STATISTIKA II (BAGIAN

Transkripsi

1 STATISTIKA II (BAGIAN - ) Oleh : WIJAYA zeamays_hibrida@yahoo.com FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 008 Wijaya : Statistika II (Bagian-) 0

2 VI. PENGUJIAN HIPOTESIS Hipotesis merupakan dugaan mengenai suatu hal; atau hipotesis adalah jawaban sementara terhadap suatu masalah. Jika dugaan itu dikhususkan mengenai populasi (parameternya), maka hipotesis itu disebut Hipotesis Statistik. Hipotesis Statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi. Setiap hipotesis bisa benar atau salah, sehingga perlu diuji dengan suatu penelitian untuk diterima atau ditolak. Penerimaan suatu hipotesis statistik merupakan akibat tidak cukupnya bukti untuk menolaknya, dan tidak berimplikasi bahwa hipotesis itu pasti benar. Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak hipotesis disebut Pengujian Hipotesis. Dalam pengujian hipotesis terdapat kekeliruan (galat), yaitu : Keadaan Sebenarnya Kesimpulan H 0 Benar H 0 Salah Terima Hipotesis Benar Galat Jenis II ( β ) Tolak Hipotesis Galat Jenis I ( α ) Benar Nilai α disebut Taraf Nyata, jika α diperkecil maka β semakin besar. Nilai α biasanya 0,05 (5%) atau 0,01 (1%). Jika α = 0,05 artinya 5 dari tiap 100 kesimpulan kita akan menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Harga (1 β) disebut Kuasa (Kekuatan) Uji. Hipotesis Nol (H 0 ) adalah hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak. Lawan H 0 adalah H 1 atau Hipotesis Alternatif. Wijaya : Statistika II (Bagian-) 1

3 Teladan 6.1 : Di suatu kota proporsi penduduk dewasa lulusan Perguruan Tinggi (PT) diduga sebesar p = 0,3. Untuk menguji hipotesis ini diambil contoh acak 15 orang dewasa. Bila diantara 15 orang terdapat sampai 7 orang lulusan PT, kita akan menerima hipotesis nol bahwa p = 0,3, selainnya akan disimpulkan p 0,3. a. Hitung α bila diasumsikan p = 0,3. b. Hitung β bagi H 1 bila p = 0, dan p = 0,4 a. p = 0,3 nilai α = 1 p ( x 7) = 1 [ p (x 7) p ( x 1) ] 7 1 α = 1 [ b(x; 15, 0,3) b(x; 15, 0,3) ] 0 0 = 1 (0,9500 0,0353) = 0,0853 b. p = 0, nilai β = 1 p ( x 7) = 1 [ p (x 7) p ( x 1) ] 7 1 β = 1 [ b(x; 15, 0,) b(x; 15, 0,) ] 0 0 = 1 (0,9958 0,1671) = 0,887 p = 0,4 nilai β = 1 p ( x 7) = 1 [ p (x 7) p ( x 1) ] 7 1 β = 1 [ b(x; 15, 0,4) b(x; 15, 0,4) ] 0 0 = 1 (0,7869 0,005) = 0,7817 Teladan 6. : Sebuah contoh acak 400 orang ditanyai apakah mereka setuju dengan kenaikan pajak penjualan bensin 4% untuk menambah dana perbaikan jalan. Bila lebih dari 0 tetapi kurang dari 60 orang setuju, maka disimpulkan bahwa 60% orang setuju. a. Hitung α jika 60% setuju kenaikan pajak tersebut. b. Hitung β jika sesungguhnya hanya 48% yang setuju kenaikan tersebut. Wijaya : Statistika II (Bagian-)

4 Data diskrit, n cukup besar dan p dekat ke 0,5 jadi digunakan pendekatan normal ke binom. a. n = 400 p = 0,6 q = 0,4 μ = np = 40 dan σ = npq = 9,8 z 1 = (0,5 40) / (9,8) = 1,99 atau p (z 1 ) = 0,033 z = (59,5 40) / (9,8) = 1,99 atau p (z ) = 0,9767 p (0 < x < 60) = p (z 1 < z < z ) = 0,9767 0,033 = 0,9534 nilai α = 1 0,9534 = 0,0466 b. n = 400 p = 0,48 q = 0,5 μ = np = 19 dan σ = npq = 9,99 p (0 < x < 60) = p (,85 < z < 6,76 ) = 1 0,9978 = 0,00 Nilai β = 0,00 Teladan 6. 3 : Sebuah mesin minuman ringan diatur sehingga volume minuman yang dikeluarkannya menghampiri normal dengan rata rata 00 ml dan simpangan bakunya 15 ml. Setiap periode tertentu mesin itu diperiksa dengan cara mengambil 9 contoh acak kemudian dihitung isi rata ratanya. Bila rata ratanya jatuh diantara 191 < x < 09, mesin dianggap baik, bila tidak demikian disimpulkan bahwa μ 00 ml. a. Hitung α jika μ = 00 ml. b. Hitung β jika μ = 15 ml. Data kontinyu; sebaran penarikan contoh ; σ diketahui (sebaran z). a. n = 9 μ = 00 dan σ = 15 σ x = σ / n = 15 / 9 = 5 α = 1 p (191 < x < 09) = 1 p ( 1,8 < z < 1,8 ) α = 1 ( 0,9641 0,0359) = 0,0718 nilai á = 1 0,9534 = 0,0466 b. β = p (191 < x < 09) = p ( 4,8 < z < 1, ) = 0, = 0,1151 Wijaya : Statistika II (Bagian-) 3

5 Pada Teladan 6.3, untuk 191 < x < 09 jika nilai μ ditentukan, maka peluang β dan nilai (1 β) dapat dihitung. Misalnya nilai μ sebagai berikut : μ β 0,0808 0,743 0,5790 0,8366 0,98 0,8366 0,5790 0,743 0,0808 (1 β) 0,919 0,753 0,410 0,1634 0,0718 0,1634 0,410 0,753 0, , 8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0 0, (1 β) β Kurva β disebut Kurva Ciri Operasi atau Kurva Ciri Kerja, sedangkan Kurva (1 β) disebut Fungsi Kuasa. Teknik dalam Pengujian Hipotesis : Uji Dua Pihak : H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ θ 0 Uji Satu Pihak (Pihak Kiri) : α H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ < θ 0 Uji Satu Pihak (Pihak Kanan) : α H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ > θ 0 Wijaya : Statistika II (Bagian-) 4

6 Penggunaan jenis distribusi (rumus) dalam Pengujian Hipotesis sama dengan Pendugaan Parameter sebaran penarikan contoh. 6.1 Pengujian Rata rata (a) Jika σ diketahui atau n 30 : x μ z = σ / n (b) Jika σ tidak diketahui dan n < 30 : x μ t = s / n Teladan 6.4 : Sebuah perusahaan alat olah raga mengembangkan jenis batang pancing sintetik dengan rata rata kekuatan 8 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Suatu contoh acak 50 batang pancing diuji ternyata kekuatannya rata rata 7,8 kg. Ujilah pada taraf nyata 0,01 pernyataan perusahaan tersebut dapat diterima. H 0 : μ = 8 lawan H 1 : μ 8 Jadi merupakan uji dua pihak. Uji Statistik : z 3. Taraf Nyata α = 1% atau z α/ = z 0,005 =, Wilayah Kritik : z <,575 atau z >,575 x = 7,8 n = 50 σ = 0,5 σ/ n = 0,5 / 50 = 0,07 z = (x μ ) / (σ/ n) z = (7,8 8) / (0,07) =,83,575,575 Wijaya : Statistika II (Bagian-) 5

7 6. Kesimpulan : Karena z < z 0,005, maka Tolak H 0 artinya rata- rata kekuatan batang pancing tersebut tidak sama dengan 8 kg, tetapi kurang dari 8 kg. Teladan 6.5 : Seorang peneliti senior menyatakan bahwa rata rata pendapatan per bulan keluarga di kota A sebesar Rp ,. Suatu contoh acak berukuran 5 diambil dan diperoleh rata rata pendapatannya Rp , dengan simpangan baku Rp ,. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah benar pernyataan peneliti senior tersebut bahwa rata rata pendapatan keluarga di kota A sebesar Rp , H 0 : μ = lawan H 1 : μ Jadi merupakan uji dua pihak.. Uji Statistik : t 3. Taraf Nyata α = 0,05 atau t α/ (n 1) = t 0,05 (4) =, Wilayah Kritik : t <,064 atau t >,064 x = n = 5 s = s/ n = / 5 = t = (x μ ) / (s/ n) t = ( ) / (0.000) = 5,064, Kesimpulan : Karena t < t 0,05(4), maka Tolak H 0 artinya rata- rata pendapatan keluarga tersebut kurang dari Rp ,-. Cara lain : (Pengujian dalam bentuk selang kepercayaan) Selang Kepercayaannya : x t α/. s/ n < μ < x + t α/. s/ n (,064)(0.000) < μ < (,064)(0.000) < μ < Karena selang kepercayaan 95% bagi rata rata μ tidak mencakup nilai Rp Wijaya : Statistika II (Bagian-) 6

8 , maka kita tolak pernyataan peneliti senior tersebut. 6. Pengujian Selisih Rata rata (a) Jika σ 1 dan σ diketahui atau n 30 : x 1 x z = (σ 1 / n 1 ) + (σ / n ) (b) Jika σ 1 dan σ tidak diketahui dan n < 30 : 1. σ 1 = σ, maka : x 1 x t = s g (1/ n 1 ) + (1/ n ) (n 1 1) s 1 + (n 1) s s g = n 1 + n. σ 1 σ, maka : x 1 x t = (s 1 / n 1 ) + (s / n ) Nilai t dibandingkan dengan t sebagai t tabel, dimana : (w 1 t 1 + w t ) t = ( w 1 + w ) w 1 = (s 1 / n 1 ) ; w = (s 1 / n 1 ) ; t 1 = t α/(n1 1) ; t = t α/(n 1) Wijaya : Statistika II (Bagian-) 7

9 Teladan 6.6 : Sebuah perusahaan memproduksi macam lampu pijar A dan B. Misal umur lampu pijar tersebut menyebar normal dengan simpangan baku masing masing 80 dan 90 jam. Contoh acak masing masing berukuran 50 diuji dan didapat rata rata umurnya sebesar 18 jam dan 108 jam. Ujilah pada taraf nyata 5%, apakah rata rata umur lampu pijar A lebih lama dari B. H 0 : μ A = μ B lawan H 1 : μ A > μ B ( uji pihak kanan).. Uji Statistik : z 3. Taraf Nyata α = 0,05 atau z α = z 0,05 = 1, Wilayah Kritik : z > 1,645 n 1 = n = 50 σ 1 = 80 σ = 90 x 1 = 18 x = 108 x 1 x = 74 σ x1 x = (σ 1 / n 1 ) + (σ / n ) = (80 / 50) + (90 / 50) = 17,31 z = (x 1 x ) / ( (σ 1 / n 1 ) + (σ /n ) z = (74) / (17,31) = 4,4 z 0,05 = 1, Kesimpulan : Karena z > z 0,05, maka Tolak H 0 artinya rata- rata umur lampu pijar A lebih lama dari lampu pijar B. Teladan 6.7 : Dua jenis tambang ingin dibandingkan kekuatannya, untuk itu 50 potong tambang dari setiap jenis diuji dalam kondisi yang sama. Jenis A mempunyai kekuatan rata rata 78,3 kg dengan simpangan baku 5,6 kg, sedangkan B rata ratanya 87, kg dengan simpangan baku 6,3 kg. Uji pada taraf nyata 5% apakah rata rata kekuatan tambang A lebih kecil dari B. Wijaya : Statistika II (Bagian-) 8

10 H 0 : μ A = μ B lawan H 1 : μ A < μ B ( uji pihak kiri).. Uji Statistik : z 3. Taraf Nyata α = 0,05 atau z α = z 0,05 = 1, Wilayah Kritik : z < 1,645 n 1 = n = 50 x 1 = 78,3 s 1 = 5,6 x = 87, s = 6,3 x 1 x = 8,9 s x1 x = (s 1 / n 1 ) + (s / n ) = (5,6) / 50 + (6,3) / 50 = 1,19 z 0,05 = 1,645 z = (x 1 x )/ ( (s 1 / n 1 ) + (s / n ) z = ( 8,9) / (1,19) = 7,48 6. Kesimpulan : Karena z < z 0,05, maka Tolak H 0 artinya rata- rata kekuatan tambang A lebih kecil dari tambang B. Teladan 6.8 : Pelajaran matematika diberikan kepada 1 siswa kelas A dengan metode pengajaran biasa, dan 10 siswa kelas B dengan metode pengajaran menggunakan bahan terprogram. Hasil ujian kelas A rata ratanya 85 dengan simpangan baku 4, kelas B rata ratanya 81 dengan simpangan baku 5. Ujilah pada taraf nyata 10% apakah rata rata populasi bagi nilai ujian kedua metode tersebut sama. H 0 : μ A = μ B lawan H 1 : μ A μ B ( uji dua pihak).. Uji Statistik : t 3. Taraf Nyata α = 0,10 atau t α/(n1+n-) = t 0,05(0) = 1,75 4. Wilayah Kritik : t < 1,75 atau t > 1,75 Wijaya : Statistika II (Bagian-) 9

11 n 1 = 1 x 1 = 85 s 1 = 4 n = 10 x = 81 s = 5 (x 1 x ) = 4 dan s g = [(n 1 1) s 1 + (n 1) s ]/ (n 1 + n ) s g = [11(16) + 9(5)]/ (10+1 ) = 4,478 t = (x 1 x )/ (s g (1/n 1 + 1/n ) t = (4) / (1,9) =,08 6. Kesimpulan : Karena t > t 0,05(0), maka Tolak H 0 artinya rata- rata nilai matematika kedua metode tidak sama. Teladan 6.9 : Masa putar film yang diproduksi oleh perusahaan film adalah : Masa Putar (menit) Perusahaan I Perusahaan II Ujilah pada taraf nyata 5% apakah rata rata masa putar film kedua perusahaan tersebut sama, bila diasumsikan kedua ragam populasi tersebut tidak sama. H 0 : μ A = μ B lawan H 1 : μ A μ B ( uji dua pihak).. Uji Statistik : t 3. Taraf Nyata α = 0,05 4. Wilayah Kritik : t < t α/(v) atau t > t α/(v) Cara I : n 1 = 7 x 1 = 110,7 s 1 = 1035,9 n = 5 x = 98,4 s = 76,3 derajat bebas untuk t α/ atau t 0,05 adalah : (s 1 / n 1 + s / n ) v = [(s 1 /n 1 ) / (n 1 1)] + [(s /n ) / (n 1)] Wijaya : Statistika II (Bagian-) 10

12 [ (1035,9 / 7) + (76,3 / 5) ] v = = 7,19 = 7 [ (1035,9 / 7) / (4)] + [(76,3 / 5) / (6) ] jadi t 0,05 (7) =,365 dan ( x x 1 )= 1,3 [(s 1 / n 1 ) + (s / n )] = [(1035,9)/(7) + (76,3)/(5)] = 1,78 t = (x 1 x )/ [(s 1 / n 1 ) + (s / n )] = (1,3) / (1,78) = 0, Kesimpulan : Karena t < t 0,05(7), maka Terima H 0 artinya rata-rata masa putar film kedua perusahaan tidak berbeda nyata. Cara lain menentukan t α/(v) = t bagi σ 1 σ (tidak diketahui) t α/(v) = t = (w 1 t 1 + w t ) / ( w 1 + w ) w 1 = (s 1 / n 1 ) = (1035,9) / (7) = 147,99 w = (s / n ) = (76,3) / (5) = 15,6 t 1 = t α/(n1 1) = t 0,05 (7 1) =,447 t = t α/(n 1) =t 0,05 (5 1) =,776 t α/(v) = t = (w 1 t 1 + w t ) / (w 1 + w ) =,478 Karena t = 0,964 < t =,478 maka Terima Ho, artinya rata rata masa putar film kedua perusahaan tersebut sama. 6.3 Pengujian Rata rata Pengamatan Berpasangan d t = s d / n db t = (n 1) Teladan 6.10 : Pelatihan manajemen agribisnis kepada 100 petani andalan agar mampu mengembangkan usahataninya. Setelah beberapa waktu, 6 orang diantara 100 petani andalan tersebut diselidiki keuntungan yang mereka peroleh sebelum dan Wijaya : Statistika II (Bagian-) 11

13 sesudah pelatihan, datanya adalah sebagai berikut : Petani Sebelum Dilatih Juta rupiah Sesudah Dilatih Juta rupiah Ujilah pada taraf nyata 5% apakah pelatihan agribisnis dapat meningkatkan keuntungan petani. H 0 : μ A = μ B lawan H 1 : μ A > μ B ( uji pihak kanan).. Uji Statistik : t 3. Taraf Nyata α = 0,05 atau t α/(n 1) = t 0,05(5) =,0 4. Wilayah Kritik : t <,0 atau t >,0 Sebelum Dilatih Sesudah Dilatih Beda (d) n = 6 d = 57 d = 635 d = 9,5 s d = 4,3 s d / n = 1,76 t = d / s d / n t = (9,5) / (1,76) = 5,4 6. Kesimpulan : Karena t > t 0,05(5), maka Tolak H 0 artinya rata- rata pendapatan petani setelah dilatih lebih tinggi dibandingkan dengan sebelum dilatih. Ukuran Contoh untuk Pengujian Rata rata (μ ) Misal ingin menguji bahwa H 0 : μ = μ 0 lawan H 1 : μ = μ 0 + δ, δ bisa (+) bisa ( ). Bila peluang galat I dan II adalah α dan β, dan contoh diambil dari populasi yang menghampiri normal dengan ragam (σ ) yang diketahui, maka ukuran contoh yang diperlukan adalah : n = (z α + z β ) σ / (δ ) Wijaya : Statistika II (Bagian-) 1

14 Teladan 6.11 : Misal ingin H 0 : μ = 68 lawan H 1 : μ = 69 bagi populasi normal dengan σ = 5. Bila α dan β keduanya 0,05 maka ukuran contoh yang diperlukan adalah : n = (z α + z β ) σ / (δ ) = ( 1,645 1,645) (5) / (1) = 71 Ukuran Contoh untuk Pengujian Selisih Rata rata H 0 : μ 1 μ = d 0 lawan H 1 : μ 1 μ = d 0 + δ n = (z α + z β ) (σ 1 + σ ) / (δ ) Teladan 6.1 : Dua contoh bebas akan diambil dari populasi normal dengan σ 1 = 80 dan σ = 100. Untuk menguji H 0 : μ 1 μ = 50 lawan H 1 : μ 1 μ = 55. Bila α = 0,05 dan β = 0,01 maka ukuran contoh masing masing yang diperlukan adalah : n = (z α + z β ) (σ 1 + σ ) / (δ ) = ( 1,645,33) ( ) / (5) = Pengujian Proporsi a. n 100 : b. n < 100 : x/n p z = pq / n x/n p t = pq / n Teladan 6.13 : Pengelola restoran menyatakan bahwa minimal 30% pengunjung restoran setiap hari minggu menyukai makanan laut. Contoh acak 500 orang yang makan siang di hari minggu terdapat 160 orang yang suka makanan laut. Ujilah pada taraf nyata 5% apakah pernyataan pengelola restoran tersebut dapat diterima. H 0 : p = 0,3 lawan H 1 : p 0,3 (uji dua pihak).. Uji Statistik : z 3. Taraf Nyata α = 0,05 atau z α/ = z 0,05 = 1,96 4. Wilayah Kritik : z < 1,96 atau z > 1,96 Wijaya : Statistika II (Bagian-) 13

15 p = 0,3 q = 0,7 x/n = 160/500 = 0,3 z = (x/n p) / (pq/n) z = (0,3 0,3) / (0,1/500) = 1,00 6. Kesimpulan : Karena z < z 0,05, maka Terima H 0 artinya proporsi yang suka makanan laut memang benar 30 %. 6.5 Pengujian Selisih Proporsi x 1 /n 1 x /n z = pq (1/ n 1 + 1/ n ) x 1 + x p = n 1 + n q = 1 p Teladan 6.14 : Suatu studi dilakukan untuk menguji apakah ada perbedaan proporsi yang nyata dari penduduk suatu kota dan penduduk di sekitar kota tersebut yang menyetujui pembangkit listrik tenaga nuklir. Bila 100 diantara 000 penduduk kota dan 400 diantara 5000 penduduk di sekitar kota yang diwawancarai menyetujui pembangunan apakah dapat dikatakan bahwa proporsi penduduk kota yang setuju lebih besar dari penduduk sekitar kota (gunakan taraf nyata 5%). H 0 : p 1 = p lawan H 1 : p 1 > p (uji pihak kanan).. Uji Statistik : z 3. Taraf Nyata α = 0,05 atau z α = z 0,05 = 1, Wilayah Kritik : z > 1,645 n 1 = 000 n = 5000 x 1 = 100 x = 400 x 1 / n 1 = 0,60 x / n = 0,48 p = 3600/7000 = 0,51 q = 0,49 pq = 0,5 Wijaya : Statistika II (Bagian-) 14

16 z = (x 1 /n 1 x /n ) / pq (1/n 1 + 1/n ) z = (0,60 0,48)/ 0,5 (1/ /000) z = (0,1) / (0,013) = 9,3 6. Kesimpulan : Karena z > z 0,05, maka Tolak H 0 artinya proporsi penduduk yang setuju di kota lebih besar dari penduduk sekitar kota. Masalah dalam pengujian selisih proporsi akan ditemui apabila sampel yang diambil ukurannya semakin kecil, misalnya jika : 1. n 1 = 00 n = 500 x 1 = 10 x = 40 x 1 /n 1 = 0,60 x /n = 0,48 p = 360/700 = 0,51 q = 0,49 pq = 0,5 z = (0,60 0,48) / 0,5 (1/ /00) = (0,1)/(0,04) =,86 (z =,86 ) > (z 0,05 = 1,645). n 1 = 0 n = 50 x 1 = 1 x = 4 x 1 /n 1 = 0,60 x /n = 0,48 p = 36/70 = 0,51 q = 0,49 pq = 0,5 z = (0,60 0,48) / 0,5 (1/50 + 1/0) = (0,1)/(0,13) = 0,9 (z = 0,9) < (z 0,05 = 1,645) 3. atau karena n < 100, maka digunakan sebaran t student, hasilnya : n 1 = 0 n = 50 x 1 = 1 x = 4 x 1 /n 1 = 0,60 x /n = 0,48 p = 36/70 = 0,51 q = 0,49 pq = 0,5 t = (0,60 0,48) / 0,5 (1/50 + 1/0) = (0,1)/(0,13) = 0,9 (t = 0,9) < (t 0,05 (68) = 1,645) Jadi apabila ukuran sampel semakin kecil (N < 100) maka H 0 cenderung diterima. Teladan 6.15 : Seorang ahli genetika tertarik pada populasi laki laki dan perempuan dalam populasi yang mengidap kelainan darah tertentu. Dari contoh 100 laki laki terdapat 4 yang mengidap kelainan darah dan 100 perempuan terdapat 13 yang mengidap kelainan. Ujilah pada taraf nyata 1% apakah proporsi yang mengidap kelainan darah pada laki laki sama dengan perempuan. Wijaya : Statistika II (Bagian-) 15

17 H 0 : p 1 = p lawan H 1 : p 1 p (uji dua pihak).. Uji Statistik : z 3. Taraf Nyata α = 0,01 atau z α/ = z 0,005 =, Wilayah Kritik : z <,575 atau z >,575 n 1 = 100 n = 100 x 1 = 4 x = 13 x 1 /n 1 = 0,4 x /n = 0,13 p = 37/00 = 0,185 q = 0,815 pq = 0,15 z = (x 1 /n 1 x /n ) / pq (1/n 1 + 1/n ) z = (0,4 0,13) / 0,15 (1/ /100) z = (0,11) / (0,039) =,8 6. Kesimpulan : Karena z > z 0,005, maka Tolak H 0 artinya proporsi kelainan darah pada laki-laki tidak sama dengan perempuan. 6.6 Pengujian Ragam (a) Satu Ragam : H 0 : σ = σ 0 H 1 : σ σ 0 atau σ > σ 0 atau σ < σ 0 (n 1) s χ = σ 0 (b) Kesamaan Dua Ragam : H 0 : σ 1 = σ H 1 : σ 1 σ atau σ 1 > σ atau σ 1 < σ s 1 F = v 1 = n 1 1 dan v = n 1 s Wijaya : Statistika II (Bagian-) 16

18 Teladan 6.16 : Pengelola perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aki yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0,9 tahun. Bila suatu contoh acak 10 aki menghasilkan simpangan baku 1, tahun. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah : a. Pernyataan perusahaan dapat diterima bahwa σ = 0,9 b. Menurut saudara σ > 0,9 Jawab (a) : H 0 : σ = 0,81 lawan H 1 : σ 0,81 (uji dua pihak).. Uji Statistik : χ 3. Taraf Nyata α = 0,05 4. Wilayah Kritik : χ < χ (1 α/)(n 1) atau χ > χ α/(n 1) Untuk α = 5% didapat χ α/(n 1) = χ = 19,03 dan 0,05 (9) χ (1 α/) (n 1) = χ =,7 0,975 (9) χ = (n 1) s / σ 0 χ = (10 1)(1,44) / (0,9) χ = 16,0 χ (1 α/)(9) =,7 χ α/(9) = 19,03 6. Kesimpulan : Karena χ 0,975(9) < χ < χ 0,05(9), maka Terima H 0 artinya benar bahwa umur aki mempunyai σ = 0,9. Jawab (b) : H 0 : σ = 0,81 lawan H 1 : σ > 0,81 (uji pihak kanan).. Uji Statistik : χ 3. Taraf Nyata α = 0,05 4. Wilayah Kritik : χ > χ α/(n 1) Wijaya : Statistika II (Bagian-) 17

19 Untuk α = 5% didapat χ α/(n 1) = χ 0,05(9) = 16,919 χ = (n 1) s / σ 0 = (10 1)(1,44) / (0,9) = 16,0 6. Kesimpulan : Karena χ < χ 0,05(9), maka Terima H 0 artinya benar bahwa umur aki mempunyai σ = 0,9. Teladan 6.17 : Pelajaran matematika diberikan kepada 1 siswa kelas A dengan metode pengajaran biasa, dan 10 siswa kelas B dengan metode pengajaran menggunakan bahan terprogram. Hasil ujian kelas A rata ratanya 85 dengan simpangan baku 4, kelas B rata ratanya 81 dengan simpangan baku 5. Asumsi kedua populasi mempunyai ragam yang sama tetapi tidak diketahui apakah dapat diterima? Ujilah pada taraf nyata 0,10. H 0 : σ 1 = σ lawan H 1 : σ 1 σ (uji dua pihak).. Uji Statistik : F 3. Taraf Nyata α = 0,10 4. Wilayah Kritik : F < 1/F α/ (v, v1) atau F > F α/ (v1, v) n 1 = 1 x 1 = 85 s 1 = 4 n = 10 x = 81 s = 5 Untuk α = 10% didapat 1/F α/(v, v1) = 1/F 0,05 (9, 11) = 0,34 dan F α/(v1, ϖ) = F 0,05(11, 9) = 3,11 F = s 1 / s = (16) / (5) = 0,64 6. Kesimpulan : Karena 1/F α/(v, v1) < F < F α/(v1, v) maka Terima H 0 artinya kedua populasi mempunyai ragam yang sama. Wijaya : Statistika II (Bagian-) 18

20 Teladan 6.18 : Masa putar film yang diproduksi oleh perusahaan film adalah : Masa Putar (menit) Perusahaan I Perusahaan II Ujilah pada taraf nyata 10% apakah kedua populasi mempunyai ragam yang sama. H 0 : σ 1 = σ lawan H 1 : σ 1 σ (uji dua pihak).. Uji Statistik : F 3. Taraf Nyata α = 0,10 4. Wilayah Kritik : F < 1/F α/ (v, v1) atau F > F α/ (v1, v) n 1 = 5 x 1 = 98,4 s 1 = 76,3 n = 7 x = 110,7 s = 1035,9 Untuk α = 10% didapat 1/F α/ (v, v1) = 1/F 0,05 (6, 4) = 0, dan F α/ (v1, v) = F 0,05 (4, 6) = 4,53 F = s 1 / s = (76,73) / (1035,9) = 0, Kesimpulan : Karena 1/F α/ (v, v1) < F < F α/ (v1, v) maka Tolak H 0 artinya kedua populasi mempunyai ragam yang tidak sama. 6.7 Pengujian Kesamaan Beberapa Rata rata H 0 : μ 1 = μ = = μ n H 1 : Paling sedikit ada satu tanda = tidak berlaku Uji Statistik yang digunakan adalah : s 1 F = v 1 = n 1 1 dan v = n 1 s Wijaya : Statistika II (Bagian-) 19

21 Teladan 6.19 : Untuk data penurunan bobot badan (kg) pada 4 metode diet, ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah rata rata penurunan bobot badan keempat metode diet itu sama. Metode Diet Nomor A B C D 1 1, 1,4 0,7 1,0,0 1,5 1,6 0,9 3,1 1,0 1,6 1,4 4 1,0 1,9 1,4 1,6 5 1,7, 1,7 1,1 Jumlah 8,0 8,0 7,0 6,0 9,0 Rta rata 1,6 1,6 1,4 1, H 0 : μ 1 = μ = = μ n H 1 : Paling sedikit ada satu tanda = tidak berlaku. Uji Statistik : F 3. Taraf Nyata α = 0,05 4. Wilayah Kritik : F > F α (v1, v) a. Faktor Koreksi (FK) = (9) : 0 = 4,05 b. Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP) = (8, ,0 ) / 5 FK = 0,55 c. Jumlah Kuadrat Total (JKT) = (1, + + 1,1 ) FK = 3,35 d. Jumlah Kuadrat Galat (JKG) = JKT JKP = 3,35 0,55 =,80 e. Derajat Bebas (db) Total = n 1 = 0 1 = 19 f. Derajat Bebas (db) Perlakuan = k 1 = 4 1 = 3 g. Derajat Bebas (db) Galat = db Total db Perlakuan = 19 3 = 16 h. Kuadrat Tengah (KT) Perlakuan = JK Perlakuan : db Perlakuan i. Kuadrat Tengah (KT) Galat = JK Galat : db Galat Wijaya : Statistika II (Bagian-) 0

22 j. F = (s 1 ) / (s ) = (0,183) / (0,175) = 1,05 Daftar Sidik Ragam : No. Sumber Variasi db JK KT F F 0,05 1 Metode Diet 3 0,55 0,183 1,05 3,4 Galat 16,80 0,175 Total 19 3,35 6. Kesimpulan : Karena F < F 0,05, maka Terima H 0 artinya penurunan bobot badan pada keempat metode diet itu sama besar. 6.8 Pengujian Kesamaan Beberapa Proporsi (Data Multinom) H 0 : p 1 = p = = p n H 1 : Paling sedikit ada satu tanda = tidak berlaku (o i e i ) χ = db χ = (b 1)(k 1) e i dimana b = banyaknya baris dan k = banyaknya kolom. Untuk tabel kontingensi x, berarti db χ = (b 1)(k 1) = 1 perlu dilakukan koreksi Yate bagi kekontinyuan (karena data asal bersifat diskrit) yaitu : [ (o i e i ) 0,5 ] χ = e i Bila frekuensi harapan (e i ) antara 5 dan 10, maka koreksi Yates harus dipakai. Bila frekuensi harapan (e i ) besar, maka χ χ terkoreksi. Bila frekuensi harapan (e i ) kurang dari 5, maka dipakai Uji Pasti Fisher Irwin, oleh karena itu sebaiknya digunakan ukuran contoh yang besar. Teladan 6.0 : Data berikut menunjukkan banyaknya produk yang cacat pada 3 macam waktu kerja. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah produk yang cacat mempunyai Wijaya : Statistika II (Bagian-) 1

23 proporsi sama untuk ketiga waktu kerja tersebut. Pagi Siang Malam Jumlah Cacat Baik Jumlah H 0 : p 1 = p = = p n H 1 : Paling sedikit ada satu tanda = tidak berlaku. Uji Statistik : χ 3. Taraf Nyata α = 0,05 4. Wilayah Kritik : χ > χ α(b 1) (k 1) Untuk α = 0,05 didapat χ α(b 1) (k 1) = χ = 19,03 0,05 () Pagi Siang Malam O i E i O i E i O i E i Cacat 45 57, , ,3 170 Baik , , ,7 665 Jumlah (o i e i ) χ = e i (45 57 ) ( ) ( ,7) χ = = 6,88 (57) (893) (883,7) 6. Kesimpulan : Karena χ < χ 0,05(), maka Terima H 0 artinya proporsi produk cacat yang dihasilkan pada ketiga macam waktu kerja adalah sama. Wijaya : Statistika II (Bagian-)

24 Teladan 6.1 : Tiga penyalur mixed nut mengiklankan bahwa produknya mengandung sebanyak banyaknya 60% kacang. Bila sebuah kaleng berisi 500 mixed nut diambil secara acak dari masing masing penyalur ternyata mengandung berturut turut 345 ; 319 dan 359 kacang. Simpulkan pada taraf nyata 0,01 apakah proporsi kacang mixed nut dari ketiga penyalur tersebut sama. Penyalur I Penyalur II Penyalur III Jumlah Berkacang Tidak Jumlah H 0 : p 1 = p = = p n H 1 : Paling sedikit ada satu tanda = tidak berlaku. Uji Statistik : χ 3. Taraf Nyata α = 0,01 4. Wilayah Kritik : χ > χ α(b 1) (k 1) Untuk α = 0,01 didapat χ α(b 1) (k 1) = χ 0,01() = 9,1 Penyalur I Penyalur II Penyalur III O i E i O i E i O i E i Berkacang Tidak Jumlah ( ) ( ) ( ) χ = = 10,19 (339) (339) (161) 6. Kesimpulan : Karena χ < χ 0,01(), maka Tolak H 0 artinya proporsi kacang pada mixed nut dari ketiga penyalur berbeda. Wijaya : Statistika II (Bagian-) 3

25 Teladan 6. : Hasil penelitian untuk mengetahui proporsi ibu rumah tangga yang suka acara Sinetron TV diperoleh 9 diantara 150 ibu rumah tangga di daerah A, 48 diantara 00 di daerah B dan 35 diantara 150 di daerah C suka acara tersebut. Simpulkan pada taraf nyata 0,05 apakah tidak ada perbedaan proporsi ibu rumah tangga terhadap acara tersebut. A B C Jumlah Suka Tidak Suka Jumlah H 0 : p 1 = p = = p n H 1 : Paling sedikit ada satu tanda = tidak berlaku. Uji Statistik : χ 3. Taraf Nyata α = 0,05 4. Wilayah Kritik : χ > χ α(b 1) (k 1) Untuk α = 0,05 didapat χ α(b 1) (k 1) = χ 0,05() = 5,991 A B C O i E i O i E i O i E i Suka 9 33, , ,6 11 Tidak Suka , , ,4 388 Jumlah (9 33,69) (48 44,8 ) ( ,4) χ = = 1,181 (33,6) (44,8) (161,4) 6. Kesimpulan : Karena χ < χ 0,05(), maka Terima H 0 artinya proporsi ibu rumah tangga yang suka acara Sinetron tidak berbeda. Wijaya : Statistika II (Bagian-) 4

26 6.9 Pengujian Kesamaan Beberapa Ragam H 0 : σ 1 = σ = = σ k H 1 : Paling sedikit satu tanda = tidak berlaku. Uji dari Bartlett : Teladan 6.3 : χ = Ln 10 [ {Log s (n i 1) } { (n i 1) Log s i } ] (n i 1) s i (n i 1) s i s = = (n i 1) N k Untuk data penurunan bobot badan (kg) pada 4 metode diet. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah ragam penurunan bobot badan keempat metode diet itu sama. H 0 : σ 1 = σ. Uji Statistik : χ 3. Taraf Nyata α = 0,05 4. Wilayah Kritik : χ > χ α(n 1) = = σ k H 1 : Paling sedikit satu tanda = tidak berlaku. Untuk α = 0,05 didapat χ α(n 1) = χ 0,05(3) = 7,81 n i 1 s i Log s i (n i 1) Log s i A 1,,0,1 1,0 1,7 4 0,35 0,63,5 B 1,4 1,5 1,0 1,9, 4 0,15 0,67,67 C 0,7 1,6 1,6 1,4 1,7 4 0,165 0,78 3,13 D 1,0 0,9 1,4 1,6 1,1 4 0,085 1,07 4,8 s = 4 (0,35 + 0,15 + 0, ,085) / (16) = 0,175 χ =,3 [ ( 0,76)(16) ( 1,6) ] = 1,01 6. Kesimpulan : Karena χ < χ 0,05(3), maka Terima H 0 artinya ragam penurunan bobot badan keempat metode diet itu sama. Wijaya : Statistika II (Bagian-) 5

27 6.10 Uji Kebaikan Suai (Uji Kecocokan) Uji ini digunakan untuk mengetahui ada tidaknya kesesuaian (kecocokan) model sebaran yang diasumsikan. Misal sebuah dadu dilempar 10 kali, bila dadu itu setimbang maka secara teoritik masing masing sisi akan muncul sebanyak 0 kali. Dengan membandingkan frekuensi yang teramati dengan frekuensi harapan, kita harus memutuskan apakah ketaksuaian itu disebabkan oleh fluktuasi penarikan contoh atau karena dadunya tidak setimbang sehingga sebaran hasil percobaan tidak seragam. Uji Kebaikan Suai didasarkan pada besaran : χ k ( o i e i ) = i e i db χ = (k g 1) dimana k adalah banyaknya kategori atau kelas interval dan g adalah banyaknya parameter yang ditaksir. Kriteria pengujian adalah Tolak H 0 jika χ > χ α(k g 1). Bila frekuensi teramati (o i ) dekat dengan frekuensi harapan (e i ), maka nilai χ akan kecil, menunjukkan adanya kesuaian yang baik. Kesuaian yang baik membawa pada penerimaan H 0. Bila ada frekuensi frekuensi harapan (e i ) kurang dari 5, maka frekuensi harapan tersebut harus digabungkan, berarti db χ akan berkurang. Teladan 4.4 : Misal data berikut menunjukkan frekuensi teramati dan frekuensi harapan dari pelemparan dadu sebanyak 10 kali. Ujilah pada taraf nyata 5% apakah dadu tersebut setimbang. Sisi Dadu Teramati Harapan Wijaya : Statistika II (Bagian-) 6

28 . Uji Statistik : χ Wijaya : Statistika II (Bagian-) 7 H 0 : p 1 = p = = p n H 1 : Paling sedikit ada satu tanda = tidak berlaku. Uji Statistik : χ 3. Taraf Nyata α = 0,05 4. Wilayah Kritik : χ > χ α(k g 1) Untuk α = 0,05 dan db χ = (k g 1) = (6 0 1) = 5 didapat χ α(k g 1) = χ 0,05 (5) = 11,07 (0 0) ( 0) (4 0) χ = = 1,7 (0) (0) (0) 6. Kesimpulan : Karena nilai χ < χ 0,05 (5) maka disimpulkan untuk menerima H 0 (dadu setimbang). Teladan 6.5 : Eksperimen genetika menunjukkan bahwa semacam karakteristik diturunkan menurut perbandingan 1:3:3:9, untuk kategori A, B, C dan D. Dari 160 pengamatan terdapat 5 kategori A, 3 B, 3 C dan 100 D. Dengan taraf nyata 5%, apakah data tersebut menguatkan teori genetika? Kategori A B C D Jml Teramati Harapan H 0 : p 1 = p = = p n H 1 : Paling sedikit ada satu tanda = tidak berlaku

29 3. Taraf Nyata α = 0,05 4. Wilayah Kritik : χ > χ α (k g 1) Untuk α = 0,05 dan db χ = (k g 1) = (4 0 1) = 3 didapat χ α(k g 1) = χ 0,05 (3) = 7,81 (5 10) (3 30) (100 90) χ = = 5,18 (10) (30) (90) 6. Kesimpulan : Karena nilai χ < χ 0,05 (3) maka Terima H 0 artinya tidak ada alasan untuk tidak mempercayai teori genetika tersebut. Teladan 6.6 : Tabel berikut menunjukkan distribusi frekuensi gaji (x Rp , per minggu) dari 40 karyawan Pabrik Rotan, dengan rata rata (x) = 3,4 dan simpangan baku (s) = 0,7. Untuk menghitung frekuensi harapan (e i ) digunakan batas atas masing masing kelas ke rumus z (data kontinyu, n > 30), misalnya : z 1 = (1,45 3,41) / (0,7) =,80 jadi p(z 1 ) = 0,006 z = (1,95 3,41) / (0,7) =,09 jadi p(z ) = 0,0183 P (1,45 < x < 1,95) = P (z 1 < z < z ) = 0,0157 atau e i = 0,0157 x 40 = 0,6 Dengan cara yang sama akan didapat : Batas Kelas z 1 z P E i o i (o i e i ) / e i 1,45 1,95,80,09 0,0157 0,6 1,95,45,09 1,37 0,0670,7 10, ,900,45,95 1,37 0,66 0,1693 6,7 4,95 3,45 0,66 0,06 0,693 10,7 15 1,78 3,45 3,95 0,06 0,77 0,555 10,1 10 0,001 3,95 4,55 0,77 1,49 0,155 6,0 8, 5 8 0,005 4,45 4,95 1,49,0 0,0548, ,634 Wijaya : Statistika II (Bagian-) 8

30 χ =,634. db χ = (k g 1) = (4 1) = 1, k = 4 (asalnya 7 kelas setelah digabung jadi 4 kelas) dan g = (banyaknya parameter yang ditaksir ada yaitu rata rata dan simpangan baku). Untuk α = 0,05 nilai χ α(k g 1) = χ 0,05 (4) = 7,879. Karena nilai χ < χ 0,05 (4) maka Terima H 0 artinya sebaran normal memberikan kesuaian yang baik bagi pendapatan Uji Kebebasan Dua Peubah Untuk Tabel Kontingensi b x k ( b baris dan k kolom ) : (o i e i ) χ = db χ = (b 1)(k 1) e i Untuk tabel kontingensi x, berarti db χ = (b 1)(k 1) = 1 perlu dilakukan koreksi Yate bagi kekontinyuan (karena data asal bersifat diskrit) yaitu : [ ( o i e i ) 0,5 ] χ = e i atau dengan menggunakan rumus lain, yaitu : Baris Kolom Jumlah 1 a b a + b c d c + d Jumlah a + c b + d n n [ ( ad bc ) 0,5 n ] χ = (a+b)(a+c)(b+d)(c+d) Wijaya : Statistika II (Bagian-) 9

31 Teladan 6.7 : Data berikut menunjukkan tingkat pendidikan kepala keluarga dan banyaknya anak dari 1000 keluarga. Ujilah pada taraf nyata 5%, apakah terdapat hubungan antara tingkat pendidikan kepala keluarga dengan banyaknya anak tersebut. Banyaknya Anak Pendidikan 1 3 > 3 Jumlah O i E i O i E i Sekolah dasar 18 00, ,1 336 Sekolah menengah 13 09, ,1 351 Akademi , , (18 00,9) (110 15,8) χ = + + = 7,854 (00,9) (15,8) db χ = (b 1)(k 1) = (3 1)( 1) = jadi χ 0,05 () = 5,991. Karena nilai χ > χ 0,05() maka Tolak H 0 artinya besarnya keluarga bergantung pada tingkat pendidikan kepala keluarga (atau terdapat hubungan yang nyata antara tingkat pendidikan kepala keluarga dengan banyaknya anak). Teladan 6.8 : Contoh acak 30 orang dewasa diklasifikasikan menurut jenis kelamin dan lamanya nonton TV setiap minggu. Ujilah pada taraf nyata 1%, apakah terdapat hubungan antara lamanya nonton TV dengan jenis kelamin. Jenis Kelamin Lama Nonton TV Laki laki Perempuan Jumlah O i E i O i E i 5 jam 5 6,53 9 7,47 14 < 5 jam 9 7,47 7 8, Wijaya : Statistika II (Bagian-) 30

32 Dengan Rumus I : [(5 6,53) 0,5] [(7 8,53) 0,5] χ = + + = 0,571 (6,53) (8,53) Dengan Rumus II : 30 [ {(5x7 9x9) ½. 30] χ = = 0,575 ( 14 x 16 x 14 x 16 ) db χ = 1 jadi χ 0,01(1) = 6,635. Karena nilai χ < χ 0,01(1) maka Terima H 0, artinya lamanya nonton TV tidak bergantung pada jenis kelamin (bebas). Wijaya : Statistika II (Bagian-) 31

33 DAFTAR PUSTAKA Anto Dajan Pengantar Metode Statistika Jilid II. LP3ES. Jakarta. Jalaluddin Rakhmat Metode Penelitian Komunikasi. Remaja Rosdakarya. Bandung. J. Supranto Statistik : Teori dan Aplikasi, Jilid II. Erlangga. Jakarta. Kwanchai A. Gomez dan Arturo A. Gomez Prosedur Statistik Untuk Penelitian Pertanian. Universitas Indonesia Press. Jakarta. Robert, G. D. Steel dan James H. Torrie Prinsip dan Prosedur Statistika. Gramedia Pustaka Utama. Jakarta. Ronald E. Walpole Pengantar Statistika. Gramedia Pustaka Utama. Jakarta. Sudjana Metoda Statistika. Tarsito. Bandung. Sugiyono Statistika Untuk Penelitian. Alfabeta. Bandung Vincent Gaspersz Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Jilid I. Tarsito. Bandung. Vincent Gaspersz Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Jilid II. Tarsito. Bandung. Wijaya : Statistika II (Bagian-) 3