PEMBUKTIAN MATEMATIKA

Transkripsi

1 PEMBUKTIAN MATEMATIKA LOGIKA INFERENSIA Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom

2 Pendahuluan Kata inferensia digunakan untuk menyatakan sekumpulan premis yang diikuti dengan kesimpulan. Infrensia yang sahih (benar) dan inferensia yang tidak sahih (salah). Inferensia dikenal juga dengan argumen. Untuk menganalisa benar tidaknya suatu kumpulan proposisi.

3 Pendahuluan. Suatu inferensia dapat ditulis sebagai berikut : p p p p k n dimana p 1, p 2,, p n adalah premis dan k adalah kesimpulan. p p p p k n

4 Pendahuluan. Untuk memeriksa kesahihan suatu inferensia, perhatikan definisi implikasi logik berikut : Definisi 3.1 (Implikasi logik) Proposisi q dikatakan implikasi logik dari proposisi p jika dan hanya jika proposisi bersyarat p q merupakan suatu tautologi.

5 Pendahuluan. Inferensia dikatakan sahih jika implikasinya merupakan implikasi logik atau tautologi. Bila ternyata bahwa inferensianya bukan tautologi maka dikatakan tidak sahih. Pemeriksaan kesahihan suatu inferensia dapat menggunakan tabel kebenaran atau dalil kesetaraan.

6 Pendahuluan. Contoh 1 Periksalah kesahihan inferensia berikut. [ p ( p q)] q Jawab Untuk memeriksa kesahihan inferensia ini akan ditunjukkan apakah implikasinya tautologi atau tidak.

7 Pendahuluan. Dengan tabel kebenaran : p q p q p ( p q) [ p ( p q)] q

8 Pendahuluan. Dengan dalil kesetaraan : [ p ( p q)] q = - [ p ( p q)] q = [- p - ( p q)] q = [- p - ( -p q)] q = [- p (p -q)] q = [(- p p) (- p -q)] q = [1 (- p -q)] q = (- p -q) q = - p (-q q) = - p 1 = 1

9 Pendahuluan. Untuk suatu inferensia dengan premis yang lebih kompleks, digunakan beberapa aturan yang menyederhanakan dalam pembuktiannya. Aturan-aturan itu adalah : Modus Ponens Modus Tollens, Kaidah Silogisme Reductio ad absurdum.

10 Metode Inferensia Aturan 1 (Modus Ponens) Jika proposisi p benar dan proposisi p q juga benar, maka proposisi q benar. Modus ponens dapat ditulis : p p q q [ p ( p q)] q Modus Ponens adalah suatu inferensia yang sahih (bukti pada contoh 1).

11 Aturan 2 (Modus Tollens) Jika proposisi -q benar dan proposisi p q juga benar, maka proposisi -p benar. Modus ponens dapat ditulis : -q p q -p

12 Bukti : [ -q ( p q)] -p = - [-q ( p q)] -p = [ q - ( p q)] -p = [q - ( -p q)] -p = [q (p -q)] -p = [(q p) (q -q)] -p = [(q p) 1] -p = (q p) -p = q (-q -p) = q 1 = 1

13 Jika p q diganti dengan kontrapositifnya -q -p maka diperoleh bentuk seperti modus ponens. -q -q -p -p Modus ponens p p q q

14 Aturan 3 (Kaidah Silogisme atau Aturan Transitif) Jika dua implikasi p q dan q r adalah benar, maka p r juga benar. Kaidah silogisme dapat ditulis : p q q r p r

15 Untuk inferensia dengan premis lebih dari dua bentuk implikasi juga berlaku. a 1 a 2 a 2 a 3 a n-1 a n a 1 a n

16 Aturan 4 (Reductio ad absurdum) p (q -q) -p Bukti : [p (q -q)] -p = (p 0) -p = (-p 0) -p = -p -p = p -p = 1

17 Aturan ini adalah cara lain dari metode pembuktian tak langsung bagi suatu proposisi. Secara umum langkah-langkahnya : susun proposisi yang akan dibuktikan (-p) tentukan negasi proposisi tersebut (p) lakukan analisa terhadap proposisi negasi (p). Jika dihasilkan proposisi yang saling kontradiksi (q -q), maka terbuktilah kebenaran proposisi tersebut (-p).

18 Selain 4 aturan tersebut, terdapat aturan lain yang diperoleh berdasarkan implikasi logis yang biasa digunakan : Adisi p Simplifikasi p (Buktikan!!) p q p q

19 Contoh 2 Periksa kesahihan inferensia berikut : [(-p q) (q r) ( p s) -r] s Jawab p 1 p 2 p 3 p 4 : -r k : s : -p q p q : q r : p s -p s

20 p 1 : p q p 2 : q r k 1 : p r (kaidah silogisme) p 4 : -r k 2 : -p (modus tollens) p 3 : -p s k 3 : s (modus ponens)

21 Latihan 1 Perhatikan argumen berikut : Jika bahan baku kedelai berasal dari Indonesia atau AS, maka tempe yang diproduksi pasti bermutu baik. Jika tempe yang diproduksi bermutu baik, maka tempe tersebut pasti laku dipasaran. Oleh karena itu, jika tempe yang diproduksi tidak laku, maka bahan baku kedelai yang digunakan bukan berasal dari AS. Benarkah kesimpulan (argumen) ini?

22 Jawaban (latihan 1) Proposisi pembentuk : p : bahan baku kedelai berasal dari Indonesia q : bahan baku kedelai berasal dari AS r : tempe yang diproduksi bermutu baik s : tempe laku dipasaran Argumennya : p 1 : p q r p 2 : r s k : -s -q

23 Jawaban (latihan 1) Proposisi pembentuk : p : bahan baku kedelai berasal dari Indonesia q : bahan baku kedelai berasal dari AS r : tempe yang diproduksi bermutu baik s : tempe laku dipasaran Argumennya : p 1 : p q r p 2 : r s k : -s -q

24 p 1 : (p q) r q (q p) = q (p q) (adisi + komutatif) k 1 : q r (silogisme) p 2 : r s k 2 : q s = -s -q (silogisme + kontrapositif) terbukti benar (sah)

25 Latihan 2 Perhatikan argumen berikut : Jika saya belajar maka saya tidakakan gagal dalam ujian Logika Matematika. Jika saya tidak jalan-jalan ke Mall maka saya akan belajar. Ternyata saya gagal dalam ujian Logika Matematika. Oleh karena itu saya telah jalanjalan ke Mall. Benarkah kesimpulan (argumen) ini?