Misalkan terdapat eksperimen. S disebut ruang sampel, adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari eksperimen.

Transkripsi

1 Peluang Peluang dan Kejadian Peluang Bersyarat Peubah Acak dan Nilai Harapan Kovarian dan Korelasi 1.1 PELUANG DAN KEJADIAN Misalkan terdapat eksperimen. S disebut ruang sampel, adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari eksperimen. Contoh 1.1a : - Eksperimen : Pelemparan satu mata uang logam sebanyak 1x Ruang sampel, S = {M, B} Keterangan : M = muka ; B = belakang. - Eksperimen : Pelemparan 1 buah dadu sebanyak 1x Ruang sampel, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - Eksperimen : Pelemparan 1 buah dadu sebanyak 2x Ruangsampel, S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)(4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} - Eksperimen : Pacuan kuda dengan jumlah kuda pacu sebanyak r, yaitu 1,2,3,,r. Hasil eksperimennya adalah susunan kuda yang masuk finish. Ruang sampel, S = {seluruh susunan dari nomer kuda 1,2,3,, r}.

2 Contoh: Jika terdapat kuda pacu sebanyak 4 berarti r = 4. Jika hasil eksperimennya adalah (1,4,2,3) berarti yang masuk finish pertama kali adalah kuda no.1, dilanjutkan dengan no.4, lalu no.3, dan yang terakhir masuk finish adalah no.3. Misalkan terdapat eksperimen dengan ruang sampel S = {1,2,3,, m} dan terdapat sejumlah p,, p dengan p 0, i = 1,, m dan p = 1 dengan p adalah peluang ke i dan i merupakan hasil dari eksperimen. Contoh 1.1b : - Peluang munculnya M,B pada pelemparan mata uang logam sebanyak 1x, p = p = 1/2 p = p + p = 1. - Peluang hasil eksperimen dari pelemparan dadu sebanyak 2x, p (,) = 1, 1 i 6, 1 j p (,) = 1 Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel, S. Misalkan A adalah kejadian, maka A S. Contoh : - Kejadian munculnya muka pada pelemparan 1 mata uang logam sebanyak 1x - Kejadian munculnya (M,M) pada pelemparan 1 mata uang logam sebanyak 2x - Kejadian munculnya (1,4) pada pelemparan 1 buah dadu sebanyak 2x - Kejadian munculnya dadu pada pelemparan sepasang dadu sebanyak satu kali dengan jumlah dadu adalah 5. Misalkan P(A) adalah peluang kejadian A maka P(A) = p (1.1)

3 sehingga P(S) = p = 1. (1.2) Contoh 1.1c : Misalkan eksperimen berupa pelemparan sepasang dadu sebanyak 1x. o Jika kejadian, A, adalah jumlah mata dadu yang muncul adalah 7, maka dan A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} P(A) = =. o Jika kejadian B, adalah jumlah mata dadu yang muncul adalah 8, maka P(B) = p (,) + p (,) + p (,) + p (,) + p (,) = 5 36 Misalkan eksperimen berupa pacuan kuda yang terdiri dari 3 ekor kuda. Jika kejadian A, adalah kuda yang peryama masuk finish adalah kuda dengan no.1, maka A = {(1,2,3), (1,3,2)} dan P(A) = p,, + p,, Untuk setiap kejadian A, dimisalkan A, disebut komplemen dari A, adalah kejadian yang terdiri dari seluruh kemungkinan hasil di S tapi tidak ada di A. Sehingga 1 = p = p + p = P(A) + P(A ) Sehingga P(A ) = 1 P(A) (1.3) Komplemen dari ruang sampel S adalah kejadian null. Karena = S, maka dengan menggunakan persamaan (1.2) dan (1.3) diperoleh P( ) = 0.

4 Untuk setiap kejadian A dan B dapat didefinisikan: A B : gabungan dari kejadian A dan B, yaitu kejadian yang terdiri dari semua hasil yang ada di A, atau ada di B, atau ada keduanya di A dan B. A B : irisan dari kejadian A dan B, yaitu kejadian yang terdiri dari semua hasil yang dua duanya ada di A dan ada di B. (Atau dapat ditulis AB) Contoh 1.1d: Eksperimen : pelemparan sepasang dadu sebanyak 1x Kejadian A : kejadian dengan jumlah mata dadu yang muncul adalah 10. Kejadian B : kejadian dengan mata dadu yang muncul adalh bilangan genap yang lebih dari 3, maka A = {(4,6), (5,5), (6,4)} B = {(4,4), (4,6), (6,4), (6,6)} Sehingga A B = {(4,4), (4,6), (5,5), (6,4), (6,6)} AB = {(4,6), (6,4)} Proposisi P(A B) = P(A) + P(B) P(AB) Contoh 1.1e (contoh di statler)

5 Peluang seorang lulus matematika adalah 2/3, dan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Jika peluang lulus sekurang kurangnya satu pelajaran diatas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua pelajaran itu? Jawab : Misal M = lulus matematika I = lulus bahasa inggris P(M) = 2/3, P(I) = 4/9, P(M I) = 4/5, P(M I) = P(M) + P(I) P(M I), P(M I) = P(M) + P(I) P(M I), P(M I) = = 14/45 Jika AB =, maka kejadian A dan kejadian B disebut mutually exclusive atau disjoint, sehingga P(AB) = 0. Berdasarkan proposisi maka P(A B) = P(A) + P(B) Contoh: Berapa peluang mendapatkan jumlah dadu 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan? Jawab: A: kejadian jumlah dadu 7 ={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} B: kejadian jumlah dadu 11 ={(5,6), (6,5)} Karena AB =, maka P(A B) = P(A) + P(B)

6 P(A B)=(6/36+2/36) =8/36=2/9 1.2 PELUANG BERSYARAT Peluang bersyarat didefinisikan dengan P(A B) = () () (1.4) P(A B) : peluang bersyarat dari kejadian A jika diberikan kejadian B Contoh 1.2a Sebuah koin dilemparkan 2x. Berapakah peluang bersyarat dari sisi yang muncul pada kedua pelemparan muka jika diberikan : a. Yang muncul pada pelemparan pertama adalah muka b. Munculnya muka dalam dalam 2x pelemparan tersebut, paling sedikit 1x Jawaban contoh 1.2a Misalkan ruang sampel, S = {(M, M), (M, B), (B, M), (B, B)}. Misalkan = {(M, M)}, B = {(M, M), (M, B)} C = {(M, M), (M, B), (B, M)} Maka

7 a. P(A B) = () () = ({(,)}) = ({(,),(,)}) = b. P(A C) = () () = ({(,)}) = ({(,),(,),(,)}) = Dari persamaan (1.4) dapat ditulis P(AB) = P(B) P(A B) (1.5) Contoh 1.2b Liat contoh di Walpole untuk cth pers 1.5 P(AB) = P(A)P(B) (1.6) Liat penjelasan dan contoh di Walpole untuk pers PEUBAH ACAK DAN NILAI HARAPAN Peubah Acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan setiap anggota di ruang sampel dengan bilangan riil. Contoh 1.3a Misalkan peubah acak X dinotasikan dengan jumlah mata dadu dari pelemparan sepasang mata dadu. Nilai X yang mungkin adalah 2,3,4,,12, dengan peluang P(X = 2) = P{(1,1)} = 1 36, P{X = 3} = P{(1,2), (2,1)} = 2 36,

8 P{X = 4} = P{(1,3), (2,2), (3,1)} = 3 36, P{X = 5} = P{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} = 4 36, P{X = 6} = P{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} = 5 36, P{X = 7} = P{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} = 6 36, P{X = 8} = P{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} = 5 36, P{X = 9} = P{(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} = 4 36, P{X = 10} = P{(4,6), (5,5), (6,4)} = 3 36, P{X = 11} = P{(5,6), (6,5)} = 2 36, P{X = 12} = P{(6,6)} = Jika X adalah peubah acak dengan nilai yang mungkin adalah x, x,, x, maka himpunan dari peluang PX = x (j = 1,, n) disebut distribusi peluang dari peubah acak X dan PX = x = 1. Definisi Jika X adalah peubah acak dari x, x, x, maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E[X], yaitu E[X] = x PX = x. Proposisi Untuk peubah acak X, X,, X, E X = EX.

9 Definisi Variansi dari X, dinotasikan dengan Var (X) didefinisikan dengan Var(X) = E[(X E[X]) ]. Proposisi Jika X,, X adalah peubah acak saling bebas, maka. Var X = VarX Kovariansi dan Korelasi Introduction to Mathematical Finance, Sheldon M.Ross halaman 13 sd. 15.