5. Peluang Diskrit. Pengantar
|
|
- Ade Setiawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 5. Peluang Diskrit Pengantar Semua yang telah dipelajari di dalam teori pencacahan (counting) akan menjadi dasar dalam perhitungan peluang terjadinya suatu peristiwa. Dalam pembahasan berikut, istilah percobaan dipakai untuk menyatakan prosedur yang menghasilkan satu dari sekumpulan kejadian yang mungkin. Himpunan kejadian yang mungkin ini disebut sebagai ruang sampel (sample space) dari percobaan. Suatu peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel ini. Jika semua peristiwa di ruang sampel memiliki kemungkinan yang sama untuk terjadi, maka berlakulah definisi berikut. Definisi. Besarnya peluang suatu peristiwa E terjadi, yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S dimana setiap peristiwa didalamnya memiliki peluang yang sama untuk terjadi diberikan oleh p(e) = E / S. Dalam definsisi ini, baik E maupun S adalah himpunan, dengan demikian tanda melambangkan kardinalitas atau banyaknya anggota dari himpunan. Nilai peluang mempunyai rentang dari 0 (berkaitan dengan peristiwa yang tidak pernah terjadi) sampai dengan 1 (untuk peristiwa yang selalu terjadi). Contoh 4.1: Sebuah kotak berisi empat bola biru dan lima bola merah. Berapakah peluang sebuah bola berwarna biru terpilih jika diambil sebarang bola dari kotak tersebut? Jawaban: Ada sembilan kemungkinan hasil yang muncul, dan empat diantaranya adalah peristiwa bola biru terpilih. Maka, peluang peristiwa ini adalah 4/9 atau sekitar 44.44%. Contoh 4.2: Berapakah peluang seseorang memenangkan undian 6/49, yaitu pengambilan 6 bilangan (tanpa menghiraukan urutannya) dari kumpulan 49 bilangan secara benar. Jawaban: Sesuai pelajaran mengenai kombinasi pada bab terdahulu, maka akan terdapat C(49,6) kemungkinan hasil yang muncul. Hanya satu dari hasil ini yang dapat memenangkan undian. Dengan demikian, besarnya peluang adalah 5. Peluang Diskrit - 1
2 p(e) = 1/C(49, 6) = 1/ Peristiwa Komplementer Misalkan E peristiwa dalam ruang sampel S. Peluang dari peristiwa E, atau peristiwa komplementer, diberikan oleh ( ) = 1 p( E) p E Hal ini dapat ditunjukkan dengan cara: S E E ( ) = = 1 = 1 p( E ) p E S S Kaidah ini berguna jika penentuan peluang peristiwa komplementer lebih mudah dari peristiwa itu sendiri. Contoh 4.3: Deretan 10 bit dibangkitkan secara acak. Berapakah peluang satu diantaranya adalah bit nol? Jawaban: Terdapat 2 10 = 1024 kemungkinan membangkitkan deretan 10 bit. Peristiwa komplementer E menyatakan tidak ada satupun bit nol, hanya terjadi sekali yaitu pada deretan Maka: p( E ) = 1/1024. Sekarang p(e) dapat dihitung dengan mudah, yaitu p(e) = 1 p( E ) = 1 1/1024 = 1023/1024. Contoh 4.4: Berapakah nilai peluang bahwa sedikitnya dua dari 36 orang memiliki hari ulang tahun (yakni, dilahirkan pada tanggal dan bulan) yang sama? 5. Peluang Diskrit - 2
3 Jawaban: Ruang sampel S berisikan semua kemungkinan hari ulang tahun ke 36 orang tersebut, jadi S = Tinjau peristiwa komplementer E ( tidak ada dua dari 36 orang itu yang memiliki hari ulang tahun yang sama ). Maka, E akan mengandung sejumlah C(365,36) kejadian: p( E ) = C(365, 36)/36536 = Sehingga p(e) = or 83.2% Misalkan E 1 dan E 2 dua peristiwa yang terjadil didalam ruang sampel S. Maka: p(e 1 E 2 ) = p(e 1 ) + p(e 2 ) - p(e 1 E 2 ) Ini mengingatkan kita pada topik yang sudah kita pelajari terdahulu, yakni prinsip inklusieksklusi. Teori Peluang Diskrit Contoh 4.5: Berapakah peluang suatu bilangan positif terpilih secara acak dari sekumpulan bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 100 dan dapat dibagi 2 atau 5 tetapi tidak sekaligus keduanya? Jawaban: E 2 : bilangan bulat yang dapat dibagi 2, dan E 5 : bilangan bulat yang dapat dibagi 5. Dengan demikian E 2 = {2, 4, 6,, 100} E 2 = 50, dan didapatkan p(e 2 ) = 0.5. E 5 = {5, 10, 15,, 100} E 5 = 20 dan diperoleh p(e 5 ) = 0.2 E 2 E 5 = {10, 20, 30,, 100} E 2 E 5 = 10, dan p(e 2 E 5 ) = 0.1. Maka p(e 2 E 5 ) = p(e 2 ) + p(e 5 ) p(e 2 E 5 ) p(e 2 E 5 ) = = Peluang Diskrit - 3
4 Apa yang terjadi seandainya hasil dari percobaan tidak berpeluang sama? Dalam kasus tersebut kita hitung peluang p(s) untuk setiap hasil s S, dimana S ruang sampel. Dua kondisi harus dipenuhi: (1): 0 p(s) 1 untuk setiap s S, dan (2): p( s) = 1 s S Ini berarti, seperti yang telah kita ketahui, bahwa (1) setiap peluang harus bernilai antara 0 dan 1, dan (2) jumlah seluruh probabilitas sama dengan 1, karena satu dari hasil dijamin akan muncul. Peluang p(s) dari hasil s sama dengan limit banyaknya muncul s dibagi dengan banyaknya percobaan dilakukan. Sekali kita tahu peluang p(s), kita dapat menghitung peluang peristiwa E, yakni ( ) = p( s ) p E s E Contoh 4.6: Suatu dadu bersifat bias sehingga angka 3 muncul dua kali lebih sering dibandingkan angka lainnya. Berapakah nilai peluang dari masing-masing mata dadu? Jawaban: Ada 6 kemungkinan hasil s 1,, s 6 p(s 1 ) = p(s 2 ) = p(s 4 ) = p(s 5 ) = p(s 6 ) p(s 3 ) = 2p(s 1 ) Karena jumlah seluruh peluang harus bernilai 1, maka: 5 p(s 1 ) + 2 p(s 1 ) = 1 7 p(s 1 ) = 1 p(s 1 ) = p(s 2 ) = p(s 4 ) = p(s 5 ) = p(s 6 ) = 1/7, dan p(s 3 ) = 2/7 Contoh 4.7: Berapakah peluang munculnya angka ganjil dari pelemparan dadu bias pada Contoh 4.6? 5. Peluang Diskrit - 4
5 Jawaban: E ganjil = {s 1, s 3, s 5 }. Dengan mengingat rumus p ( E) = p( s) E ganjil = p ( E) p( ) = s = p(s 1 ) + p(s 3 ) + p(s 5 ) s E ganjil p(e ganjil ) = 1/7 + 2/7 + 1/7 = 4/7 = 57.14% s E, maka Peluang Bersyarat Suatu uang logam memiliki dua sisi (muka), sebut sebagai sisi depan (H) dan sisi belakang (T). Jika uang logam tsb dilempar tiga kali, berapakah peluang munculnya T dalam jumlah ganjil (peristiwa E), jika diketahui bahwa lemparan pertama menghasilkan T (peristiwa F)? Jika lemparan pertama menghasilkan T, maka deretan yang mungkin muncul adalah TTT, TTH, THT, and THH. Dua diantara empat kasus memiliki T ganjil. Maka, peluang E, dengan syarat bahwa F muncul adalah is 0.5. Kita menyebut hal yang demikian ini sebagai peluang bersyarat. Untuk menghitung peluang bersyarat E jika diberikan F, kita pakai F sebagai ruang sampel. Peristiwa munculnya E dengan syarat F juga muncul harus berada didalam E F. Definisi. Misalkan E dan F peristiwa dimana p(f) > 0. Peluang bersyarat dari E jika diberikan F, ditulis sebagai p(e F), didefinisikan sebagai p(e F) = p(e F)/p(F) Contoh 4.7: Berapakah peluang bit string acak dengan panjang empat mengandung sedikitnya dua nol berurutan, jika bit pertamanya nol? Jawaban: E: bit string dengan sedikitnya dua nol berurutan, sedangkan F: bit pertama dari string adalah 0 Kita tahu rumus p (E F) = p (E F)/ p (F). Karena E F= {0000, 0001, 0010, 0011, 0100} maka p(e F) = 5/16, sedangkan p(f) = 8/16 = ½. Dengan demikian p(e F) = (5/16)/(1/2) = 10/16 = 5/8 = Peluang Diskrit - 5
6 Peristiwa Yang Saling Bebas Tinjau kembali percobaan pelantunan uang logam tiga kali. Apakah peluang peristiwa E (jumlah T ganjil) bergantung pada munculnya peristiwa F (lemparan pertama T)? Dengan kata lain, apakah berlaku p(e F) p(e)? Sesungguhnya kita dapatkan p(e F) = 0.5 dan p(e)=0.5. Dikatakan bahwa E dan F adalah peristiwa yang saling bebas (independent events). Karena definisi peluang bersyarat p(e F) = p(e F)/p(F), maka p(e F) = p(e) jika dan hanya jika p(e F) = p(e)p(f). Hal ini dinyatakan kedalam definisi peristiwa yang saling bebas sebagai berikut. Definisi. Peristiwa E dan F disebut saling bebas jika dan hanya jika p(e F) = p(e)p(f). Jelas bahwa definisi ini bersifat setangkup (symmetrical) untuk peristiwa E dan peristiwa F. Jika p(e F)= p(e)p(f), maka p(f E) = p(f) juga berlaku. Contoh 4.8: Andaikan E adalah peristiwa bahwa bit string yang dibangkitkan dengan panjang 4 akan berawal dengan bit 1, sedangkan F adalah peristiwa bahwa bit string yang dibangkitkan mengandung bit 0 dengan jumlah genap (termasuk nol). Apakah E dan F saling bebas? Jawab: Jelas (seperti pada contoh terdahulu), bahwa p(e) = p(f) = 0.5. E F = {1111, 1001, 1010, 1100} p(e F) = 0.25 p(e F) = p(e)p(f) Kesimpulan: E dan F adalah pristiwa-peristiwa yang saling bebas. Percobaan Bernoulli Andaikan dilakukan suatu percobaan dengan dua kemungkinan hasil, misalnya pelantunan suatu uang logam. Percobaan yang demikian disebut juga dengan percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Keluaran dari percobaan Bernoulli disebut sebagai: 5. Peluang Diskrit - 6
7 berhasil (success) atau gagal (failure). Jika p adalah peluang berhasil, sedangkan q adalah peluang gagal, maka p + q = 1. Seringkali kita berkepentingan untuk menghitung peluang keberhasilan tepat k kali untuk percobaan yang terdiri dari n buah percobaan Bernoulli yang saling bebas. Contoh 4.9: Suatu uang logam bersifat bias, sehingga bagian muka (H) memiliki peluang 2/3. Jika uang tsb dilempar tujuh kali, berapa peluang munculnya bagian muka tepat empat kali? Jawab: Banyaknya hasil yang mungkin adalah 2 7 = 128. Munculnya H empat kali dari tujuh kali percobaan adalah C(7,4). Ketujuh buah percobaan bersifat saling bebas, sehingga masing-masing keluaran memiliki peluang = (2/3) 4 (1/3) 3. Dengan demikian, peluang tepat empat kali H muncul adalah C(7, 4)(2/3) 4 (1/3) 3 = 560/2187 = 25.61% Teorema. Peluang k kali keberhasilan dalam n kali percobaan Bernoulli yang saling bebas, dengan peluang berhasil p dan peluang gagal q=1-p adalah (, ) k n k C n k p q. Besarnya peluang ini dituliskan sebagai b(k;n,p) Karena b(k;n,p) bisa dianggap sebagai fungsi dari k, kita menyebut b sebagai (fungsi) distribusi binomial. Perhatikan ilustrasi berikut ini. Illustrasi: Misalkan keberhasilan suatu percobaan dilambangkan dengan S dan kegagalan dengan F. Seperti dijelaskan terdahulu, peluang keberhasilan adalah p sedangkan peluang gagal adalah q = 1-p. Berapakah peluang dua keberhasilan dalam lima kali percobaan Bernoulli yang saling bebas? Salah kemungkinan hasil percobaan adalah SSFFF. Berapakah peluang munculnya deretan semacam ini (dng urutan yg berbeda)? Deretan: S S F F F Peluang: p p q q q = p 2 q 3, dan bisa jadi muncul deretan lain Deretan: F S F S F Peluang: q p q p q = p 2 q 3 5. Peluang Diskrit - 7
8 Setiap deretan dengan dua keberhasilan dalam empat percobaan muncul dengan peluang p 2 q 3. Ada berapa banyak kemungkinan deretan tsb? Dengan kata lain, untuk mengambil dua dari lima buah objek, ada berapa banyak cara? Kita tahu ada C(5,2)=10 cara untuk melakukannya, jadi ada 10 kemungkinan deretan yang masing-masing akan muncul dengan peluang p 2 q 3. Oleh karena itu, peluang munculnya sebarang deretan demikian ketika suatu percobaan Bernoulli dilakukan adalah C(5,2) p 2 q 3. Pada umumnya, peluang untuk k keberhasilan dalam n kali percobaan Bernoulli adalah (, ) k n k C n k p q. Peubah Acak Dalam beberapa jenis percobaan, kita ingin memberikan nilai numerik untuk setiap hasil yang mungkin muncul untuk kepentingan analisa matematika dari percobaan. Untuk inilah diperkenalkan peubah acak. Definisi. Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang sampel suatu percobaan ke himpunan bilangan riil. Jadi, suatu peubah acak memberikan nilai bilangan riil ke setiap hasil yang mungkin. Catatan: peubah acak adalah suatu fungsi, bukan peubah, dan juga tidak acak, melainkan memetakan hasil acak suatu percobaan ke bilangan riil dengan cara yang terdefinisi secara jelas. Contoh 4.10: Misalkan X adalah hasil dari permainan batu-kertas-gunting (rock-paperscissors). Aturan mainnya adalah : batu > gunting, batu < kertas, kertas > batu, kertas<gunting gunting>kertas, gunting<batu Jika pemain A memilih lambang a dan pemain B memilih lambang b, maka X(a,b) = 1, jika pemain A menang, = 0, jika A dan B memilih lambang yg sama, = -1, jika pemain B menang. 5. Peluang Diskrit - 8
9 Dengan demikian: X(batu, batu) = 0 X(batu, kertas) = -1 X(batu, gunting) = 1 X(kertas,batu) = 1 X(kertas,kertas) = 0 X(kertas,gunting) = -1 X(gunting, batu) = -1 X(gunting,kertas) = 1 X(gunting,gunting) = 0 Nilai Harap Setelah peubah acak didefinisikan, kita bisa menganalisa hasil percobaaan secara statistik. Contohnya, kita dapat mengajukan pertanyaan berikut: Berapakah nilai rata-rata (disebut sebagai nilai harap/ expectation) jika suatu percobaan dilakukan sangat sering? Dapatkah kita menghitung rata-rata aritmetik terhadap semua harga peubah acak yang mungkin? Ini tidak bisa dilakukan karena mungkin ada suatu hasil percobaan yang lebih sering muncul dibandingkan dengan yang lain. Misalnya, anggap bahwa hasil yang mungkin dari suatu percobaan adalah 1 dan 2 dengan peluang masing-masing 0.1 dan 0.9. Apakah nilai rataratanya 1.5? Tentu tidak demikian karena 2 lebih sering muncul dibandingkan 1, peluangnya harus lebih besar daripada 1.5. Melainkan, kita harus menghitung jumlah terboboti dari semua kejadian (hasil) yang mungkin, yaitu, setiap nilai dari peubah acak harus dikalikan dengan peluangnya sebelum dijumlahkan. Dalam contoh tersebut, nilai rata-rata diberikan oleh: = = 1.9. Definisi. Nilai harap (nilai ekspektas) dari peubah acak X(s) dalam ruang sampel S sama dengan E( x) p( s) X ( s) =. s S Contoh 4.11: Misalkan X peubah acak yang sama dengan jumlahan dari dua mata dadu yang dilemparkan. Ada 36 kemungkinan hasil (= jumlah pasangan bilangan dari 1 ke 6). Jangkauan dari X adalah {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Apakah ke 36 hasil ini sama mungkinnya? Ya, jika dadu tidak bias. Apakah ke 11 harga X ini sama mungkinnya? Tidak, peluangnya bervariasi di setiap harga X. 5. Peluang Diskrit - 9
10 p(x=2) = 1/36, p(x=3) = 2/36 = 1/18 p(x=4 = 3/36=1/12, p(x=5) = 4/36 = 1/9 p(x=6) = 5/36, p(x=7) = 6/36 = 1/6 p(x=8) = 5/36, p(x=9) = 4/36 = 1/9 p(x=10) = 3/36=1/12, p(x=11) = 2/36 = 1/18 p(x=12) = 1/ E(X) = 2 (1/36) + 3 (1/18) + 4 (1/12) + 5 (1/9) + 6 (5/36) + 7 (1/6) + 8 (5/36) + 9 (1/9) + E(X) = 7 10 (1/12) + 11 (1/18) + 12 (1/36) Hal ini berarti bahwa, jika kita melempar kedua dadu itu berkali-kali, lalu bilangan yang muncul dijumlahkan dan kemudian hasil keseluruhan dibagi dengan banyaknya percobaan, kita bisa berharap akan memperoleh angka 7. Teorema. Jika X dan Y adalah peubah acak pada ruang sampel S, maka E(X+Y) = E(X) + E(Y). Selanjutnya, jika X i, i = 1, 2,, n dengan n bilangan bulat positif, adalah peubah acak pada S, maka E(X 1 + X X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) + + E(X n ). Lebih lanjut lagi, jika a dan b adalah bilangan riil, maka E(aX + b) = ae(x) + b. Dengan adanya teorema ini kita bisa memecahkan soal terdahulu dengan lebih mudah. Misalkan X 1 dan X 2 angka yang muncul pada dadu pertama dan kedua. Untuk masing-masing dadu, ke enam angka muncul dengan peluang yang sama. Maka E(X 1 ) = E(X 2 ) = ( )/6 = 7/2. Kita tahu E(X 1 + X 2 ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) = 7. Nilai harap dapat dipakai untuk menghitung kompleksitas kasus-rata-rata (average-case complexity) dari suatu algoritma. Andaikan ruang sampel berupa himpunan semua masukan yang mungkin a 1, a 2,, a n, dan peubah acak X memberikan banyaknya operasi yang dijalankan oleh algoritma itu untuk setiap masukan a j. Kompleksitas kasus-rata-rata dari n algoritma tsb adalah E ( X) p( aj) X ( aj) =. j= 1 5. Peluang Diskrit - 10
11 Namun demikian, untuk melakukan analisa kasus-rata-rata, perlu diketahui: banyaknya langkah yang dijalankan algoritma tsb untuk setiap (!) masukan yang mungkin, dan peluang munculnya masukan itu. Pekerjaan ini terlalu rumit untuk kebanyakan algoritma, jadi kita hanya akan meninjau analisa kasus-terburuk. Peubah Acak yang Saling Bebas Definisi. Peubah acak X dan Y pada ruang sampel S disebut saling bebas jika p(x(s)= r 1 Y(s)= r 2 ) = p(x(s) = r 1 ) p(y(s)=r 2 ). Dengan kata lain, X dan Y saling bebas jika peluang X(s) = r 1 Y(s)=r 2 sama dengan perkalian antara peluang X(s) = r 1 dan peluang Y(s) = r 2 untuk semua bilangan riil r 1 dan r 2. Contoh 4.12: Apakah peubah acak X 1 dan X 2 dari sepasang dadu pada contoh sebelumnya bersifat saling bebas? Jawab: p(x 1 = i) = 1/6 p(x 2 = j) = 1/6 p(x 1 = i X 2 = j) = 1/36 Karena p(x 1 = i X 2 = j) = p(x 1 = i) p(x 2 = j),maka peubah acak X 1 dan X 2 saling bebas. Teorema. Jika X dan Y peubah acak yang saling bebas pada ruang sampel S, maka E(XY) = E(X)E(Y). Catatan: E(X +Y) = E(X) + E(Y) untuk sebarang X dan Y tetapi E(XY) = E(X)E(Y) hanya berlaku untuk X dan Y yang saling bebas. Mengapa? Contoh berikut menjelaskan hal ini. Contoh: Misalkan X dan Y peubah acak pada ruang sampel dan masing-masing berharga 1 dan 3 dengan peluang yang sama. Maka E(X) = E(Y) = 2 Jika X dan Y saling bebas, maka: E(X +Y) = 1/4 (1 + 1) + 1/4 (1 + 3) +1/4 (3 + 1) + 1/4 (3 + 3) 5. Peluang Diskrit - 11
12 = 4 = E(X) + E(Y) E(XY)= 1/4 (1 1) + 1/4 (1 3) + 1/4 (3 1) + 1/4 (3 3) = 4 = E(X) E(Y) Sekarang kita asumsikan X dan Y berkorelasi sedemikian hingga Y=1 jika X=1 dan Y=3 jika X=3. E(X + Y) = 1/2 (1 + 1) + 1/2 (3 + 3) = 4 = E(X) + E(Y) E(XY) = 1/2 (1 1) + 1/2 (3 3) = 5 E(X) E(Y) Variansi Nilai harap dari peubah acak adalah parameter penting untuk menggambarkan suatu distribusi acak. Meski demikian, nilai harap tidak menyebutkan lebar disribusi tersebut. Hal ini digambarkan oleh variansi dari distribusi acak. Definisi. Misalkan X peubah acak pada ruang sampel S. Variansi X, dituliskan sebagai V(X) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) adalah V X = X s E X p s. s S Simpangan baku (standard deviation) dari X, dituliskan sebagai σ(x), adalah akar kuadrat dari V(X). Beberapa aturan yang perlu diingat: o Jika X peubah acak pada ruang sampel S, maka V(X) = E(X 2 ) E(X) 2. o Jika X dan Y dua peubah acak pada ruang sampel S, maka V(X+Y)=V(X)+V(Y). o Terlebih lagi, jika X i, i = 1, 2,, n, dengan n bilagan bulat positif, adalah peubah acak saling bebas pada S, maka V(X 1 + X X n ) = V(X 1 ) + V(X 2 ) + + V(X n ) 5. Peluang Diskrit - 12
CHAPTER 7 DISCRETE PROBABILITY
CHAPTER 7 DISCRETE PROBABILITY 1 7.1 AN INTRODUCTION TO DISCRETE PROBABILITY 2 Sejarah 1526: Cardano menulis Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance). Abad 17: Pascal menentukan kemungkinan untuk
Lebih terperinciPierre-Simon Laplace. Born 23 March 1749 Beaumont-en-Auge, Normandy, France Died 5 March 1827 (aged 77) Paris, France Mempelajari peluang dalam judi
Blaise Pascal Born June 19, 1623 Clermont-Ferrand, France Died August 19, 1662 (aged 39) Paris, France Memenangkan taruhan tentang hasil tos dua dadu yang dilakukan berulang-ulang Pierre-Simon Laplace
Lebih terperinciTeori Peluang Diskrit
Teori Peluang Diskrit Peluang Diskrit Apa yang terjadi jika keluaran dari suatu eksperimen tidak memiliki peluang yang sama? Dalam kasus ini, peluang p(s) dipadankan dengan setiap keluaran s S, di mana
Lebih terperinciSTK 511 Analisis statistika. Materi 3 Sebaran Peubah Acak
STK 511 Analisis statistika Materi 3 Sebaran Peubah Acak 1 Konsep Peluang 2 Peluang Peluang dapat diartikan sebagai ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian Untuk memahami peluang diperlukan pemahaman
Lebih terperinciHarapan Matematik (Teori Ekspektasi)
(Teori Ekspektasi) PROBABILITAS DAN STATISTIKA Semester Genap 2014/2015 LUTFI FANANI lutfi.class@gmail.com Sifat Definisi Harapan matematik atau nilai ekspektasi adalah satu konsep yang penting di dalam
Lebih terperinciSTK 211 Metode statistika. Materi 4 Peubah Acak dan Sebaran Peluang
STK 211 Metode statistika Materi 4 Peubah Acak dan Sebaran Peluang 1 Pendahuluan Soal ujian masuk PT diselenggarakan dengan sistem pilihan berganda. Jika jawaban benar diberi nilai 4, salah dikurangi 1
Lebih terperinciSTATISTIK PERTEMUAN V
STATISTIK PERTEMUAN V Variabel Random/ Acak variabel yg nilai-nilainya ditentukan oleh kesempatan/ variabel yang bernilai numerik yg didefinisikan dlm suatu ruang sampel 1. Variabel Random diskrit Variabel
Lebih terperinciBAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 3. HARAPAN MATEMATIK
Pertemuan 5. BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang. Rataan peubah acak. HARAPAN MATEMATIK Misalkan dua mata uang setangkup dilantun, peubah acak X menyatakan banyaknya
Lebih terperinciHarapan Matematik. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB
Harapan Matematik Bahan Kuliah II09 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB 1 Definisi Harapan Matematik Satu konsep yang penting di dalam teori peluang
Lebih terperinci4. Pencacahan. Pengantar. Aturan penjumlahan (sum rule) Aturan penjumlahan Yang Diperumum. Aturan Perkalian (Product Rule)
4. Pencacahan Pengantar Pencacahan (counting) adalah bagian dari matematika kombinatorial. Matematika kombinatorial berkaitan dengan pengaturan sekumpulan objek. Pencacahan berusaha menjawab pertanyaan-pertanyaan
Lebih terperinciPERMUTASI, KOMBINASI DAN PELUANG. Kaidah pencacahan membantu dalam memecahkan masalah untuk menghitung
PERMUTASI, KOMBINASI DAN PELUANG A. KAIDAH PENCACAHAN Kaidah pencacahan membantu dalam memecahkan masalah untuk menghitung berapa banyaknya cara yang mungkjin terjadi dalam suatu percobaan. Kaidah pencacahan
Lebih terperinciPEUBAH ACAK. Materi 4 - STK211 Metode Statistika. October 2, Okt, Department of Statistics, IPB. Dr. Agus Mohamad Soleh
PEUBAH ACAK Materi 4 - STK211 Metode Statistika October 2, 2017 Okt, 2017 1 Pendahuluan Pernahkah bertanya, mengapa dalam soal ujian penerimaan mahasiswa baru, jika jawaban benar diberi nilai 4, salah
Lebih terperinciBAB 3 Teori Probabilitas
BAB 3 Teori Probabilitas A. HIMPUNAN a. Penulisan Hipunan Cara Pendaftaran Cara Pencirian 1) A = {a,i,u,e,o} 1) A = {X: x huruf vokal } 2) B = {1,2,3,4,5} menghasilkan data diskrit 2) B = {X: 1 x 2} menghasilkan
Lebih terperinciBAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 3. HARAPAN MATEMATIK
Pertemuan 5. BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang. Rataan peubah acak. HARAPAN MATEMATIK Misalkan dua mata uang setangkup dilantun, peubah acak X menyatakan banyaknya
Lebih terperinciSTATISTIKA EKONOMI I Chapter 4 Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial Chapter 5 Teori Sampling
STATISTIKA EKONOMI I Chapter 4 Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial Chapter 5 Teori Sampling Rengganis Banitya Rachmat rengganis.rachmat@gmail.com 4. Distribusi Probabilitas Normal dan Binomial
Lebih terperinci28/09/2012 SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS. ω Ω
SAMPLE SPACE, SAMPLE POINTS, EVENTS Sample space,ω, Ω adalah sekumpulan semua sample points,ω, ω yang mungkin; dimana ω Ω Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:ω={gambar,angka} Contoh 2. Menggelindingkan
Lebih terperinciBAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 3. HARAPAN MATEMATIK
Pertemuan 6. BAHAN AJAR STATISTIKA DASAR Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang. Variansi dan kovariansi. HARAPAN MATEMATIK Keragaman suatu peubah acak X diperoleh dengan mengambil g(x) = (X µ). Rataan
Lebih terperinciCHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION
CHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION 5.1 MATHEMATICAL INDUCTION Jumlah n Bilangan Ganjil Positif 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Tebakan: Jumlah dari n bilangan ganjil
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinci1. Konsep Peluang. EL2002-Probabilitas dan Statistik Dosen: Andriyan
1. Konsep Peluang EL2002-Probabilitas dan Statistik Dosen: Andriyan Isi 1. Ruang Cuplikan (Sample Space) 2. Kejadian (Events) 3. Operasi Terhadap Kejadian 4. Pencacahan Titik Cuplikan 5. Peluang Kejadian
Lebih terperincimatematika DISTRIBUSI VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI BINOMIAL K e l a s A. Penarikan Sampel dari Suatu Populasi Kurikulum 2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 20 matematika K e l a s XI DISTRIBUSI VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI BINOMIAL Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami perbedaan
Lebih terperinciPertemuan 2. Hukum Probabilitas
Pertemuan 2 Hukum Probabilitas Perumusan Probabilitas Kejadian Majemuk S S A B A B Maka banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah : n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) Kejadian majemuk adalah gabungan atau
Lebih terperinciCHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION
CHAPTER 5 INDUCTION AND RECURSION 5.1 MATHEMATICAL INDUCTION Jumlah n Bilangan Ganjil Positif 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Tebakan: Jumlah dari n bilangan ganjil
Lebih terperinciSTK511 Analisis Statistika. Pertemuan 3 Sebaran Peluang Peubah Acak
STK511 Analisis Statistika Pertemuan 3 Sebaran Peluang Peubah Acak Beberapa Konsep Dasar Percobaan statistika: kegiatan yang hasil akhir keluarannya tidak diketahui di awal, tetapi kemungkinan-kemungkinannya
Lebih terperinciRENCANA MUTU PEMBELAJARAN. I. Standar Kompetensi : Menyelesaikan masalah probabilitas baik secara teoritik maupun aplikasinya dalam kehidupan.
RENCANA MUTU PEMBELAJARAN Nama Dosen : N. Setyaningsih, MSi. Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : 306203 Nama Mata Kuliah : Probabilitas Jumlah sks : 3 sks Semester : III Alokasi Waktu
Lebih terperinciKONSEP DASAR PROBABILITAS
KONSEP DASAR PROBABILITAS PENDAHULUAN Tanpa kita sadari kehidupan kita sehari-hari selalu berhubungan dengan matematika, khususnya peluang. Misalnya dalam pemilihan umum terdapat 5 orang calon presiden,
Lebih terperinciBab 9. Peluang Diskrit
Bab 9. Peluang Diskrit Topik Definisi Peluang Diskrit Sifat Peluang Diskrit Probabilitas terbatas Konsep Teori Himpunan pada Peluang Diskrit Probabilitas Kejadian Majemuk A B dan A B DuaKejadianSalingLepas
Lebih terperinciPELUANG DAN PEUBAH ACAK
PELUANG DAN PEUBAH ACAK Materi 3 - STK511 Analisis Statistika October 3, 2017 Okt, 2017 1 Konsep Peluang 2 Pendahuluan Kejadian di dunia: pasti (deterministik) atau tidak pasti (probabilistik) Contoh kejadian
Lebih terperinciPerumusan Probabilitas Kejadian Majemuk S S A B A B Maka banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah : n(a n(a B) = n(a) + n(b) n(a n(a B) Kejadia
HUKUM PROBABILITAS Pertemuan ke ke--4 Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat Perumusan Probabilitas Kejadian Majemuk S S A B A B Maka banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah : n(a n(a B) = n(a) +
Lebih terperinci2. Peubah Acak (Random Variable)
. Peubah Acak (Random Variable) EL00-Probabilitas dan Statistik Dosen: Andriyan B. Suksmono Isi 0. Review dari EL009 KonsepPeubahAcak Sebaran Peluang Diskrit Sebaran Peluang Kontinyu Sebaran Empiris Sebaran
Lebih terperinciDISTRIBUSI BINOMIAL STKIP SILIWANGI BANDUNG LUVY S ZANTHY KAPSEL SMA
DISTRIBUSI BINOMIAL STKIP SILIWANGI BANDUNG LUVY S ZANTHY KAPSEL SMA 1 LUVY S. ZANTHY KAPSEL SMA 2 LUVY S. ZANTHY KAPSEL SMA 3 Distribusi Binomial O Dalam suatu percobaan statistik sering dijumpai pengulangan
Lebih terperinciPENGANTAR MODEL PROBABILITAS
PENGANTAR MODEL PROBABILITAS (PMP, Minggu 1-7) Sri Haryatmi Kartiko Universitas Gadjah Mada Juni 2014 Outline 1 Minggu 1:HIMPUNAN Operasi Himpunan Sifat-Sifat Operasi Himpunan 2 Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE
Lebih terperinciPELUANG. Hasil Kedua. Hasil Pertama. Titik Sampel GG GA A
PELUANG Percobaan dalam statistika menyatakan tiap proses yang menghasilkan data mentah. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika dan dinyatakan dalam lambang
Lebih terperinciTHEORY. By: Hanung N. Prasetyo PEUBAH ACAK TELKOM POLYTECHNIC/HANUNGNP
THEORY By: Hanung N. Prasetyo PEUBAH ACAK Variabel acak adalah suatu variabel yang nilainya bisa berapa saja Variabel acak merupakan deskripsi numerik dari outcome beberapa percobaan / eksperimen VARIABEL
Lebih terperinciPeubah Acak. 14-Sep-07 TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat) Lecture 2 page 1
Peubah Acak 14-Sep-07 TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat) Lecture 2 page 1 Definisi Peubah Acak Peubah acak adalah peubah yang mengkarakterisasikan setiap elemen dalam ruang sampel dengan suatu bilangan real.
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Peluang Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.
Lebih terperinciPeubah Acak (Lanjutan)
Learning Outcomes 13 April 2014 Learning Outcomes Learning Outcome Outline Mahasiswa dapat mengerti dan menentukan peubah acak diskret Mahasiswa dapat memahami dan menghitung nilai harapan Mahasiswa dapat
Lebih terperinciPELUANG. Titik Sampel GG
PELUNG Percobaan dalam statistika menyatakan tiap proses yang menghasilkan data mentah. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika dan dinyatakan dalam lambang
Lebih terperinciPeluang. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas LOGO
Peluang Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas LOGO Kompetensi menjelaskan mengenai ruang contoh, titik contoh dan kejadian mencacah titik contoh menghitung peluang
Lebih terperinciHidup penuh dengan ketidakpastian
BAB 2 Probabilitas Hidup penuh dengan ketidakpastian Tidak mungkin bagi kita untuk dapat mengatakan dengan pasti apa yang akan terjadi dalam 1 menit ke depan tapi Probabilitas akan memprediksikan masa
Lebih terperinciBAB III KOMBINATORIK
37 BAB III KOMBINATORIK Persoalan kombinatorik bukan merupakan persoalan yang baru dalam kehidupan nyata. Banyak persoalan kombinatorik yang sederhana telah diselesaiakan dalam masyarakat. Misalkan, saat
Lebih terperinciContoh Solusi PR 2 Statistika & Probabilitas. 1. Semesta dari kejadian adalah: pemilihan 5 soal dari 10 soal. Jumlah kemungkinannya ( 10 = 252.
Contoh Solusi PR Statistika & Probabilitas Semesta dari kejadian adalah: pemilihan soal dari soal Jumlah kemungkinannya ( ) = (a) Kemungkinannya dapat dihitung dengan memilih soal tes dari soal yang anak
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan
Lebih terperinciMetode Statistika. Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution)
Metode Statistika Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution) Konsep Peubah Acak Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah
Lebih terperinciSTATISTIKA. Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI
STATISTIKA Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI 1 Daftar Isi Bab 1 Peluang Bab Peubah Acak Bab 3 Distribusi Peluang Diskret Bab 4 Distribusi Peluang Kontinu Bab 5 Fungsi Peubah Acak Bab 6 Teori Penaksiran
Lebih terperinciPENCACAHAN RUANG SAMPEL
PENCACAHAN RUANG SAMPEL PERTEMUAN VII EvanRamdan PENDAHULUAN Tanpa kita sadari kehidupan kita sehari-hari selalu berhubungan dengan matematika, khususnya peluang. Misalnya dalam pemilihan umum terdapat
Lebih terperinciUnit 5 PELUANG. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan
Unit 5 PELUANG lara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan P ada unit lima ini kita akan membahas peluang. Peluang merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari cara menghitung tingkat keyakinan seseorang
Lebih terperinciPengantar Proses Stokastik
Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang
Lebih terperinciPeubah Acak. Bab 4. Definisi 4.1 Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R
Bab 4 Peubah Acak Definisi 4. Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R Contoh 4. Jika Y adalah peubah acak banyaknya sisi muka yang muncul pada pelemparan tiga sisi
Lebih terperinciDistribusi Probabilitas Diskrit: Binomial, Multinomial, & Binomial Negatif
Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial, Multinomial, & Binomial Negatif 6 Debrina Puspita Andriani E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id 2 Outline Distribusi Variabel Acak Diskrit Distribusi
Lebih terperinciPertemuan V Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution)
Pertemuan V Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution) Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal)
Lebih terperinciSuplemen Kuliah STATISTIKA. Prodi Sistem Informasi (SI 3) STIKOM AMBON Pokok Bahasan Sub Pok Bahasan Referensi Waktu
Suplemen Kuliah STATISTIKA Pertemuan 5 Prodi Sistem Informasi (SI 3) STIKOM AMBON Pokok Bahasan Sub Pok Bahasan Referensi Waktu Konsep Peluang 1. Ruang Contoh dan Kejadian Walpole E. Ronald. (Probabbility
Lebih terperinciTEKNIK MEMBILANG. b T U V W
TEKNIK MEMBILANG Berikut ini teknik-teknik (cara-cara) membilang atau menghitung banyaknya anggota ruang sampel dari suatu eksperimen tanpa harus mendaftar seluruh anggota ruang sampel tersebut. A. Prinsip
Lebih terperinciLAB MANAJEMEN DASAR MODUL STATISTIKA 1
LAB MANAJEMEN DASAR MODUL STATISTIKA 1 Nama : NPM/Kelas : Fakultas/Jurusan : Hari dan Shift Praktikum : Fakultas Ekonomi Universitas Gunadarma Kelapa dua E531 1 UKURAN STATISTIK Pendahuluan Ukuran statistik
Lebih terperinci25/09/2013. Konsep Peubah Acak. Metode Statistika (STK211) Peubah Acak Diskret. Kuis. Tipe Peubah Acak
Konsep Peubah Acak Metode Statistika (STK11) Pertemuan V Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution) Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan
Lebih terperinciKONSEP DASAR PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS LELY RIAWATI, ST, MT.
KONSEP DASAR PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS LELY RIAWATI, ST, MT. EKSPERIMEN suatu percobaan yang dapat diulang-ulang dengan kondisi yang sama CONTOH : Eksperimen : melempar dadu 1 kali Hasilnya
Lebih terperinciBAB IV. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT
BAB IV. DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT A. Variabel random diskrit. Variabel random diskrit X adalah : Cara memberi nilai angka pada setiap elemen ruang sampel X(a) : Ukuran karakteristik tertentu dari
Lebih terperinciDistribusi Peluang Teoritis. Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan.
Distribusi Peluang Teoritis. Pendahuluan Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan. Peubah Acak Fungsi yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang
Lebih terperinciStatistika & Probabilitas. Sumber: Materi Kuliah Statistika Dr. Ir. Rinaldi Munir, M.T
Statistika & Probabilitas Sumber: Materi Kuliah Statistika Dr. Ir. Rinaldi Munir, M.T Kejadian Kejadian adalah himpunan bagian (subset) dari ruang sampel S. Dapat dipahami, kejadian adalah himpunan dari
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Probabilitas (Peluang) Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya
Lebih terperinciDISTRIBUSI PROBABILITAS
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISTRIBUSI PROBABILITAS Peluang terjadinya nilai variabel random X yang meliputi semua nilai ditentukan melalui distribusi peluang. Distribusi peluang suatu variabel random X adalah
Lebih terperinciPeubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R
Bab Peubah Acak. Konsep Dasar Peubah Acak Peubah acak adalah suatu fungsi dari ruang contoh ke bilangan nyata, f : S R Contoh peubah acak: Jika X adalah peubah acak banyaknya sisi muka yang muncul pada
Lebih terperinciAksioma Peluang. Bab Ruang Contoh
Bab 2 Aksioma Peluang 2.1 Ruang Contoh Dalam suatu percobaan, kita tidak tahu dengan pasti apa hasil yang akan terjadi. Misalnya pada percobaan membeli lampu pijar, kita tidak tahu dengan pasti, apakah
Lebih terperinciDistribusi Peluang Teoritis
Distribusi Peluang Teoritis 1. Pendahuluan Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan.. Peubah Acak Fungsi yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang
Lebih terperinciKONSEP DASAR PROBABILITAS
KONSEP DASAR PROBABILITAS PERTEMUAN VIII EvanRamdan PROBABILITAS Dalam menentukan banyaknya anggota kejadian, kadangkala kita tidak selalu dapat mendaftar semua titik sampel dalam percobaan tersebut. Untuk
Lebih terperinciLearning Outcomes Ruang Contoh Kejadian Aksioma Peluang Latihan. Aksioma Peluang. Julio Adisantoso. 16 Pebruari 2014
16 Pebruari 2014 Learning Outcome Mahasiswa dapat memahami ruang contoh, kejadian, dan koleksi Mahasiswa dapat melakukan operasi himpunan kejadian Mahasiswa dapat memahami aksioma peluang Mahasiswa dapat
Lebih terperinciSituasi 1: a. Buatlah pernyataan-pernyataan yang sesuai dengan situasi di atas!
BAHAN AJAR 3 DISTRIBUSI PEUBAH ACAK GABUNGAN DAN FUNGSI PELUANG MARGINAL Situasi 1: Sebuah kotak berisi tiga ballpoint berwarna merah, dua berwarna biru dan tiga berwarna hitam. Kemudian dua buah ballpoint
Lebih terperinciMA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi
MA2082 BIOSTATISTIKA Bab 3 Peubah Acak dan Distribusi Orang Biologi Tidak Anti Statistika Silabus Silabus dan Tujuan Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2. Probabilitas Probabilitas adalah suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang yang hasilnya tidak pasti (uncertain
Lebih terperinciDISTRIBUSI PELUANG TEORITIS
Distribusi Teoritis 1/ 15 DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS 1. Pendahuluan Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan.. PEUBAH ACAK Fungsi yang mendefinisikan
Lebih terperinciStatistika Farmasi
Bab 3: Distribusi Data Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Distribusi Data Teori dalam statistika berkaitan dengan peluang Konsep dasar peluang tersebut berkaitan dengan peluang distribusi, yaitu
Lebih terperinciMATERI BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN. A. Pendahuluan Dari jaman dulu sampai sekarang orang sering berhadapan dengan peluang.
MATERI BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN Pendahuluan Ruang Sampel Kejadian Dua Kejadian Yang Saling Lepas Operasi Kejadian BAB II MENGHITUNG TITIK SAMPEL Prinsip Perkalian/ Aturan Dasar Notasi Faktorial
Lebih terperinciVariansi dan Kovariansi. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB
Variansi dan Kovariansi Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB 1 Variansi Kita sudah memahami bahwa nilai harapan peubah acak X seringkali
Lebih terperinciProbabilitas dan Statistika Variabel Acak dan Fungsi Distribusi Peluang Diskrit. Adam Hendra Brata
dan Statistika dan Fungsi Peluang Adam Hendra Brata acak adalah sebuah fungsi yang memetakan hasil kejadian yang ada di alam (seperti : buka dan tutup; terang, redup dan gelap; merah, kuning dan hijau;
Lebih terperinciMetode Statistika (STK 211) Pertemuan ke-5
Metode Statistika (STK 211) Pertemuan ke-5 rrahmaanisa@apps.ipb.ac.id Memahami definisi dan aplikasi peubah acak (peubah acak sebagai fungsi, peubah acak diskrit dan kontinu) Memahami sebaran peubah acak
Lebih terperinci6. PELUANG A. Kaidah Pencacahan 1. Aturan perkalian
6. PELUANG A. Kaidah Pencacahan. Aturan perkalian Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap
Lebih terperinciContoh: Aturan Penjumlahan. Independen. P(A dan B) = P(A) x P(B)
Aturan Penjumlahan Mutually Exclusive: Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(A atau B)= P(A)+P(B) Not Mutually Exclusive: Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(Aatau B): P(A)+P(B) P(A dan B) Contoh:
Lebih terperinciBab 3 Pengantar teori Peluang
Bab 3 Pengantar teori Peluang Istilah peluang atau kemungkinan, sering kali diucapkan atau didengar. Sebagai contoh ketika manajer dari sebuah klub sepak bola ditanya wartawan tentang hasil pertandingan
Lebih terperinci8/29/2014. Kode MK/ Nama MK. Matematika Diskrit 2 8/29/2014
Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 2 8/29/2014 1 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 3 8/29/2014 3 KOMBINATORIAL Tujuan 1.Mahasiswa
Lebih terperinciDISTRIBUSI TEORITIS. Variabel Acak Distribusi Teoritis Binomial Normal
DISTRIBUSI TEORITIS DISTRIBUSI TEORITIS Variabel Acak Distribusi Teoritis Binomial Normal Variabel acak adalah sebuah besaran yang merupakan hasil dari percobaan acak yang secara untung-untungan, dapat
Lebih terperinciDistribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomial
Distribusi Probabilitas Diskrit: Binomial & Multinomial 6 Debrina Puspita Andriani E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id 2 Outline Distribusi Variabel Acak Diskrit Distribusi Binomial Distribusi
Lebih terperinciKONSISTENSI ESTIMATOR
KONSISTENSI ESTIMATOR TUGAS STATISTIKA MATEMATIKA II Oleh 1. Wahyu Nikmatus S. (121810101010) 2. Vivie Aisyafi F. (121810101050) 3. Rere Figurani A. (121810101052) 4. Dwindah Setiari W. (121810101054)
Lebih terperinciTipe Peubah Acak. Diskret. Kontinu
2 N i 1 x i N 2 Tipe Peubah Acak Diskret Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable) Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang berhasil dilakukan oleh pemain A Kontinu Nilai-nilai
Lebih terperinciBab 2 DISTRIBUSI PELUANG
Bab 2 DISTRIBUSI PELUANG PENDAHULUAN Setiap peristiwa akan mempunyai peluangnya masingmasing, dan peluang terjadinya peristiwa itu akan mempunyai penyebaran yang mengikuti suatu pola tertentu yang di sebut
Lebih terperinciCatatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria Insure and Invest! Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014 1 Tentang AK5161 Matematika
Lebih terperinciMetode Statistika (STK211)
Metode Statistika (STK211) Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable and Probability Distribution) Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 2015 1 Konsep Peubah Acak (Random Variable) Peubah
Lebih terperinciSTK 203 TEORI STATISTIKA I
STK 203 TEORI STATISTIKA I II. PEUBAH ACAK DISKRET II. Peubah Acak Diskret 1 PEUBAH ACAK DISKRET Definisi 2.1. (Peubah Acak) : Peubah Acak Y adalah suatu fungsi yang memetakan seluruh anggota ruang contoh
Lebih terperinciLOGO STATISTIKA MATEMATIKA I TEORI PELUANG HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA UNAND
LOGO STATISTIKA MATEMATIKA I TEORI PELUANG HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA UNAND Tujuan Instruksional Khusus 1 Menentukan ruang contoh sebuah percobaan dan kejadiankejadian 2 Mencacah
Lebih terperinciPerluasan permutasi dan kombinasi
Perluasan permutasi dan kombinasi Permutasi dengan pengulangan Kombinasi dengan pengulangan Permutasi dengan obyek yang tidak dapat dibedakan Distribusi obyek ke dalam kotak Permutasi dengan pengulangan
Lebih terperinciKOMBINATORIKA. (Latihan Soal) Kus Prihantoso Krisnawan. August 30, 2012 PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA SMA 1 KALASAN
KOMBINATORIKA (Latihan Soal) Kus Prihantoso August 30, 2012 PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA SMA 1 KALASAN Teori Faktorial Teori Faktorial n! = n (n 1) (n 2) (n 3) 2 1 0! = 1 Teori Faktorial n! = n (n 1)
Lebih terperinciMisalkan terdapat eksperimen. S disebut ruang sampel, adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari eksperimen.
Peluang Peluang dan Kejadian Peluang Bersyarat Peubah Acak dan Nilai Harapan Kovarian dan Korelasi 1.1 PELUANG DAN KEJADIAN Misalkan terdapat eksperimen. S disebut ruang sampel, adalah himpunan semua kemungkinan
Lebih terperinciPOKOK BAHASAN YANG DIAJARKAN: 1. DISTRIBUSI PEUBAH ACAK a. Distribusi Peubah Acak Tunggal b. Distribusi Peubah Acak Ganda c. Distribusi Bersyarat d.
POKOK BAHASAN YANG DIAJARKAN:. DISTRIBUSI PEUBAH ACAK a. Distribusi Peubah Acak Tunggal b. Distribusi Peubah Acak Ganda c. Distribusi Bersyarat d. Teorema Bayes. EKSPEKTASI MATEMATIK a. Ekspektasi b. Variansi
Lebih terperinciPELUANG. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI. Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PELUANG Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Created By Ita Yuliana 13 Peluang Kompetensi Dasar 1. Menggunakan
Lebih terperinciBAB 8 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT
BAB 8 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT A. Peluang Peluang atau yang sering disebut sebagai probabilitas dapat dipandang sebagai cara untuk mengungkapkan ukuran ketidakpastian/ ketidakyakinan/ kemungkinan suatu
Lebih terperinciBeberapa Distribusi Peluang Diskrit
Beberapa Distribusi Peluang Diskrit Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Page 1 Isi : Distribusi Seragam Distribusi Binomial Distribusi Multinomial Page 2 Distribusi
Lebih terperinciDISTRIBUSI TEORITIS. P(M) = p = probabilitas untuk mendapat bola merah (sukses) 30
DISTRIBUSI TEORITIS Distribusi teoritis merupakan alat bagi kita untuk menentukan apa yang dapat kita harapkan, apabila asumsi-asumsi yang kita buat benar. Distribusi teoritis memungkinkan para pembuat
Lebih terperinciPendahuluan Teori Peluang
Modul Pendahuluan Teori Peluang R.K. Sembiring, Ph.D. A PENDAHULUAN suransi berasal dari kata assurance atau insurance, yang berarti jaminan atau pertanggungan. Hidup penuh dengan ketidakpastian dan manusia
Lebih terperinciLab. Statistik - Kasus 1. Lab. Statistik Kasus 2. Lab. Statistik Kasus 3
Haryoso Wicaksono, halaman 1 dari 5 halaman Lab. Statistik - Kasus 1 1. Jelaskan istilah-istilah statistik berikut : a. sampel e. responden b. populasi f. data kuantitatif c. statistik sampel g. data kualitatif
Lebih terperinciBeberapaDistribusiPeluang. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB
BeberapaDistribusiPeluang Diskrit Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB Pengantar Pengamatanyang dihasilkanmelaluipercobaanyang berbeda
Lebih terperinci