Analisis Bifurkasi Pitchfork pada Sistem Interaksi Non Linier Sepasang Osilator Melalui Metode Menifold Center
|
|
- Hendri Lie
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Jurnal Euler, ISSN: Januari 2012, Vol.1, No.1, Hal Analisis Bifurkasi Pitchfork pada Sistem Interaksi Non Linier Sepasang Osilator Melalui Metode Menifold Center Wahnin Tangahu 1 Abstrak Wahnin Tangahu, NIM Analisis Bifurkasi Pitchfork pada Sistem Interaksi Non Linier Sepasang Osilator Melalui Metode Menifold Center. Skripsi, Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Gorontalo. Pembimbing (I) Hj. Novianita Achmad S.Si, M.Si dan Pembimbing (II) Nurwan S.Pd, M.Si. Dalam mempelajari sistem interkasi nonlinier sepasang osilator yang tak terperturbasi digunakan metode manifold center untuk menyederhanakan sistem ini, karena sistem ini merupakan sistem nonlinier yang memiliki nilai eigen bagian realnya nol. Sistem tersebut adalah sebagai berikut: ṙ ẋ ẏ = δxr ωy + αxy + βy 2 δr 2 ωx αx 2 βyx Dari hasil pembahasan diidentifikasi adanya bifurkasi satu parameter dengan menggunakan matcont pada sistem interaksi nonlinier sepasang osilator yang tak terperturbasi disekitar titik tetap (0, 0, ω ). Kemudian sistem ini disederhanakan dengan β menggunakan metode manifold center sehingga lebih mudah dalam menganalisa perlaku bifurkasi pada sistem interaksi nonlinier sepasang osilator yang tak terperturbasi disekiter titik tetap tersebut. Dari sistem yang telah tereduksi pada manifold center sebagai berikut: u = 9uv 2 v = 6uv + 6uvµ 6v 3 µ = 0 kemudian dapat diperoleh bentuk normal dan hasil plot gambar yang menunjukkan adanya bifurkasi satu parameter pada sistem interaksi nonlinier sepasang osilator di sekitar titik tetap (0, 0, ω ) yaitu bifurkasi pitchfork. β 1 Pendahuluan Pada tahun 2003,2004, dan 2006 Tuwankotta [11] melakukan penyederhanaan sistem yang sama dengan sistem sepasang osilator yang di teliti oleh Crommelin [2] pada tahun 2002 yang dikenal dengan Ultra-Low Frequency Variability (ULFV). Sistem ini merupakan sistem yang berdimensi 4 yang merepresentasikan sepasang osilator yang saling berinteraksi dengan perbandingan frekuensi 1 : ε dengan 0 < ε 1 adalah parameter yang cukup kecil. Dengan nilai eigen dari matriks A adalah εα 1 ± iβ 1 dan εα 2 ± iεβ 2. Sistem ini di 1 Jurusan Pend. Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Jln. Jend. Sudirman, No.6, Prov. Gorontalo. Telp , Fax wahnintangahu@rocketmail.com
2 sederhanakan oleh Tuwankotta ke bentuk normal yang dapat mempertahankan dinamik dari sistem (??) secara kualitatif. Untuk menyederhanakan sistem ini ke bentuk normal, Tuwankotta menggunakan metode perataan. Bentuk normal dari sistem ini adalah sebagai berikut: ṙ κ r δxr ẋ = ε 0 κ 2 0 x + Ωy δr 2, (1) ẏ 0 0 κ 2 y Ωx dengan Ω = α + βx + ωy dan 0 < ε 1 adalah parameter perturbasi. Dalam skripsi ini peneliti mengasumsikan pada sistem (??) tidak terdapat gangguan atau secara matematis dituliskan ε = 0. Sehingga diperoleh sistem interaksi nonlinier sepasang osilator dengan parameter tak terperturbasi sebagai berikut: ṙ ẋ ẏ = δxr ωy + αxy + βy 2 δr 2 ωx αx 2 βyx Ada dua titik setimbang dalam sistem dinamik yaitu titik setimbang hiperbolik dan titik setimbang non hiperbolik. Kestabilan titik setimbang non hiperbolik ditentukan dengan mereduksi sistem dengan menggunakan manifold center. Ketika Sistem yang direduksi dengan manifold center bergantung pada parameter, maka selanjutnya dapat dilakukan analisa bifurkasi. 2 Tinjauan Pustaka Sistem Dinamik Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial (sistem dinamik kontinu) autonomos atau sistem yang tidak bergantung secara eksplisit terhadap waktu, sebagai berikut : ẋ = f(x), x E R n (2) dengan x = (x 1, x 2, x 3, x n), f : E R n, f = (f 1, f 2, f 3, f n). Solusi dari sistem (2)adalah suatu kurva γ : R R n yang memenuhi dγ = F (γ(t)) untuk setiap t R. Ruang variabel dt bebas pada sistem dinamik biasanya dinyatakan sebagai waktu, sedangkan ruang variabel terikat di R n pada sistem (2) sering disebut dengan ruang fase. Kurva γ diatas disebut dengan orbit, sedangkan kumpulan dari orbit-orbit pada ruang fase disebut dengan potret fase. Salah satu solusi dari sistem (2) adalah titik ekuilibrium. Titik ekuilibrium dari sistem (2) adalah suatu solusi x R n sedemikian sehingga f( x) = 0. Proses linearisasi dengan menggunakan deret Taylor di sekitar titik ekuilibrium akan diperoleh sistem linear dengan bentuk ẋ = Ax, dengan A matriks n n. Definisi 2.1. Sebuah titik kritis dikatakan hiperbolik jika bagian real nilai eigen dari matriks jakobi J(u,v) adalah tidak nol. jika bagian manapun nilai eigen dari matriks jakobi adalah nilai nol, maka titik kritis disebut nonhiperbolik. 36 Euler Vol.1, No.1 Hal.35-49
3 Pelinieran Sistem (2) adalah bentuk sistem non linier yang masih sulit untuk di analisa, sehingganya untuk lebih memudahkan dalam menganalisis sistem (2), perlu dilakukan pelinieran di titik ekuilibrium x(t). Misalkan, x = x(t) + y (3) dengan mensubstitusi (3) ke (2) maka diperoleh persamaan sebagai berikut: ẋ = x + ẏ (4) kemudian melalui ekspansi taylor di sekitar titik ekuilibrium x(t). Maka diperoleh: ẋ = f( x(t))y + Df( x(t))y + O( y 2 ) x(t) + ẏ = f( x(t)) + Df( x(t))y + O( y 2 ) (5) Oleh karena x(t) = f( x(t)), maka persamaan (5) dapat disederhanakan menjadi persamaan berikut: ẏ = Df( x(t))y + O( y 2 ) (6) Jika T = Df( x(t)), maka sistem (6) dapat dituliskan menjadi : ẏ = T y + O( y 2 ). (7) Perhatikan teorema berikut : Teorema 2.1. Misalkan matriks T pada (7) semua nilai eigennya bernilai negatif, maka titik ekuilibrium x = x stabil asimtotik. Untuk pembuktiannya lihat Wiggins,[13]halaman 8. Dengan demikian, untuk mempelajari dinamik disekitar titik equilibrium dari sistem (2), maka kita akan hanya mempelajari bagian linier dari (7), yaitu: ẏ = T y, y R n (8) Bifurkasi Pitchfork Pandang persamaan diferensial berikut: ẋ = f(x, µ) = µx x 3, x R 1, µ R 1. (9) Kita dapat mendefinisikan manifold ekuilibrium dari persamaan (9) yaitu: x = 0 (10) dan x 2 = µ (11) Euler Vol.1, No.1 Hal
4 Ilustrasi dari persamaan (9) ditunjukkan oleh gambar (1). Gambar 1: Diagram bifurkasi pitchfork. Disaat µ < 0, sistem (9) memiliki satu titik ekuilibrium stabil di x = 0. Ketika µ > 0, Titik ekuilibrium tersebut berubah menjadi tidak stabil dibarengi dengan munculnya dua titik ekuilibrium baru yang bersifat stabil 3 Manifold Center Bergantung pada Parameter Dalam matematika terapan, sistem persamaan diferensial disebut juga sebagai sistem dinamik kontinu. Manifold center yang dibahas di dalam subbab ini adalah manifold center untuk sistem persamaan diferensial (sistem dinamik kontinu). Kita dapat tuliskan sistem persamaan diferensial sebagai berikut: ẋ = Ax + f(x, y), ẏ = By + g(x, y), (x, y) R s R c, (12) Definisi 3.1. (Wiggins [13] 1990)Sebuah manifold invarian dikatakan manifold center untuk (12)jika secara lokal bisa direpresentasikan sebagai: W c = {(x, y) R c R s y = h(x), x < δ, h(0) = 0, Dh(0) = 0}, untuk δ yang cukup kecil. Dalam menangani sistem parametrized adalah untuk menyertakan ε parameter sebagai variabel dependen baru sebagai berikut ẋ = Ax + f(x, y, ε) ε = 0, (x, ε, y) R c R p R s ẏ = By + g(x, y, ε), (13) Misalkan kita mempertimbangkan (13) lagi. Sistem (13) jelas memiliki titik tetap pada (x, ε, y) = (0, 0, 0). Matriks terkait dengan linearisasi dari sistem (13) tentang titik tetap memiliki nilai eigen c + p dengan nol bagian real dan nilai eigen s dengan bagian real negatif. Memodifikasi Definisi (3.1) center manifold akan diwakili sebagai grafik di atas x dan variabel ε, yaitu, grafik h(x, ε) untuk x dan ε cukup kecil. Sehingga medan vektor 38 Euler Vol.1, No.1 Hal.35-49
5 dikurangi menjadi center manifold diberikan oleh: u = Au + f(u, h(u, ε), ε), ε = 0, (u, ε) R c R p. (14) Manifold center ada untuk semua ε di lingkungan yang cukup kecil ε = 0. Dengan demikian, jika center manifold invariant ada di lingkungan cukup kecil di x dan ε pada (x, ε) = (0, 0), semua solusi bifurkasi akan terkandung dalam manifold center dimensi rendah. Dari teorema keberadaan untuk manifold center lokal kita memiliki W c (0) = {(x, ε, y) R c R p R s y = h(x, ε), x < δ, ε < δ, h(0, 0) = 0, Dh(0, 0) = 0} untuk δ dan δ cukup kecil. Dengan menggunakan invarian dari grafik h(x, ε) pada dinamika yang dihasilkan oleh (12) kita memiliki: ẏ = D xh(x, ε)ẋ + D εh(x, ε) ε = Bh(x, ε) + g(x, h(x, ε), ε). (15) namun, ẋ = Ax + f(x, h(x, ε), ε), ε = 0; (16) maka kita mengganti (16) menjadi (15) hasil dalam persamaan diferensial parsial yang quasilinear dengan h(x, ε) harus memenuhi grafik untuk manifold center. N(h(x, ε)) = D xh(x, ε)[ax + f(x, h(x, ε), ε)] Bh(x, ε) g(x, h(x, ε), ε) = 0 4 Metode Penelitian Analisis yang dilakukan yaitu untuk mengkaji hasil plot dari setiap titik ekuilibrium sistem interaksi nonlinier sepasang osilator yang telah disederhanakan. Setelah diperoleh hasil dari plot, maka dilakukan analisis kestabilan titik ekuilibrium dengan menggunakan metode manifold center. Dari analisa kestabilan titik ekuillibrium tersebut, maka dapat dianalisa jenis bifurkasi yang terjadi pada sistem interaksi nonlinier sepasang osilator di sekitar titik ekuilibriumnya. Pada penelitian ini akan dilakukan beberapa tahapan penelitian yang dapat dilihat pada flow chart berikut: Euler Vol.1, No.1 Hal
6 Gambar 2: Bagan Alir Penelitian 5 Pembahasan Penentuan Titik Ekuilibrium Sistem interaksi nonlinier sepasang osilator yang dibahas dalam skripsi ini adalah sistem interaksi non sepasang osilator yang tak terperturbasi dimana diasumsikan bahwa tidak ada gangguan yang terjadi atau secara matematis dituliskan ε = 0. ṙ ẋ ẏ = δxr ωy + αxy + βy 2 δr 2 ωx αx 2 βyx (17) 0. Titik ekuilibrium dari sistem (17) adalah suatu solusi r, x, ȳ sedemikian sehingga f( r, x, ȳ) = Sehingga dari sistem (17) dapat dituliskan secara matematis sebagai berikut: δxr = 0 (18) ωy + αxy + βy 2 δr 2 = 0 (19) ωx αx 2 βyx = 0 (20) Dari persamaan (18) diperoleh r = 0, kemudian nilai r disubstitusikan pada persamaan (19) diperoleh nilai ȳ = 0. Sehingga dengan mensubstitusikan nilai dari ȳ pada persamaan (20), diperoleh nilai ȳ = ω ω. Sehingga diperoleh manifold ekuilibrium (0,, 0). α α Dengan bantuan maple dapat diketahui nilai eigen dari sistem dititik ekuilibrium (0, ω, 0) α 40 Euler Vol.1, No.1 Hal.35-49
7 adalah ( δω, 0, βω ). Hal ini mengakibatkan akan ada kemungkinan terjadinya bifurkasi satu α α parameter, karena bagian real dari nilai eigennya adalah nol. Kemudian dari persamaan (18) diperoleh r = 0, dan dari persamaan (20) diperoleh nilai x = 0. sehingga dengan mensubstitusikan nilai dari r dan x pada persamaan (19), diperoleh nilai ȳ = ω β ω. Sehingga diperoleh manifold ekuilibrium (0, 0, ). β Dengan bantuan maple dapat diketahui nilai eigen dari sistem dititik ekuilibrium (0, 0, ω adalah (0, 0, αω ). Hal ini mengakibatkan akan ada kemungkinan terjadinya bifurkasi satu β parameter, karena bagian real dari nilai eigennya adalah nol. β ) Perhatikan bahwa dari sistem (1), jika kita misalkan r = 0 maka akan memberikan dua persamaan sebagai berikut: Ωy = 0 Ωx = 0 Sehingga diperoleh persamaan Ω = 0, oleh karena Ω = ω + αx + βy, maka diperoleh manifold ekuilibrium yaitu (0, x 0, αx 0+ω ). Dengan bantuan maple dapat diketahui nilai eigen β dari sistem dititik ekuilibrium (0, x 0, αx 0+ω ) adalah (δx β 0, 1/2, 1/2 ). Dimana c adalah βc βc bilangan konstan yang dihasilkan oleh parameter-parameter yang terdapat pada sistem. Dengan melihat nilai eigen diatas menunjukkan bahwa sistem disekitar titik ekuilibrium pada manifold ekuilibrium ini adalah tidak stabil / saddle. Sehingga dapat diketahui tidak terjadi bifurkasi pada sistem disekitar titik ekuilibrium (0, x 0, αx 0+ω β ). Dari penjelasan diatas, untuk selajutnya penelitia difokuskan yaitu menganalisa bifurkasi disekitar titik ekuilibrium (0, 0, ω β ) Analisa Bifurkasi Secara Numerik Dalam memplot gambar pada matcont, dibutuhkan penginputan nilai-nilai parameter yang terdapat pada sistem (17),dengan parameter α yang divariasikan. Pada Tuwankotta [11], telah ditetapkan nilai dari parameter-parameter dari sistem interaksi nonlinier sepasang osilator dengan ε = 0, yaitu δ < 0, ω > 0, dan β < 0. Oleh karena itu kita asumsikan bahwa β = 3, δ = 2, dan ω = 2. Dengan nilai α yang divariasikan, maka dapat diplot gambar dengan menggunakan matcont sebagai berikut: Euler Vol.1, No.1 Hal
8 Gambar 3: Identifikasi Bifurkai satu parameter pada sistem (17) Plot gambar diatas menunjukkan adanya simbol BP(Branch Point) yang hanya dapat menunjukkan adanya dua kemungkinan terjadinya bifurkasi pitchfork atau transkritikal (menurut manual matcont). Pada saat dikontinuasi di titik ekuilibrium ( , , 2/3) dengan nilai parameter α = 2, β = 3, δ = 2, ω = 2,maka diperoleh titik bifurkasi di α = Sehingga hal ini mengidentifikasikan secara lokal adanya bifurkasi satu parameter pada sistem interaksi nonlinier sepasang osilator tak terperturbasi disekitar manifold ekuilibrium (0, 0, ω β ). Tranformasi Sistem dari Titik Ekuilibrium Trivial ke Titik Ekuilibrium Non Trivial Disasumsikan bahwa: r = r + m x = x + n y = ȳ + o (21) dengan melakukan penurunan dari persamaan-persamaan (21) maka dapat diperoleh: ṙ = ṁ ẋ = ṅ ẏ = ȯ (22) 42 Euler Vol.1, No.1 Hal.35-49
9 dan dengan mensubstitusikan nilai dari titik ekuilibrium nontrivial tersebut ke persamaanpersamaan (21), maka diperoleh: r = m x = n (23) y = o ω β kemudian persamaan (22) dan (23) disubstitusi ke sistem (17), maka diperoleh matriks hasil transformasi adalah sebagai berikut: ṁ ṅ ȯ = Transformasi Kanonik Jordan δmn ωα β ωo + αno + βo2 δm 2 αn 2 βno (24) Perhatikan bahwa hasil transformasi (24) adalah suatu sistem yang setelah dilakukan linierisasi matriks jacobian menghasilkan nilai eigen (0,0,0). Oleh karena itu akan dilakukan transformasi koordinasi dengan persamaan (α = µ 1). Penentuan nilai-nilai parameter dengan disubstitusikan nilai-nilai parameter dibawah ini: β = 3, δ = 2, dan ω = 2yang disesuikan dengan syarat-syarat setiap parameternya yang telah dibahas oleh Tuwankotta [11]sebelumnya, maka diperoleh: ṁ ṅ ȯ = 2mn 2m µn + onµ 2 3 n no 3o2 2o n 2 µ + n 2 + 3no (25) Sistem (25) adalah sistem nonlinier yang belum berbentuk matriks jacobian/matriks kanonik jordan. Dalam melakukan proses perhitungan center manifold, sistem (25) dengan µ yang telah dipandang sebagai variabel baru harus berbentuk kanonik jordan. Oleh karena itu terlebih dahulu harus dilakukan pelinieran pada sistem (25) untuk membentuk sistem yang berbentuk kanonik jordan. Matriks bagian linier dari sistem (25) dengan yang kemudian disebutkan sebagai matriks A adalah sebagai berikut: A = (26) dan bagian nonlinier dari sistem (25) yang kemudian disebut sebagai matriks F (m, n, o) adalah sebagai berikut: F (m, n, o) = 2nm 2m µn + onµ + no 3o2 3 n 2 µ n 2 + 3no Perhatikan bahwa nµ telah berada pada bagian nonlinier dari sistem (25). (27) Euler Vol.1, No.1 Hal
10 Transformasi sistem (25) kebentuk kanonik Jordan dengan menggunakan persamaan transformasi sebagai berikut: m n o = P u v w (28) Kemudian persamaan (28) diturunkan terhadap variabel waktu maka diperoleh persamaan : sehingga diperoleh: ṁ ṅ ȯ = P u v ẇ (29) u ṁ v = P 1 ṅ (30) ẇ ȯ Dengan Matriks P adalah matriks yang terbentuk dari vektor eigen yang diperoleh dari sistem (25). Sehingganya kita terlebih dahulu menentukan nilai eigen dari matriks tersebut. Dengan menggunakan persamaan Det(A λi) = 0 dengan matriksa adalah matriks bagian linier dari sistem, dan I adala matriks identitas. Dengan menggunakan persamaan diatas maka dapat diperoleh nilai λ 1 = 0, λ 2 = 0, λ 3 = 2. Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen memiliki bagian real 0, sehingga titik 3 ekuilibrium diatas adalah titik ekuilibrium nonhiperbolik. Dari nilai eigen diatas dapat diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan persamaan (A λ ii)v = 0 dalam hal ini i = 1, 2, 3. Vektor eigen tersebut yaitu: ( ) V 1 = ( ) V 2 = ( V 3 = ). Dari vektor eigen yang diperoleh diatas,maka dapat dibentuk matriks P sebagai berikut: P = dan invers dari matriks P secara matematis dituliskan P 1 yaitu: P 1 = (31) (32) Dengan mensubstitusikan sistem (25), persamaan transformasi (28), dan matriks P beserta 44 Euler Vol.1, No.1 Hal.35-49
11 inpersnya pada persamaan (30), maka diperoleh bentuk kanonik jordannya sebagai berikut: u u v = v ẇ 0 0 2/3 w + 9u 2 µ + 6uwµ w 2 µ 3uw + w 2 6uv 2vw 2/3w 30u 2 µ 2uµ + 19uwµ + 2/3wµ 10uw + 2v 2 3w 2 µ + 3w 2 Sistem Manifold Center Bergantung pada Parameter Berdasarkan bentuk umum dari medan vektor Manifold canter bergantung pada parameter : (33) ẋ = Ax + f(x, y, ε) ẏ = By + f(x, y, ε), (x, y, ε) R c R s R p (34) Dimana A adalah matriks n n dengan nilai eigen bagian real adalah nol, dan B adalah matriks m m dengan nilai eigen bagian real negataif. maka pada sistem (33): x (u, v), y w, dan ε α bagian linier dari matriks (33) jika dipandang dari medan vektor manifold center yaitu: A = ( B = 2/3 ) Bagian nonlinier dari matriks (33) jika dipandang dari medan vektor manifold center yaitu: ( ) f(u, v, w, µ) = 9u 2 µ + 6uwµ w 2 µ 3uw + w 2 6uv 2vw g(u, v, w, µ) = 2/3w 30u 2 µ 2uµ + 19uwµ + 2/3wµ 10uw + 2v 2 3w 2 µ + 3w 2 Selanjutnya µ dipandang sebagai variabel baru sehingga medan vektor untuk sistem (33) adalah: ( + ( ) ( ) ( ) u 0 0 u = v 0 0 v ) 9u 2 µ + 6uwµ w 2 µ 3uw + w 2 6uv 2vw ẇ = 2/3w 30u 2 µ 2uµ + 19uwµ + 2/3wµ 10uw + 2v 2 3w 2 µ + 3w 2 µ = 0 (35) Kemudian medan vektor diproyeksikan pada manifold center yang bergantung pada Euler Vol.1, No.1 Hal
12 parameter: W c (0) = {(u, v, w, µ) R 4 w = h(u, v, µ), h(0, 0, 0) = 0, Dh(0, 0, 0) = 0} (36) Perhatikan w = h(u, v, µ), hal ini dikarenakan pada medan vektor manifold center, tujuan akhirnya adalah mereduksi persamaan differensial dengan nilai eigen yang bagian realnya tak nol. Kemudian kita mengasumsikan persamaan h dengan syarat pada persamaan (36) yaitu dan : h(u, v, µ) = a1u 2 + a2v 2 + a3µ 2 + a4uv + a5xµ + a6yµ h(u,v,µ) u = 2a1u + a4v + a5µ h(u,v,µ) v = 2a2v + a4u + a6µ (37) Dalam manifold center diketahui bahwa terdapat syarat: N(h(u, v, µ)) = [ h(u,v,µ) u h(u,v,µ) v ][A[[u], [v]] + f(u, v, h(u, v, µ), µ)] Bh(u, v, µ) g(u, v, h(u, v, µ), µ) = 0 (38) perhatikan pada persamaan (38), variabel w telah berganti menjadi persamaan h, oleh karena itu, kita tuliskan: ( ) 9u 2 µ + 6uhµ h 2 µ 3uh + h 2 f(u, v, h, µ) = 6uv 2vh (39) g(u, v, h, µ) = 2/3h 30u 2 µ 2uµ + 19uhµ + 2/3wµ 10uh + 2v 2 3h 2 µ + 3h 2 Sehingga dengan mensubstitusikan matriks A, persamaan (39),dan persamaan-persamaan (37) pada (38), maka kita akan memperoleh persamaan yang berorde 6 dengan variabel (u, v, µ). Dalam hal ini kita mareduksi persamaan tersebut yang bersesuaian dengan orde h. Karena h memiliki orde 2, maka hasil susbstitusi diatas, kita batasi pada orde 2 sebagai berikut: (2/3)a6vµ + (2/3)a4uv + (2 (2/3)a5)uµ + (2/3)a3µ 2 + (2/3)a1u 2 +((2/3)a2 2)v 2 = 0 (40) selanjutnya, kita akan menentukan nilai dari tiap koefisien pada persamaan h melalui persamaan (40). Sehingga tiap koefisien pada persamaan (40) adalah nol, dan dapat diperoleh koefisien dari persamaan h yaitu: a1 = 0, a2 = 3, a3 = 0, a4 = 0, a5 = 3, a6 = 0 (41) dengan mensubstitusikan (41) pada persamaan h, maka kita memperoleh: h(u, v, µ) = 3v 2 3uµ (42) selanjutnya kita akan mereduksi persamaan (35) dengan nilai eigen bagian realnya tak 46 Euler Vol.1, No.1 Hal.35-49
13 nol dan mensubstitusikan persamaan (42) berdasarkan w = h(u, v, µ), serta mereduksinya mejadi ordo 3, sehingga diperoleh: u = 9uv 2 v = 6uv + 6uvµ 6v 3 µ = 0 (43) Perhatkan sistem (43) adalah sistem yang memiliki satu titik ekuilibrium yaitu (u 0, 0, 0) dimana u 0 u, sehingga perlikau sistem (43) tidak bergantung pada pada variabel u, sehingga u dieliminasi karena perilku sistem cukup dilihat pada: v = 6((u 0 + u 0µ)v v 3 ) µ = 0 (44) Untuk mendapatkan bentuk normal dari bifurkasi pitchfork pada sistem (44), maka dilakukan salah satu transformasi koordinasi yaitu scalling waktu. Kita misalkan t = 1/6 t, maka diperoleh dt = 1/6d t. Kemudian persamaan ini disubstitusikan ke dalam sistem (44). Hal ini mengakibatkan sistem (44) menjadi: v = (u 0 + u 0µ)v v 3 mu = 0 (45) Perhatikan sistem (45) adalah bentuk normal dari bifurkasi Pitchfork. Sehingga dapat disumpulkan bahwa pada sistem interaksi nonlinier sepasang osilator disekitar titik ekuilibrium (0, 0, ω/β) dapat dianalisa perilaku bifurkasinya dengan mereduksinya kepersamaan yang lebih sederhana dengan manifold center. Sehingga dari bentuk normal diatas maka dapat dianalisa perilaku bifurkasi pitchfork dengan menggunakan software maple 16. Karena u 0 R yang konstan, maka dengan menentukan nilai u 0 = 1, maka diperoleh plot gambar sebagai berikut: Euler Vol.1, No.1 Hal
14 Gambar 4: Bifurkasi Pitchfork yang terjadi pada u > 0 Gambar (4) merepresentasikan bahwa ketika µ < 1, persamaan (43) hanya memiliki satu titik ekuilibrium yaitu (0, 0, µ 0) yang stabil. Namun setelah melewati µ > 1, titik ekuilibrium (0, 0, µ 0) menjadi tak stabil dan memiliki percabangan yaitu dua titik ekuilibrium yang stabil. Perubahan jumlah maupun kestabilan dari titik ekuilibrium dimana dari satu titik ekuilbrium yang stabil kemudian menjadi tiga titik ekuilibrium yang terdiri dari satu titik ekuilibrium yang tidak stabil dan diikuti dengan dua titik yang stabil tersebut adalah kondisi dimana bifurkasi pitchfork terjadi. 48 Euler Vol.1, No.1 Hal.35-49
15 6 Penutup Simpulan Dari pembahsan diatas secara numerik dapat dibuktikan melalui software matcont bahwa terdapat bifurkasi satu parameter pada sistem interaksi nonlinier sepasang osilator dengan parameter tak terperturbasi disekitar titik ekuilibrium (0, 0, ω β ). Sistem interaksi nonlinier sepasang osilator dengan parameter tak terperturbasi ini dapat direduksi ke persamaan manifold center secara analitik dengan nilai-nilai parameternya yang telah ditentukan berdasarkan pada pembahsan Tuwankotta. Sistem akhir dari hasil reduksi manifold center tersebut adalah sebagai berikut: u = 9uv 2 v = 6uv + 6uvµ 6v 3 µ = 0 Sehingga dari sistem hasil reduksi tersebut diatas dapat diplot gambar yang menunjukkan adanya bifurkasi pitchfork pada sistem interaksi nonlinier sepasang osilator yang tak terperturbasi disekitar titik ekuilibrium (0, 0, ω β ). Saran Saran untuk peneliti lainnya yang ingin meneliti permasalahan yang relevan dengan penelitian ini agar dapat meneliti kestabilan sistem interaksi nonlinier sepasang osilator tak terperturbasi disekitar titik ekuilibrium lainnnya yang tidak dibahas dalam skripsi ini. Referensi [1] Carr, J Applications of Center Manifold Theory. Springer-Verlag. [2] Crommelin, D.T Homoclinic Dynamics : A Scenario for Atmospheric Ultra Low-Frequency Variability. J.Atmos. Sci. [3] Fatimah,S Dinamika pada Sistem Autoparametrik. Bandung:UPI. [4] Hubbard, J.H dan West,B.H Differential Equations: A Dynamical system Approach.New York Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. [5] Kuznetsov, Y.A Elements of applied bifurcation theory. New York: Springer-Verlag. [6] Panigoro, H.S Barisan Hingga Bifurkasi Period-Doubling pada Interaksi NonLinier Sepasang Osilator. Bandung: ITB. [7] Panigoro, H.S Simplikasi Sistem Interaksi Nonlinier Sepasang Osilator dengan Menggunakan Metode Perataan. J. Euler. [8] Iswanto, R.J Pemodelan Matematika (Aplikasi dan Terapannya).Yogyakarta: Graha Ilmu. [9] Setiawan, R Center Manifold dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi (Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf.Surakarta: USM [10] Thomas Bifurcation Theory,J. Dynamic Macroeconomic Theory. [11] Tuwankotta, J.M Widely Separated Frequencies in Coupled Oscillators with Energypreserving Quadratic Nonlinearity. Physica D. [12] Verhulst, F Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. Berlin Heidelberg: Spinger-Verlag. [13] Wiggins, S Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos. New York: Springer-Verlag. Euler Vol.1, No.1 Hal
BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI
BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TANPA PERTURBASI Yolpin Durahim 1 Novianita Achmad Hasan S. Panigoro Diterima: xx xxxx 20xx, Disetujui: xx xxxx 20xx o Abstrak Dalam
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya
BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial sangat penting dalam pemodelan matematika khususnya untuk pemodelan yang membutuhkan solusi dari sebuah permasalahan. Pemodelan matematika
Lebih terperinciCreated By Aristastory.Wordpress.com BAB I PENDAHULUAN. Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori sistem dinamik adalah bidang matematika terapan yang digunakan untuk memeriksa kelakuan sistem dinamik kompleks, biasanya dengan menggunakan persamaan diferensial
Lebih terperinciT 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf
T 23 Center Manifold Dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Yang Titik Ekuilibriumnya Mengalami Bifurkasi Contoh Kasus Untuk Bifurkasi Hopf Rubono Setiawan Prodi Pendidikan Matematika, F.KIP
Lebih terperinciBARISAN HINGGA BIFURKASI PERIOD-DOUBLING PADA INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TESIS. Karya Tulis sebagai Salah Satu Syarat
BARISAN HINGGA BIFURKASI PERIOD-DOUBLING PADA INTERAKSI NONLINEAR SEPASANG OSILATOR TESIS Karya Tulis sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Matematika Institut Teknologi Bandung Oleh
Lebih terperinciMODIFIKASI SISTEM PREDATOR-PREY: DINAMIKA MODEL LESLIE-GOWER DENGAN DAYA DUKUNG YANG TUMBUH LOGISTIK
SEMIRATA MIPAnet 2017 24-26 Agustus 2017 UNSRAT, Manado MODIFIKASI SISTEM PREDATOR-PREY: DINAMIKA MODEL LESLIE-GOWER DENGAN DAYA DUKUNG YANG TUMBUH LOGISTIK HASAN S. PANIGORO 1, EMLI RAHMI 2 1 Universitas
Lebih terperinciKarena v merupakan vektor bukan nol, maka A Iλ = 0. Dengan kata lain, Persamaan (2.2) dapat dipenuhi jika dan hanya jika,
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema dari nilai eigen, vektor eigen, dan diagonalisasi, sistem persamaan differensial, model predator prey lotka-voltera,
Lebih terperinciANALISIS DINAMIK SISTEM PREDATOR-PREY MODEL LESLIE-GOWER DENGAN PEMANENAN SECARA KONSTAN TERHADAP PREDATOR
Jurnal Euler, ISSN: 2087-9393 Januari 2014, Vol.2, No.1, Hal.1-12 ANALISIS DINAMIK SISTEM PREDATOR-PREY MODEL LESLIE-GOWER DENGAN PEMANENAN SECARA KONSTAN TERHADAP PREDATOR Hasan S. Panigoro 1 Diterima:
Lebih terperinciBIFURKASI PITCHFORK SUPERKRITIKAL PADA SISTEM FLUTTER
BIFURKASI PITCHFORK SUPERKRITIKAL PADA SISTEM FLUTTER T - 2 Andini Putri Ariyani 1, Kus Prihantoso Krisnawan 2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 e-mail:andiniputri_ariyani@yahoo.com, 2 e-mail:
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan sistem dinamik, kriteria Routh-Hurwitz,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan matematika, teorema Taylor, nilai eigen,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. representasi pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Interpretasi Solusi. Bandingkan Data
A. Model Matematika BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika adalah proses representasi dan penjelasan dari permasalahan dunia real yang dinyatakan dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:
Lebih terperinciBab II Teori Pendukung
Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF DALAM MODEL EPIDEMI DENGAN WAKTU TUNDAAN DISKRET
Vol. 5, No., Juni 009: 54-60 BIFUKASI HOPF DALAM MODEL EPIDEMI DENGAN WAKTU TUNDAAN DISKET ubono Setiawan Mahasiswa S Jurusan Matematika Universitas Gadah Mada Email : rubono_4869@yahoo.co.id Abstrak Di
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
Lebih terperinciPenentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey
J. Math. and Its Appl. ISSN: 9-65X Vol., No., Nov 5, 5 Penentuan Bifurkasi Hopf Pada Predator Prey Dian Savitri Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Universitas Negeri Surabaya d savitri@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciTeori Bifurkasi (3 SKS)
Teori Bifurkasi (3 SKS) Department of Mathematics Faculty of Mathematics and Natural Sciences Gadjah Mada University E-mail : f_adikusumo@gadjahmada.edu Sistem Dinamik PENGERTIAN UMUM : - Formalisasi matematika
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. Teori-teori yang digunakan berupa definisi-definisi serta teorema-teorema
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT DINAMIK DARI MODEL INTERAKSI CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 50 55 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT DINAMIK DARI MODEL INTERAKSI CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN AIDA BETARIA Program
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciBIFURKASI DARI HASIL MODIFIKASI SISTEM PERSAMAAN LORENZ
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No. Juni : - 8 BIFURKASI DARI HASIL MODIFIKASI SISTEM PERSAMAAN LOREN Faisal PS Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. ani km. 6 Kampus Unlam
Lebih terperinciSistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang
Sistem Hasil Kali Persamaan Diferensial Otonomus pada Bidang SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori untuk menganalisis simulasi kestabilan model predator-prey tipe Holling II dengan faktor pemanenan. 2.1 Persamaan Diferensial Biasa
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas tinjauan pustaka yang akan digunakan untuk tesis ini, yang selanjutnya akan di perlukan pada Bab 3. Tinjauan pustaka yang dibahas adalah mengenai yang mendukung
Lebih terperinciPenerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik. Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti. Nida Sri Utami
Penerapan Teknik Serangga Steril Dengan Model Logistik Dalam Pemberantasan Nyamuk Aedes Aegypti Nida Sri Utami Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UMS Lina Aryati Jurusan Matematika FMIPA UGM ABSTRAK
Lebih terperinciBIFURKASI PADA MODEL SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) DENGAN WAKTU TUNDA DAN LAJU PENULARAN BILINEAR SKRIPSI
BIFURKASI PADA MODEL SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) DENGAN WAKTU TUNDA DAN LAJU PENULARAN BILINEAR SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Pada bagian ini, akan dibahas system predator-prey dengan respon fungsi tak
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini, akan dibahas system predator-prey dengan respon fungsi tak monoton, titik ekuilibrium, pelinieran, analisa kestabilan titik ekuilibriumnya dengan
Lebih terperinciBENTUK NORMAL BIFURKASI HOPF PADA SISTEM UMUM DUA DIMENSI
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 15 23 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BENTUK NORMAL BIFURKASI HOPF PADA SISTEM UMUM DUA DIMENSI MELA PUSPITA Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK DISKRET. Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan
SISTEM DINAMIK DISKRET Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan SISTEM DINAMIK Kontinu Sistem Dinamik Diskret POKOK BAHASAN SDD OTONOMUS NON-OTONOMUS 1-D MULTI-D LINEAR NON-LINEAR
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II
BIFURKASI HOPF PADA SISTEM PREDATOR PREY DENGAN FUNGSI RESPON TIPE II SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan
Lebih terperinciPEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN LOKAL PADA PERUBAHAN POPULASI PENDERITA DIABETES MELITUS
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 135-142 PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS KESTABILAN LOKAL PADA PERUBAHAN POPULASI PENDERITA DIABETES MELITUS Marisa Effendi,
Lebih terperinciANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Lia Listyana 1, Dr. Hartono 2, dan Kus Prihantoso Krisnawan,M.
1 Abstrak ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR Lia Listyana 1, Dr. Hartono 2, Kus Prihantoso Krisnawan,M.Si 3 1 Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas
Lebih terperinciBIFURKASI TRANSKRITIKAL PADA SISTEM DINAMIK SKRIPSI
BIFURKASI TRANSKRITIKAL PADA SISTEM DINAMIK SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar
Lebih terperinciPenentuan Kestabilan Sistem Hibrid melalui Trayektorinya pada Bidang. Oleh:
Penentuan Kestabilan Sistem Hibrid melalui Trayektorinya pada Bidang Sistem hibrid mempunyai bentuk: x& Oleh: Kus Prihantoso Krisnawan Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciMODEL NON LINEAR PENYAKIT DIABETES. Aminah Ekawati 1 dan Lina Aryati 2 ABSTRAK ABSTRACT
MODEL NON LINEAR PENYAKIT DIABETES Aminah Ekawati 1 dan Lina Aryati 2 1 Kopertis Wilayah XI 2 Program Studi Matematika FMIPA UGM ABSTRAK Model matematika penyakit diabetes yang dibentuk berupa persamaan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Pada Bab I Pendahuluan ini dijelaskan mengenai latar belakang yang mendasari penelitian yang kemudian dirumuskan dalam rumusan masalah. Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah
Lebih terperinciBAB IV PEMBAHASAN. 4.1 Analisis Kestabilan Model Matematika AIDS dengan Transmisi. atau Ibu menyusui yang positif terinfeksi HIV ke anaknya.
BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini dilakukan analisis model penyebaran penyakit AIDS dengan adanya transmisi vertikal pada AIDS. Dari model matematika tersebut ditentukan titik setimbang dan kemudian dianalisis
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Ebola. Setelah model terbentuk, akan dilanjutkan dengan analisa bifurkasi pada
BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibentuk model matematika dari penyebaran penyakit virus Ebola. Setelah model terbentuk, akan dilanjutkan dengan analisa bifurkasi pada parameter laju transmisi. A.
Lebih terperinciAbstrak: Makalah ini bertujuan untuk mengkaji model SIR dari penyebaran
ANALISIS KESTABILAN PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK (MEASLES) DENGAN VAKSINASI MENGGUNAKAN MODEL ENDEMI SIR Marhendra Ali Kurniawan Fitriana Yuli S, M.Si Jurdik Matematika FMIPA UNY Abstrak: Makalah ini bertujuan
Lebih terperinciPersamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau
Lebih terperinciLecture Notes: Discrete Dynamical System and Chaos. Johan Matheus Tuwankotta
Lecture Notes: Discrete Dynamical System and Chaos Johan Matheus Tuwankotta Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no., Bandung, Indonesia. mailto:theo@dns.math.itb.ac.id.
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Contoh. Ditinjau dari sistem yang didefinisikan oleh:
5 II LANDASAN TEORI 2.1 Keterkontrolan Untuk mengetahui persoalan sistem kontrol mungkin tidak ada, jika sistem yang ditinjau tidak terkontrol. Walaupun sebagian besar sistem terkontrol ada, akan tetapi
Lebih terperinciREDAMAN VIBRASI ARUS INDUKSI OLEH EKSITASI PARAMETRIK. Siti Fatimah. Abstrak
REDAMAN VIBRASI ARUS INDUKSI OLEH EKSITASI PARAMETRIK Siti Fatimah Jurusan Pendidikan Matematika, FPMIPA, Universitas Pendidikan Indonesia Abstrak Diberikan sebuah model yang terdiri dari benda yang memiliki
Lebih terperinciSISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR. Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5.
SISTEM DINAMIK KONTINU LINEAR Oleh: 1. Meirdania Fitri T 2. Siti Khairun Nisa 3. Grahani Ayu Deca F. 4. Fira Fitriah 5. Lisa Risfana Sari Sistem Dinamik D Sistem dinamik adalah sistem yang dapat diketahui
Lebih terperinciMODEL DINAMIKA CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 96 103 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND MODEL DINAMIKA CINTA DENGAN MEMPERHATIKAN DAYA TARIK PASANGAN SUCI RAHMA NURA, MAHDHIVAN SYAFWAN Program
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dibahas mengenai tinjauan pustaka yang digunakan dalam penelitian ini, khususnya yang diperlukan dalam Bab 3. Teori yang dibahas adalah teori yang mendukung pembentukan
Lebih terperinciAnalisis Kestabilan Global Model Epidemik SIRS menggunakan Fungsi Lyapunov
Analisis Kestabilan Global Model Epidemik SIRS menggunakan Fungsi Lyapunov Yuni Yulida 1, Faisal 2, Muhammad Ahsar K. 3 1,2,3 Program Studi Matematika FMIPA Unlam Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al.,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah sistem yang berubah dari waktu ke waktu (Farlow,et al., 2002). Salah satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dari
Lebih terperinciBab III Model Awal Kecanduan Terhadap Rokok
Bab III Model Awal Kecanduan Terhadap Rokok III.1 Pembentukan Model Model kecanduan terhadap rokok dibentuk menggunakan model dasar dalam epidemiologi yaitu model SIR (Susceptible, Infective, Removed)
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan turunanturunan dari fungsi yang tidak diketahui (Waluya, 2006). Contoh 2.1 : Diberikan persamaan
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)]
II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL)] Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut: A adalah matriks koefisien konstan
Lebih terperinciANALISIS DINAMIKA MODEL KOMPETISI DUA POPULASI YANG HIDUP BERSAMA DI TITIK KESETIMBANGAN TIDAK TERDEFINISI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal 197 204. ANALISIS DINAMIKA MODEL KOMPETISI DUA POPULASI YANG HIDUP BERSAMA DI TITIK KESETIMBANGAN TIDAK TERDEFINISI Eka
Lebih terperinciAnalisis Kestabilan dan Bifurkasi Solusi Sistem Autoparametrik dengan Osilator Tipe Rayleigh
J. Math. and Its Appl. ISSN: 89-605X Vol., No., Nov 005, 8 9 Analisis Kestabilan dan Bifurkasi Solusi Sistem Autoparametrik dengan Osilator Tipe Rayleigh Abadi Jurusan Matematika UNESA Universitas Negeri
Lebih terperinciOleh Nara Riatul Kasanah Dosen Pembimbing Drs. Sri Suprapti H., M.Si
Oleh Nara Riatul Kasanah 1209100079 Dosen Pembimbing Drs. Sri Suprapti H., M.Si JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2014 PENDAHULUAN
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIKA PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG
Buletin Ilmiah Math. Stat. Dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 3 (2014), hal 235-244 ANALISIS KESTABILAN MODEL DINAMIKA PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG Hidayu Sulisti, Evi Noviani, Nilamsari Kusumastuti
Lebih terperinciANALISIS KESTABILAN DAN PROSES MARKOV MODEL PENYEBARAN PENYAKIT EBOLA
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 163-172 ANALISIS KESTABILAN DAN PROSES MARKOV MODEL PENYEBARAN PENYAKIT EBOLA Auliah Arfani, Nilamsari Kusumastuti, Shantika
Lebih terperinciANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR SKRIPSI
ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL MATEMATIS PREDATOR PREY DENGAN DUA PREDATOR SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan
Lebih terperinciEKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
EKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmailcom Info: Jurnal MSA Vol 3 No 1 Edisi: Januari
Lebih terperinciModel Matematika SIV Untuk Penyebaran Virus Tungro Pada Tanaman Padi
Seminar Matematika dan Pendidikan Matematika UNY 2017 Model Matematika SIV Untuk Penyebaran Virus Tungro Pada Tanaman Padi Sischa Wahyuning Tyas 1, Dwi Lestari 2 Universitas Negeri Yogyakarta 1 Universitas
Lebih terperinciSimulasi Model Mangsa Pemangsa Di Wilayah yang Dilindungi untuk Kasus Pemangsa Tergantung Sebagian pada Mangsa
Simulasi Model Mangsa Pemangsa Di Wilayah yang Dilindungi untuk asus Pemangsa Tergantung Sebagian pada Mangsa Ipah Junaedi 1, a), Diny Zulkarnaen 2, b) 3, c), dan Siti Julaeha 1, 2, 3 Jurusan Matematika,
Lebih terperinciSistem Tiga-massa yang Tereksitasi Secara Parametrik
Sistem Tiga-massa yang Tereksitasi Secara Parametrik oleh Dr. Siti Fatimah sitifatimah@upi.edu JURDIKMAT FPMIPA UPI BANDUNG LATAR BELAKANG Motivasi: - Meredam atau mengurangi vibrasi yang sebabkan oleh
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat turunan-turunan. Jika terdapat variabel bebas tunggal, turunannya merupakan
Lebih terperinciMETODE BENTUK NORMAL PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN DUFFING
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 47 55 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND METODE BENTUK NORMAL PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN DUFFING LIDYA PRATIWI, MAHDHIVAN SYAFWAN, RADHIATUL HUSNA
Lebih terperinciEULER. Jurnal Matematika, Pendidikan Matematika, Sains dan Teknologi. Pemimpin Redaksi Franky Alfrits Oroh, Universitas Negeri Gorontalo (UNG)
EULER Jurnal Matematika, Pendidikan Matematika, Sains dan Teknologi Jurnal Euler merupakan Jurnal Ilmiah yang memuat tulisan-tulisan ilmiah tentang matematika, pendidikan matematika, sains dan teknologi.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem dinamik merupakan formalisasi Matematika untuk menggambarkan konsep-konsep ilmiah dari proses deterministik yang bergantung terhadap waktu (Kuznetsov,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada bab III nanti, di antaranya model matematika penyebaran penyakit,
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni, S.Si., M.Pd Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmail.com ABSTRAK Info: Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Edisi: Januari Juni
Lebih terperinciIV PEMBAHASAN. jika λ 1 < 0 dan λ 2 > 0, maka titik bersifat sadel. Nilai ( ) mengakibatkan. 4.1 Model SIR
9 IV PEMBAHASAN 4.1 Model SIR 4.1.1 Titik Tetap Untuk mendapatkan titik tetap diperoleh dari dua persamaan singular an ) sehingga dari persamaan 2) diperoleh : - si + s = 0 9) si + )i = 0 didapat titik
Lebih terperinciBAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO
BAB 4 MODEL DINAMIKA NEURON FITZHUGH-NAGUMO 4.1 Model Dinamika Neuron Fitzhugh-Nagumo Dalam papernya pada tahun 1961, Fitzhugh mengusulkan untuk menerangkan model Hodgkin-Huxley menjadi lebih umum, yang
Lebih terperinciPEMODELAN MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT VIRUS EBOLA DAN ANALISIS PENGARUH PARAMETER LAJU TRANSMISI TERHADAP PERILAKU DINAMISNYA TUGAS AKHIR SKRIPSI
PEMODELAN MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT VIRUS EBOLA DAN ANALISIS PENGARUH PARAMETER LAJU TRANSMISI TERHADAP PERILAKU DINAMISNYA TUGAS AKHIR SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Banyak sekali masalah terapan dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, dan lain-lain yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk pesamaan
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA
BIFURKASI HOPF PADA MODEL SILKUS BISNIS KALDOR-KALECKI TANPA WAKTU TUNDA NURRACHMAWATI 1) DAN A. KUSNANTO 2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. digunakan pada bab pembahasan. Teori-teori ini digunakan sebagai bahan acuan
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Teori-teori ini digunakan sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
Lebih terperinciBAB 2 PDB Linier Order Satu 2
BAB Konsep Dasar BAB 2 PDB Linier Order Satu 2 BAB 3 Aplikasi PDB Order Satu 3 BAB 4 PDB Linier Order Dua 4 BAB 5 Aplikasi PDB Order Dua 5 BAB 6 Sistem PDB 6 BAB 7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan Dalam
Lebih terperinciOBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER KONTINU
Jurnal Matematika UNAND Vol 5 No 1 Hal 96 12 ISSN : 233 291 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND OBSERVER UNTUK SISTEM KONTROL LINIER KONTINU SUKMA HAYATI, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBab 3 MODEL DAN ANALISIS MATEMATIKA
Bab 3 MODEL DAN ANALISIS MATEMATIKA Pada bab ini akan dimodelkan permasalahan penyebaran virus flu burung yang bergantung pada ruang dan waktu. Pada bab ini akan dibahas pula analisis dari model hingga
Lebih terperinciSimulasi Kestabilan Model Predator Prey Tipe Holling II dengan Faktor Pemanenan
Prosiding Matematika ISSN: 2460-6464 Simulasi Kestabilan Model Predator Prey Tipe Holling II dengan Faktor Pemanenan 1 Ai Yeni, 2 Gani Gunawan, 3 Icih Sukarsih 1,2,3 Prodi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB IV ANALISIS DINAMIK MODEL SUBTHALAMIK NUKLEUS. Pada model matematika yang dibangun di Bab III, diperoleh 5 persamaan diferensial,
BAB IV ANALISIS DINAMIK MODEL SUBTHALAMIK NUKLEUS Pada model matematika yang dibangun di Bab III, diperoleh 5 persamaan diferensial, yang dapat disederhanakan sebagai berikut : d ( v ) = f 1( vnhrcai,,,,
Lebih terperinciKESTABILAN TITIK EQUILIBRIUM MODEL SIR (SUSPECTIBLE, INFECTED, RECOVERED) PENYAKIT FATAL DENGAN MIGRASI
KESTABILAN TITIK EQUILIBRIUM MODEL SIR (SUSPECTIBLE, INFECTED, RECOVERED) PENYAKIT FATAL DENGAN MIGRASI Mohammad soleh 1, Leni Darlina 2 1,2 Jurusan Matematika Fakultas Sains Teknologi Universitas Islam
Lebih terperinciDinamik Model Epidemi SIRS dengan Laju Kematian Beragam
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Volume 10 No 1, April 2014, hal 1-7 Dinamik Model Epidemi SIRS dengan Laju Kematian Beragam Ni matur Rohmah, Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Jurusan Matematika,
Lebih terperinciMODEL PELATIHAN ULANG (RETRAINING) PEKERJA PADA SUATU PERUSAHAAN BERDASARKAN PENILAIAN REKAN KERJA
ISSN: 288-687X 13 ODEL PELATIHAN ULANG (RETRAINING) PEERJA PADA SUATU PERUSAHAAN BERDASARAN PENILAIAN REAN ERJA Dwi Lestari Jurusan Pendidikan atematika FIPA Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: dwilestari@uny.ac.id
Lebih terperinciBIFURKASI HOPF PADA MODIFIKASI MODEL PREDATOR-PREY LESLIE GOWER DENGAN FUNGSI RESPON HOLLING TIPE II
BIFURKASI HOPF PADA MODIFIKASI MODEL PREDATOR-PREY LESLIE GOWER DENGAN FUNGSI RESPON HOLLING TIPE II skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. disebut dengan sistem dinamik kontinu dan sistem dinamik yang. menggunakan waktu diskrit disebut dengan sistem dinamik diskrit.
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Sistem dinamik dapat dipandang sebagai suatu sistem yang bergantung terhadap waktu. Sistem dinamik yang menggunakan waktu kontinu disebut dengan sistem dinamik
Lebih terperinciMursyidah Pratiwi, Yuni Yulida*, Faisal Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat *
Jurnal Matematika Murni an Terapan εpsilon ANALISIS MODEL PREDATOR-PREY TERHADAP EFEK PERPINDAHAN PREDASI PADA SPESIES PREY YANG BERJUMLAH BESAR DENGAN ADANYA PERTAHANAN KELOMPOK Mursyiah Pratiwi, Yuni
Lebih terperinciANALISIS MODEL MANGSA PEMANGSA PADA PENANGKAPAN IKAN YANG DIPENGARUHI OLEH KONSERVASI
ANALISIS MODEL MANGSA PEMANGSA PADA PENANGKAPAN IKAN YANG DIPENGARUHI OLEH KONSERVASI Eka Yuniarti 1, Abadi 1 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Surabaya Jurusan Matematika, Fakultas
Lebih terperinciBIFURKASI PITCHFORK PADA SISTEM DINAMIK DIMENSI-n SKRIPSI
BIFURKASI PITCHFORK PADA SISTEM DINAMIK DIMENSI-n SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.1.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas dan derivative-derivatif
Lebih terperinciBab 4 DINDING SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG
Bab 4 DINDING SINUSOIDAL SEBAGAI REFLEKTOR GELOMBANG Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai dasar laut sinusoidal sebagai reflektor gelombang. Persamaan yang digunakan untuk memodelkan masalah dasar
Lebih terperinciBAB III HASIL DAN PEMBAHASAN. ekuilibrium bebas penyakit beserta analisis kestabilannya. Selanjutnya dilakukan
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai model matematika penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi, diantaranya formulasi model penyakit campak, titik ekuilibrium bebas penyakit
Lebih terperinciDINAMIKA PERKEMBANGAN HIV/AIDS DI SULAWESI UTARA MENGGUNAKAN MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINEAR SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS AND RECOVERED)
DINAMIKA PERKEMBANGAN HIV/AIDS DI SULAWESI UTARA MENGGUNAKAN MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINEAR SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS AND RECOVERED) Amir Tjolleng 1), Hanny A. H. Komalig 1), Jantje D. Prang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Sistem Pendulum Terbalik Dalam penelitian ini diperhatikan sistem pendulum terbalik seperti pada Gambar di mana sebuah pendulum terbalik dimuat dalam motor yang bisa digerakkan.
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. tenggorokan, batuk, dan kesulitan bernafas. Pada kasus Avian Influenza, gejala
BAB III PEMBAHASAN A. Permasalahan Nyata Flu Burung (Avian Influenza) Avian Influenza atau yang lebih dikenal dengan flu burung adalah suatu penyakit menular yang disebabkan oleh virus influenza tipe A.
Lebih terperinciMETODE BENTUK NORMAL PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN RAYLEIGH
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 3 Hal. 77 84 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND METODE BENTUK NORMAL PADA PENYELESAIAN PERSAMAAN RAYLEIGH EKA ASIH KURNIATI, MAHDHIVAN SYAFWAN, RADHIATUL
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kanker adalah penyakit yang memiliki karakteristik adanya gangguan mekanisme pengaturan multiplikasi pada organisme multiseluler sehingga tumbuh secara terus-menerus,
Lebih terperinciSTABILISASI SISTEM KONTROL LINIER DENGAN PENEMPATAN NILAI EIGEN
Jurnal Matematika UNAND Vol 2 No 3 Hal 126 133 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND STABILISASI SISTEM KONTROL LINIER DENGAN PENEMPATAN NILAI EIGEN FAURI Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciANALISIS STABILITAS SISTEM DINAMIK UNTUK MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI TIPE-SIR (SUSCEPTIBLES, INFECTION, RECOVER)
Jurnal Euclid, Vol.4, No.1, pp.646 ANALISIS STABILITAS SISTEM DINAMIK UNTUK MODEL MATEMATIKA EPIDEMIOLOGI TIPE-SIR (SUSCEPTIBLES, INFECTION, RECOVER) Herri Sulaiman Program Studi Pendidikan Matematika
Lebih terperinciBAB I KAJIAN TEORI. meningkatkan sistem. Teori moderen dari sistem dinamik berasal dari abad. ke-19 mengenai stabilitas dan evolusi dari tata surya.
BAB I KAJIAN TEORI 1.1 Sistem Dinamik Sistem dinamik membahas tentang perilaku jangka panjang untuk meningkatkan sistem. Teori moderen dari sistem dinamik berasal dari abad ke-19 mengenai stabilitas dan
Lebih terperinciANALISIS MODEL DENYUT JANTUNG DENGAN MENGGUNAKAN TEORI BIFURKASI
ANALISIS MODEL DENYUT JANTUNG DENGAN MENGGUNAKAN TEORI BIFURKASI Herlina D. Tendean ), Hanna A. Parhusip ), Bambang Susanto ) ) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW ) Dosen Program Studi Matematika
Lebih terperinci