CHAPTER 7 DISCRETE PROBABILITY

Transkripsi

1 CHAPTER 7 DISCRETE PROBABILITY 1

2 7.1 AN INTRODUCTION TO DISCRETE PROBABILITY 2

3 Sejarah 1526: Cardano menulis Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance). Abad 17: Pascal menentukan kemungkinan untuk memenangkan suatu permainan taruhan dua dadu yang dilempar berulang-ulang. Abad 18: Laplace mempelajari perjudian dan mendefinisikan peluang suatu kejadian. 3

4 Definisi Laplace Peluang Hingga eksperimen/percobaan: prosedur yang menghasilkan salah satu dari keluaranyang mungkin. ruang sampel dari suatu eksperimen: himpunan semua keluaran yang mungkin. kejadian: himpunan bagian dari ruang sampel. Counting menjadi landasan perhitungan peluang suatu kejadian. Misalkan S: ruang sampel hingga yang kemungkinan terjadinya setiap keluaran sama, E: kejadian yang merupakan himpunan bagian dari S. Maka peluang kejadian E adalah p(e) = E / S. kejadian yang tidak pernah terjadi 0 p(e) 1 kejadian yang selalu terjadi apapun eksperimen yang dilakukan 4

5 Contoh 1 Di dalam suatu kotak terdapat empat bola biru dan lima bola merah. Berapakah peluang pengambilan sebuah bola biru dari kotak tersebut? Solusi. Terdapat sembilan keluaran yang mungkin, dan kejadian terpilihnya bola biru meliputi empat dari sembilan keluaran tadi. Maka, peluang kejadian ini adalah 4/9. Dalam suatu lotere, pemain diminta untuk memilih enam angka, dengan masing-masing angka berada dalam selang Berapakah peluang seseorang untuk memenangkan hadiah utama lotere tersebut? Solusi. Terdapat C(49, 6) keluaran yang mungkin. Hanya satu dari keluaran ini yang menjadikan seseorang pemenang hadiah utama. p(e) = 1/C(49, 6) = 1/13,983,816 5

6 Contoh 2 Suatu kuis dengan soal benar/salah terdiri dari 10 pertanyaan. Jika Anda menjawab setiap pertanyaan secara random, berapakah peluang bahwa nilai Anda minimal 70 (dari skala 100)? Solusi. Untuk mendapat nilai minimal 70, anda perlu menjawab 7, 8, 9, atau 10 pertanyaan dengan benar dan terdapat: C(10,10) = 1 cara untuk menjawab 10 pertanyaan dengan benar, C(10,9) = 10 cara untuk menjawab 9 pertanyaan dengan benar, C(10,8) = 45 cara untuk menjawab 8 pertanyaan dengan benar, C(10,7) = 120 cara untuk menjawab 7 pertanyaan dengan benar, Jadi, peluang untuk menjawab minimal 7 pertanyaan dengan benar adalah: p(min 7 benar) = p(10 benar) + p(9 benar) + p(8 benar) + p(7 benar) = 1/ / / /2 10 = 176/1024 0,172 6

7 Contoh 3 Berapakah peluang bahwa bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 (dalam urutan tersebut) terpilih dari suatu wadah yang memuat 50 bola bernomor 1,2,,50 jika a. bola yang telah terpilih tidak dikembalikan ke dalam wadah, b. bola yang telah terpilih dikembalikan ke dalam wadah. Solusi. a. sampling dengan penggantian Ada cara memilih bola. Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah 1 / b. sampling tanpa penggantian Ada (50) 5 cara memilih bola. Jadi peluang memilih bola bernomor 11, 4, 17, 39, 23 adalah 1 / (50) 5 7

8 Contoh 4 Suatu keluarga memiliki dua anak. Anda mengetuk pintu rumah keluarga tadi dan seorang anak perempuan membuka pintu. Berapakah peluang bahwa anak lainnya dalam keluarga tersebut juga perempuan? (Asumsikan bahwa mereka bukan anak kembar, kelahiran anak laki-laki dan perempuan adalah kejadian yang saling bebas, dan peluang kelahiran seorang anak perempuan adalah ½.) 8

9 Solusi Jika Anda berpikir bahwa jawabannya adalah ½, maka Anda salah. Kesalahannya adalah dalam menentukan ruang sampel yang kemungkinan tiap keluarannya sama. Jika kita memilih ruang sampel {1 P dan 1L, 2 P}, maka kemungkinan tiap keluarannya tidaklah sama. Kemungkinan mempunyai 1 P dan 1L adalah dua kali mempunyai 2 P. Ruang sampelnya adalah {PP,PL,LP,LL} dg setiap pasang menyatakan sulung dan bungsu. Karena keluarga memiliki paling sedikit satu perempuan, maka LL dihapus sehingga ruang sampel menjadi {PP,PL,LP} Setiap keluaran mempunyai peluang 1/3, sehingga p(anak yg lain P) = 1/3. Misalkan, kita mempunyai informasi tambahan bahwa anak tertualah yang menjawab pintu. Dalam hal ini, ruang sampel berubah menjadi {PP,PL} Jadi, peluang anak lainnya dalam keluarga tersebut juga perempuan 9 adalah ½.

10 Kejadian Komplementer Misalkan E: kejadian dalam ruang sampel S. Peluang dari kejadian Ē: kejadian komplementer dari E adalah P(Ē) = 1 p(e). Ini dapat ditunjukan dengan mudah p(ē) = ( S - E )/ S = 1 - E / S = 1 p(e). Aturan ini berguna jika menentukan peluang dari kejadian komplementer lebih mudah daripada menghitung peluang kejadian itu sendiri. 10

11 Contoh 5 Suatu barisan terdiri dari 10 bit yang dibangun secara acak. Berapakah peluang bahwa paling sedikit satu dari bit-bit tersebut adalah bit nol? Solusi. Misalkan E: kejadian paling sedikit satu bit dalam barisan adalah bit nol. Maka Ē: kejadian tidak ada bit nol dalam barisan. Jelas Ē memuat hanya satu keluaran, yaitu barisan Jadi, p(ē) = 1/ 2 10 = 1/1024. Dengan demikian, p(e) = 1 p(ē) = 1 1/1024 = 1023/

12 Contoh 6 Berapakah peluang paling sedikit dua dari 36 orang memiliki tanggal ulang tahun yang sama? Solusi. Ruang sampel S memuat semua kemungkinan tanggal ulang tahun dari 36 orang, sehingga S = Pandang kejadian Ē: tidak ada dua dari 36 orang memiliki tanggal ulang tahun yang sama. Maka Ē memuat P(365, 36) keluaran (365 kemungkinan untuk tanggal ulang tahun orang pertama, 364 untuk orang kedua, dan selanjutnya). Maka p(ē) = P(365, 36)/ sehingga p(e)

13 Peluang Gabungan Dua Kejadian Misalkan E 1 dan E 2 dua kejadian dalam ruang sampel S. Maka: p(e 1 E 2 ) = p(e 1 ) + p(e 2 ) - p(e 1 E 2 ) Mengingatkan pada sesuatu? Prinsip Inklusi - Eksklusi Bukti. E1 E2 E1 E2 E1 E2 p( E1 E2) S S 13

14 Contoh 7 Suatu bilangan bulat positif terpilih secara acak dari suatu himpunan bilangan bulat positif yang tidak melebihi 100. Berapakah peluangnya untuk menjadi suatu bilangan yang habis dibagi 2 atau 5? Solusi. Misalkan E 2 : kejadian bahwa bilangan yang terpilih habis dibagi 2 E 5 : kejadian bahwa bilangan yang terpilih habis dibagi 5 14

15 Solusi Maka E 2 = {2, 4, 6,, 100} dan E 2 = 50. Dengan demikian p(e 2 ) = 0.5. Demikian juga E 5 = {5, 10, 15,, 100}, E 5 = 20, dan p(e 5 ) = 0.2 Sedangkan E 2 E 5 = {10, 20, 30,, 100}, berarti E 2 E 5 = 10 dan p(e 2 E 5 ) = 0.1 Sehingga, p(e 2 E 5 ) = p(e 2 ) + p(e 5 ) p(e 2 E 5 ) = =

16 Contoh 8 Misalkan S={1,2,,20}. Anda memilih sebuah subhimpunan T S dengan 3 anggota. (a) Carilah peluang bahwa T memuat dua bilangan ganjil dan satu bilangan genap. (b) Carilah peluang bahwa T memuat tiga bilangan prima. (c) Carilah peluang bahwa ketiga anggota T mempunyai jumlah lebih kecil dari 9. (d) Carilah peluang bahwa T memuat paling sedikit satu bilangan genap. (e) Carilah peluang bahwa T memuat bilangan 10 atau

17 Solusi Terdapat C(20,3) subhimpunan dengan kardinalitas 3. (a) Carilah peluang bahwa T memuat dua bilangan ganjil dan satu bilangan genap. Terdapat 10 bilangan ganjil dan 10 bilangan genap di S. Jadi, C(10,2) C(10,1) p(t memuat 2 ganjil & 1 genap) = C(20,3) (b) Carilah peluang bahwa T memuat tiga bilangan prima. Terdapat 8 bilangan prima dalam S, maka p(t memuat 3 prima) = C(8,3) C(20,3) 17

18 Solusi (2) (c) Carilah peluang bahwa ketiga anggota T mempunyai jumlah lebih kecil dari 9. Terdapat 4 cara sehingga 3 bilangan mempunyai jumlah lebih kecil dari 9: 1,2,3; 1,2,4; 1,2,5; dan 1,3,4. Akibatnya 4 p(jumlah anggota T < 9) = C(20,3) (d) Carilah peluang bahwa T memuat paling sedikit satu bilangan genap. Akan lebih mudah jika digunakan aturan peluang kejadian komplementer. Misalkan E: kejadian T memuat paling sedikit satu bilangan genap, maka Ē: kejadian T memuat bilangan ganjil saja. Akibatnya p(e) = 1 p(ē) = 1 - C(10,3) C(20,3) 18

19 Solusi (3) (e) Carilah peluang bahwa T memuat bilangan 10 atau 20. Digunakan aturan peluang dari gabungan dua kejadian, dengan E: kejadian 10 T dan F: kejadian 20 T, p(e F) = p(e) + p(f) - p(e F) Banyaknya cara untuk memilih bilangan 10 di antara 3 bilangan adalah C(19,2) karena kita harus memilih 2 bilangan dari 19 bilangan yang tersisa. Demikian pula, terdapat C(19,2) cara untuk memilih bilangan 20 dan 2 bilangan lainnya; serta C(18,1) untuk memilih bilangan 10 dan 20 dan 1 bilangan lainnya. 2 C(19,2) C(18,1) Maka, p(e F) = C(20,3) 19

20 Penalaran Probabilistik Suatu masalah yang sering ditemui adalah menentukan mana di antara dua kejadian yang lebih mungkin muncul. Apabila menganalisa peluang dari setiap kejadian sulit dilakukan, maka digunakan penalaran probabilistik. 20

21 The Monty Hall Three Door Puzzle Anda adalah peserta suatu kuis televisi. Anda diminta untuk memilih membuka satu dari tiga pintu; hadiah mobil Avanza baru terletak di balik salah satu pintu, sedangkan dua pintu lainnya adalah pintu kalah yang tidak memuat hadiah. Setelah Anda memilih satu pintu, maka sang pembawa acara, yang tahu pasti apa yang terdapat di balik ketiga pintu, akan melakukan yang berikut. Pertama, pintu apa pun yang Anda pilih: pemenang atau tidak, ia akan membuka pintu kalah dari dua pintu yang tidak anda pilih. Kemudian, ia akan bertanya apakah anda ingin mengganti pintu yang telah anda pilih. Strategi apa yang harus Anda pakai? Haruskah Anda mengganti pintu, atau tetap pada pilihan Anda semula, atau apapun yang Anda lakukan tidak ada bedanya? 21

22 7.2 PROBABILITY THEORY

23 Distribusi Peluang Apa yang terjadi jika keluaran dari suatu eksperimen tidak memiliki peluang yang sama? Dalam kasus ini, peluang p(s) dipadankan dengan setiap keluaran s S, di mana S adalah ruang sampel, yang memenuhi dua syarat: (1) 0 p(s) 1 untuk setiap s S, dan (2) s S p(s) = 1 Artinya, bahwa (1) setiap peluang bernilai antara 0 dan 1, dan (2) jika peluang dari semua keluaran yang mungkin dijumlahkan akan sama dengan 1, karena pada saat eksperimen dilakukan, satu dari keluaran tersebut dijamin akan terjadi. Fungsi p: S [0,1] dinamakan distribusi peluang.

24 Bagaimana Peluang p(s) Diperoleh? Peluang p(s) dari suatu kejadian s sama dengan lim #eksperimen # kemunculan s # eksperimen Setelah diketahui p(s) untuk setiap s, peluang suatu kejadian E adalah p(e) = s E p(s)

25 Contoh 1 Suatu dadu dimodifikasi sehingga angka tiga muncul dua kali lebih sering dari angka-angka lainnya. (a) Berapakah peluang dari semua keluaran yang mungkin? (b) Berapakah peluang bahwa angka ganjil akan muncul ketika dadu tersebut digulingkan? Solusi. (a) Terdapat 6 kemungkinan keluaran s 1,, s 6. p(s 1 ) = p(s 2 ) = p(s 4 ) = p(s 5 ) = p(s 6 ) p(s 3 ) = 2p(s 1 ) Karena jumlah semua peluang tersebut haruslah sama dengan 1, maka 5p(s 1 ) + 2p(s 1 ) = 1 atau 7p(s 1 ) = 1 Jadi, p(s 1 ) = p(s 2 ) = p(s 4 ) = p(s 5 ) = p(s 6 ) = 1/7, p(s 3 ) = 2/7 (b) E ganjil = {s 1, s 3, s 5 } Maka, p(e ganjil ) = s Eganjil p(s) = p(s 1 ) + p(s 3 ) + p(s 5 ) = 1/7 + 2/7 + 1/7 = 4/7

26 Distribusi Uniform Misalkan S himpunan dengan n anggota. Distribusi uniform memadankan peluang 1/n pada setiap anggota S. Eksperimen yang memilih anggota dari suatu ruang sampel S dengan menggunakan distribusi uniform dikatakan sebagai memilih anggota dari S secara acak.

27 Kombinasi Kejadian Teorema 1. Jika E1, E2, adalah barisan kejadian yang saling bebas dalam ruang sampel S, maka p( i E ) p( E ) i i i

28 Soal 1 Misalkan kelahiran anak laki-laki dan perempuan adalah kejadian yang saling bebas. Carilah peluang bahwa suatu keluarga dengan 5 anak tidak mempunyai anak laki-laki, jika (a) kelahiran anak laki-laki dan perempuan memiliki kemungkinan yang sama. (b) peluang kelahiran anak laki-laki adalah 0,51. (c) peluang bahwa anak ke-i laki-laki adalah 0,51 (i/100).

29 Peluang Kondisional Jika suatu uang logam dilemparkan tiga kali dan ke-8 keluaran memiliki kemungkinan kemunculan yang sama. Misalkan kita tahu bahwa kejadian F, yaitu pelemparan pertama menghasilkan muka, terjadi. Berapakah peluang kejadian E, yaitu bagian muka akan muncul sejumlah ganjil? Karena hasil pelemparan pertama adalah muka, maka keluaran yang mungkin adalah MMM, MMB, MBM, dan MBB. Kemunculan muka dalam jumlah ganjil terjadi sebanyak dua kali. Maka, peluang E, dengan syarat F terjadi, adalah 0.5. Ini dinamakan peluang kondisional.

30 Peluang Kondisional (2) Untuk memperoleh peluang kondisional dari kejadian E diberikan F, digunakan (a) F sebagai ruang sampel, dan (b) setiap keluaran dari E yang muncul harus juga berada dalam E F. Definisi. Misalkan E dan F kejadian dengan p(f) > 0. Peluang kondisional dari E diberikan F, dinotasikan oleh p(e F), didefinisikan sebagai p(e F) = p(e F)/p(F)

31 Contoh 2 Suatu string bit dengan panjang 4 dibangun secara acak sehingga setiap 16 string dengan panjang 4 memiliki kemungkinan yang sama. Berapakah peluang string memuat paling sedikit dua angka 0 yang berurutan, diberikan bahwa bit pertamanya adalah 0? Solusi. Misalkan E: kejadian bahwa string memuat paling sedikit dua angka 0 yang berurutan. F: kejadian bahwa bit pertama dari string adalah 0. E F = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100} p(e F) = 5/16 p(f) = 8/16 = 1/2 p(e F) = (5/16)/(1/2) = 10/16 = 5/8 = 0.625

32 Independensi Kembali ke contoh koin yang dilemparkan tiga kali. Apakah peluang kejadian E (muka muncul sejumlah ganjil) tidak bergantung pada kemunculan kejadian F (pada pelemparan pertama muncul muka)? Dengan kata lain, apakah p(e F) = p(e)? Ternyata p(e F) = 0.5 and p(e) = 0.5. Dalam hal ini, E dan F dikatakan sebagai kejadian yang saling bebas.

33 Independensi (2) Karena p(e F) = p(e F)/p(F), p(e F) = p(e) p(e F) = p(e)p(f). Definisi. Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas jika dan hanya jika p(e F) = p(e)p(f). Jelas, definisi ini simetris untuk E dan F. Jika p(e F) = p(e)p(f), maka p(f E) = p(f).

34 Contoh 3 Suatu string biner dengan panjang empat dibangun secara random. Misalkan E: kejadian string biner tersebut diawali dengan 1 F: kejadian string biner tersebut mengandung sejumlah genap 0. Apakah E dan F saling bebas? Solusi. Jelas, p(e) = p(f) = 0.5. E F = {1111, 1001, 1010, 1100} p(e F) = 0.25, sehingga p(e F) = p(e)p(f) Jadi, E dan F saling bebas.

35 Contoh 4 Misalkan E: kejadian suatu keluarga dengan 3 anak mempunyai anak laki-laki dan perempuan dan F: kejadian suatu keluarga dengan 3 anak mempunyai paling banyak 1 anak laki-laki. Apakah E dan F saling bebas? Asumsikan bahwa ke-8 cara suatu keluarga memiliki 3 anak mempunyai peluang kejadian yang sama. Solusi. Dari asumsi, LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL, dan PPP masing-masing mempunyai peluang terjadi 1/8. Karena E = {LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL}, F = {LPP,PLP,PPL,PPP}, dan E F = {LPP,PLP,PPL}, maka p(e) = 6/8, p(f) = 4/8, dan p(e F) = 3/8. Akibatnya, p(e F) = p(e)p(f) Jadi, E dan F saling bebas.

36 Contoh 5 Anda menulis string dengan panjang tiga dari alfabet, di mana tidak diperbolehkan pengulangan huruf. Misalkan E 1 adalah kejadian bahwa string dimulai dengan vokal dan E 2 adalah kejadian bahwa string diakhiri dengan vokal. Tentukan apakah E 1 dan E 2 saling bebas. Solusi. Ruang sampel berukuran Kejadian E 1 memuat semua string dengan tempat pertama diisi oleh vokal, maka E 1 = Dengan cara yang sama, E 2 = Jadi, p E 1 E 2 memuat semua string dengan panjang tiga dengan tempat pertama dan terakhir diisi dengan vokal, maka E 1 E 2 = Akibatnya, E1) p( E ) ( 2 p( E E2) Jadi, kedua kejadian tersebut tidak saling bebas

37 Percobaan Bernoulli Misalkan suatu eksperimen hanya memiliki dua keluaran yang mungkin. Contoh. Pelemparan sebuah koin. Setiap pelaksanaan suatu eksperimen yang demikian disebut percobaan Bernoulli. Secara umum, kedua keluaran yang mungkin tadi disebut kesuksesan atau kegagalan. Jika p adalah peluang sukses dan q peluang gagal, jelas p + q = 1.

38 Percobaan Bernoulli (2) Sering kali kita ingin tahu peluang terjadinya tepat k sukses ketika suatu eksperimen terdiri dari n percobaan Berboulli yang saling bebas. Contoh 6. Suatu koin dimodifikasi sehingga peluang muncul muka adalah 2/3. Apakah peluang dari tepat empat muka muncul ketika suatu koin dilemparkan sebanyak tujuh kali? Solusi. Terdapat 2 7 = 128 keluaran yang mungkin. Jumlah kemungkinan kemunculan empat muka di antara tujuh pelemparan adalah C(7, 4). Karena ketujuh pelemparan tersebut saling bebas, maka peluang untuk masing-masing dari keluaran tadi adalah (2/3) 4 (1/3) 3. Akibatnya, peluang kemunculan tepat empat muka adalah C(7, 4)(2/3) 4 (1/3) 3 = 560/2187

39 Teorema Bernoulli Peluang k sukses dalam n percobaan Bernoulli yang saling bebas, dengan peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 p, adalah C(n, k) p k q n-k. Ini dinotasikan dengan b(k; n, p). Jika b dipandang sebagai fungsi dari k, maka b dikatakan sebagai distribusi binomial.

40 Ilustrasi dari Bukti Teorema Bernoulli Misalkan S : sukses dengan peluang p dan F : gagal dengan peluang q = 1 p. Berapakah peluang dari dua sukses dalam lima percobaan Bernoulli yang saling bebas? Lihat salah satu barisan keluaran yang mungkin: SSFFF Berapakah peluang kita akan membangun barisan ini?

41 Ilustrasi dari Bukti Teorema Bernoulli (2) Barisan: S S F F F Peluang: p p q q q = p 2 q 3 Suatu barisan lain yang mungkin: Barisan: F S F S F Peluang: q p q p q = p 2 q 3 Setiap barisan dengan dua sukses dalam lima percobaan terjadi dengan peluang p 2 q 3.

42 Ilustrasi dari Bukti Teorema Bernoulli (2) Sekarang, ada berapa banyak barisan yang mungkin? Dengan kata lain, ada berapa cara untuk memilih dua obyek dari daftar yang berisi lima obyek? Ada C(5, 2) = 10 cara, sehingga terdapat 10 barisan yang mungkin, setiap barisan terjadi dengan peluang p 2 q 3. Maka, peluang salah satu barisan tersebut muncul pada saat melakukan lima percobaan Bernoulli adalah C(5, 2) p 2 q 3. Secara umum, untuk k sukses dalam n percobaan Bernoulli, kita memiliki peluang C(n,k) p k q n-k.

43 Contoh 6 Sebuah dadu dilempar 6 kali berturut-turut. Carilah (a) p(muncul tepat empat angka 1). (b) p(tidak ada angka 6 yang muncul).

44 Solusi (a) Ini adalah barisan dengan enam percobaan Bernoulli yang saling bebas, di mana peluang sukses (muncul angka 1) adalah 1/6 dan peluang gagal 5/6. Karena itu, peluang muncul tepat empat angka 1 pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah 1 C(6,4) ,008 (b) Dalam kasus ini sukses adalah kemunculan angka selain 6, yang memiliki peluang 5/6 dan gagal adalah kemunculan angka 6, yang peluangnya 1/6. Maka peluang tidak ada angka 6 yang muncul pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah C(6,6) 0,

45 Variabel acak Dalam banyak eksperimen, kita ingin memadankan nilai numerik pada setiap keluaran yang mungkin untuk memungkinkan analisa matematis dari eksperimen tersebut. Untuk tujuan ini, diperkenalkan variabel acak. Definisi. Suatu variabel acak adalah fungsi dari ruang sampel suatu eksperimen ke himpunan bilangan real. Yaitu, variabel acak memadankan suatu bilangan real dengan setiap keluaran yang mungkin. Catatan. Variabel acak adalah fungsi, bukan variabel. Variabel acak tidak dilakukan secara acak, tetapi memetakan hasil eksperimen yang acak ke bilangan real secara terdefinisi dengan baik.

46 Contoh 7 X(ibujari,ibujari) = 0 Misalkan X adalah variabel acak hasil permainan suit. Jika pemain A memilih jari a dan B memilih jari b, maka = 1, jika A menang, X(a,b) = 0, jika A dan B memilih jari yang sama, = -1, jika B menang. X(ibujari,kelingking) = -1 X(ibujari,telunjuk) = 1 X(kelingking,ibujari) = 1 X(kelingking,kelingking) = 0 X(kelingking,telunjuk) = -1 X(telunjuk,ibujari) = -1 X(telunjuk,kelingking) = 1 X(telunjuk,telunjuk) = 0

47 The Birthday Problem Berapa jumlah minimum orang yang diperlukan sehingga peluang bahwa sedikitnya dua di antara mereka mempunyai tanggal ulang tahun yang sama adalah lebih besar dari ½?

48 The Birthday Problem: Solusi n: jumlah orang p n : peluang bahwa setiap orang mempunyai tanggal ulang tahun yang berbeda. Maka Dan 1 p n 1 p n 0,5 jika n n n p n

49 Soal 1. Latihan Berapakah peluang munculnya jumlahan genap pada saat dua dadu dilemparkan? 2. Latihan Berapakah peluang memperoleh lima buah kartu memuat kartu sejenis yang berurutan? 3. Latihan Berapakah peluang bahwa sebuah dadu yang dilemparkan 6 kali tidak pernah memunculkan angka genap?

50 Soal (2) 4. Latihan Berapakah peluang bahwa suatu bilangan bulat positif tidak melebihi 100 yang dipilih secara acak habis dibagi 5 dan 7? 5. Latihan Terdapat 100 orang yang mengikuti suatu acara dan Ani salah seorang di antaranya. Dia acara tersebut disediakan 3 buah doorprize yang pemilihan pemenangnya dilakukan secara acak. Berapakah peluang Ani untuk memenangkan satu dari ketiga hadiah tersebut? 6. Latihan Manakah yang lebih mungkin terjadi: memperoleh jumlahan 9 pada saat melemparkan dua dadu atau memperoleh jumlahan 9 pada saat melemparkan tiga dadu?

51 Soal (3) 7. Latihan Carilah peluang kemunculan setiap keluaran pada saat pelemparan suatu dadu yang dimodifikasi: peluang kemunculan 2 atau 4 adalah tiga kali lebih besar dari kemunculan empat angka lainnya dan peluang kemunculan 2 dan 4 sama besar. 8. Latihan Berapakah peluang bersyarat bahwa tepat empat muka muncul pada saat suatu koin dilemparkan lima kali, jika pelemparan pertama memberikan muka? 9. Latihan a Misalkan E: kejadian di mana suatu keluarga dengan 2 anak mempunyai anak laki-laki dan perempuan dan F: kejadian di mana suatu keluarga dengan 2 anak mempunyai paling banyak 1 anak laki-laki. Apakah E dan F saling bebas?