EE-662 Pengolahan Citra Digital Image Enhancement dalam Ranah Frekuensi

Transkripsi

1 EE-662 Pengolahan Citra Digital Image Enhancement dalam Ranah Frekuensi Dr. Iwan Setyawan 1 / 124

2 Pendahuluan dalam ranah Domain Pada bagian ini akan dibahas bagaimana merepresentasikan serta mengolah citra dalam ranah. Alat utama yang akan digunakan pada bagian ini adalah transformasi Fourier. Pembahasan transformasi Fourier pada bagian ini dibatasi pada penggunaannya dalam PCD. 2 / 124

3 Transformasi Fourier: Intro dalam ranah Domain Secara umum, transformasi Fourier digunakan untuk menguraikan (decompose) sebuah sinyal menjadi komponen-komponen berupa gelombang sinusoida. Dalam konteks PCD, output transformasi Fourier adalah representasi citra dalam ranah. Dalam ranah (ranah Fourier), setiap titik merepresentasikan sebuah yang ada pada citra input. 3 / 124

4 Transformasi Fourier: Why? dalam ranah Domain memungkinkan dilakukannya beberapa hal yang tidak dapat dilakukan pada ranah spatial. Banyak operasi dapat dilakukan dengan lebih cepat dalam ranah Fourier dibandingkan dalam ranah spatial. dalam ranah Fourier jauh lebih efisien dibanding filtering dalam ranah spatial, terutama untuk filter-filter besar. Dengan transformasi Fourier, kita dapat memproses - spesifik. Dengan demikian, proses lowdan high-pass filtering dapat dilakukan dengan lebih presisi. 4 / 124

5 Transformasi Fourier: Basic Ideas (1) dalam ranah Domain Sebuah fungsi periodik (atau fungsi non-periodik yang luasan dibawah kurva fungsinya berhingga) dapat direpresentasikan sebagai jumlahan fungsi sinus dan cosinus dengan berbagai amplitudo dan. Ada fungsi-fungsi yang tersusun oleh jumlah komponen yang berhingga, ada fungsi-fungsi yang tersusun oleh jumlah komponen yang tidak berhingga. 5 / 124

6 Transformasi Fourier: Basic Ideas (2) dalam ranah Domain Gambar 1: Fungsi dengan jumlah komponen berhingga 6 / 124

7 Transformasi Fourier: Basic Ideas (3) dalam ranah Domain Gambar 2: Fungsi dengan jumlah komponen tak berhingga 7 / 124

8 Transformasi Fourier: Kontinu (1) dalam ranah Domain dari sebuah fungsi kontinu 1-D f(x) didefinisikan sebagai berikut: F(u) = f(x)e j2πux dx (1) Inverse transformasi Fourier didefinisikan sebagai berikut: f(x) = F(u)e j2πux du (2) 8 / 124

9 Transformasi Fourier: Kontinu (2) dalam ranah Domain Dalam dua dimensi, pasangan persamaan tadi dapat ditulis sebagai berikut: F(u,v) = f(x,y) = f(x,y)e j2π(ux+vy) dxdy (3) F(u,v)e j2π(ux+vy) dudv (4) 9 / 124

10 Transformasi Fourier: DFT 1-D (1) dalam ranah Domain Discrete Fourier Transform (DFT) sebuah fungsi diskret 1-D,f(x),x = 1,2,...,M 1adalah F(u) = 1 M M 1 x=0 f(x)e j2πux/m IDFT didefinisikan sebagai berikut: untuku = 0,1,2,...,M 1 (5) f(x) = M 1 F(u)e j2πux/m u=0 untukx = 0,1,2,...,M 1 (6) 10 / 124

11 Transformasi Fourier: DFT 1-D (2) dalam ranah Domain Faktor 1 kadang-kadang dituliskan bukan pada M persamaan transformasi Fourier tapi pada persamaan inverse-nya. Kadang-kadang, kedua persamaan dikalikan dengan faktor 1. M Penghitungan DFT dilakukan sebagai berikut: 1. Setu = 0 2. Lakukan summing untuk semua nilai x 3. Jikau < M, setu = u+1dan kembali ke step 2. Jikau = M, proses selesai. Proses ini membutuhkan kira-kiram 2 buah penjumlahan & perkalian. 11 / 124

12 Transformasi Fourier: DFT 1-D (3) dalam ranah Domain Proses penghitungan IDFT mirip dengan prosedur diatas. Salah satu sifat paling penting DFT dalam PCD adalah bahwa semua citra memiliki DFT dan IDFT. Sifat diatas dikarenakan pasangan DFT dan IDFT pasti ada asal f(x) memiliki nilai berhingga. Semua citra digital dapat dipandang sebagai sebuah fungsi yang nilainya pasti berhingga. 12 / 124

13 Transformasi Fourier: DFT 1-D (4) dalam ranah Domain Konsep ranah diperoleh dari rumus Euler sebagai berikut: e jθ = cosθ+jsinθ (7) Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke Persamaan (5) (dan karena cos( θ) = cos θ), diperoleh F(u) = 1 M M 1 f(x)[cos2πux/m jsin2πux/m] (8) x=0 RanahF(u) disebut dengan ranah dan masing-masing F(u) disebut komponen. 13 / 124

14 Transformasi Fourier: DFT 1-D (5) dalam ranah Domain Karena F(u) adalah bilangan kompleks, maka sering dituliskan: F(u) = F(u) e jφ(u) (9) dengan magnitude (spektrum) transformasi Fourier didefinisikan sebagai: F(u) = [R 2 (u)+i 2 (u)] 1/2 (10) dan sudut fase transformasi didefinisikan sebagai: φ(u) = tan 1 [ I(u) R(u) ] (11) 14 / 124

15 Transformasi Fourier: DFT 1-D (6) dalam ranah Domain Besaran lain yang banyak digunakan adalah power spectrum, yang didefinisikan sebagai berikut: P(u) = F(u) 2 (12) = R 2 (u)+i 2 (u) Dalam Persamaan (5), titik sampling f(x) belum tentu berada pada nilai-nilai integerxdalam rentang[0,m 1], meskipun sampling dilakukan pada interval yang tetap. Hal ini sering dinyatakan sebagai berikut. Lokasi sampling pertama dinotasikan denganx 0, sehingga titik sample pertama adalahf(x 0 ), titik sample kedua adalah f(x 0 + x), titik sample ke-k adalahf(x 0 +k x) dan seterusnya. 15 / 124

16 Transformasi Fourier: DFT 1-D (7) dalam ranah Domain Dengan kata lain, kita menggunakan f(x) f(x 0 +x x) (13) Hal yang sama berlaku juga untuk variabelu, kecuali bahwa selalu dimulai dari 0. Jadi untukf(u) kita gunakan F(u) F(u u) (14) Hubungan antara u dan x adalah u = 1 M x (15) 16 / 124

17 Transformasi Fourier: DFT 1-D (8) dalam ranah Domain Gambar 3: Contoh DFT fungsi 1-D 17 / 124

18 Transformasi Fourier: DFT 2-D (1) dalam ranah Domain DFT dari sebuah citraf(x,y) dengan ukuranm N adalah F(u,v) = 1 MN M 1 x=0 N 1 y=0 IDFT 2-D didefinisikan sebagai berikut f(x,y) = M 1 u=0 N 1 v=0 f(x,y)e j2π(ux/m+vy/n) (16) F(u,v)e j2π(ux/m+vy/n) (17) 18 / 124

19 Transformasi Fourier: DFT 2-D (2) dalam ranah Domain Definisi magnitude, fase dan power spectrum DFT 2-D adalah F(u,v) = [R 2 (u,v)+i 2 (u,v)] 1/2 (18) [ ] I(u,v) φ(u,v) = tan 1 (19) R(u, v) P(u,v) = F(u,v) 2 = R 2 (u,v)+i 2 (u,v) (20) 19 / 124

20 Transformasi Fourier: DFT 2-D (3) dalam ranah Domain Biasanya, citra yang akan ditransformasikan dikalikan lebih dahulu dengan( 1) x+y, karena F[f(x,y)( 1) x+y ] = F(u M/2,v N/2) (21) Persamaan ini menunjukkan bahwa titik awal transformasi Fourier (yaitu,f(0,0)) berada pada titiku = M/2 dan v = N/2. Agar koordinat hasil shifting ini tetap integer,m dann harus genap. 20 / 124

21 Transformasi Fourier: DFT 2-D (4) dalam ranah Domain Nilai transformasi Fourier pada titik(u,v) = (0,0) adalah F(0,0) = 1 MN M 1 x=0 N 1 y=0 f(x,y) (22) Dengan kata lain, jikaf(x,y) adalah sebuah citra, nilai F(0, 0) adalah nilai rata-rata nilai gray-level citra. Komponen ini disebut komponen DC. Jikaf(x,y) real, makaf(u,v) conjugate symmetric, atau F(u,v) = F ( u, v) (23) Dari sini diperoleh bahwa F(u,v) = F( u, v) (24) 21 / 124

22 Transformasi Fourier: DFT 2-D (5) dalam ranah Domain Mirip seperti pada kasus 1-D, diperoleh juga relasi sebagai berikut: dan u = 1 M x v = 1 N y (25) (26) 22 / 124

23 Transformasi Fourier: DFT 2-D (6) dalam ranah Domain Gambar 4: Contoh DFT fungsi 2-D 23 / 124

24 Transformasi Fourier: DFT 2-D (7) dalam ranah Domain Gambar 5: Spectrum transformasi pada Gambar 4 24 / 124

25 Transformasi Fourier: DFT 2-D (8) dalam ranah Domain Gambar 6: Contoh lain DFT fungsi 2-D 25 / 124

26 Transformasi Fourier: DFT 2-D (9) dalam ranah Domain Gambar 7: Spektrum transformasi pada Gambar 6 26 / 124

27 dalam ranah : Intro (1) dalam ranah Domain Pada umumnya, tidak mudah membuat hubungan bagian-bagian tertentu dari suatu citra dengan hasil transformasinya. Meskipun demikian, dapat ditarik beberapa hubungan umum antara komponen dengan karakteristik spatial citra. Contohnya, kita dapat menghubungkan dalam ranah Fourier dengan pola perubahan perubahan luminance pada citra: Titik tengah spektrum menunjukkan nilai rata-rata luminance citra. Titik-titik yang jauh dari titik tengah spektrum menunjukkan daerah-daerah dengan perubahan level luminance yang besar, seperti edge, noise, dll. 27 / 124

28 dalam ranah : Intro (2) dalam ranah Domain Gambar 8: Citra asli (kiri) dan spektrum Fourier-nya 28 / 124

29 dalam ranah : Basics (1) dalam ranah Domain Secara umum, proses filtering dalam ranah adalah sebagai berikut: 1. Hitungf (x,y) = f(x,y)( 1) x+y 2. HitungF(u,v) = F[f (x,y)] 3. HitungG(u,v) = F(u,v)H(u,v). 4. Hitungĝ(x,y) = F 1 [G(u,v)] 5. Hitungg (x,y) = R[ĝ(x,y)] 6. Hitungg(x,y) = g (x,y)( 1) x+y 29 / 124

30 dalam ranah : Basics (2) dalam ranah Domain Pada langkah ke-3, H(u, v) disebut filter karena berfungsi menekan - tertentu dan meloloskan sisanya. Perkalian pada langkah ke-3 dilakukan per elemen (masing-masing elemen F(u, v) dikalikan dengan masing-masing elemen H(u, v)). Pada umumnyaf(u,v) adalah besaran kompleks sedangkan H(u, v) adalah besaran real. Dalam hal ini nilai H(u, v) dikalikan dengan bagian real dan imajiner F(u,v). Filter seperti diatas disebut dengan filter zero-phase-shift, karena filter ini tidak mengubah fase transformasi. 30 / 124

31 dalam ranah : Basics (3) dalam ranah Domain Hasil operasi IDFT pada umumnya kompleks. Tetapi dalam kasus ini jikaf(x,y) real, seharusnyaĝ(x,y) juga real (yaitu, semua komponen imajinernya 0). Pada prakteknya, ĝ(x, y) biasanya masih memiliki komponen imajiner yang dihasilkan akibat error komputasi (round-off, dll). Oleh karena itu, perlu dilakukan langkah ke-5. Perkalian dengan( 1) x+y dilakukan untuk menghilangkan pengaruh perkalian pada langkah pertama. 31 / 124

32 dalam ranah : Basics (4) dalam ranah Domain Gambar 9: Langkah-langkah filtering dalam ranah 32 / 124

33 dalam ranah : Basics (5) dalam ranah Domain Misalkan kita hendak mem-filter suatu citra sedemikian sehingga nilai rata-rata gray-level citra tersebut 0. Karena dalam ranah F(0, 0) merupakan nilai rata-rata gray-level citra, dengan membuat F(0, 0) = 0 kita dapat membuat sebuah citra yang nilai rata-rata gray-levelnya 0. Filter yang dapat digunakan untuk melakukan hal ini adalah { 0 jika(u,v) = (M/2,N/2) H(u,v) = (27) 1 otherwise Filter ini disebut notch filter. 33 / 124

34 dalam ranah : Basics (6) dalam ranah Domain Gambar 10: Citra asli (kiri); hasil notch-filtering 34 / 124

35 dalam ranah : Basics (7) dalam ranah Domain Filter-filter spatial yang telah dibahas pada bab sebelumnya dapat dikaitkan langsung dengan filter sejenis pada ranah. Kaitan utama antara ranah spatial dan diberikan oleh teorema konvolusi. Proses konvolusi sudah dijelaskan pada pembahasan filter ranah spatial. 35 / 124

36 dalam ranah : Basics (8) dalam ranah Domain Hasil paling penting teorema konvolusi dalam hal ini adalah hubungan: h(x,y) H(u,v) (28) Persamaan diatas menyatakan bahwa filter spatial h(x, y) dan filter ranah H(u, v) adalah pasangan transformasi Fourier. Dengan kata lain, jika kita memiliki sebuah filter dalam ranah, kita dapat memperoleh filter ranah spatial dengan cara mencari inverse transformasi Fourier-nya. 36 / 124

37 dalam ranah : Basics (9) dalam ranah Domain Pembuatan filter spatial secara langsung dari H(u, v) tidak efisien karena masalah ukuran. Pada prakteknya hasil inverse transformasi Fourier digunakan sebagai guideline ( prototipe ) pembuatan filter spatial dengan ukuran yang lebih kecil tapi dengan sifat yang hampir sama. Karena transformasi Fourier adalah sebuah proses linear, filter-filter yang dibuat berdasarkan teknik ini adalah filter linear. 37 / 124

38 dalam ranah : Basics (10) dalam ranah Domain Sebagai contoh, misalkan sebuah filter Gaussian (1-D) pada ranah, yaitu H(u) = Ae u2 /2σ 2 (29) Inverse transformasi Persamaan (29) (dengan kata lain, filter spatial yang ekuivalen) adalah sebagai berikut h(x) = 2πσAe 2π2 σ 2 x 2 (30) Plot kedua persamaan ini diberikan pada gambar berikut. 38 / 124

39 dalam ranah : Basics (11) dalam ranah Domain Gambar 11: Filter ranah (kiri) dan filter ranah spatial 39 / 124

40 dalam ranah : Basics (12) dalam ranah Domain Beberapa hal yang dapat diamati dari Gambar 11 adalah: Filter H(u) adalah sebuah low-pass filter. Bentuk filter h(x) dapat digunakan sebagai dasar pembuatan kernel filter spatial yang lebih kecil. Kedua filter memiliki koefisien yang semuanya positif. Jadi dalam ranah spatial kita dapat membuat kernel LPF dengan koefisien yang semuanya positif. 40 / 124

41 dalam ranah : Basics (13) dalam ranah Domain Contoh lain filter pada ranah adalah sebuah high-pass filter sebagai berikut H(u) = Ae u2 /2σ 2 1 Be u 2 /2σ 2 2 (31) Dalam persamaan inia B danσ 1 > σ 2. Filter spatial yang ekuivalen dengan filter ini adalah h(x) = 2πσ 1 Ae 2π2 σ 2 1 x2 2πσ 2 Be 2π2 σ 2 2 x2 (32) Plot kedua persamaan ini ditunjukkan pada gambar berikut. 41 / 124

42 dalam ranah : Basics (14) dalam ranah Domain Gambar 12: Filter ranah (kiri) dan filter ranah spatial 42 / 124

43 dalam ranah : Basics (15) dalam ranah Domain Pada Gambar 12 dapat diamati bahwa bentuk filter spatial yang dihasilkan darif 1 [H(u)] mirip dengan filter spatial yang sudah dibicarakan pada bab yang lalu. Dari kedua contoh ini dapat dilihat bahwa pengembangan filter dapat dilakukan dalam ranah karena lebih intuitif. Setelah filter dalam ranah diperoleh, penerapan filtering dapat dilakukan dalam ranah spatial seperti pada bab sebelumnya. 43 / 124

44 Smoothing : Intro dalam ranah Domain Seperti sudah dibahas sebelumnya, perubahan gray-level yang tajam (misalnya pada edge atau noise) memberi kontribusi pada komponen tinggi spektrum Fourier suatu citra. Jadi efek smoothing atau blurring dapat diperoleh dengan menekan komponen tinggi (dalam range tertentu) transformasi Fourier suatu citra. Dalam bagian ini akan dibahas 3 jenis filter smoothing yaitu filter ideal (ILPF), filter Butterworth (BLPF) dan filter Gaussian (GLPF). 44 / 124

45 Smoothing : ILPF (1) dalam ranah Domain LPF paling sederhana adalah filter yang membuang semua komponen tinggi yang jaraknya dari titik pusat transformasi lebih dari suatu jarak tertentu,d 0. Filter ini disebut LPF ideal (ILPF) 2-D, yang diberikan oleh persamaan H(u,v) = { 1 jikad(u,v) D 0 0 jikad(u,v) > D 0 (33) Dengan asumsi bahwa transformasi Fourier centered, untuk sebuah citra berukuranm N kita peroleh hubungan D(u,v) = [(u M/2) 2 +(v N/2) 2 ] 1/2 (34) 45 / 124

46 Smoothing : ILPF (2) dalam ranah Domain Gambar 13: Plot fungsi alih LPF ideal 46 / 124

47 Smoothing : ILPF (3) dalam ranah Domain Filter ini merupakan filter ideal karena semua dalam lingkaran dengan radiusd 0 diloloskan sementara semua diluar lingkaran tersebut dihilangkan. Pada sebuah LPF ideal, titik perubahan antara H(u,v) = 1 danh(u,v) = 0 disebut dengan cutoff. Transisi yang sedemikian tajam tidak dapat direalisasikan dengan komponen elektronik, tetapi dapat diterapkan menggunakan komputer. 47 / 124

48 Smoothing : ILPF (4) dalam ranah Domain Semakin kecil radiusd 0, semakin sedikit yang diloloskan sehingga citra output akan semakin blur. Salah satu cara menentukan cutoff adalah dengan menghitung seberapa besar energi citra yang akan dipertahankan. Jumlah total energi suatu citra dihitung dengan menjumlahkan nilai semua komponen power spectrum untuk tiap titik(u,v), yaitu P T = M 1 N 1 P(u,v) (35) u=0 v=0 P(u, v) dihitung dengan Persamaan (20). 48 / 124

49 Smoothing : ILPF (5) dalam ranah Domain Sebuah lingkaran dengan radius r dari titik pusat spektrum transformasi Fourier akan mengandung α persen energi citra, atau [ ] α = 100 P(u,v)/P T u v (36) Sebagai contoh, gambar berikut menunjukkan spektrum sebuah citra berukuran pixel. Masing-masing lingkaran memiliki radius 5, 15, 30, 80 dan 230. Masing-masing lingkaran tersebut mencakup 92%, 94.6%, 96.4%, 98% dan 99.5% energi citra. 49 / 124

50 Smoothing : ILPF (6) dalam ranah Domain Gambar 14: Citra asli (kiri) dan spektrum transformasi Fourier 50 / 124

51 Smoothing : ILPF (7) dalam ranah Domain Gambar 15: Citra asli (kiri) dan hasil filtering dengand 0 = 5 51 / 124

52 Smoothing : ILPF (8) dalam ranah Domain Gambar 16: Hasil filtering dengand 0 = 15 (kiri) dand 0 = / 124

53 Smoothing : ILPF (9) dalam ranah Domain Gambar 17: dengand 0 = 80 (kiri) dand 0 = / 124

54 Smoothing : ILPF (10) dalam ranah Domain Hasil filtering dengand 0 = 5 bisa dikatakan tidak banyak berguna. Dari sini dapat dilihat bahwa informasi detail citra terdapat dalam 8% energi citra yang dihilangkan. Citra yang difilter dengand 0 = 15,30 dan80 memiliki ciri khas berupa ringing. Hal ini adalah konsekuensi penggunaan filter ideal. Fenomena ini makin berkurang jika semakin banyak energi citra yang dilalukan. Citra yang difilter dengand 0 = 230 hampir identik dengan citra asli. Hal ini menunjukkan bahwa 0.5% energi yang dibuang tidak banyak mengandung informasi edge. Contoh ini menunjukkan bahwa LPF ideal tidak benar-benar dapat digunakan untuk aplikasi nyata. 54 / 124

55 Smoothing : ILPF (11) dalam ranah Domain Fenomena blurring dan ringing dapat dijelaskan sebagai berikut: Dalam ranah dan spatial, hubungan antara citra input dan output masing-masing adalah: G(u,v) = H(u,v)F(u,v) (37) g(x,y) = h(x,y) f(x,y) (38) PlotH(u,v) danh(x,y) ditunjukkan pada gambar berikut. 55 / 124

56 Smoothing : ILPF (12) dalam ranah Domain Gambar 18: PlotH(u,v) (kiri) danh(x,y) 56 / 124

57 Smoothing : ILPF (13) dalam ranah Domain Dari gambar terlihat bahwa filter h(x, y) memiliki ciri khas berupa komponen utama pada titik pusat dan lingkaran-lingkaran konsentris disekeliling komponen utama. Komponen utama menyebabkan efek blurring, sedangkan lingkaran-lingkaran konsentris mengakibatkan efek ringing. Dapat dilihat pula bahwa filter h(x, y) memiliki komponen negatif, sehingga ada kemungkinan citra output memiliki nilai negatif. 57 / 124

58 Smoothing : ILPF (14) dalam ranah Domain Hasil yang lebih ekstrim ditunjukkan pada contoh berikut. Misalkan citra input,f(x,y) adalah citra yang berisi 5 buah impulse. Hasil filtering citra ini menunjukkan dengan jelas efek blurring serta efek ringing yang terjadi. Hasil dalam contoh ini dapat digunakan untuk menjelaskan efek ringing dan blurring pada citra yang lebih kompleks, yaitu dengan menganggap masing-masing pixel sebagai impulse-impulse. 58 / 124

59 Smoothing : ILPF (15) dalam ranah Domain Gambar 19: Citra asli (kiri), hasil filtering (tengah), crosssection hasil filtering (kanan) 59 / 124

60 Smoothing : BLPF (1) dalam ranah Domain Sebuah BLPF orde n dengan cutoff pada jarak D 0 dari titik asal didefinisikan sebagai berikut: H(u,v) = 1 1+[D(u,v)/D 0 ] 2n (39) Berbeda dengan ILPF, BPLF tidak memiliki transisi yang tajam pada cutoff. Dalam kasus seperti ini, biasanya cutoff didefinisikan sebagai titik tempat nilai H(u, v) turun sampai level tertentu dibandingkan nilai maksimumnya. Plot fungsi alih BPLF diberikan pada gambar berikut. Dalam kasus ini, cutoff didefinisikan sebagai H(u,v) = / 124

61 Smoothing : BLPF (2) dalam ranah Domain Gambar 20: Contoh Butterworth Low-Pass Filter 61 / 124

62 Smoothing : BLPF (3) dalam ranah Domain Contoh hasil filtering menggunakan BLPF dapat dilihat pada gambar berikut. Perhatikan bahwa dalam gambar berikut tidak teramati adanya efek ringing. Hal ini disebabkan karena transisi yang tidak tajam pada cutoff. 62 / 124

63 Smoothing : BLPF (4) dalam ranah Domain Gambar 21: Citra asli (kiri); hasil filtering dengan cutoff padad 0 = 5 63 / 124

64 Smoothing : BLPF (5) dalam ranah Domain Gambar 22: Frekuensi cutoff padad 0 = 15 (kiri);d 0 = / 124

65 Smoothing : BLPF (6) dalam ranah Domain Gambar 23: Frekuensi cutoff padad 0 = 80 (kiri);d 0 = / 124

66 Smoothing : BLPF (7) dalam ranah Domain BLPF orde 1 tidak memiliki efek ringing. BLPF orde 2 sudah memiliki efek ringing, tetapi pada umumnya tidak teramati. Fenomena ringing semakin parah jika orde BLPF semakin tinggi. BLPF dengan orde 20 sudah memiliki efek ringing yang mirip dengan ILPF. Pada umumnya, digunakan BLPF orde 2 sebagai kompromi antara efektifitas filter dan fenomena ringing. Plot BLPF dengan berbagai orde ditunjukkan pada gambar berikut. 66 / 124

67 Smoothing : BLPF (8) dalam ranah Domain Gambar 24: BLPF orde 1 (kiri) dan orde 2 67 / 124

68 Smoothing : BLPF (9) dalam ranah Domain Gambar 25: BLPF orde 5 (kiri) dan orde / 124

69 Smoothing : GLPF (1) dalam ranah Domain Sebuah GLPF 2-D diberikan oleh hubungan H(u,v) = e D2 (u,v)/2σ 2 (40) Dalam Persamaan (40), σ adalah ukuran spread kurva Gaussian. Jika kita definisikanσ = D 0 maka dapat dituliskan H(u,v) = e D2 (u,v)/2d 2 0 (41) Dalam persamaan (41),D 0 adalah cutoff. Jika D(u,v) = D 0, magnitude filter memiliki nilai kali nilai maksimumnya. 69 / 124

70 Smoothing : GLPF (2) dalam ranah Domain Seperti telah disebutkan di depan, filter spatial h(x,y) = F 1 H(u,v) dalam kasus ini juga berupa kurva Gaussian. Dari sini dapat disimpulkan bahwa implementasi GLPF tidak akan menimbulkan fenomena ringing. Plot fungsi transfer sebuah GLPF diberikan pada gambar berikut. 70 / 124

71 Smoothing : GLPF (3) dalam ranah Domain Gambar 26: Plot fungsi transfer GLPF 71 / 124

72 Smoothing : GLPF (4) dalam ranah Domain Gambar-gambar berikut menunjukkan contoh output GLPF. Dari gambar-gambar ini terlihat bahwa efek smoothing GLPF tidak sebaik BLPF untuk nilai cutoff yang sama. (Dengan kata lain, GLPF tidak terlalu selektif ). Meskipun demikian, GLPF memiliki keunggulan karena terdapat jaminan tidak munculnya ringing. Hal ini sangat penting pada aplikasi-aplikasi yang tidak mengijinkan adanya artifact dalam bentuk apapun. 72 / 124

73 Smoothing : GLPF (5) dalam ranah Domain Gambar 27: Citra asli (kiri) dan output GLPF untukd 0 = 5 73 / 124

74 Smoothing : GLPF (6) dalam ranah Domain Gambar 28: Output GLPF untukd 0 = 15 dand 0 = / 124

75 Smoothing : GLPF (7) dalam ranah Domain Gambar 29: Output GLPF untukd 0 = 80 dand 0 = / 124

76 Sharpening : Intro (1) dalam ranah Domain Operasi sharpening dalam ranah merupakan kebalikan operasi smoothing/blurring. Operasi sharpening dilakukan dengan menekan komponen-komponen rendah dan meloloskan komponen tinggi. Jadi secara umum sebuah HPF dapat diperoleh dengan menggunakan hubungan H hp (u,v) = 1 H lp (u,v) (42) Pada bagian ini akan dibahas HPF ideal (IHPF), Butterworth (BHPF) dan Gaussian (GHPF). Plot fungsi alih masing-masing filter ditunjukkan pada gambar-gambar berikut. 76 / 124

77 Sharpening : Intro (2) dalam ranah Domain Gambar 30: Plot fungsi alih IHPF 77 / 124

78 Sharpening : Intro (3) dalam ranah Domain Gambar 31: Plot fungsi alih BHPF 78 / 124

79 Sharpening : Intro (4) dalam ranah Domain Gambar 32: Plot fungsi alih GHPF 79 / 124

80 Sharpening : Intro (5) dalam ranah Domain Sama seperti pada LPF ranah, representasi spatial HPF diatas dapat diperoleh dengan menghitung F 1 [H(u,v)]. Bentuk representasi masing-masing filter dalam ranah spatial ditunjukkan pada gambar berikut. 80 / 124

81 Sharpening : Intro (6) dalam ranah Domain Gambar 33: Representasi spatial IHPF (kiri), BHPF (tengah) dan GHPF 81 / 124

82 Sharpening : IHPF (1) dalam ranah Domain HPF ideal 2-D didefinisikan sebagai berikut: H(u,v) = { 0 jikad(u,v) D 0 1 jikad(u,v) > D 0 (43) Sama seperti ILPF, IHPF juga tidak dapat direalisasikan secara fisik. Kinerja IHPF ditunjukkan pada gambar berikut. Sama seperti ILPF, IHPF juga menunjukkan fenomena ringing yang parah untuk nilaid 0 kecil. 82 / 124

83 Sharpening : IHPF (2) dalam ranah Domain Gambar 34: Output IHPF untuk nilai D 0 15 (kiri), 30 (tengah) dan / 124

84 Sharpening : BHPF (1) dalam ranah Domain Fungsi alih sebuah BHPF dengan ordendan freqkuensi cutoffd 0 adalah H(u,v) = 1 1+[D 0 /D(u,v)] 2n (44) Kinerja BHPF orde 2 ditunjukkan pada gambar berikut. Terlihat bahwa fenomena ringing hampir tidak terlihat. 84 / 124

85 Sharpening : BHPF (2) dalam ranah Domain Gambar 35: Output BHPF orde 2 untuk nilai D 0 15 (kiri), 30 (tengah) dan / 124

86 Sharpening : GHPF (1) dalam ranah Domain Fungsi alih GHPF dengan cutoffd 0 adalah H(u,v) = 1 e D2 (u,v)/2d 2 0 (45) Kinerja GHPF ditunjukkan pada gambar berikut. Dari gambar terlihat bahwa hasil filtering GHPF lebih halus dibandingkan kedua filter sebelumnya. GHPF dapat juga dibuat berdasarkan selisih 2 buah GLPF. Pendekatan ini memungkinkan pengaturan yang lebih baik terhadap bentuk filter. Akan tetapi, biasanya GHPF diterapkan menggunakan Persamaan (45) karena lebih sederhana dan kinerjanya sudah cukup baik. 86 / 124

87 Sharpening : GHPF (2) dalam ranah Domain Gambar 36: Output GHPF untuk nilai D 0 15 (kiri), 30 (tengah) dan / 124

88 Laplacian in the (1) dalam ranah Domain Dapat dibuktikan bahwa F [ ] d n f(x) dx n Oleh karena itu, dapat diturunkan F [ 2 f(x,y) x f(x,y) y 2 = (ju) n F(u) (46) ] = (ju) 2 F(u,v) +(jv) 2 F(u,v) = (u 2 +v 2 )F(u,v) (47) 88 / 124

89 Laplacian in the (2) dalam ranah Domain Atau dengan kata lain F[ 2 f(x,y)] = (u 2 +v 2 )F(u,v) (48) Persamaan (48) menyatakan bahwa Laplacian dapat diimplementasikan dalam ranah menggunakan filter H(u,v) = (u 2 +v 2 ) (49) Jika transformasi Fourier centered, maka Persamaan (49) menjadi H(u,v) = [(u M/2) 2 +(v N/2) 2 ] (50) 89 / 124

90 Laplacian in the (3) dalam ranah Domain Output filter Laplacian, dalam ranah spatial, diperoleh dengan menghitung 2 f(x,y) = F 1 { [(u M/2) 2 +(v N/2) 2 ]F(u,v)} (51) Sama seperti dalam ranah spatial, citra yang sudah dipertajam menggunakan filter Laplacian dapat diperoleh dengan menghitung g(x,y) = f(x,y) 2 f(x,y) (52) 90 / 124

91 Laplacian in the (4) dalam ranah Domain Operasi diatas dapat juga dilakukan dengan kernel tunggal sebagai berikut g(x,y) = F 1 {[1+((u M/2) 2 +(v N/2) 2 )]F(u,v)} (53) 91 / 124

92 Unsharp Masking & (1) dalam ranah Domain Sama seperti dalam ranah spatial, filter unsharp masking dan high-boost diperoleh masing-masing dengan menghitung f us (x,y) = f(x,y) f lp (x,y) (54) f hb (x,y) = Af(x,y) f lp (x,y) (55) Dalam ranah, operasi unsharp masking dapat dilakukan menggunakan filter komposit sebagai berikut H us (u,v) = 1 H lp (u,v) (56) denganh lp (u,v) merepresentasikan sebuah LPF. 92 / 124

93 Unsharp Masking & (2) dalam ranah Domain Sedangkan operasi high-boost filtering dapat dilakukan dengan filter komposit sebagai berikut H hb (u,b) = (A 1)+H hp (u,v) (57) denganh hp (u,v) merepresentasikan sebuah filter high-pass. Secara umum, kinerja filter unsharp masking dan high-boost pada ranah setara dengan filter-filter pada ranah spatial. 93 / 124

94 High-Frequency dalam ranah Domain Filter ini akan menonjolkan (accentuate) kontribusi komponen tinggi pada image enhancement. Hal ini dapat dicapai menggunakan filter sebagai berikut H hfe (u,v) = a+bh hp (u,v) (58) dengana 0 danb > a. Nilai-nilai a dan b yang sering digunakan masing-masing masing antara 0.25 sampai 0.5 dan antara 1.5 sampai 2.0. Dapat dilihat bahwa filter ini sama dengan filter high-boost jikaa = (A 1) danb = / 124

95 Homomorphic (1) dalam ranah Domain Salah satu model citra adalah model illumination-reflectance. Pada model ini sebuah citra direpresentasikan sebagai berikut f(x,y) = i(x,y)r(x,y) (59) Model ini dapat digunakan untuk mengembangkan metode enhancement pada ranah dengan cara melakukan kompresi rentang gray-level dan contrast enhancement secara bersamaan. Persamaan (59) tidak dapat langsung digunakan untuk membuat filter, karena F[f(x,y)] F[i(x,y)][r(x,y)] (60) 95 / 124

96 Homomorphic (2) dalam ranah Domain Akan tetapi, jika didefinisikan dapat diperoleh atau z(x,y) = lnf(x,y) = lni(x,y)+lnr(x,y) (61) F[z(x,y)] = F[lnf(x,y)] = F[lni(x,y)]+F[lnr(x,y)] (62) Z(u,v) = F i (u,v)+f r (u,v) (63) 96 / 124

97 Homomorphic (3) dalam ranah Domain Jika kita memproses Z(u, v) menggunakan filter H(u, v), kita peroleh S(u,v) = H(u,v)Z(u,v) = H(u,v)F i (u,v)+h(u,v)f r (u,v) (64) Dalam ranah spatial diperoleh s(x,y) = F 1 [S(u,v)] = F 1 [H(u,v)F i (u,v)]+f 1 [H(u,v)F r (u,v)] (65) = i (x,y)+r (x,y) (66) 97 / 124

98 Homomorphic (4) dalam ranah Domain Karena z(x, y) diperoleh dengan mengambil logaritma citra f(x, y), diperlukan operasi exponensial untuk memperoleh citra hasil enhancement, atau g(x,y) = e s(x,y) = e i (x.y) e r (x,y) = i 0 (x,y)r 0 (x,y) (67) 98 / 124

99 Homomorphic (5) dalam ranah Domain Proses yang telah dibahas dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 37: Proses homomorphic filtering 99 / 124

100 Homomorphic (6) dalam ranah Domain Metode image enhancement ini didasarkan pada kasus khusus dari suatu kelas sistem yang disebut homomorphic systems. Dalam aplikasi ini, kunci metode ini adalah pemisahan komponen iluminasi dan reflektansi sehingga filter homomorphic H(u, v) dapat bekerja pada masing-masing komponen secara terpisah. Komponen iluminasi suatu citra biasanya memiliki ciri perubahan spatial yang lambat. Komponen reflektansi biasanya berubah dengan mendadak, terutama pada daerah pertemuan 2 buah objek. 100 / 124

101 Homomorphic (7) dalam ranah Domain Oleh karena itu, bagian rendah spektrum Fourier dari logaritma suatu citra dihubungkan dengan iluminasi sedangkan bagian tinggi dihubungkan dengan reflektansi. Untuk melakukan enhancement menggunakan sifat-sifat ini, diperlukan filter yang memodifikasi komponen rendah dan tinggi dengan cara berbeda. Contoh filter seperti ini ditunjukkan pada gambar berikut. 101 / 124

102 Homomorphic (8) dalam ranah Domain Gambar 38: Contoh fungsi filter homomorphic 102 / 124

103 Homomorphic (9) dalam ranah Domain Jika parameterγ L danγ H pada Gambar 38 dipilih sedemikian sehinggaγ L < 1 danγ H > 1, filter ini akan menekan kontribusi komponen iluminasi dan menguatkan kontribusi komponen reflektansi. Hasilnya, citra input akan mengalami kompresi dynamic range dan contrast enhancement secara bersama-sama. Contoh hasil enhancement menggunakan filter ini ditunjukkan pada gambar berikut. 103 / 124

104 Homomorphic (10) dalam ranah Domain Gambar 39: Citra asli (kiri) dan hasil homomorphic filtering 104 / 124

105 Padding Revisited (1) dalam ranah Domain suatu variabel diskret, F(u) = F[f(x)], adalah sebuah fungsi periodik. Inverse transformasi operasi diatas,f(x) = F 1 [F(u)], juga merupakan sebuah fungsi periodik. Operasi filtering yang dilakukan dalam ranah ekuivalen dengan operasi konvolusi dalam ranah spatial, atau g(x,y) = f(x,y) h(x,y) G(u,v) = F(u,v)H(u,v) (68) Jadi, dalam operasi ini baikf(x,y) maupunh(x,y) diperlakukan sebagai fungsi periodik. 105 / 124

106 Padding Revisited (2) dalam ranah Domain Masalah periodisitas ini dapat mengakibatkan kesalahan dalam perhitungan konvolusi di ranah spatial. Dalam pembahasan ini konvolusi dihitung menggunakan hubungan f(x) h(x) = 1 M M 1 m=0 f(m)h(x m) (69) Misalkan terdapat 2 buah fungsif(m) danh(m) yang tidak periodik, seperti pada gambar berikut. 106 / 124

107 Padding Revisited (3) dalam ranah Domain f(m) 3 0 h(m) m m Gambar 40: Fungsif(m) (atas) danh(m) 107 / 124

108 Padding Revisited (4) dalam ranah Domain Hasil konvolusi kedua fungsi tersebut adalah sebagai berikut: f(x) h(x) x Gambar 41: Hasil konvolusi 108 / 124

109 Padding Revisited (5) dalam ranah Domain Operasi konvolusi ini dilakukan dalam ranah spatial. Dalam filtering, operasi ini diterapkan sebagai perkalian dalam ranah.oleh karena itu, fungsi-fungsi yang terlibat diperlakukan sebagai fungsi periodik. Versi periodik fungsi-fungsi Gambar 40 ditunjukkan pada gambar berikut 109 / 124

110 Padding Revisited (6) dalam ranah Domain f(m) 3 0 h(m) m m Gambar 42: Versi periodik fungsif(m) (atas) danh(m) 110 / 124

111 Padding Revisited (7) dalam ranah Domain Hasil konvolusi fungsi-fungsi pada Gambar 42 adalah sebagai berikut: f(x) h(x) x Gambar 43: Hasil konvolusi fungsi periodik 111 / 124

112 Padding Revisited (8) dalam ranah Domain Dari Gambar 43 terlihat bahwa periodisitas mengakibatkan terjadinya error pada bagian awal dan akhir hasil konvolusi. Error semacam ini disebut wraparound error. Permasalahan ini dapat diatasi dengan mudah menggunakan padding. 112 / 124

113 Padding Revisited (9) dalam ranah Domain Misalkan jika fungsi f(x) dan h(x) masing-masing memilikiadanb buah titik, proses padding akan menghasilkan fungsi-fungsi sebagai berikut { f(x) 0 x A 1 f e (x) = 0 A x P dan h e (x) = { h(x) 0 x B 1 0 B x P (70) (71) 113 / 124

114 Padding Revisited (10) dalam ranah Domain Dapat dibuktikan bahwa jika kita tidak memilih P A+B 1, maka masing-masing periode fungsi-fungsi yang dikonvolusikan akan overlap dan mengakibatkan error. Jika dipilihp = A+B 1, masing-masing periode akan tepat bersebelahan. Jika dipilihp > A+B 1, masing-masing periode akan terpisah dengan jarakp (A+B 1). 114 / 124

115 Padding Revisited (11) dalam ranah Domain Untuk fungsi-fungsi dalam contoh diatas, kita dapat memilihp = A+B 1 = 799 untuk menghindari terjadinya error. Fungsi-fungsi f(x) dan h(x) yang sudah di-extend ditunjukkan oleh gambar berikut. 115 / 124

116 Padding Revisited (12) dalam ranah Domain f(m) h(m) 2 m m Gambar 44: Fungsi-fungsi yang sudah di-extend 116 / 124

117 Padding Revisited (13) dalam ranah Domain Jika sekarang dilakukan konvolusi dengan versi periodik fungsi-fungsi pada Gambar 44, maka akan dihasilkan hasil konvolusi yang benar, yaitu seperti Gambar 41. Dalam proses filtering citra, wraparound error juga akan muncul jika masalah periodisitas tidak diatasi. Misalkan untuk 2 buah citraf(x,y) danh(x,y) yang berukuran sama, yaitu A B, masalah wraparound error ditunjukkan pada gambar berikut. 117 / 124

118 Padding Revisited (14) dalam ranah Domain A B Correct Incorrect 2A 1 Incorrect 2B 1 Gambar 45: Masalah wraparound error 2-D 118 / 124

119 Padding Revisited (15) dalam ranah Domain Untuk mengatasi masalah ini,f(x,y) danh(x,y) di-extend dengan zero-padding sebagai berikut: { f(x,y) 0 x A 1dan0 y B 1 f e (x,y) = 0 A x P danb y Q dan h e (x,y) = (72) { h(x,y) 0 x A 1dan0 y B 1 0 A x P danb y Q (73) Fungsi yang sudah di-extend ditunjukkan pada gambar berikut. 119 / 124

120 Padding Revisited (16) dalam ranah Domain A f(x,y) atau h(x, y) B Zero-padding P Q Gambar 46: Padding 2-D 120 / 124

121 Padding Revisited (17) dalam ranah Domain Dengan mengkonvolusikan fungsi-fungsi yang sudah di-extend, akan diperoleh hasil konvolusi yang benar. Fungsi hasil konvolusi biasanya akan di-crop kembali ke ukuran asli citra (A B) (bagian fungsi diluar daerah tersebut tidak memiliki informasi yang berguna) seperti ditunjukkan pada gambar berikut. Jika fungsi-fungsi yang akan diproses merupakan fungsi kompleks, komponen real dan komponen imajiner harus di-extend (meskipun jika pada akhirnya komponen imajiner dapat diabaikan). 121 / 124

122 Padding Revisited (18) dalam ranah Domain A g(x, y) B Correct, no useful info P Q Gambar 47: Gambarg e (x,y) = f e (x,y) h e (x,y) 122 / 124

123 Catatan dalam ranah Domain memiliki sifat separable, dengan kata lain perhitungan transformasi Fourier 2-D dapat dilakukan dengan cara menghitung transformasi Fourier 1-D pada arah horizontal kemudian ke arah vertikal atau sebaliknya. Teorema konvolusi berkaitan erat dengan teorema korelasi. Teorema ini banyak berguna untuk mencari suatu pola dalam citra atau untuk menentukan apakah 2 citra yang dibandingkan sama atau berbeda. Pada umumnya DFT diterapkan menggunakan algoritma Fast Fourier Transform (FFT) yang dapat mengurangi jumlah komputasi dario(m 2 ) menjadio(m log 2 M). 123 / 124

124 Kesimpulan dalam ranah Domain Pada bagian ini kita telah membahas:, terutama dikaitkan dengan penggunaannya dalam PCD. Bagaimana melakukan filtering dalam ranah, serta kaitan antara filter ranah spatial dengan filter ranah. Beberapa catatan mengenai penerapan Transformasi Fourier dalam PCD. 124 / 124