FISIKA MATEMATIKA Edisi I

Transkripsi

1 Buku Plgkp FISIKA MATEMATIKA Edisi I D. Husi Alts Bgi Fisik Toi Dptm Fisik Fkults Mtmtik d Ilmu Pgthu Alm Istitut Pti Bogo

2 BAB DERET TAK-HINGGA, DERET PANGKAT DAN URAIAN TAYLOR. Pdhulu Pd bb ii k dibhs mgi pgti dt d pliksi dlm Fisik. Dlm bk fom fisis, pggu dt dipluk utuk mmpolh hsil kutittif g bsift hmpi ktik mmchk psol g cukup umit sc mtmtis. Cotoh g plig sdh g bis kit jumpi dlm psol Fisik ds dlh psol bdul sdh g disimpgk d k mglmi gk piodik ktik dilpsk kibt g gvitsi g btidk sbgi g pmulih spti g diplihtk pd gmb utuk bdul bmss m dg pjg tli l. l θ θ mg siθ mg Gmb. Bdsk hukum kdu Nwto, pggmb dimik gk bdul dg mss m tsbut dibik olh psm difsil bikut: d θ g siθ () dt l Sc mtmtik, psm () di ts ltif sulit utuk dipchk kibt khdi fugsi siusoidl si θ. Utuk mlkuk pdh psol tsbut, lgkh g dpt ditmpuh dlh dg mlkuk hmpi thdp fugsi siusiodl tsbut mllui ui dt pgkt sbgi bikut: 5 siθ θ θ θ... () 6

3 Tliht di hsil hmpi tsbut bhw utuk ksus dg θ <<, suku-suku dg pgkt g lbih di mmiliki hg g sgt kcil, shigg fugsi sius tsbut dpt dihmpii mjdi ksus dg θ << dpt disdhk mjdi: si θ θ. Dg dmiki, psm () utuk d θ g θ () dt l g sc mtmtis juh lbih sdh utuk dipchk. Plu ditkk disii, bhw gmb dimik g dibik olh psm () h blku utuk sudut simpg g ltif sgt kcil d tidk mggmbk dimik g sb bgi gk bdul dg simpg g ltif cukup bs.. Dt Di cotoh pd bgi pdhulu di ts, sc umum dpt disimpulk bhw pgui sutu fugsi k dlm btuk dt pgkt: ( )... f (4) dpt mmbtu kit utuk mdhk sutu modl mtmtik g ltif sulit utuk dipchk. Wlu sjk dii hus kit sdi bhw ui tsbut umum tidk blku utuk smu itvl, tpi stidk k mmbik jwb sbgi ts fom g kit mti. Sc umum, pggu dt dlm Fisik sigkli dibutuhk ktik mmchk poblm-poblm g d. Sblum kit mmbhs sc lbih spsifik mgi dt pgkt g dibik olh psm (4), k ditiju tlbih dhulu pgti dt sc umum. Dt pd ds dlh pjumlh sutu bis bilg g mmiliki kttu tttu, sc simbolik dt dpt ditulis sbgi, dg Σ mtk pjumlh d dlh bis g tkit. Sbgi cotoh dt sli dt pgkt (4) misl dlh:... (5)

4 b ( ) b b b , (5b) dg dlh bilg bult, mupk vibl g dpt bhg bp sj... (5c) d b dlh sbuh bilg kost sbg. Ugkp, b d ( ) dlh bis g dimksud. Shigg jls diplihtk d kttu tttu dlm bis g tdpt dlm dt tsbut. Phtik pul bhw td dlm dt tsbut dpt positif/gtif smu tu mmiliki td g bgti-gti utuk stip bis d lim disbut sbgi dt bolk-blik. Jik pd dt tsbut tdpt tk-higg buh bis mk diktk dt tsbut dlh dt tkhigg. Sc spsifik cotoh pd psm (5b) tidk li dlh dt gomti tu dt uku.. Uji Kovgsi Dt Pt g mucul skg dlh pkh dt tk-higg tsbut k muju k sutu jumlh tttu (kovg) tu tidk (divg). Mislk S m m dlh jumlh buh bis, mk dt tsbut diktk kovg jik lim S dg S < tu dg kt li S bhigg d diktk S divg jik S. Utuk mmiks pkh sutu dt kovg tu divg dpt dilkuk dg mgguk sjumlh pgkt uji. Sutu dt blum ttu dpt dipiks kovgsi mgguk smu pgkt-pgkt g ti k dibhs. Bis sj dt tsbut h dpt diuji kovgsi h dg stu pgkt pmiks... Uji Awl Pmiks ptm kkovg dlh dg mlkuk uji wl itu dg mmiks pkh utuk bis g k tk-higg lim. Jik hl ii tidk tpuhi mk sg dpt kit simpulk bhw dt tsbut divg. Jik tt hl tsbut dipuhi, mk d kmugki dt tsbut kovg, d

5 pmiks lbih ljut hus dilkuk utuk mdpt kpsti.. Jls, uji ii buk utuk mgthui sutu dt kovg tu tidk, ttpi lbih diputukk sbgi lgkh wl plig sdh utuk mghmt wktu, k jik lim mk dg sg kit dpt simpulk bhw dt tsbut divg. Cotoh.. Dt mupk dt tk-higg g divg k jls tliht bhw lim, sdgk utuk dt tk-higg mmiliki kmugki kovg k lim.. Uji Kovgsi Dt Positif Stlh kit mlkuk uji wl d mislk dt g ditiju mmuhi kodisi lim, mk bbp pgkt pmiks sljut utuk mgthui kovgsi. Utuk pmbhs bikut ii, kit k mmbtsi dii pd ksus dg dt g mmiliki td positif utuk smu bis (dt positif). Pguji dt bolk-blik k dibhs sc tpish.... Uji Bdig Uji ii dimksudk utuk mguji kovgsi d divgsi. Utuk mmiks dt g ditiju, kit mmbutuhk sutu dt li g sudh dikthui kovgsi d jug dt li g sudh dikthui divgsi, d kmudi dilkuk pbdig pkh dt g kit tiju misl dg dt g tlh kit kthui kovgsi b d jik mmuhi kodisi < b utuk smu N, mk dt tsbut kovg. Sdgk utuk dt li g tlh dikthui divg misl d, jik mmuhi kodisi mk dt tsbut divg. > d utuk smu N, 4

6 Sbgi dt pmbdig dpt diguk dt gomti g dibik olh psm (5b). Dt ii tidk divg utuk < d dpt dibuktik dg mudh mllui ugkp ( ) b bhw dt tsbut kovg k jumlh (buktik!): b b (6) Cotoh.. Tiju kovgsi dt bikut: (i) d (ii)!. dg ( )( )...!. Mislk utuk psm (6) kit guk b d, shigg dt g mjdi pmbdig dlh. Sbgim tliht di pbdig dlm tbl bikut: ( )! jls tliht bhw utuk dt (i) sllu blku > utuk sluuh shigg dg dmiki dt tsbut divg bdsk uji ii. Sdgk utuk dt (ii) tliht bhw utuk 4 sllu tpuhi kodisi <, shigg dg dmiki! dt (ii) kovg. Plu dictt bhw pmiks dg mgguk uji bdig ii tidk sllu mmbik hsil g sb mgi kovgsi sutu dt, hl ii dikk pd uji ii hsil g dipolh bgtug pd pmilih dt pmbdig g kovg. 5

7 ... Uji Itgl Dlm uji itgl ii, g dilkuk dlh dg mlkuk itgsi sc kotiu thdp dim d. Jik hsil itgsi dt g ditiju tsbut tbts, mk dt tsbut kovg. Sblik jik hsil tk-higg mk dt tsbut divg. Cotoh.. Tiju dt dg p > (sc khusus dt ii disbut p jug dt p-hmoik). Itgsik dt tsbut thdp : C p p C, d p, p p Plu dictt bhw bts itgsi bgi bwh pd psm (7) dlh C g hg tidk hus sllu sm dg ol. Hl ii dimksudk utuk mghidi kmugki kotibusi di bts tsbut bhg tk-higg. Dpt dibuktik bhw bdsk uji bdig utuk dt dg dt pmbdig k mgidiksik dt g divg. Ttpi bdsk uji itgl dt tsbut dlh kovg (which o is coct?!)... Uji Rsio Tiju dt d mislk () Dt kovg jik C < (b) Dt divg jik C > lim C, mk: (c) Pguji tidk dpt mtuk kovg tu divg jik C (7) Cotoh.4. Tiju dg d!! ( ), mk bdsk uji sio dipolh lim lim <. Shigg dg 6

8 dmiki bdsk uji sio ii dt tsbut jug kovg, sbgim g dipolh pd cotoh bgi Uji Bdig Limit Spti hl uji bdig.., pd uji ii jug tbgi ts uji kovgsi d uji divgsi. Jik dlh dt g igi diuji kovgsi d tdpt dt li:. b g tlh dikthui kovg d jik C [,), mk dt tsbut kovg. b. d g dikthui divg d jik tsbut divg. Utuk slg (,) mugki sj dt tsbut kovg. lim b C, dg lim C, C [, ), mk dt d C sbik lkuk uji li k Cotoh.5. Tiju kovgsi di dt ( ). Sbgi pmbdig kit guk dt g dikthui divg. Pmilih ii dilkuk jug dg mimbg bhw utuk ili g bs blku ~ ( ) lim lim ( ). Di sii dipolh >, shigg dt tsbut divg. Sbgi ctt khi, dlm pguji kovgsi sutu dt sigkli dibutuhk pguji dg mgguk lbih di stu pgkt pmiks. Mislk dg c uji bdig kit mmpolh bhw dt g ditiju divg sdgk dg mgguk uji wl mgidiksik kmugki kovg, mk kit ptut cuig bhw pgkt tsbut tidk mmbik jwb g tpt, shigg hus dilkuk pguji dg mgguk pgkt li. Sc umum dpt diktk bhw uji itgl d uji sio mmbik hsil g lbih dpt dipc ktimbg uji bdig, mgigt pmilih dt pmbdig sgt mtuk dlm poss pguji. 7

9 .. Uji Kovgsi Dt Bolk-Blik Sbgim tlh dibik pd psm (5c), dt bolk-blik mupk pjumlh bis g mmiliki td g bubh-ubh di positif d gtif. Utuk mmiks kkovg di dt spti itu, kodisi g k dipuhi jik dt tsbut kovg dlh sbgi bikut:. < dg d dlh ili mutlk bis. b. lim. Cotoh.6. Tiju dt pd psm (5c) dg mtpk. Tliht dt tsbut kovg. dg mudh bhw < ( ) d lim, shigg dg dmiki.4. Kovgsi Mutlk Mislk dt mupk dt bolk-blik, mk blku tom bikut: jik dt mutlk mupk sbuh dt g kovg mk jug kovg. Ttpi tidk blku sblik, jik kovg mk blum ttu kovg. Jik sbuh dt bolk-blik kovg d jug dt mutlk g tkit dg kovg mk dt tsbut diktk mmiliki Kovgsi Mutlk. Sdgk jik dt bolk-blik tsbut kovg smt dt mutlk divg mk dt tsbut diktk mmiliki kovgsi bst..5. Rtg Kovgsi Utuk dt-dt g mgdug vibl bbs ( ), spti g dicotohk pd psm (5b), lgkh sljut g hus dilkuk dlh mmiks pd tg dim dt tsbut kovg. Utuk mgthui tg tsbut, kit dpt mgguk uji sio g tlh dibhs pd bgi.., ki dg miju kodisi ( ) ( ) lim < d k dipolh mpt kmugki tg itu: (), (b) C < < C, (c) C > d > C, tu (c) < <. 8

10 Cotoh.7. Tiju dt ( ). Di uji sio dipolh: lim dipolh < tu >, shigg dg dmiki tg kovgsi dt tsbut dlh < d >. Phtik bhw tg ii tidk mgikut stk ili-ili ujug d. Utuk mguji kovgsi di titik-titik tsbut hus dilkuk dg mgguk uji g li d ii dishk kpd pmbc sbgi ltih. 4. Dt Pgkt d Ui Tlo Spti tlh disiggug pd bgi pdhulu, dlm mmchk bk psol Fisik hus dislsik dg mlkuk hmpi g dipolh sutu modl mtmtik g sc tkis lbih mudh dipchk. Wlu dlm bk hl kit k khilg glits pilku sistm g ditiju, k ttpi c ii sdikit bk dpt mmbtu kit mmhmi pilku sistm dlm sutu tg tttu. Slh stu hmpi g lus diguk dlm Fisik dlh dg mguik sutu fugsi dg mgguk bsis dt pgkt sbgim g dibik pd psm (4). Sc spsifik, pgui sutu fugsi dg bsis poliom dikl dg m ui Tlo. Dlm mguik sutu fugsi dlm dt pgkt tsbut hus diphtik pul tg ili g mmbut ui tsbut kovg. Utuk mmpolh tg tsbut dpt diguk pgkt uji sio g tlh dibhs pd bgi... Sblum kit mmposisik dii utuk mci tg kovgsi, tlbih dhulu k kit bhs mgi ui Tlo bbsisk dt pgkt. Tiju kmbli psm (4) g lbih diplus sbgi bikut: ( ) ( c) ( c) ( c) ( c)... f (8) dg c dlh sutu kost g bhg sbg. Sljut kit k mtuk kofisi-kofisi. Tliht dg mgmbil ( c) c, k dipolh: f (9) 9

11 Sljut utuk mtuk kofisi, difsisik psm (8) d vlusi di titik c shigg dipolh: ( ) df () d Mudh ditbk, bhw utuk mdpt kofisi dilkuk dg mdifsisik du kli psm (8): d f d ( ) d kmbli mgvlusi di titik c ( ) ( ) ( c)!.! c : ( c)... ( )... () d f! () d c Utuk kofis dg c g sup dipolh:. ( ) d f! () d Shigg dg dmiki dipolh ui fugsi f ( ) dg bsis fugsi poliom ( c) sbgi bikut: d f ( ) ( ) ( ) f f c ( c) (4) c! d c Sc spsifik, ui g dibik olh psm (4) dimk sbgi ui Tlo, sdg khusus utuk ksus dg c dimk ui McLui. Ui Tlo mmiliki p g dpt diktk sgt stl dlm Fisik d sud hus mkii dii tlh mmhmi sc bik kosp ui tsbut. Cotoh.8. Uik fugsi f ( ) si tg kovgsi. Dg mgmbil c dipolh: dlm ui Tlo d ttuk si (5) ( si ) d cos d (5b)

12 ( si ) d si (5c) d ( si ) d cos (5d) 6 d 6 6 d stus shigg didptk: 5 si... (6) 6 Ui di ts dpt ditik sbgi ui Tlo utuk f ( ) si di skit titik. Lgkh sljut dlh mtuk tg kkovg ui Tlo (6) dg mmftk uji sio. K dt pd psm (6) mupk dt dg kofisi g tdii ts positif d gtif, mk g k kit tiju dlh uji sio bgi kovgsi mutlk dt tsbut. Utuk itu, tlbih dhulu kit tk psm (6) dlm btuk: Kmudi bdsk uji sio dipolh: ( ) ( ) 5 (... ) (7) 6! lim lim lim ( )! ( ) ( ) ( )! ( ) < K limit di ts bhg ol utuk smu mk ui Tlo utuk f ( ) si mmiliki tg kovgsi (8) < < tu dg kt li blku utuk sluuh hg. Cotoh.9. Jik pd cotoh.8 utuk fugsi sius kit dpt mguik dlm dg mgmbil, tt hl ii tidk blku umum utuk smu fugsi. Sbgi cotoh dlh fugsi f ( ). Dg mgmbil ui Tlo di skit titik sg k kit dptk bhw utuk kofisi sj g dipolh dlh:

13 d d ( ) (9) Shigg dg dmiki jls kit tidk dpt mguik fugsi tsbut dg mgmbil c. Utuk ksus ii, kit dpt mgmbil ili di titik li misl di, shigg kit polh ui sbgi bikut (buktik!): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... () Dg mgguk kmbli uji sio dipolh lim lim < ( ) ( ) () Shigg dipolh tg kkovg dlh < < tu < <. Igt bhw titik-titik ujug d tidk distk. Sbgi sbuh tmbh, ptig utuk dikthui st li g hus dipuhi g sutu fugsi dpt ditk dlm ui Tlo ki st kovgsi sgm. Sc ugkp mtmtik g ktt, st ii dpt ditk sbgi bikut: Misl S ( ) ( ) d S( ) ( ) m m lim g kovg m m dlm sutu tg tbuk ( C,C ), mk jik tdpt sutu ili ε sdmiki shigg ( ) S( ) < ε S blku utuk smu > N d N tidk bgtug pd dlm tg tsbut, mk diktk dt tsbut kovg sgm pd tg tsbut. Bdsk kodisi kovgsi sgm ii, kutug g dipolh di ui Tlo bbsisk dt pgkt ii dlh d kmudh dlm hl mdifsisi d mgitgsik, g dpt dilkuk suku p suku.

14 Dlm bbp hl, kit mugki sj mjumpi btuk fugsi-fugsi g ltif cukup sulit utuk diuik dlm btuk ui Tlo. Utuk itu kit dpt mmftk fugsi-fugsi g sudh dikthui tlbih dhulu ui d slg kovgsi. Mislk sbuh fugsi ( ) u( ) w( ) msig-msig dlh dibik olh: C u d w f dg slg kovgsi C, mk ui Tlo utuk ( ) f di skit titik c du dw f ( ) u( c) ( c)... w( c) ( c)... () d d dg tg kovgsi ui tsbut mupk iis di tg msigmsig ui C C. u w Cotoh.. Tiju fugsi f ( ) si g kp dijumpi dlm psol glombg. Bdsk pgthu kit ttg ui Tlo utuk f ( ) si di skit titik g dibik olh psm (6) mk ui fugsi tsbut dlh: si...! 5! 7!. Utuk mtuk tg kovgsi, tlh kit polh sblum bhw ui si Dlm cotoh ii kit tidk plu ui Tlo utuk fugsi f ( ) di skit mmiliki tg < < 4, sdgk utuk f ( ) dfiisi (buk tg kovgsi!) dlh { < <, } di kdu tg dlh { < <, }. 5. Cotoh Pp dlm Fisik 5.. Hmpi Numik 6 () tg shigg iis Mgguk ui Tlo kit dpt mci hmpi di sutu fugsi f ( ) dg mlkuk pmgks od di ui tsbut ssui dg g kit khdki. Misl kit mlkuk pmgks higg od k, mk djt ktliti g kit polh dpt didkti mllui fomul:

15 R ( ) f ( ) f ( c) ( c)! ( ) d d f m m! m d c d d m f ( c) Dg d dlh titik di t c dg ili g igi dihmpii. Cotoh.. Fugsi smcm f ( ) kp kli ditmuk pp dlm poblm Fisik tkit dg potsil listik Coulomb. Ui fugsi tsbut pd psm () dpt kit tik bhw ili fugsi tsbut di skit titik dg tg < < dpt dihmpii dg kkusi g cukup bik kibt kkovgsi pd tg tsbut. Utuk mmpkik hg fugsi tsbut diskit, misl, kit dpt mlkuk pmgks dt pd psm () higg pgkt g dh sj, misl smpi dg od, m () (,) (,),,99 (4) Bdsk pdkt () djt ktliti dpt dihitug mllui hubug bikut: R ( )! d 4 d ( ) d ( ) d ( c) Ambil misl d, 5 mk ktliti g dipolh bod sbs 6 ~. (5) Cotoh.. Dlm Fisik ltivistik, dikthui bhw gi kitik g dimiliki olh sutu bd g bgk dg klju v diliht olh sog pgmt dlh sbs: E k mc mc (6) v c 4

16 Tiju fugsi f ( ) dg v c. Utuk ksus o-ltivistik, dim <<, ui Tlo fugsi tsbut higg od ptm di skit dlh: (7) Shigg dg dmiki di psm (6) dipolh: E k v mc m c c (8) m v g tidk li dlh ugkp gi kitik utuk ksus o-ltivistik g kit kl. 5.. Puu Psm Difsil d Itgl Sli di pp dlm mmpolh hmpi spti g dicotohk pd bgi 5., ui Tlo jug lim diguk t li misl dlm mumusk psm difsil tu psm itgl g mggmbk dimik sutu sistm g ltif komplks. Cotoh.. Pp ui Tlo utuk psm itgl tkit dg poblm mci potsil listik kibt distibusi mut di sutu titik. Sc mtmtik, itgsi potsil g dijumpi bis sgt umit: V () vol ( ) ρ d cos, (6) Utuk mgtsi, tiju fugsi: f () cos, ε ε cosθ (7) 5

17 dg ε d θ,. Jik disumsik bhw ε <, mk fugsi di dlm td k pd bgi k psm (7) dpt diuik dlm ui Tlo sbgi bikut: ε ε cosθ ( ε ε cosθ ) ( ε ε cosθ ) ε cosθ ε 8 cos θ Ui ii dpt dg mudh dipolh mllui ui Tlo fugsi f ( ) (8) skit, dg ε ε cosθ. Bdsk hsil di ts, mk itgl pd psm (6) dpt dislsik dlm btuk: V ρ (9) () ( ) d cosθρ( ) d... vol Tkik mmpolh potsil dg c ii ii dikl sbgi c Mtod Ekspsi Multipol d k lbih ljut dibhs dlm pkulih Listik-Mgt. Cotoh li dlh pp dlm muuk psm difsil g mggmbk dimik sutu sistm. Misl ktik mmodlk psm utuk glombg pd tli dg mmki sumsi bhw simpg g dilmi olh sutu titik pd tli ltif sgt kcil. Spti g disiggug pd bgi pdhulu, pp ui Tlo ii dimksudk utuk mdhk psol tkit g sig mmbutuhk tkik mtmtik g sgt umit. Ttpi, sjk wl hus disdi bhw pmodl smcm ii tidk mmbik sutu gmb g sift mluuh mgi sistm g ditiju, shigg kdg kit k khilg fom-fom g tbug ktik dilkuk pdh tsbut. vol di 6

18 BAB BILANGAN KOMPLEKS. Pdhulu Sistm bilg komplks pd ds mupk plus di sistm bilg iil. Sistm bilg ii dipklk utuk mmchk sistm-sistm psm ljb g tidk mmpui jwb dlm sistm bilg komplks. Tiju misl sistm psm sdh. Kit k dg cpt mgthui bhw jwb dlh ±. Ttpi bgim dg psm? Psm ii h bbd td sdikit dg g sblum. Kit k sg mjwb bhw ±, ttpi ii bttg dg kosp bilg iil, itu tidk d kudt sutu bilg g bhg gtif. Ats ds iilh kmudi dikmbgk kosp bilg bu dlm stu i g jik dikudtk k bhg gtif tu i. K sift g tidk dijumpi dlm sistm bilg iil (t) mk bilg tsbut dimk bilg imji (khl). Dlm Fisik, sistm komplks mmgg p g ptig spti misl dlm mmplji glombg, gki listik smpi dg pggmb dimik ptikl sub-tomik.. Bilg Komplks Bilg komplks didfiisik sbgi kombisi lii t bilg iil dg bilg imji sbgi bikut: ib () dg mupk bgi iil di bilg komplks d b dlh bgi imji. Utuk mulisk msig-msig bgi diotsik sbgi: R( ), b Im( ) () Bbd dg sistm bilg iil g mmiliki kosp uut dim stu bilg dpt lbih bs tu lbih kcil, mk dlm sistm bilg komplks kosp tsbut tidk dikl. 7

19 .. Bidg Komplks, Rpstsi Ktsi d Pol Jik dlm sistm bilg iil kit dpt mpstsik dlm sutu gis luus spti g diilustsik pd gmb (), mk bilg komplks lim dipstsik dlm sutu bidg ktsi g dimk sbgi bidg komplks spti g diilustsik dlm gmb (b) dg sumbu-sumbu R( ) d Im( ). b θ () (b) Dlm pstsi ii, utuk stip bilg komplks ib, kit dpt mgitk dg sutu titik (, b) di dlm sistm koodit ktsis. Pjg gis luus di titik (,) k (, b) dimk Modulus Bilg Komplks tu, sdgk sudut θ t sumbu R ( ) dg gis miig g ditujukk pd Gmb (b) dimk Agum Bilg Komplks tu gum di bilg tsbut dlh: g. Bs modulus d b () b g ct (b) Di du dfiisi ii, kit dpt pul mtk titik pd bidg komplks tsbut dlm pstsi Pol, itu dg mtk titik (, b) mjdi (, g ), dim kdu pstsi tsbut dihubugk olh psm: Gmb cos( g ), b si( g ) (4) 8

20 Cotoh.. Ntk bilg komplks A i, B i, C i d D i dlm pstsi ktsis d pol. Dlm pstsi ktsis, titik-titik tsbut dibik olh A (, ), B(, ), C(, ) d (, ) tsbut dlm bidg komplks diilustsik dlm gmb di bwh. D dg posisi titik-titk D (,) A (,) C (, ) B (, ) Utuk mtuk pstsi dlm btuk pol, mk tlbih dhulu kit ci modulus msig-msig titik st gum. Bdsk psm () kit polh π utuk bilg A i misl, A d g A ct, 4 shigg dg dmiki pstsi dlm btuk pol dibik olh A (, π 4). Dg c g sm dipolh utuk bilg g li (,7π 4) C (,5π 4) d D (,π 4). B,.. Komplks Kojugt Utuk mtuk bs modulus bilg komplks sbgim g dibik pd psm (), dipklk kosp uit bilg kojugsi i* i, dg i * i, shigg dpt didfiisik komplks kojugt utuk bilg komplks : * i * b ib Jls di sii bhw utuk mmpolh modulus g dibik dlm psm () dpt dilkuk mllui ugkp: * b ( ib)( ib) (5) (6) 9

21 Cotoh.. Tiju bilg komplks A i. Komplks kojugt bilg tsbut dlh: A i... Aljb Bilg Komplks Spti hl bilg iil, pd bilg komplks jug blku opsi-opsi ljb spti pjumlh, pgug, pkli d pmbgi. Mislk kit mmpui du bilg komplks sbut sj ib d ib, mk utuk opsi-opsi ljb tsbut blku: () Pjumlh: (b) Pgug: (c) Pkli: (d) Pmbgi: ( ib ) ( ib ) ( ) i( b b ) ( ib ) ( ib ) ( ) i( b b ) ( ib ) ( ib ) ( b b ) i( b b ) ( ib ) ( ib ) ( ib )( ib ) b b i( b b ) * * b b Jls tliht di hubug di ts bhw pd khi msig-msig opsi tsbut dilkuk pglompok ts bgi iil d imji. pmbgi Cotoh.. Tiju du bilg komplks A A dlh: ( i) ( i) 8 ( i) ( i) B B i. (7) (8) (9) () A i d B i, mk hsil

22 . Psm Komplks d Kuv pd Bidg Komplks Psm komplks dlh sbuh psm g mgdug vibl komplks, misl mupk vibl iil. i i dlh cotoh psm komplks dg d Du bilg komplks dlh sm jik d h jik bgi iil sm, dmiki pul bgi imji. Mislk kit mmiliki psm komplks f (, ) ig(, ) f (, ) ig (, ) dipchk dlh jik f (, ) f (, ) d g (, ) g (, ), mk st g psm ii dpt. Cotoh.4. Ci pmch psm komplks dg i. Ntk psm tsbut dlm vibl iil d sbgi bikut: ( i). Sljut kit jbk psm tsbut mjdi: i, shigg di polh psm utuk bgi iil d imji msig-msig (i) d (ii). Di psm (ii) jik mk di psm (i) dipolh d k shus mupk bilg iil, mk hsil ii buk pmch psm g kit tiju. Jik, mk dipolh g mmbik ili iil bgi vibl { ±, } tu ±.. Dg dmiki pmch psm tsbut dlh Jik kit mmiliki sbuh sbuh psm komplks g mmbik h stu psm iil tu ( ) C f dim i, dg ( ) f d C msig-msig bhg iil, mk sistm psm tsbut k mmbik pmch dlm vibl d g slig tgtug, shigg mggmbk sutu kuv dlm bidg tsbut. Cotoh.5. Ttuk kuv g tkit dg psm. Ugkp psm tsbut dlm vibl d dlh: i ( ). Kudtk kdu us dipolh psm ligk ( ) pust di (, ) d bji-ji. dg titik

23 4. Dt Pgkt Komplks d Ligk Kovgsi Spti hl ktik kit mmbhs dt pgkt pd sistm bilg iil pd bb, dlm sistm bilg komplks kit jug dpt mmbgu sutu dt pgkt tk-higg g didfiisik sbgi: dg ( ) S () i, d mupk bilg komplks. Utuk mguji kovgsi di dt tsbut, kit dpt mmki kmbli smu pgkt g tlh kit bhs di bb llu. Cotoh.6. Tiju dt bikut: ( ) () Utuk mtuk kovgsi di dt pgkt komplks bolk-blik ii kit uji tlbih dhulu kovgsi mutlk. Di lim d < jls bhw dt ii kovg k mmuhi st kovg mutlk. Sljut utuk mgthui hg g mmbut dt tsbut kovg kit guk uji sio: lim < () ( ) Dg dmiki dipolh utuk hg < dt () kovg. Mgigt tidk li dlh kuv ligk dlm bidg komplks, mk utuk smu ili (, ) g bd di dlm kuv tsbut dt tsbut kovg. Utuk (, ) g bd tpt di ligk itu ktik, mk kit hus mlkuk uji tpish utuk mtuk kovgsi d mgigt lisis pmiks cukup pjg, mk hl ii tidk kit lkuk. 5. Fugsi Eksposil Komplks Spti hl pd pmbhs dt pgkt iil, stip dt pgkt komplks g kovg k mdfiisik sbuh fugsi f ( ) dg vibl komplks

24 dlm dh kovgsi dt tsbut d dt tsbut sc khusus dimk sbgi ui Tlo. Skg kit k miju ui Tlo di fugsi komplks ( ) skit sbgi bikut (buktik!): f di!!! 4 4!... (4) Dpt dibuktik bhw dt! kovg utuk sluuh, shigg ui Tlo fugsi ( ) f jug mmiliki tg kovgsi g sm. Dpt diplihtk pul bhw pkli d pmbgi du fugsi ksposil komplks jug mmuhi hubug g sm dg fugsi ksposil iil itu: ( ) (5) Mislk kit mbil ( ) (5b) i tu mui bilg imji. Dg mmsukk k dlm psm (4), kmudi mglompokk dlm bgi iil d imji dipolh: i i... (6)! 4! 6!! 5! 7! cos si Bgi imji di us k psm (6) tidk li dlh ui Tlo utuk fugsi si, sdgk bgi iil dpt ditujukk mupk ui Tlo fugsi cos. Shigg dg dmiki kit dpti bhw btuk fugsi ksposil bilg imji kuivl dg pstsi tigoomtik: i cos i si (7) Hubug g dibik olh psm (7) di ts dikl sbgi umus Eul.

25 π 4 π Cotoh.7. Nili di i cos isi ( i) π 4 Bdsk pstsi dlm btuk pol g dibik pd psm (4), mk btuk i kii dpt kit tk dlm btuk sbgi bikut: 4 ( cosθ i siθ ) (8) dg d θ g, d bdsk umus Eul pd psm (7) btuk di ts dpt diubh mjdi: iθ (9) Cotoh.8. Ntk bilg komplks A i k dlm btuk ksposil komplks. Modulus bilg tsbut dlh: A d gum g A ct π, shigg pstsi dlm btuk ksposil 6 komplks dlh 6 iπ A. 6. Pgkt d Ak Komplks Di hsil pkli du bilg komplks g dibik pd psm (5), mk pgkt iil di sutu bilg komplks, dg dlh bilg bult, dlh: iθ iθ ( ) () Rumus pd psm () di ts lim dikl sbgi umus d Moiv. Mgigt iθ ( ) ( cos θ i siθ ), mk blku hubug bgus bikut: ( cos θ i siθ ) cos θ i si θ () K θ pd ksposil komplks dpt dihubugk dg gum di fugsi sius d kosius, mk tp mgubh pstsi, mk blku hubug bikut: imπ k. iθ i( θ mπ ) () 4

26 Bdsk psm () d di hsil pmbgi du bilg komplks g dibik pd psm (5b), mk k pgkt di bilg komplks tu dibik olh: i ( θ mπ ) [ cos( θ mπ ) i si( θ mπ ) ] () Cotoh.9. Jik A i hituglh 4 A. Di cotoh.8 dikthui 4 iπ 6 4 iπ 4 π π shigg A ( ) 6 tu A 6 cos i si 8( i ) 4 6 iπ A, Cotoh.. Hituglh k-k psm komplks 4. Tiju imπ ( ) 4, shigg kmpt k tsbut dlh mπ mπ m cos i si dg m,,, 4 g msig-msig dlh: (i) i i (ii) i (iii) i i (iv) 4 i. 7. Fugsi Tigoomti, Hpbolik d Logitm Komplks Di umus Eul pd psm (7), kit dpt mtk fugsi-fugsi tigoomtik si θ d cos θ dlm btuk fugsi posil komplks ( θ ) cosθ d si( θ ) siθ cos θ, mk blku:. iθ. K i cosθ isiθ (4b) iθ Pmch kdu psm (4) mmbik: iθ ( ) cos θ i siθ (4b) iθ iθ cosθ (5) iθ iθ siθ (5b) i Plus psm (5) k btuk komplks dpt dilkuk dg mggti vibl iil θ mjdi vibl komplks. Plus ii mmbik fugsi tigoomtik komplks: i i cos (6) 5

27 i i si (6b) i si, Cotoh.. Tujukk hubug α cos β ( si( α β ) si( α β )) dg α d β dlh vibl iil. Bdsk psm (5), mllui mupulsi bikut dipolh: iα iα iβ iβ α β si cos i i( α β ) i( α β ) i( α β ) i( α β ) i i( α β ) i( α β ) i( α β ) i( α β ) i i ( si( α β ) si( α β )) Mislk kit mbil bilg komplks tsbut mui kutits imji tu i, mk dipolh: i( i) i( i ) cos i (7) i( i) i( i) si i i (7b) i Btuk di ts mdfiisik fugsi hipbolik: cosh (8) sih (8b) Bdsk psm (7) tliht bhw cos i cosh d si i i sih. Spti hl plus fugsi tigoomtik iil k tigoomtik komplks g dilkuk dg mgubh vibl iil θ mjdi vibl komplks, mk plus fugsi hipbolik iil pd psm (8) k btuk komplks jug dilkuk dg mgubh vibl iil mjdi vibl komplks. 6

28 Skg kit tiju fugsi logitm komplks: f ( ) l (9) Bdsk pkli du fugsi komplks g dibik pd psm (5), spti hl g blku bgi fugsi logitm iil, mk: ( ) l l l () i Tiju kmbli vibl dlm pstsi pol ( θ mπ ), dg m, ±, ±... d π < θ, mk fugsi logitm () dpt ditulisk mjdi: l i ( ) ( θ mπ ) i ( θ mπ l L l ) L i( θ mπ ) l logitm iil. K l, mk dg dmiki dipolh:, d " L" mtk l ( ) L i( θ mπ ) () Cotoh.. Dlm sistm bilg iil, kit thu bhw hg di l( ) tidk tdfiisi, tpi bdsk psm (), jik kit mdfiisik mk dipolh bhw ( ) L { i( π mπ ) i( π mπ ) l 8. Rpstsi Fugsi Komplks. i( π mπ ) Sc umum, bdsk umus Eul, smu fugsi komplks f ( ) sllu dpt ditulisk dlm btuk tu dg d sblik blku: f f iθ ( ) ( ) (,, ) () ( ) (, ) [ cosθ (, ) i siθ (, ) ] u(, ) iw(, ) (, ) (, ) cosθ ( ) (, ) (, ) siθ ( ) () u, (4) w, (5b) (, ) u (, ) w ( ) w ( ) (, ), ct u(, ), (6) θ (6b) 7

29 Cotoh.. Ntk fugsi ( ) f dlm pstsi pol. Kit ubh tlbih dhulu fugsi tsbut k dlm vibl d : i, dg dmiki u(, ) d w( ) θ. d (, ) ct 9. Cotoh Pp dlm Fisik,, shigg ( ) ( ), 4 Sistm bilg komplks sigkli diguk di dlm Fisik utuk mmbtu kit mggmbk sutu gjl sc lbih sdh. Sigkli pul bhubug dg fugsi-fugsi komplks lbih mudh dilkuk ktimbg fugsi-fugsi iil. Rpstsi komplks kdg jug dipluk utuk mmbik gmb fisis sutu fom, spti misl gjl plmh glombg lktomgtik di dlm bh. Bikut dlh du cotoh g di jumpi dlm Fisik. 9.. Gjl Itfsi olh N Clh Dlm kji mgi gjl glombg, khusus itfsi pd l g di kibtk olh khdi N buh clh, kit dihdpk dg psol pjumlh fugsi tigoomtik iil bikut: siδ si δ si δ...si Nδ si δ (6) Mllui pumus Eul, ki dg mmftk kt bhw fugsi siusoidl N si δ dlh bgi imji di ksposil komplks pd psm (6) tidk li mupk bgi imji di dt: iδ, mk dt N iδ Dt di ts tidk li mupk dt gomti b N (7) itu dg b d iδ. Tlh dikthui pul jumlh g kovg dt gomti tsbut dlh N b( ) sbs shigg utuk ksus g kit tiju dipolh: 8

30 inδ ( ) iδ (8) Ugkp inδ pd psm (8) di ts dpt disdhk dg inδ inδ inδ inδ mulisk ( ) dipolh inδ i iδ iδ δ N si inδ δ, kmudi bdsk psm (5). Dg c g psis sm jug dipolh i si. Substitusik kdu hubug tsbut k dlm psm (8) dipolh: inδ si Nδ i( N ) δ si Nδ (9) iδ siδ siδ K g kit ci dlh bgi imji di dt (7) mk hsil dipolh dlh: N si δ si ( N ) δ si Nδ si δ 9.. Pmbt Glombg Elktomgtik di dlm Bh (4) Pmbt glombg listik dg mplitudo kost k h di dlm bh digmbk olh psm Hlmholt bikut: ( ) d E ω E( ) (4) d c Dim E dlh mplitudo glombg listik, ω dlh fkusi sudut glombg d idks bis bh g dillui. Psm difsil di ts mmiliki solusi sdh bup fugsi sius bikut: tu dpt pul bbtuk fugsi cosius: dg E dlh mplitudo mksimum d E E ( ) E si( k) (4) ω (4b) c k ω c dimk bilg glombg. ( ) E cos Kdu solusi sm-sm mmuhi psm Hlmholt (4). Bdsk fkt ii, kit dpt mgguk pstsi komplks utuk glombg listik tsbut dg mulisk kmbli sbgi bikut: 9

31 ik ( ) E E (4) Utuk mmplotk solusi tsbut dlm sistm bilg iil, kit dpt mgmbil bgi iil tu bgi imji sj, k kdu sc pisip mggmbk kd g sm. Dlm kbutuh utuk mci bs-bs spti distibusi gi listik di dlm bh, glombg listik dlm pstsi komplks pd psm (4) lbih mmudhk dlm pmki ktimbg pstsi iil pd psm (4). Jik bh g kit tiju mupk bh g dpt mp glombg tsbut shigg tjdi tusi (plmh) tu bh g bsoptif, mk kit dpt mlkuk modifiksi pd psm Hlmholt (4) dg mmsukk idks bis bh dlm btuk komplks sbgi bikut: dg i (44) dlh bgi imji idks bis g tkit dg tusi glombg. Bdsk modl ii, kit k mdptk bhw pmch psm (4) dg btuk sbgi bikut: Tliht bhw suku k k ik ( ) E E (45) o, dg k ω c, dlh bgi g btggug jwb ts pistiw tusi tsbut. Utuk mggmb psm (45) dlm sistm bilg iil spti ditujukk pd gmb, kit dpt mgmbil, misl, bgi iil sj: R E k ( ) E cos k (46) o E R E( ) k k cos k Gmb

32 BAB RUANG VEKTOR DAN MATRIKS. Pdhulu Kosp mgi vkto di dlm Fisik mmik p g sgt fudmtl dlm gk mmbik kjls ts fom g dibhs. Sc Fisik, vkto dlh c mpstsik sutu bs fisis tttu g mmiliki bs d h. Bs-bs g digmbk dg mgguk kosp vkto di t dlh kcpt, pcpt, md listik d md mgt st msih bk lgi cotoh li. Plus di kosp vkto dimk tso. Sc mtmtik, tso dpt dipstsik dlm btuk mtiks, dmiki jug dg vkto g dpt ditulisk dlm btuk mtiks kolom. Bs Fisik g dipstsik dlm btuk tso t li misl tk d pmitivits bh dilktik. Pd bb ii, kit k mmplji sc khusus pgti di vkto sbgi lm di sutu ug vkto st ljb vkto. Sbgi psip utuk mmplji kosp tso pd mti pkulih Fisik Mtmtik II, kit k pul mmplji kosp mgi mtiks. Sli di kplu utuk mmplji tso, mtiks jug mmiliki kgu li spti misl utuk mmchk psm lii dg buh vibl g tidk dikthui.. Rug Vkto Ad bk objk Mtmtik g diguk dlm Fisik g mmbolhk kit utuk mlkuk pjumlh, d pkli dg sutu bilg skl. Kumpul objk Mtmtik g mmuhi pst spti itu dimk ug vkto. Sbuh ug vkto mmiliki bbp sift bikut:. Jik kit mjumlh du ggot, mk k dipolh g ggot li di ug vkto tsbut. Misk d b W, dim W dlh sbuh ug vkto mk b c W.

33 . Jik kit mglik stu ggot dg sbuh bilg g disbut skl, mk kit jug k mmpolh ggot li di ug vkto tsbut. Mislk α dlh sbuh skl, mk α W.. Opsi pkli dg skl d pjumlh bsift distibutif, α ( b ) α α b. 4. Sllu tdpt vkto ol sdmiki shigg. 5. Tdpt sbuh vkto, shigg ( ). Jik skl α dlh bilg iil, mk ug vkto tsbut dimk ug vkto iil, sdgk jik sbuh bilg komplks, dimk ug vkto komplks. Utuk sljut kit k mmbtsi dii pd ug vkto iil sj. Dg mgguk du opsi pkli dg skl d pjumlh, kit dpt mmbut sutu pjumlh bikut: α α... α α W () dim α dlh skl iil. Pjumlh pd psm () dimk kombisi lii di buh vkto d kofisi α dimk kompo di kombisi lii. Jik kit dpt mjumlhk α dg α mk diktk vktovkto tsbut slig bgtug sc lii, sdgk jik smu α mk diktk vkto-vkto tsbut tidk slig bgtug sc lii d dimk vkto bsis. Sbuh ug vkto g didlm didfiisik pjg di sbuh vkto dimk ug vkto bmtik tu ug mtik.. Rug Vkto Riil Tig Dimsi Cotoh sdh ug vkto bmtik g sudh kit kl dlh himpu vkto-vkto dlm koodit ktsis tig dimsi spti g diilustsik pd gmb. Mislk tdpt tig vkto g kit lblk dg, d d msig-msig mmiliki h k sumbu, d positif, mk jik kit mlkuk pjumlh bikut:

34 dg A,, A A A A () d W, smt A, A d mupk kompo di vkto A tsbut. K, A dlh skl iil g d slig tgk luus stu sm li dlm sistm koodit ktsi g kit tiju, mk tliht bhw kodisi A h dpt dipuhi jik A A A, shigg dg dmiki,, tidk li dlh vkto bsis pd ug vkto ktsi tig dimsi. Gmb Pjg sbuh vkto ditulisk sbgi A d sc spsifik k diguk sljut bhw ktig vkto stu dlm koodit ktsis mmiliki pjg. Ktig vkto bsis tdi lim dimk sbgi vkto bsis stu tu vkto stu sj. Utuk vkto g mupk kombisi lii di ktig vkto stu tsbut, spti g dibik olh psm (), pjg didfiisik sbgi: A A A A () Cotoh.. Tiju sutu titik g bd pd koodit (, 4) pd sistm koodit ktsis. Ttuk vkto posisi titik tsbut d pjg. Di posisi titik tsbut dikthui d 4, shigg vkto posisi g dimksud dlh: 4 sdgk pjg dlh

35 4.. Pjumlh Vkto Jik kit mjumlhk du tu lbih vkto, mk kit k mmpolh hsil pjumlh jug dlm btuk vkto g bis disbut sbgi vkto sult. K vkto mmiliki bs d h, mk pjumlh tidk spti kit mjumlhk bilg skl bis. Pjumlh vkto mmiliki kmiip dg mjumlhk bilg komplks. Jik pd pjumlh komplks bgi iil dijumlhk dg bgi iil dmiki jug bgi imji dg bgi imji, mk pd pjumlh vkto g dilkuk dlh dg mjumlhk sc ljb bis bgi g sh. Mislk kit mmiliki A A A A d B B B B, mk pjumlh d pgug t kdu dlh: ( ) ( ) ( ) C B A B A B A B A (4) ( ) ( ) ( ) D B A B A B A B A (4b) Sc gfik, kit dpt mmidh-midhk posisi di sbuh vkto pd sistm koodit ktsis slm h d pjg tidk bubh spti g di cotohk pd Gmb, shigg pjumlh B A dpt pul dilkuk dg mmptmuk kpl vkto A dg ko vkto B. Du buh vkto diktk pll jik kofisi-kofisi sbdig tu dg kt li mmuhi kodisi bikut: B A B A B A (5) B A C B A C Gmb

36 .. Pkli At Vkto Dlm ug vkto, sli blku pjumlh, dpt didfiisik jug opsi li itu pkli tu poduct. Pkli t du vkto diklsifiksik ts pkli skl (scl poduct) tu pkli titik (dot poduct), d pkli vkto (vcto poduct) tu pkli silg (coss poduct). Sli itu d lgi pkli li g dimk pkli lgsug tu dict poduct. Pkli skl k mghsilk sbuh skl, d pkli vkto k mghsilk sbuh vkto sdgk pkli lgsug k mghsilk sbuh tso. Pd pmbhs sljut kit h k mmbtsi dii pd ksus pkli skl d vkto sj, sdgk pkli lgsug g mghsilk tso k dibhs pd mti Fisik Mtmtik II.... Pkli Skl Pkli skl t du buh vkto, misl A d B, ditulisk sbgi A B d didfiisik sm dg pkli t pjg vkto kdu vko d cosius sudut t kdu vkto tsbut: A B A B cosθ (6) dg θ A, B, g hsil mupk sbuh bilg skl d bsift komuttif: A B B A. Sc gomti, pkli ii dpt ditik sbgi pkli t pjg sutu vkto dg poksi vkto li pd h vkto tsbut. Tliht pd Gmb, hsil pkli B cosθ mupk pjg di kompo vkto B g sh dg vkto A. B θ B cosθ A Gmb 5

37 Bdsk dfiisi pkli skl g dibik pd psm (6), tdpt o du sudut khusus ki θ, ki ktik du vkto sh d θ 9 ktik kdu slig tgk luus. Mislk A d B slig tgk luus mk: A B A B cos 9 o (7) Sdgk utuk pkli skl t vkto A dg dii sdii, g ttu sj sh, dlh: A A A A cos o A (8) Skg phtik btuk pulis vkto g dipstsik dlm vkto stu, d spti g dicotohk pd psm (), mk bdsk psm (7) kit dptk bhw: (9) sdgk di psm (8) Mislk vkto A A A A B B B B, mk: d A B A B A B A B () () Sdgk pjg sbuh vkto dpt dihitug mllui: A A A A A A Cotoh.. Tiju vkto bikut: A () B. d Ttuk sudut dit kdu. Bds psm-psm (6) d (9), sudut AB A B A B t kdu dpt dipolh mllui hubug cos θ, A B dg A 4 d B 4, dihitug bdsk psm (). Dg dmiki dipolh: 4 o shigg θ ccos 7. 4 ( ).. ( ). 4 cosθ, 4 4 6

38 ... Pkli Vkto Jik pd pkli skl dihsilk sbuh bilg skl, mk pd pkli vkto dihsilk sbuh vkto pul. Pkli vkto t vkto A d B ditulisk sbgi A B C () Dim C dlh vkto hsil pkli g dg bs dlh: C A B siθ (4) Sdgk h vkto C, sbgim diilustsik pd Gmb 4(), dittuk olh kidh tg k, sm spti ktik kit mtuk h sumbu-sumbu koodit ktsis tig dimsi, ki dg mmut di vkto A k h B shigg mmbtuk sutu bidg d h vkto C tgk luus bidg tsbut. Jls tliht di Gmb 4(b), bhw pkli ii bsift ti-komuttif: A B B A. C θ A () B C θ (b) A B B θ (c) A Gmb 4 Mik utuk dictt bhw bs vkto C pd psm (4) tidk li dlh lus jj gjg spti g tliht pd Gmb 4(c), dg vkto C tgk luus bidg tsbut. Sc khusus kit dpt mdfiisik sbuh vkto stu g disbut sbgi vkto oml tgk luus bidg si pd Gmb 4(c): C A B (5) C A B 7

39 8 Kmbli pd ug vkto tig dimsi pd koodit ktsis, bdsk ptu h vkto hsil pkli ii, mk utuk vkto stu, d dipolh (buktik!): (6),, (6b),, (6c) Di sii kit polh utuk pkli vkto B A dg A A A A d B B B B : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B B A A A (7) Cotoh.. Tiju vkto-vkto A d B. Ttuklh vkto oml bidg dt g mghubugk kdu vkto tsbut, d buktik bhw vkto oml tsbut tgk luus dg vkto A d B tsbut. Bdsk hubug g dibik pd psm (5), mk kit tlbih dhulu hus mci pkli vkto kdu d di psm (7) kit polh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Shigg B A 4 8, d pjg B A. Dg dmiki didptk vkto oml bidg dt g bsgkut dlh: Tiju pkli skl A, bdsk psm () kit dptk ( ) ( ) ( ) A, shigg dg dmiki kdu tgk luus. Dpt dibuktik dg c g sm bhw B.

40 .. Psm Gis Luus d Bidg Dt... Psm Gis Luus Pumus mgi vkto g tlh kit bhs tdi dpt ditpk utuk mci psm di sbuh gis luus. Mislk kit mmiliki du buh titik di dlm sutu koodit ktsis (utuk sdh kit tiju ksus du dimsi) spti pd Gmb 5, itu (, ) d ( ),. Kdu titik tsbut dpt ditk posisi dlm btuk vkto msig-msig d, shigg kit g tkit dg psm gis mmpui vkto ( ) ( ) g kit ci. Mislk kit jug mmiliki vkto g pll dg gis g kit igi kthui psm, mk di st du vkto pll g dibik pd psm (5) dihsilk: Psm (7) mupk psm gis luus g dimksud, d plus utuk sistm tig dimsi dibik olh: (7) (8) Gmb 5 Cotoh.4. Ttuk psm gis luus g mlwti titik-titik (,, 5) d b (,, ). Vkto g pll dg gis luus g dimksud dlh 9

41 b. Dg dmiki, psm gis g dimksud dlh:. Nili, d dpt dimbil di slh stu titik g dikthui, misl, kmudi dimsukk k dlm psm g kit polh, 5 shigg didpt psm khi dlh:.... Psm Bidg Dt Sc umum, sbuh psm bidg dpt ditk sbgi (,, ) f. Khusus utuk bidg g mupk bidg dt, mk psm tsbut dpt ditulisk sbgi bikut: c c c c (8) dg, c c d c, c dlh kostt. Kmudi mislk di bidg tsbut tdpt vkto: (9) ( ) ( ) ( ) g mmbtuk sbuh gis sbg, spti diilustsik pd Gmb 6. (, ), (,, ) Gmb 6 Sljut utuk mmpolh psm tsbut, kit hus mgthui plig sdikit du buh gis luus g bd pd bidg tsbut. Mislk kdu gis tsbut dlh d b, mk di kdu kit dpt mmpolh ifomsi mgi vkto g tgk luus dg bidg tsbut N b di bidg tsbut. Mislk btuk di vkto oml tsbut ditulisk sbgi N c c c, 4

42 mk psm bidg (8) k dipolh mllui hubug N c c c c. dim Cotoh.5. Mislk pd sutu bidg tdpt du buh vkto msig-msig d b, mk vkto oml bidg g dibtuk dlh N b 6 8, shigg dg dmiki dipolh psm bidg dlh Mtiks Mislk kit mmiliki sutu susu bilg spti g dicotohk di bwh ii: 5 (i), (ii) tu (iii) () Mk susu bilg g ditu sdmik up dlm fomt bis d kolom g mmbtuk sbuh psgi tsbut dimk Mtiks. Sbuh mtiks A diktk buku ( m ) jik mmiliki m bis d k kolom, dg lm pd bis k i d kolo k j dilmbgk dg ij, kolom k j A L M ij M L bis k i () Dg idks i bjl di i higg i m, sdgk idks j di j higg j. Bil jumlh bis d kolom sbuh mtiks sm tu tsbut dimk sbgi mtiks buju sgk buku m, mk mtiks, tu disbut mtiks bod. Jik stip lm sbuh mtiks mupk bilg iil, mk mtiks tsbut dimk mtiks iil. Sdgk jik skug-kug tdpt stu lm g bbtuk bilg komplks, mk mtiks tsbut dimk mtiks komplks. Smu opsi mtiks g k dibhs bikut ii blku bik utuk mtiks iil 4

43 mupu mtiks komplks.sbuh mtiks A buku sigkli ditulis sc igks dlm btuk A { ij }. m dg lm ij 4.. Aljb Mtiks Du buh mtiks dlh sm jik d h jik kdu mmiliki uku g sm d stip lm pd bis d kolom g sm jug mmiliki hg g sm. Jdi, jik A { ij } dg uku B g b ij m d tdpt mtiks li { } buku p q, mk kdu sm jik m p d q, st ij bij utuk smu i d j Pjumlh d Pgug Mtiks Du buh mtiks A d B g buku sm dpt dijumlhk tu dikugk dg hsil jug mupk sbuh mtiks bu, sbut sj C, g buku sm. Elm di mtiks C ii mupk hsil pjumlh tu pgug di lm-lm mtiks A d B g bd pd posisi bis d kolom g sm. Jdi, mislk { ij } m, mk A ± B C dg { c } { } ± { b } A B mudh bhw Cotoh.6. Mislk ij A d { } ij ij B msig-msig buku b ij 4 A d B, mk: 4 A B Pkli dg Sbuh Skl 4 ( ) 7. Dpt dihitug dg Pkli sbuh mtiks A dg sbuh bilg skl c, mghsilk sbuh mtiks bu B dg uku g sm d lm-lm mupk hsil kli dlm mtiks A dg c. Mislk { ij } ca B, dg { } A dg uku m, mk B b ij dlh mtiks dg uku m dim b ij cij. Cotoh.7. Mislk 6 A, mk A. 4 4

44 4... Pkli Mtiks buku Sbuh mtiks A buku m dpt mglik sbuh mtiks B p di kii, g mghsilk sbuh mtiks C AB dg uku m p. Elm dlm bis k i d kolom k j di mtiks C dlh jumlh di: c ij k k b b b... b b () i j i j Psm () mgtk: lm k i d j di mtiks hsilkli i j i j ik kj AB C, dibik olh jumlh hsil kli stip lm mtiks A dlm bis k i, stu p stu, di kii k k dg lm mtiks B dlm kolom k j di ts k bwh. Cotoh.8. Tiju pkli t mtiks d mtiks A buku b b B b b buku. Ttuk uku mtiks C lm- b b lm di mtiks tsbut. Uku mtiks C dlh ( ) ( ) ( ) Bdsk psm (), lm-lm dlm mtik C tsbut dlh:. b b b b b b c c c c c b b b b b b b b b c c c c c b b b b b b b b b c c c c c b b b b b b b b b c c c c c b b b 4

45 Sc umum pkli du buh mtiks tidk mmuhi sift komuttif ki: AB BA. Jik kdu mtiks mmuhi kodisi AB BA, mk diktk kdu slig komut. 5. Mtiks d Sistm Psm Lii 5.. Pmch dg Mtod Rduksi Bis/Elimisi Guss Fomulsi mtiks sigkli diguk utuk mmchk sistm psm lii mllui mtod Rduksi Bis tu Elimisi Guss. Tiju sistm psm lii dlm vibl,, sbgi bikut: () 7 (b) 4 (c) Sc kovsiol, g dpt kit lkuk dlh dg mlkuk substitusi bulg-ulg, smpi kit mmpolh solusi psm (). Lgkh bulg g dimksud tsbut misl: di psm () kit polh, kmudi kit msukk k dlm psm (c), shigg psm tsbut mjdi, shigg sistm () kii mjdi:, 7,. Lgkh sup dpt tus kit lkuk smpi dg kit bhsil mmpolh solusi g dimksud. Ttu sj lgkh ii kug tpogm. Dg mgguk mtod duksi bis, g pd ds sm dg poss kovsiol ii, kit dpt mmbut mjdi lbih tpogm Sistm psm () di ts dpt ditulisk dlm btuk psm mtiks AX B sbgi bikut: 7 { { A X B Mtiks A pd psm (4) disbut jug sbgi mtiks kofisi. Mllui mtod duksi bis kit dpt mlkuk lgkh-lgkh bikut thdp mtiks A d B sc simult: (4) 44

46 45. Mukk posisi du buh bis.. Mglik sbg bis dg sbuh kostt tidk ol.. Mjumlhk tu mgugk hsil sbuh bis dg bis g li. Hsil g dihpk di lgkh-lgkh tsbut dlh dihsilk sbuh mtiks bbtuk: c c c (5) Shigg solusi di sistm psm lii g dimksud dibik olh: c, c, c (6) Utuk mgimplmtsik mtod ii, kit dpt mmbtuk sutu mtiks bu ( ) B A g lm mupk gbug di mtiks A d B g lim disbut sbgi mtiks plus (ugmtd mti). Mtiks plus utuk ksus psm (4) dlh: ( ) 4 7 B A (7) Kii kit tpk lgkh-lgkh g tlh disbutk tdi pd mtiks (7): Lgkh. Tukk bis d : 4 7 Lgkh. Kugk bis dg bis : 7 Lgkh. Tukk bis dg bis : 7

47 46 Lgkh 4. Klik bis dg : 4 Lgkh 5. Jumlhk bis dg bis : 4 Lgkh 6. Klik bis dg : Lgkh 7. Jumlhk bis dg bis : Lgkh 8. Klik bis dg : Lgkh 9. Jumlhk bis dg bis : Lgkh. Klik bis dg :

48 Lgkh. Jumlhk bis dg bis : Lgkh. Klik bis dg : Lgkh. Jumlhk bis dg bis : Dg dmiki jls bdsk psm (6), solusi di psm (4) dibik olh, d. Lgkh-lgkh di ts buklh stu-stu g dpt dimbil, kit dpt mgmbil lgkh li g mugki lbih sigkt. 5.. Dtmi Tiju mtiks buju sgk A dg od. Dtmi di sbuh mtiks dg, A, didfiisik sbgi: dt ( ) A (8) Sdgk utuk mtiks dg od, A dlh: dt ( A), mk dtmi (9) Utuk mgthui sl di pdfiisi dtmi utuk mtiks bod kit tiju tlbih dhulu pgti hsil kli lmt mtiks A, g didfiisik sbgi pkli t buh lm g stu sm li bbd bis tu kolom, dim dlh od di mtiks g ditiju. Utuk mtiks od, hsil kli lmt dlh: d () 47

49 Sdgk d buk mupk hsil kli lmt k msigmsig bd pd kolom g sm, dmiki jug d k bd pd bis g sm. Sljut utuk kmudh pjls, kit tulisk hsil kli lmt () dlm btuk: () ( ), ( ) ( ) () Phtik gk g dikuug pd idks msig-msig lm itu (i) [()(, ) ] d (ii)[( ), ( ) ], tliht bhw uut kdu bbd d kdu mupk pmutsi () d ( ). Dittpk bhw btuk uut (i) mupk sbuh pmutsi gp, sdgk utuk btuk uut (ii) mupk pmutsi gjil, k utuk mgubh btuk (ii) mjdi btuk (i), kit mmbutuhk stu lgkh ki [( ), ( ) ] [()(, ) ]. Dg kt li, k tlh dittpk bhw (i) dlh pmutsi gp, mk uut bikut g dipolh dg mlkuk stu lgkh puk diktk mmiliki pmutsi gjil. Utuk mmbdk t uut g mupk pmutsi gp dg gjil, mk td bgi pmutsi gp dlh ( ) sdgk utuk pmutsi gjil btd ( ) btd positif. Kmbli pd hsil kli lmt (), mk () ( ) tu () ( ) (utuk sljut td positif tidk k ditulisk) sdgk ( ) ( ) btd gtif tu ( ) ( ). Di sii jls tliht di bhw dfiisi dtmi utuk mtiks dg g dibik pd psm (9), tidk li mupk jumlh di smu hsil kli lmt mtiks tsbut itu ( ) (td kuug tidk ditulisk). Di ksus utuk, tliht bhw jumlh hsil kli lmt g dimiliki olh mtiks dg od tsbut dlh sbk buh. Sc umum utuk mtiks bod tdpt! buh hsil kli lmt. Kii sljut kit tiju dtmi utuk mtiks bod bikut: ( ) dt A () 48

50 Hsil kli lmt g dimiliki olh mtiks tsbut bk dlh! Atu 6 buh itu (buktik!):, (),,, (b) Dlm ksus ii, g dimbil sbgi ptok ds dlh uut Ambil cotoh hsil kli lmt. Utuk mgubh mjdi btuk ds kmbli dibutuhk lgkh sbk du kli puk idks kdu msig-msig lm itu ( ) ( ) () ( ) () ( ) () ( ) ( ), dg dmiki pmutsi hsil kli lmt tsbut dlh gp. Tiju, pd bis wl (b), utuk mgubh mjdi btuk ds kmbli dibutuhk tdpt tig lgkh: ( ) ( ) () ( ) ( ) () ( ) () ( ) () ( ) ( ), shigg pmutsi dlh gjil. Sljut dg c g sm di dptk (silhk buktik) hsil kli lmt () mupk pmutsi gp sdgk (b) dlh pmutsi gjil. Dg dmiki dtmi di mtiks bod dlh: dt ( A) Pglompok kmbli psm (4) dipolh: tu: dt ( A) ( ) ( ) ( ) (4) (5) dt A (6) ( ) Sli hsil pd psm (5), pglompok jug dpt dilkuk shigg dipolh: tu: dt ( A) ( ) ( ) ( ) (7) dt ( A) (8) 49

51 Ktig dtmi pd psm (6) dpt dipolh di dtmi smul dg mgbik bis d kolom tttu. Pol g diplihtk olh psm (6) utuk mtk ili dtmi mtiks bod ii dpt diplus utuk mghitug mtiks bod >. Utuk mksud tsbut, kit plu mmplji du umus pd psl bikut. Mislk A d B dlh du mtiks dg od g sm, mk sift ptig bikut blku: ( AB) dt( A) dt( B) dt (9) Plu diigt bhw kosp dtmi h blku bgi mtiks buju sgk Mio Dtmi od du dlm psm (6) d (8) disbut mio di lm bsgkut g diklik. Mislk utuk lm, pd psm (6), mio dlh d dpt dipolh mllui c spti g diilustsik bikut ii: mio Mislk lgi utuk lm pd psm (8), mio dlh g jug dpt dipolh mllui c spti g diilustsik bikut ii: mio Sc umum dpt ditk bhw mio di lm ij sbuh mtiks A didfiisik sbgi dtmi mtiks g ttiggl stlh bis k i d kolom k j g mgdug lm ij dihpus. 5

52 5... Kofkto Tliht pd psm (6) tu (8) td di mio g tkit dg sutu lm mtiks dpt bhg positif tu gtif. Sc umum mtiks mio tsbut dimk kofkto di lm ij g didfiisik sbgi: ij i j ( ) mio ij K (4) Bdsk umus kofkto ii, psm (6) misl, dpt ditulisk kmbli mjdi: dt ( A ) K K K (4) dg K ( ) mio mio, K ( ) mio mio d K ( ) mio mio., Cotoh.9. Hituglh dt( A ). Bdsk umus mio- kofkto di ts, kit dpt mgmbil lm pgli ij di sbg di bis tu kolom tttu d kmudi mci kofkto. Mislk kit mbil sbgi lm dlh lm pd kolom k tig itu,,. Mk btuut-tuut kofkto dlh (buktik!): ( ) K 4, K ( ) d ( ) shigg dipolh: ( ) ( ) K ( ) K 9 K. K, 5.. Atu Cm Atu Cm dlh sutu c utuk mmchk psm sistm lii AX B, dg A dlh mtiks buju sgk bod d dt( A ), sdgk X dlh mtiks kolom buku g bisik buh vibl {..., } tidk dikthui d B jug mupk mtiks kolom buku., g Bdsk tu ii, mk solusi di sistm psm lii tsbut dpt dipolh mllui umus bikut: 5

53 Dim i ( Ui ) ( A) dt (4) dt U i dlh mtiks g dipolh dg mggtik kolom k i di mtiks A dg mtiks kolom B. Utuk mmbuktik tu ii, Tiju psm lii: b b Mtiks g tkit dg sistm psm ii dlh A. Klik bgi ts psm tsbut dg d bgi bwh dg, kmudi kugk kdu dipolh: vibl dlh: ( b ) ( b ) ( ) b b (4), shigg solusi utuk b b (44). Dpt dibuktik dg c g sm bhw utuk vibl solusi dlh: b b (45). Skg kit tiju solusi kdu bdsk tu Cm, dim mtiks U i g tkit dg sistm psm lii g kit tiju dlh: shigg dipolh : b U (46) b b U (46b) b ( U ) b b ( A) dt d dt ( U ) g mghsilk solusi g sm dg psm (44) d (45). dt b b, dt ( A) 5

54 Kit tlh mmbuktik bhw tu Cm dpt ditpk utuk mmpolh solusi bgi sistm psm lii dg du vibl. Pmbc dpt mkii dii bhw tu ii pu blku utuk sistm dg buh vibl. Cotoh.. Slsik psm lii () dg mgguk tu Cm. Tlh dipolh pd cotoh.9. bhw mtiks A g dibik pd psm (4) mmiliki dtmi dt( A ) 9 U 7, 4 U 7 d 4 dtmi dlh dt( ) 7 dt( U ) 7 polh:, dt( A) 9 U, dt ( ) 8. Di sistm tsbut, dipolh: U 7 dg msig-msig 4 U U d dt( ) 8 ( U ) ( ). Di sii kit dt 8 dt U 8, sm dt( A) 9 dt( A) 9 spti g dipolh dg mgguk mtod duksi pd psl Mtiks Ivs Kmbli kit tiju sistm psm lii AX B. Sli di c duksi bis d c tu Cm g tlh dibhs pd psl-psl tdhulu, kit jug dpt mmchk dg mglik tlbih dhulu psm tsbut dg mtiks ivs A di kii shigg psm lii tsbut mjdi: A AX A B (47) Jls tliht, g sistm tsbut dpt dipchk, mk st g hus dipuhi dlh A A sift komuttif I, dim I dlh mtiks idtits dg dt ( I ) g mmiliki AI IA. Bdsk psm (9), dt( A ) dt disimpulk bhw st g sbuh mtiks mmiliki ivs, mk dt( ) ( A), shigg dpt A. Sblum kit mmbhs c mci mtiks ivs tsbut, k tlbih dibhs kosp mgi mtiks idtits d mtiks tspos bgi bikut. 6.. Mtiks Idtits d Mtiks Tspos Sbuh mtiks idtits tu mtiks stu, didfiisik sbgi mtiks buju sgk dim h bgi digol g tidk ol d smu lm digol 5

55 54 tsbut bhg. Cotoh utuk mtiks buju sgk bod, mk mtiks stu dlh: I (48) Mtiks tspos di mtiks A ditulisk sbgi T A, d dpt dibgu dg muk posisi idks di msig-msig lm, ji ij. Mislk utuk mtiks bod, A, mk mtiks tspos dlh A T. 6.. Ptu Mtiks Ivs dg Mgguk Mtod Rduksi Bis Spti hl g tlh kit plji dlm mci pmch sistm psm lii mllui mtod duksi bis pd psl 5., mk dg c g sm kit dpt pul mpk utuk mci mtiks ivs g igi dikthui di mtiks A. Mislk mtiks ivs g dimksud A. Mk pkli: AA k mghsilk: (49) (49b) (49c)

56 55 Tliht ktig psm (49) di ts mupk psm lii B AX. Dg dmiki mci lm-lm mtiks ivs tsbut dpt dilkuk dg mtod duksi bis g tlh kit bhs sblum. Sljut bds psm (49) kit dpt mmbtuk mtiks diplus ( ) I A. Dg mlkuk opsi duksi bis, g ttug pd tig lgkh di psl 5., mk mtiks diplus tsbut k tduksi mjdi ( ) A I, dim pd bgi sblh k mtiks diplus tsbut kit dptk mtiks ivs g dimksud. Cotoh.. Ttuk ivs mtiks pd cotoh.9. Mtiks diplus utuk mtiks tsbut dlh:. Sljut dg mlkuk kmbli lgkh g ditmpuh pd psl 5., dipolh: Sljut lkuk kmbli lgkh-lgkh tmbh bikut ii: Lgkh 4. Klik bis dg : Lgkh 5. Klik bis dg : Lgkh 6. Klik bis dg

57 Shigg dg dmiki mtiks ivs A dlh A Ptu Mtiks Ivs dg Mgguk Mtod Dtmi Mtod ii didsk pd kt bhw sbuh mtiks A mmiliki ivs, jik d h jik dtmi tk sm dg ol, dt( A ). Mgigt puu gk pjg, mk kit h k mmbhs lgkh-lgkh phitug sj. Utuk mgiilustsik, tiju phitug utuk mci ivs di mtiks A g bod. Lgkh ptm dlh dg mmbtuk mtiks kofkto di mtiks A, itu mtiks g lm dlh kofkto di stip lm mtiks tsbut: dg K K K A cof ( A) K K K (5) K K K K ij dibik olh psm (4). Stlh kit polh mtiks kofkto tsbut, sljut kit ci mtiks tspos: K K K cof ( A) T K K K (5) K K K Mtiks tspos kofkto ii sc khusus disbut sbgi mtiks djoit di mtiks A: ( A) cof ( A) T dj (5) Sljut utuk mdptk mtiks ivs g dimksud kit guk umus: A dj dt ( A) ( A) (5) 56

58 57 Cotoh.. Ttuk ivs di mtiks pd cotoh., dg mgguk mtod dtmi. Dg mgguk psm (4) utuk mci kofkto dipolh: ( ) 4 4 A cof A Shigg mtiks djoit dlh: ( ) 4 4 A dj. Di cotoh.9 dikthui bhw ( ) 9 dt A, dg dmiki dipolh: ( ) ( ) dt dj A A A, ssui dg dipolh dg mgguk mtod duksi bis. Bdsk umus mtiks ivs ii, kit kii dpt pul mmchk psm lii (4), dim B A X d spti g tlh dipolh sblum di psl Mtiks-Mtiks Khusus Sc khusus kit tlh mmbhs du mtiks khusus pd psl 6, g sig kit jumpi pggu dlm Fisik, itu mtiks idtits I d mtiks tspos T A st mtiks djoit ( ) A dj. Bbp mtiks khusus dlh:. Mtiks ol, itu mtiks dg smu lm bhg ol d bis disimbolk dg mtiks.. Mtiks sigul, itu mtiks buju sgk dg dtmi ol. Smu mtiks g buk buju sgk jug disbut mtiks sigul k tidk mmiliki dtmi.. Mtiks idtits I, mtik dg smu lm digol d lm sli digol ol. bis sc sigkt dipstsik olh sutu kutits g dimk dlt kock ij δ g didfiisik mmiliki sift bikut:

59 4. Mtiks tspos A mjdi kolom d sblik. 5. Mtiks ivs, i j δ ij (54), i j T A, mtiks g dipolh dg muk lm bis mtiks A, dlh mtiks g mmuhi kodisi AA I. T 6. Mtiks tspos kojugt A ( A ) mtspos mtiks A d mgkomplks kojugt-k. (bc: A dgg), g dipolh dg 7. Mtiks djoit dj ( A), mtiks g lm mupk kofkto di stip lm mtiks A. Bikut dlh bbp sift khusus mtiks g jug sig dijumpi dlm Fisik bst cotoh:. Jik Cotoh:. Jik T A A, mk diktk mtiks tsbut dlh mtiks simtik. i A i T A T A A, mk diktk mtiks tsbut dlh mtiks skw-simtik i i Cotoh: A, A T T shigg A A. Sbgi ctt, smu i i mtiks skw-simtik mmiliki lm digol ol.. Jik Cotoh: A A, mk mtiks tsbut dimk mtiks hmiti. A i i A i i A T i i A. 4. Jik A T A, mk mtiks tsbut dlh mtiks othogol. T Cotoh: A A A (buktik!) 5. Jik Cotoh: A A, mk mtiks tsbut dimk mtiks uit. i i i A A A A i i i T (buktik!) 58

60 8. Cotoh Pp dlm Fisik Kosp mgi vkto d mtiks di dlm Fisik mmik p g cukup stl, k hmpi dipki dismu cbg Fisik. Sbgi cotoh, dlm mkik, kosp vkto tu mtiks sc umum dipki utuk mggmbk dimik gk bd dlm tig dimsi, misl utuk bd g bgk sc otsi. Tiju misl gk sbuh ptikl g bd dlm pguh g stl F F, spti g gvitsi misl. Pd umum gk tsbut dpt bup () lits g mgliligi sutu titik tmpt sumb g tsbut. Cotoh misl gk plt mgliligi mthi. Bgi ptikl dlm pguh g stl tsbut, utuk lbih mmpmudh pg, dimik lim dipstsik dlm sistm koodit pol, dim jk di sutu ptikl d sudut thdp sutu kgk cu ttp diguk sbgi bs g diguk utuk mggmbk pilku gk, spti g diilustsik dlm Gmb 7(). v v v θ θ F θ () θ θ θ () (b) Gmb 7 Mislk kcpt di ptikl pd Gmb 7() dlh: v v v θ θ (55) 59

61 dim d θ msig-msig dlh vkto stu dlm sistm koodit pol g dibik pd Gmb 7(b), sdgk v d v θ dlh kompo vkto dlm sistm koodit tsbut. Vkto stu d θ sllu bubh ssui dg posisi ptikl tsbut. Bgi sistm koodit ktsis dg vkto stu ttp mci hubug kdu dg d θ Gmb 7(b) d, kit dpt mliht hubug bikut: dlh vkto-vkto stu g d, kit dpt dlm koodit pol. Bdsk cosθ siθ (56) Utuk mdptk hubug bgi vkto stu θ, kit mislk θ b, d dg mmftk kt bhw θ tu θ d, didptk psm: Di psm (57) dipolh: cos θ bsiθ (57) b (57b) cosθ b, msukk kmbli k psm (57b) siθ cos si cos dipolh θ θ θ si si, shigg siθ d b cosθ. θ θ Dg dmiki kit polh hubug: cosθ siθ siθ cosθ Btuk psm (59) dpt ditk dlm btuk mtiks: R θ dim mtiks R pd psm: θ θ (58) (59) cosθ siθ R (6) siθ cosθ 6

62 6 mupk mtiks g bsift othogol (buktik!), dim θ θ θ θ cos si si cos T R R (6). Di sii dpt pul dipolh ivs psm (6): θ θ θ θ θ θ R cos si si cos (6) Dpt dibuktik dg mudh bhw utuk mmpolh kompo kcpt dlm sistm ktsis dpt dipolh mllui psm bikut: θ θ θ θ θ θ v v v v R v v cos si si cos (6) Sbgi cotoh sdh, kit tiju ksus gk mligk btu dg klju ttp dg: v (64) θ ω v (64b) Bdsk psm (6), mk dipolh kompo gk tsbut dlm koodit ktsis sbgi bikut: θ θ ω ω θ θ θ θ cos si cos si si cos v v (65) Atu dlm bhs vkto: θ ω θ ω cos si v (66)

63 BAB 4 TURUNAN DAN DIFERENSIASI PARSIAL. Pdhulu Dlm bb ii kit k mmbhs kosp mgi difsisi psil thdp fugsi-fugsi di bbp vibl bbs. Fugsi dg vibl bk sig dijumpi pggu dlm Fisik ktik bkit dg sutu gjl g mlibtk bbp buh bs. Misl ktik kit mmbhs pilku sutu gs, kit dpt mgkji lwt psm kd gs tsbut g bis mupk fugsi di bs volum, tk d tmptu. Klkulus mupk pgkt lis g kit butuhk utuk utuk mgkji dimik di sutu sistm fisis g mlibtk bbp bs spti dlm ksus pilku gs di ts k i mupk bgi di Mtmtik g bhubug dg lju pubh sutu fugsi thdp vibl. Spti g ph disiggug pd Bb, bhw fugsi dg bk vibl spti (,, ) f mdfiisik pmuk dlm ug tig dimsi, spti g dicotohk pd Gmb utuk fugsi si( ). Gmb 6