ANALISIS MODEL DENYUT JANTUNG DENGAN MENGGUNAKAN TEORI BIFURKASI

Transkripsi

1 ANALISIS MODEL DENYUT JANTUNG DENGAN MENGGUNAKAN TEORI BIFURKASI Herlina D. Tendean ), Hanna A. Parhusip ), Bambang Susanto ) ) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW ) Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Fakultas Sains dan Matematika UKSW Jl. Diponegoro 5-6 Salatiga 57 ) herlinadwitendean@gmail.com, ) hannaariniparhusip@yahoo.co.id, ) bsusanto5@gmail.com Abstrak Model denyut jantung manusia yang berbentuk εx = (x Tx + x ) dianalisa dengan menggunakan teori x = x x d bifurkasi karena variasi parameter dalam model yang dapat menyebabkan perubahan sifat kualitatif titik setimbang. Model tersebut merupakan model tak linier maka model akan dilinierkan dengan mengunakan linierisasi deret Taylor. Untuk melihat perbandingan antara model linier dan tak linier yang sesuai dengan sistem kerja jantung manusia, maka kedua model diselesaikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4. Model linier tidak sesuai dengan sistem kerja jantung manusia karena dalam model linier tidak terjadi proses sistole dan diastole, sehingga model tak linier lebih valid karena sesuai dengan sistem kerja jantung manusia. Solusi yang didapatkan dari model tak linier merupakan bifurkasi homoklinik yang terjadi karena adanya siklus periodik dan sifat stabilitas titik setimbang cenderung tidak stabil. Kata kunci : Jantung, Bifurkasi Homoklinik, Titik Setimbang. Pendahuluan Pada proses pemompaan darah pada jantung memiliki dua jenis gerakan yang disebut kontraksi (sistole) dan relaksasi (diastole). Sistole adalah gerakan jantung pada saat tekanan darah terjadi kontraksi pada otot-otot jantung, sedangkan diastole adalah gerakan jantung pada saat jantung beristirahat pada saat pemompaan. Denyut jantung terjadi pada saat jantung berada dalam kondisi sistole dan diastole yang terjadi berulang-ulang. Salah satu alat yang dapat digunakan untuk mengukur denyut jantung manusia adalah Electrodiagram (ECG). ECG menampilkan grafik yang merekam aktifitas kelistrikan jantung pada selang waktu tertentu, grafik yang muncul dari hasil pemeriksaan berupa grafik naik dan turun yang dapat disebut sebagai gelombang (Shyu dan Weichih, 7).

2 Model denyut jantung manusia harus memiliki siklus dasar (Jones dan Sleeman,98) :. Model yang dibuat harus berdasarkan keadaan setimbang dengan laju perubahan panjang serabut otot dan gelombang aktifitas elektrokimia sama dengan nol. Terdapat ambang batas yang memicu gelombang elektrokimia yang menyebabkan jantung berkontraksi. Model diharapkan dapat cepat kembali dalam keadaan setimbang Model denyut jantung yang diteliti dalam paper ini berbentuk (Thanom dan Robert, ): dengan x x ε x d T : Panjang serabut otot εx = (x Tx + x ) T > () : Variabel aktifitas elektrokimia x = x x d () : Konstanta parameter bernilai positif kecil yang berhubungan dengan nilai eigen : Skalar kuantitas yang mewakili panjang serat otot dalam keadaan diastole : Ketegangan dalam otot. Pada literatur nilai parameter yang diketahui adalah x d =, ε =. dan. Persamaan () dan () merupakan sistem persamaan yang memiliki bentuk umum dx = f(x, t), persamaan () dan () akan dianalisis dengan menggunakan teori bifurkasi. Model dianalisis dengan menggunakan teori bifurkasi diharapkan dapat menunjukan sifat sistem kerja jantung apabila parameter berubah-ubah. Teori Bifurkasi Bifurkasi adalah perubahan sifat kualitatif titik setimbang dari sistem persamaan diferensial dx = f(x, t) yang terjadi karena variasi parameter. Titik setimbang adalah solusi x = x yang menyebabkan dx =. Terdapat jenis bifurkasi yang dapat digambarkan dari sebuah persamaan diferensial (Golubitsky dan Dellnitz,999) :

3 . Bifurkasi pelana (saddle node bifurcation) yaitu dimana titik setimbang x bertabrakan dan menghilang. Bifurkasi pelana diperoleh dengan mendeteksi : det (J f ) x,t =, (tr(j f ) ) dengan J f adalah matriks Jacobian dari sistem persamaan diferensial. Matriks Jacobian dibentuk dari turunan parsial dari sistem persamaan diferensial dari f i (x, t) terhadap x j, dengan j =,, n dan i =,, n. Berdasarkan komponennya, J f ditulis J f = f x f x n f n x f n x n. (). Bifurkasi hopf yaitu berubahnya jenis kestabilan titik setimbang persamaan diferensial, yang terjadi karena munculnya sepasang nilai eigen dari matriks Jacobian yang bernilai imajiner. Bifurkasi hopf dapat diperoleh jika sistem persamaan diferensial memenuhi : det (J f ) x,t >, (tr J f = ) Nilai eigen disini adalah nilai skalar λ yang memenuhi persamaan Ax = λx. (4) Matriks A adalah matriks Jacobian dari persamaan diferensial yang dihitung pada titik setimbangnya. Sehingga nilai eigen pada matriks Jacobian dicari dengan menyelesaikan (Mahmud, 9) det A λι = (5). Bifurkasi homoklinik yaitu adanya siklus periodik pada suatu persamaan diferensial, yang muncul karena sepasang nilai eigen (5) dari matriks Jacobian tidak sama dengan nol (Maoan dkk, ). Bifurkasi homoklinik dapat dideteksi jika persamaan diferensial memenuhi : det (J f ) x,t >, (tr J f ) Untuk menentukan sifat stabilitas titik setimbang maka sistem persamaan diferensial tak linier perlu diketahui sifat nilai eigen dari matriks Jacobian yaitu matriks pada persamaan (). Menurut (Golubitsky dan Dellnitz,999) Titik setimbang untuk kasus bifurkasi dibedakan menjadi bagian :

4 . Titik setimbang hiperbolik (jika bagian riil pada nilai eigen dari matriks Jacobian pada titik setimbang tidak nol).. Titik setimbang non hiperbolik (jika bagian riil pada nilai eigen dari matriks Jacobian pada titik setimbang bernilai nol). Sifat kestabilan untuk titik setimbang hiperbolik dibagi berdasarkan jenis dan tanda dari nilai eigen. Beberapa sifat kestabilan titik setimbang (Golubitsky dan Dellnitz,999) :. Jika semua nilai eigen riil dan mempunyai tanda sama, stabil apabila nilai eigen positif dan tidak stabil apabila nilai eigen negatif.. Jika semua nilai eigen riil dan berbeda tanda (positif dan negatif) maka jenis kestabilan adalah pelana (saddle) dan selalu tak stabil.. Jika salah satu nilai eigen riil dan nilai eigen kompleks yang semua nilai eigen bernilai negatif maka jenis kestabilan adalah stabil, tetapi apabila semua nilai eigen bertanda positif maka jenis kestabilan adalah tak stabil. Jenis kestabilan ini disebut fokus titik (focus node). 4. Jika salah satu nilai eigen riil dengan tanda yang berlawanan dari nilai eigen yang kompleks, maka jenis kestabilannya disebut titik pelana fokus (saddle focus), titik setimbang ini selalu tidak stabil. Karena model yang digunakan bersifat tak linier maka sebagai langkah awal model dilinierkan dengan deret Taylor di sekitar titik setimbang x. Linierisasi sistem persamaan tak linier dengan menggunakan Deret Taylor Linierisasi didasarkan dari fungsi f(x) yang terletak dekat dengan titik setimbang, dengan f x = yang kemudian disusun sistem persamaan pada sekitar titik setimbang x. dx = f(x) = f(x ) + J f x (x x ) + (6) Dari persamaan (6) selanjutnya yang lebih tinggi dbuang, sehingga persamaan menjadi dx = dx dx n = f x f x n f n x f n x n x x x n x n Persamaan (7) merupakan model sistem persamaan linier yang berada di sekitar titik setimbang x. (7)

5 Metode Runge-Kutta orde 4 untuk model denyut jantung persamaan () dan () Untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial tak linier pada persamaan () dan () dapat digunakan metode Runge-Kutta (Yang dkk, 5) dengan tujuan membawa model kedalam fungsi waktu (t). Penyelesaian dx = f(x, t) menurut metode Runge-Kutta Orde 4 adalah dengan x n+ = x n + h 6 (k + k + k + k 4 ) k = f(x n, t n ) k = f(x n + hk, t n + h) k = f(x n + hk, t n + h) k 4 = f(x n + hk, t n ) Persamaan () dan () merupakan sistem persamaan tak linier dan akan dibawa kedalam fungsi waktu (t) dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4, persamaan () dan () mempunyai penyelesaian dengan x n+ = x n + h 6 (k + k + k + k 4 ) k = ε ( x n Tx n + x n ) = k x n k x d k = ε ((x n + h k ) T x n + h k + (x n + h k )) (x n + h k ) + x d = k k k = ε ((x n + h k ) T x n + h k + (x n + h k )) (x n + h k ) + x d = k k k 4 = ε ( x n + hk T x n + hk + (x n + hk )) = k 4 x n k + hk + x 4 d Pembahasan Analisa model denyut jantung manusia

6 x x x Dalam penilitian ini persamaan () dan () akan dicari nilai titik setimbangnya untuk mengetahui sifat stabilitas titik setimbang x. Secara analitik didapatkan nilai titik setimbang Sehingga titik setimbang x = x d x = ε (x d x d ) x, x adalah (x d, ε (x d Tx d )). Titik setimbang tergantung pada parameter ε, T dan x d. Berdasarkan titik setimbang pada persamaan () dan () merupakan bifurkasi homoklinik karena siklus periodik dapat muncul dan menghilang jika parameter divariasi. Pada gambar x d divariasi.5 x d.5, jika x d >.5 dan x d <.5 maka tidak akan terjadi siklus periodik. x ' = x - xd x ' = - (x - T x + x)/e xd = -.5 E =. x ' = x - xd x ' = - (x - T x + x)/e xd = E =. x ' = x - xd x ' = - (x - T x + x)/e xd =.5 E = x - x - x Gambar. Siklus periodik yang terjadi untuk x d =.5 (kiri), x d = (tengah) dan x d =.5 (kanan). Menentukan sifat stabilitas titik setimbang berdasarkan variansi parameter Untuk menentukan sifat stabilitas titik setimbang persamaan () dan () maka dicari nilai eigen dengan membentuk matriks Jacobian sesuai dengan persamaan () f f x J f = x f f x x = ε (x T) ε Nilai eigen J f dengan parameter yang telah diketahui λ =.6 dan λ =.8, jadi sifat kestabilan titik setimbang adalah tidak stabil karena nilai eigennya real dan bertanda positif dengan tipe titik setimbang hiperbolik. Sifat kestabilan berdasarkan nilai eigen dengan memvariasi parameter ε, x d dan T ditunjukan pada table.. Parameter ε yang divariasi

7 x x x x x x ' = x - xd x ' = - (x - T x + x)/e xd = E =.9 - x x ' = x - xd x ' = - (x - T x + x)/e xd = E =.5 - x x ' = x - xd x ' = - (x - T x + x)/e xd = E =.5 - x x ' = x - xd x ' = - (x - T x + x)/e xd = E =.56 - x x ' = x - xd x ' = - (x - T x + x)/e xd = E =. - x Tabel. Nilai eige, determinan dan trace dari matriks Jacobian untuk beberapa variasi parameter ε No Nilai Parameter ` ε =.9 x d = Nilai Eigen λ =.98 λ =.44 Det /Trace Matriks Jacobian Gambar pplane7 ε =.5 x d = λ = λ =.557 ε =.5 x d = λ = λ = ε =.56 x d = λ = i λ =.96.9i (pelana) ε =. x d = λ = i λ =.67.75i (pelana).... Setelah memvariasi parameter ε dapat terlihat nilai eigen selalu positif dan sifat kestabilan titik setimbang akan terjadi tidak stabil apabila ε.5 dan sifat kestabilan pelana fokus terjadi apabila nilai ε >.5. Dapat dikatakan bahwa sifat titik setimbang dengan memvariasi parameter ε adalah pelana fokus dan tidak stabil.. Apabila parameter.5 x d < atau.5 x d > maka sifat kestabilan titik setimbang tidak stabil dan pelana fokus dan apabila x d = sifat kestabilan titik setimbang tidak stabil.. Parameter T divariansi T maka sifat kestabilan titik setimbang tidak stabil Setelah melakukan variansi parameter ε, x d dan T persamaan() dan () merupakan bifurkasi homoklinik karena persamaan () dan () memiliki siklus periodik. Dengan menggunakan bantuan pplane7 maka akan terlihat siklus yang terjadi pada persamaan () dan () dalam bidang fase.

8 x(panjang seraut otot) x ' = x - xd x ' = - (x - T x + x)/e E =. xd = A B C D - - x (variabel aktifitas elektrokimia) Gambar. x = panjang serat otot, x = Variabel aktifitas elektrokimia dimana x d =, ε =. dan. Gambar menunjukan bahwa medan vektor dalam garis AB dan BC berjalan menuju garis B dan C yang membentuk siklus. Titik-titik AB dan BC merupakan titik setimbang yang stabil sedangkan titik yang berada disekitar garis BC merupakan titik setimbang yang tidak stabil disebabkan pada garis B dan C merupakan ambang batas yang menyebabkan jantung berkontraksi (Thanom dan Robert, ). Titik setimbang dikatakan tidak stabil karena jantung merupakan organ tubuh yang tidak berhenti beraktifitas sehingga dapat dikatakan bahwa jantung tidak pernah berada pada kondisi yang stabil. Linierisasi sistem persamaan tak linier Melinierkan sistem persamaan tak linier diharapkan persamaan yang linier lebih mendekati sistem kerja jantung. Pada persamaan () dan () akan disusun persamaan disekitar titik setimbang x dan x dx = f x, x = f x, x + J x f (x,x ) x + J f x (x,x ) x dx = f x, x = f x, x + J f x x,x x + J f x ) (x,x x ) Linierisasi persamaan () dan () disekitar titik setimbang x dan x dx dx = x + T ε ε x x x x = x + T ε ε x x d x ( x d + Tx d ) ε

9 x x dx dx = x +T ε x x d + ε x ( x d +Tx d ) ε Persamaan (8) adalah hasil linierisasi persamaan () dan (). x x d (8) Metode Runge-Kutta orde 4 Hasil Metode Runge-Kutta orde 4 akan diaplikasikan pada persaman () dan () dengan dibantu Matlab R9a, dengan titik awal yang dipilih adalah -.5 dan t Gambar. Gambar dari persamaan () dan () dengan ε =., dan x d = Gambar merupakan gambar pada persamaan () dan () yang dibawa dalam fungsi t dengan titik awal yang dipilih adalah pada saat x t =.5 dan x t =.5, titik awal dipilih berdasarkan perpotongan antara AB dan BC pada gambar. Pada gambar menjelaskan x adalah panjang serabut otot dan x adalah variabel aktifitas elektrokimia, pada saat x = 5 dan x = 5 terlihat pada garis putus-putus yaitu pada saat jantung dalam keadaan diastole maka panjang serabut otot semakin melebar dan aktifitas elektrokimia akan semakin mengecil karena tidak terjadi kontraksi pada otot jantung, tetapi pada garis yang tidak putus-putus yaitu pada saat jantung dalam keadaan sistole maka panjang serabut otot akan semakin mengecil dan variabel aktifitas elektrokimia semakin membesar karena terjadi kontraksi dalam jantung yang dapat menghasilkan listrik didalam jantung. Dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 persamaan (8) disusun seperti persamaan yang tak linier dan dibawa ke dalam fungsi waktu (t) untuk

10 x x melihat kedekatan antara model yang linier dengan sistem kerja jantung. Dengan menggunakan bantuan Matlab R9a maka persamaan (),() dan (8) diaplikasikan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 yang ditunjukan pada gambar 4. 4 Linier Tak linier Linier Tak Linier t Gambar 4. Gambar dari persamaan (), () dan (8) Pada gambar 4 terlihat bahwa sistem persamaan yang telah dilinierkan tidak sesuai dengan keadaan jantung manusia, karena keadaan panjang serabut otot dan variabel aktifitas elektrokimia semakin meningkat dan terlihat bahwa jantung tidak mengalami proses sistole dan diastole. Dimensi Analisis untuk Persamaan () dan () Model pada persamaan () dan () merupakan model yang tak berdimensi sehingga pada kasus ini akan dilakukan analisis untuk menjadikan model yang tak berdimensi menjadi berdimensi. Misalkan berdasarkan dari literatur diberikan dimensi pada setiap variabel : x = panjang serabut otot (meter) x = aktivitas variabel elektrokimia (tegangan listrik = Volt) T = Tegangan (Pascal atau Newton/meter ) x d = Skalar kuantitas yang mewakili panjang serat otot dalam keadaan diastole (meter) t = waktu (detik) Untuk mendapatkan informasi tentang satuan pada parameter pada persamaan () dan () tersebut maka perlu dilakukan terlebih dahulu analisa dimensi sebagaimana ditunjukkan berikut ini. Model ditulis dalam bentuk x = bx + ctx dx (9)

11 Penyekalaan umum yang dapat digunakan adalah x = e(x x d ), b, c, d, e, T > () x = x A, x = x B, t = t τ. () dengan A, B dan τ merupakan skala referensi untuk panjang serabut otot, tegangan listrik dan waktu. Skala referensi adalah nilai-nilai panjang serabut otot, tegangan listrik dan waktu yang biasa digunakan pada saat pengukuran jantung. Misalkan A adalah panjang serabut otot jantung dalam keadaan normal bagi orang sehat ketika jantung berkontraksi dalam satuan meter, B adalah tegangan listrik yang terjadi dalam jantung pada saat berkontranksi dalam satuan volt dan τ adalah waktu yang digunakan pada saat jantung mengalami sistole dan diastole dalam satuan detik. Dengan menggunakan penyekalaan umum () pada persamaan (9) dan () diperoleh A x τ = ba x + ctax dbx () B τ = ea(x x d ) () selanjutnya perlu dicari b, c, d dan e dengan A τ = B ea, sehingga τ = B ea = ca ead = c ed A caτ x = ba ca x + Tx db ca x caτ adalah ε pada persamaan () yang sehingga dapat menjadi ε = cτ.ekspresi ba ca dapat disederhanakan menjadi ba = sehingga menyebabkan A = c jadi b A = c db. Selanjutnya = jadi B = ca b ca d c Jadi model pada persamaan () dan () setelah dilakukan penyekalaan akan menjadi = c c b. d εx = x + Tx x (4) x = x x a (5) Persamaan (4) dan (5) merupakan persamaan yang muncul pada persamaan () dan (), dengan menghilangkan notasi tilda maka persamaan (4) dan (5) dapat digunakan dengan dimensi yang dapat dihubungkan jika muncul pada pengukuran denyut jantung. Hal ini akan digunakan pada penelitian yang lebih lanjut.

12 Kesimpulan Berdasarkan analisis model denyut jantung yang dilakukan terlihat bahwa teori bifurkasi telah digunakan untuk menganalisis suatu persamaan diferensial yang mempunyai perubahan sifat kualitatif pada titik setimbang yang dikarenakan perubahan parameter. Persamaan tak linier yang sudah ada juga telah memenuhi sistem kerja jantung pada saat sistole dan diastole. Pada persamaan () dan () merupakan jenis bifurkasi homoklinik yang timbul karena adanya siklus periodik dengan sifat titik setimbang yang cenderung tidak stabil. Sifat titik setimbang adalah tidak stabil yang berarti bahwa jantung sedang berada pada kondisi sistole dan diastole yang berulang-ulang pada nilai parameter ε.5 dan ε.5,.5 x d.5 dan T. Ucapan Terima Kasih : Terima kasih kepada Bapak Dr. Suryasatriya Trihandaru, M. Sc yang telah berkontribusi pada analisis dimensi model yang akan digunakan untuk penelitian lebih lanjut. Daftar Pustaka []. Golubitsky, M and Dellnitz, M. (999). Liniear Algebra and Differential Equation Using Matlab. Brooks/Cole Publishing Company. []. Imrona, Mahmud. (9). Aljabar Linier Dasar. Jakarta : Erlangga. []. Jones, D.S and Sleeman, B. D. (98). Differential Equations And Mathematical Biology. Departement of Mathematical Sciences, University of Dundee. London. [4]. Maoan Han, Junmin Yang and Dongmei Xiao. (). Limit Cycle Bifurcation Near a Double Homoclinic Loop with a Nilpotent Saddle. International Journal of Bifurcation and Chaos. [5]. Pangase, Yulin. (). Penyelesaian Untuk Model Reaktor Reaksi Kimia (Continuous Flow Stirred Chemical Tank Reactor (Cstr)) Dengan Menggunakan Teori Bifurkasi. Fakultas Ilmu Alam dan Teknologi Rekayasa Universitas Halmahera. [6]. Thanom, Witt and Loh, Robert N. K. (). Nonlinier Control Of Heartbeat Models. Departement of Electrical and Computer

13 Engineering Center for Robotics and Advanced Automation Oakland University Rochester. USA. [7]. Yang WY, Cao W, Chung TS and Morris J. (5). Applied Numerical Methods Using Matlab. United State of America : Willey-Interscience.