Perluasan permutasi dan kombinasi

Transkripsi

1 Perluasan permutasi dan kombinasi Permutasi dengan pengulangan Kombinasi dengan pengulangan Permutasi dengan obyek yang tidak dapat dibedakan Distribusi obyek ke dalam kotak

2 Permutasi dengan pengulangan Contoh 1 Berapa banyak string panjang n yang dapat dibentuk dari alfabet? Karena ada 26 huruf dalam alfabet dan karena setiap huruf dapat digunakan berulang maka ada 26 n string panjang n. Teorema 3 Jumlah permutasi-r dari himpunan dengan n anggota yang memperbolehkan pengulangan adalah n r.

3 Kombinasi dengan pengulangan Contoh 2 Ada berapa cara untuk memilih 3 buah dari wadah yang berisi rambutan, duku, pisang, dan manggis, jika urutan pengambilan tidak penting, dan setidaknya ada 4 buah dalam setiap jenis buah.

4 Contoh 3 Ada berapa cara untuk memilih 5 lembar uang kertas dari kotak yg memuat lembaran $1, $2, $5, $10, $20, $50 dan $100? Asumsikan bahwa urutan pengambilan tidak penting dan ada sedikitnya 5 lembar uang kertas utk masing-masing pecahan. Solusi Karena urutan tidak penting dan ke-7 macam uang kertas tersebut dapat dipilih hingga 5 kali, maka problem ini sama dengan menghitung kombinasi-5 dengan pengulangan dari himpunan dengan 7 elemen. Misal kotak mempunyai 7 bagian dan setiap bagian menyimpan 1 macam uang, maka bagian-bagian tersebut dipisahkan oleh 6 pemisah.

5 Contoh 3 (2) Memilih 5 uang kertas sama artinya dengan menempatkan 6 pemisah dalam 11 tempat (5* + 6 ). ** *** : 3 $1 + 2 $10 * * ** * : $5 + 2 $20 + $50 + $100 Jadi banyaknya cara memilih 5 uang kertas = banyaknya cara menempatkan 6 pemisah dalam 11 tempat = C(11,6) = 462.

6 Kombinasi dengan pengulangan (2) Teorema 4 Terdapat C(n+r-1,r) kombinasi-r dari himpunan dengan n anggota yang memperbolehkan pengulangan anggota. Contoh 4 Ada berapa banyak solusi dari x 1 + x 2 + x 3 =11, jika x 1, x 2, x 3 bil bulat nonnegatif? Solusi Menghitung solusi = menghitung cara memilih 11 bintang dari himpunan 13 elemen (11 bintang + 2 pemisah). Jadi terdapat C(13,11) macam solusi.

7 Soal 1 NEW Apakah hubungan antara solusi x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 6, x i bilangan bulat nonnegatif, dengan lintasan terpendek antara A dan B pada grid ini? B A

8 Soal 2 a. Ada berapa banyak solusi dari x 1 + x 2 + x 3 11, bila x 1, x 2, x 3 bilangan bulat nonnegatif? b. Ada berapa banyak solusi dari x 1 + x 2 + x 3 = 11, bila x 1, x 2, x 3 bilangan bulat dan x 1 1, x 2 2 dan x 3 3?

9 Solusi: a. Tambahkan variabel baru y yang bernilai bulat nonnegatif, sehingga didapat persamaan x 1 + x 2 + x 3 +y = 11. NEW Solusi pada persamaan diatas sama banyak dengan solusi pada pertaksamaan semula. b. Definisikan y 1 = x 1-1, y 2 = x 2-2, dan y 3 = x 3-3. Maka y i adalah bilangan bulat nonnegatif. x 1 + x 2 + x 3 = 11 (y 1 +1) +(y 2 +2) + (y 3 +3) = 11 y 1 + y 2 + y 3 = 5.

10 Permutasi dan kombinasi dengan pengulangan Tipe Pengulangan? Rumus r-permutasi r-kombinasi r-permutasi r-kombinasi Tidak Tidak Ya Ya n! ( n r)! n! r!( n r)! n r ( n r 1)! r!( n 1)!

11 Permutasi dengan obyek yang tak dapat dibedakan Contoh 5 Ada berapa banyak string yang dapat dibuat dengan mengatur kembali huruf-huruf pada kata SUCCESS? Solusi Karena ada beberapa huruf yg sama, maka jawabannya tidaklah sama dengan permutasi 7 huruf. Tapi, banyaknya adalah: C(7,3) utk menempatkan 3 S dalam 7 tempat; C(4,2) utk menempatkan 2 C dalam 4 tempat sisanya; C(2,1) utk menempatkan 1 U dalam 2 tempat sisanya; C(1,1) utk menempatkan 1 E dalam 1 tempat sisanya; Jadi banyak string ada: C(7,3).C(4,2).C(2,1).C(1,1) = 420.

12 Permutasi dengan obyek yang tak dapat dibedakan (2) Teorema 5 Jumlah permutasi dari n obyek, di mana terdapat adalah: n 1 obyek tipe 1, n 2 obyek tipe 2,, dan n k obyek k, n! n! n! n! 1 2 k

13 Distribusi obyek ke dalam kotak Contoh 6 Ada berapa banyak cara untuk mendistribusikan satu set kartu pada 4 orang pemain sehingga setiap pemain mendapatkan 5 kartu? Solusi Pemain pertama memperoleh 5 kartu dalam C(52,5) cara Pemain kedua memperoleh 5 kartu dalam C(47,5) cara Pemain ketiga memperoleh 5 kartu dalam C(42,5) cara Pemain keempat memperoleh 5 kartu dalam C(37,5) cara Jadi, secara keseluruhan banyaknya cara adalah C(52,5). C(47,5). C(42,5). C(37,5) 52! 47! 42! 37! 52! 47!5! 42!5! 37!5! 32!5! 5!5!5!5!32!

14 Distribusi obyek ke dalam kotak Teorema 6 Banyaknya cara untuk mendistribusikan n obyek yang dapat dibedakan ke dalam k kotak yang dapat dibedakan sehingga n i buah obyek ditempatkan dalam kotak i, i=1,2,,k adalah n! n! n! n! 1 2 k

15 Koefisien Binomial Teorema Binomial (x+y) n = C(n,0)x n + C(n,1)x n-1 y + C(n,2)x n-2 y C(n,n-1)xy n-1 + C(n,n)y n. Bukti Menghitung banyaknya x n-j y j, untuk suatu j=0,1,2,,n, sama dengan memilih (n-j) buah x dari n suku (sehingga j suku lainnya dalam perkalian adalah y). Jadi koefisien x n-j y j adalah C(n,n-j).

16 Koefisien Binomial (2) Akibat 1 1. C(n,j) = C(n,n-j). 2. C(n,0) + C(n,1) + + C(n,n) = 2 n n k 0 n k 0 ( 1) 2 k k C( n, k) C( n, k) 3 n 0 Bukti 1. Banyaknya cara memilih j dari n elemen sama dengan banyaknya meninggalkan n-j dari n elemen. 2. Pilih x = y = Pilih x = -1 dan y = Pilih x = 1 dan y = 2.

17 Koefisien Binomial (3) NEW Perhatikan bahwa: ruas kanan Akibat 1 Bag. 2 menyatakan banyaknya subhimpunan dari himpunan dengan n anggota. Dari ruas kiri kita peroleh bahwa subhimpunan ini dapat dikelompokkan berdasarkan banyaknya anggota. Akibat 1 Bag. 3 menyatakan bahwa subhimpunan berukuran ganjil sama banyak dengan subhimpunan berukuran genap.

18 Identitas dan Segitiga Pascal Identitas Pascal Misal n dan k bilangan bulat positif, n k. Maka, C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k). Bukti Pandang T himpunan dengan n+1 elemen, a T. Misal S = T-{a}. Ada C(n+1,k) buah subhimpunan dari T yang mempunyai k elemen. Suatu subhimpunan dari T dgn k elemen dapat memuat a dan (k-1) elemen S atau memuat k elemen S tanpa memuat a. Jadi, C(n+1,k) = C(n,k-1)+C(n,k).

19 Identitas Vandermonde Misal m, n dan r bilangan bulat positif, m r dan n r. Maka, r C( m n, r) C( m, r k) C( n, k) k 0 Bukti Pandang dua himpunan A dengan m elemen dan B dengan n elemen. Maka banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah C(m+n,r). Cara lain untuk memilih r elemen dari AUB adalah dengan memilih k elemen dari B dan kemudian r-k elemen dari A, dengan k bilangan bulat, 0 k r. Banyaknya cara untuk melakukan pemilihan tersebut adalah C(m,r-k)C(n,k). Jadi banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah r C( m, r k) C( n, k) k 0

20 Soal 3 Buktikan C(2n,n) = C(n,0) 2 + C(n,1) C(n,n) 2 dengan 3 cara: 1. Menggunakan Identitas Vandermonde. 2. Memandang pemilihan n orang dari 2n orang yg terdiri dari n pria dan n wanita

21 Soal-soal 1. Latihan Ada berapa cara untuk memilih 8 uang logam dari sebuah celengan yang berisi 100 uang logam Rp. 500 yang identik dan 80 uang logam Rp yang identik. (Solusi: 9) 2. Latihan Ada berapa string dari 10 digit terner (0,1, atau 2) yang memuat tepat dua digit 0, tiga digit 1, dan lima digit 2? (Solusi: 2520) 3. Latihan Ada berapa banyak bilangan bulat positif yang lebih kecil dari dengan jumlah dari digit-digitnya adalah sama dengan 19? 4. Latihan Suatu penerbit mempunyai 3000 buku Matematika Diskrit. Ada berapa cara menyimpan buku-buku tersebut ke dalam tiga gudang jika setiap buku tidak dapat dibedakan? (Solusi: ) 5. Latihan Ada berapa cara untuk berjalan dari titik (0,0,0) ke (4,3,5) di ruang xyz dengan melangkah sebesar 1 satuan ke arah x positif, 1 satuan ke arah y positif, dan 1 satuan ke arah z positif.