ep ep i g Dua gaussian yang dikalikan:, ep ep ep b a c c b a g a g b Konvolusi gaussian menghasilkan gaussian lain Konvolusi proil dispersi a dan b menghasilkan proil dispersi baru dengan lebar paro b a c

16 Transormasi Fourier 6 Konvolusi gaussian dan proil dispersi Fungsi Voigt ep ep ep F g G ep ep v

17 Aplikasi astronomi: Deteksi obyek Lihat: Adinugroho, A.S. 005, TA, Dep. Astronomi, FMIPA, ITB Transormasi Fourier 7

18 Teorema resolusi Keterbatasan instrumen waktu, lebar pita, jendela pengukuran, dll Tinjau : Data D diukur dari ungsi masukan F via daerah W dideinisikan oleh kotak satuan B D B F d b dan b W sin W W Transormasi Fourier 8

19 Bagi bσ ciri yang tajam dalam σ merupakan pulsa konvolusi menyebabkan musnah. Untuk memisahkan ciri tajam dalam σ : lebar W /W < lebar ciri tajam Keterbatasan bentang span pengukuran ril: Komponen rekuensi tinggi akan hilang oleh transormasi Fourier rekuensi yang meliputi dσ dengan < W yang eksis Struktur ril dalam transormasi dibatasi hingga Δσ/W Transormasi Fourier 9

20 Sampling dan aliasing Tinjau d b III Anggap B sangat lebar bσ impuls, sehingga d III Jarak antara ungsi-ungsi dalam IIIσ = /Δ Konvolusi σ dan IIIσ: utk III Menghasilkan σ yg terpisahpisah Δ Sebaliknya, terjadi saling tumpang tindih Δ =/Δ ALIASIG Transormasi Fourier 0

21 Parameter 0. 5 Frekuensi pancung yquist requency Mengatasi aliasing D: Besaran yang diukur, dσ dihitung amplitudo σ pada σ σ tdk dapat diketahui. Secara umum σ << utk σ >>. σ0, σ σ : Hitung dσ, konstruksi kembali F dg mengambil invers dσ untuk σ σσ. Kasus tumpang tindih tidak ada solusi unik Ulangi pengukuran dg selang data Δ diperkecil Transormasi Fourier

22 Metode numerik transormasi Fourier Reerensi:. Press et al. 993 umerical recipes: The art o scientiic computing, Cambridge Univ. Press. Gray 99 The Observation and analysis o stellar photosphere, Cambridge Univ. Press 3. Bloomield 976 Fourier analysis o time series: An introduction, John Wiley & Sons 4. Brault & White 97 Astron. & Astrophys. 3, pp Awal perhitungan numerik: Formula kuadratur untuk memecahkan integral σ dan F Algoritma Cooley-Tukey metode penjumlahan bersarang/nested summation : Fast Fourier Transorm Transormasi Fourier

23 Transormasi Fourier 3 Kebutuhan algoritma Cooley-Tukey:. Titik-titk sepanjang kurva ungsi yang akan ditransormasikan =pangkat bilangan bulat. = n, n=,,.. Titik-titik tersebar dengan interval absis yang seragam Tinjau data utk, 0 : :interval, j j j D j D D F III B D 0 ep ep j j j i j D i D d yatakan σ=kδσ, Δσ: selang titik-titik pada dσ, k: bilangan bulat 0 ep ijk j D k d d

24 Frekuensi tertinggi yang dapat diharapkan untuk memperoleh inormasi: Asumsi: Jika terdapat titik yang mendeinisikan D nilai dari dσ dihitung Implikasi: Jika dσ membentang simetri dlm σ ada / titik di sekitar 0: / d k D j 0 0 d kep D jep ijk / ijk / Teknik transormasi & invers transormasi Fourier cepat Umumnya diambil Δ= Transormasi Fourier 4

25 Transormasi Fourier 5 Rambatan derau antar domain dlm transormasi Fourier yatakan E: galat pengukuran F, sehingga Teorema: 0 0 e E F F d e d E Pengukuran dilakukan dalam rentang terbatas : L rentang nilai σ transormasi: ±l L d e d E 0 0 / / 0 : harga awal. Dapat ditulis L e L E Relasi undamental *

26 Transormasi Fourier 6 Data yang ditransormasikan biasanya berbentuk numerik. Jika digunakan transormasi Fourier cepat FFT, untuk data yang berselang sama Δ, maka * menjadi Deinisikan simpangan baku L e E j j 0.5, 0 0 s L s L s s s L s e s E s j j / 0 / 0 ; Derau kedua domain sebanding