3 Misalka diketahui persamaa beda orde 2 sebagai berikut: y 2 + y + y = + + + k Utuk medapatka ilai y + 2 maka harus diketahui ilai dari y + da y. Misalka diketahui persamaa beda orde 3 sebagai berikut: y y y y + 3 + + 2+ + + + k = Utuk medapatka ilai y + 3 maka harus diketahui ilai dari y + 2, y + da y. Misalka diketahui persamaa beda orde m, sebagai berikut: y + y +... + y + y = + m + m- + + k Utuk medapatka ilai y + m maka harus diketahui ilai dari y + m -, y + m - 2,..., y + da y. Dapat disimpulka bahwa utuk medapatka ilai dari y harus diketahui ilai y sebelumya, yaitu dari ilai y higga ilai y -, dega =, 2, 3,... Proses di atas disebut metode rekursif utuk memperoleh solusi persamaa beda. [Farlow, 994] 2.4 Model Kermack McKedrick Model Kermack-McKedrick terdiri atas sebuah sistem dari 3 persamaa diferesial biasa takliear, sebagai berikut: = β SI di = βsi γ I dr = γ I dega t adalah waktu, S (t) adalah bay akya orag sehat yag reta, I (t) adalah bayakya orag yag terifeksi, R (t) adalah bayakya orag yag telah sembuh da berkembag mejadi imu terhadap ifeksi, β adalah tigkat ifeksi, da γ adalah tigkat peyembuha. [Weisstei EW da Weisste T, 24] III PEMBAHASAN 3. Diskretisasi Fugsi Ekspoesial Fugsi ekspoesial pada umumya berbetuk f ( ) = e, dega e adalah kostata Euler. Fugsi ekspoesial di atas merupaka betuk solusi utuk sebuah laju pertumbuha ekspoesial (epoetial growth). Laju pertumbuha ekspoesial merupaka sebuah model yag terbetuk karea terdapat sebuah variabel yag berkembag secara ekspoesial terhadap waktu. Misalka W adalah sebuah variabel yag berkembag terhadap waktu (t). Hubuga pertumbuha W terhadap t dapat dituliska dalam betuk persamaa diferesial sebagai berikut: dw = kw ( t)...(.) dega k adalah ko stata proposioal yag meggambarka laju pertumbuha dari W. Persamaa (.) merupaka model pertumbuha ekspoesial dega solusi: kt W ( t ) = W e... (.2 ) dega W adalah kodisi awal dari W (lihat Lampira ). Utuk medapatka betuk diskret dari fugsi ekspoesial pada pesamaa (.), aka dilakuka proses trasformasi yag disebut diskretisasi. Lagkah dari proses diskretisasi adalah sebagai berikut: dw Karea adalah laju pertumbuha W terhadap waktu t, maka : dw lim W ( t + t ) W ( t ) = = kw ( t) t t Pada model diskret diambil t =, sehigga W( t+ ) W( t) = kw ( t) W ( t+ ) W ( t) = kw ( t) Dega memisalka Wt () = da t =, didapatka: W ( t+ ) W ( t) = kw ( t) = k + = + k + = + ( + k)
4 Dari proses di atas diperoleh persamaa diskret utuk fugsi ekspoesial, sebagai berikut: ( k )...(.3) + = + dega k adalah kostata proposioal yag meggambarka laju pertumbuha dari W. Persamaa (.3) merupaka model diskret pertumbuha ekspoesial dega solusi: = ( + k )...(.4) dega adalah kodisi awal dari (lihat Lampira 2). Setelah dilakuka diskretisasi pada fugsi ekspoesial, aka dilakuka simulasi umerik dega megguaka software Mathematica 6 utuk medapatka graf ik perkembaga W(t) da, sehigga dapat dibadigka apakah grafik dari persamaa diskret hasil trasformasi fugsi ekspoesial sama dega grafik dari fugsi asliya (persamaa (.)). Dega memilih ilai awal utuk W(t) da, diambil W() = = 2, aka diperlihatka grafik perkembaga W(t) da pada beberapa ilai parameter k berbeda. Dega megguaka persamaa (.2) sebagai fugsi kotiu ekspoesial: kt W ( t ) = W e da persamaa (.4) sebagai fugsi ekspoesial diskret: = ( + k) Didapatka grafik perkembaga W(t) da dega berbagai kasus pada ilai k tertetu, sebagai berikut: Nilai k Fugsi Ekspoesial Diskret = ( + k ) Fugsi Ekspoesial Kotiu kt W ( t ) = W e.2 -.3
5 - -.7-2 -2.2 Gambar Perbadiga grafik fugsi ekspoesial kotiu da diskret terhadap k. Secara umum terdapat 3 macam kasus perkembaga W() t berdasarka batas ilai k pada fugsi ekspoesial kotiu (persamaa (.2)), yaitu:. k >, perkembaga W() t aka terus meigkat higga medekati 8 seirig berjalaya waktu (t). Lihat Gambar pada k =.2. 2. k =, perkembaga W () t aka selalu sama dega ilai awalya (W ) utuk setiap t. Lihat Gambar pada k =. 3. k <, perkembaga W() t aka terus meuru higga medekati seirig berjalaya waktu (t). Lihat Gambar pada k <. Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa perkembaga tehadap waktu sagat dipegaruhi oleh parameter k. Dega membadigka grafik fugsi ekspoesial diskret (persamaa (. 4)) dega grafik fugsi ekspoesial kotiu (persamaa (.2)) didapat beberapa perbedaa. Pada fugsi ekspoesial kotiu terdapat 3 macam perkembaga () W t berdasarka batas ilai k, yaitu: k >, k =, k <. Fugsi ekspoesial diskret juga memiliki semua kasus dalam fugsi ekspoesial kotiu,
6 amu terdapat beberapa kasus pada fugsi ekspoesial diskret yag tidak terdapat pada fugsi ekspoesial kotiu. Secara umum terdapat 7 kasus khusus perkembaga berdasarka batas ilai k pada fugsi ekspoesial diskret (persamaa (. 4)), yaitu:. k >, perkembaga aka terus meigkat higga meuju 8 seirig berjalaya waktu (). Lihat Gambar pada k =.2. 2. k =, perkembaga aka selalu sama dega ilai awalya ( ) utuk setiap. Lihat Gambar pada k =. 3. - < k <, perkembaga aka terus meuru higga medekati seirig berjalaya waktu (). Lihat Gambar pada k = -.3. 4. k = -, perkembaga aka selalu berada pada = utuk setiap. Lihat Gambar pada k = -. 5. -2 < k < -, perkembaga aka berosilasi da koverge meuju seirig berjalaya waktu (). Lihat Gambar pada k = -.7. 6. k = - 2, perkembaga aka berubah secara periodik pada = -2 pada gajil da = 2 pada geap. Lihat Gambar pada k = -2. 7. k < -2, perkembaga aka berosilasi da diverge seirig berjalaya waktu (). Lihat Gambar pada k = -2.2. 3.2 Diskretisasi Fugsi Logistik Tijau persamaa berikut : S ( t) = S' = rs ( t) (2.) dega: S ( t ) : bayakya magsa pada saat t r : laju pertumbuha S terhadap waktu (t) K : daya dukug kodisi ligkuga bagi magsa Persamaa (2.) merupaka fugsi logistik kotiu dega solusi sebagai berikut: S ( t) = K ( + be rt )...(2.2) (lihat Lampira 3) Selajutya, dega megguaka proses seperti pada fugsi ekspoesial, aka dilakuka proses trasformasi (diskretisasi) utuk medapatka persamaa beda dari sebuah fugsi logistik kotiu. Lagkah dari proses diskretisasi adalah sebagai berikut: Karea adalah laju pertumbuha S terhadap waktu t, maka: St ( + t ) St ( ) S( t) = lim = rs ( t) t t Pada model diskret diambil t =, sehigga St ( + ) St ( ) ( ) ( ) S t = rs t S( t) S( t+ ) S( t) = rs( t) Dega memisalka St () = da t =, didapatka: S ( t ) S( t+ ) S( t ) = rs ( t ) = r + = + r + Dari proses diskretisasi di atas didapatka fugsi logistik diskret dari persamaa (2.) adalah: r...(2.3) + = K + Setelah dilakuka diskretisasi pada fugsi logistik kotiu, aka dilakuka simulasi umerik dega megguaka software Mathematica 6 utuk medapatka grafik perkembaga S(t) da, sehigga dapat dibadigka apakah grafik dari persamaa diskret hasil trasformasi fugsi logistik sama dega grafik dari fugsi asliya (persamaa (2.)). Dega memilih ilai awal utuk da ilai K, diambil =.5 da K = 2, aka diperlihatka grafik perkembaga S(t) da pada beberapa ilai parameter r berbeda. Dega megguaka persamaa (2.2) sebagai fugsi logistik kotiu: S ( t) = K ( + be rt ) da persamaa (2.3) sebagai fugsi logistik diskret: r + = K +, didapat grafik perkembaga St () da pada beberapa ilai r, sebagai berikut:
7 Nilai r Fugsi Logistik Diskret r + = K + Fugsi Logistik Kotiu K S ( t) = + be rt ( ) r = r =.7 r =.8 r =2 r =2.3
8 r =2.5 r =2.74 r =3 r =3.5 Gambar 2 Perbadiga grafik fugsi logistik kotiu da diskret terhadap r. Dari gambar di atas, dega megambil sembarag ilai, S (), da K, cotoh: = S () =.5 da K = 2, dapat dilihat beberapa perbedaa atara fugsi logist ik kotiu dega fugsi logistik diskret. Pada fugsi logistik kotiu, dapat dilihat pada Gambar 2, pada r =, perkembaga St () selalu berada pada S () utuk setiap t, sedagka pada saat r > pola p erkembaga St () aka terus meigkat higga medekati ilai St () = 2, karea sebelumya telah diambil ilai K = 2, sebagai batas atas perkembaga St (). Sedagka pada fugsi logistik diskret, terdapat beberapa perbedaa dibadigka dega fugsi logistik kot iu. Sama dega fugsi logis t ik kot iu, pada r =, perkembaga fugsi logistik diskret juga aka selalu berada pada utuk set iap. Namu ut uk r > terdapat beberapa kasus
9 khusus yag tidak terjadi pada fugsi logistik kotiu. Secara umum perkembaga pada fugsi logistik diskret dapat dikelompokka dalam beberapa kasus berdasarka batas r, sebagai berikut:. r =, perkembaga aka selalu berada pada utuk set iap. Lihat Gambar 2 pada r =. 2. < r <.2, perkembaga aka terus meigkat higga medekati K, lihat Gambar 2 pada r =.7. 3..2 = r < 2., perkembaga aka berosilasi da koverge medekati ilai K seirig berjalaya waktu (), lihat Gambar 2 pada r =.8 da r = 2. 4. 2. = r < 2.4, perkembaga aka berubah berpola periodik. berada disekitar K pada geap da berada disekitar pada gajil da terus berkembag dega pola yag sama. Lihat Gambar 2 pada r = 2.3. 5. 2.4 = r = 2.6, perkembaga aka berubah berpola periodik pada ilai tertetu saat tertetu yag disebut dega pola periodik stabil periode 2. Lihat Gambar 2 pada r = 2.5. 6. 2.6 < r = 2.85, perkembaga aka berubah berpola periodik pada ilai tertetu saat tertetu yag disebut dega pola periodik stabil periode 4. Lihat Gambar 2 pada r = 2.74. 7. 2.85 < r = 3, perkembaga aka berubah berpola acak yag disebut dega chaos. Kasus ii merupaka kasus uik pada fugsi logistik diskret. Lihat Gambar 2 pada r = 3. 8. r > 3, perkembaga aka berkembag terus meuru da diverge meuju -8. Lihat Gambar 2 pada r = 3.5. Dapat disimpulaka bahwa, fugsi logistik diskret memiliki semua kasus dalam fugsi logistik kotiu, amu terdapat beberapa kasus pada fugsi logistik diskret yag tidak terdapat pada fugsi logistik kotiu. 3.3 Diskretisasi Sistem Persamaa Diferesial 3.3. Model kotiu wabah peyakit AIDS : Model SIA Titik pagkal model ii adalah model SIR, yag diperkealka pada tahu 927 oleh Kermack da McKedrick (Weisstei EW da Weisste T, 24). Pada model tersebut, populasi (N) dikelompokka mejadi 3 bagi a, yaitu populasi idividu reta terserag ifeksi (S), populasi idividu terifeksi da dapat megifeksi idividu lai (I), da pop ulasi idividu yag telah pulih dari ifeksi atau meiggal (R). Namu, berdasarka model di atas, yag diguaka pada model kali ii adalah model SIA yag juga membagi populasi (N) mejadi 3 bagia, yaitu: Pertama, populasi idividu sehat tapi reta terserag ifeksi, (S). Kedua, populasi idiv idu positif terifeksi HIV, masih beriteraksi dega idividu populasi pertama da dapat megifeksi idividu populasi tersebut, (I). Ketiga, populasi idividu terifeksi HIV amu tidak dapat megifeksi idividu laiya (termasuk idividu yag telah meiggal) (A), seperti yag ditujukka pada Gambar 3. S I iteraksi Peigkata jumlah idividu dalam populasi terifeksi (I) da meiggal (A) bergatug pada kuatitas iteraksi populasi terifeksi dega idividu populasi reta, sehigga dibutuhka pembatas atara populasi yag satu dega yag laiya. Utuk medapatka pembatas populasi yag lebih baik, dipegaruhi beberapa asumsi yag tepat, gua membagu model yag lebih baik da seseder haa mugki. Asumsi-asumsi yag diguaka adalah:. Jumlah awal populasi idividu reta adalah tetap da aka terus meuru dega bertambahya waktu. 2. Efek kematia alami ketiga populasi tersebut dapat diabaika. Hubuga ketiga populasi tersebut dapat dituliska sebagai berikut : =- SI, di = SI- mi, da = mi- l A..( 3.) dega: m= tigkat kematia idividu pederita AIDS µ A Gambar 3 Model peyebara AIDS.? l = tigkat kesembuha idividu pederita AIDS
dega l m( ) > > disebabka karea evolusi terhadap kematia lebih cepat daripada daya taha leukosit (seropositivity) dalam meghadapi virus HIV. (Tamizhmai et al, 24) Model kotiu yag diberika pada persamaa (3.) dapat diyataka juga sebagai berikut : ( ) ' S + I =- mi...(3.2) ( ) ' S+ I + A =- l A...(3.3) (lihat Lampira 4) 3.3.2 Diskretisasi Model Kotiu Peyebara AIDS Model kotiu yag diberika dapat diyataka dalam model diskret dega melakuka trasformasi dari model kotiu mejadi model diskret yag disebut diskretisasi. Pedekata dasar yag sama seperti pada persamaa logistik maupu fugsi ekspoesial aka diguaka pada model ii. Dimulai dega persamaa = - SI sebelumya aka diaalogika dega betuk diskret + =. Proses + y diskretisasi tersebut didapat dega memisalka = St (), y = It (), z = At (), t = da memisalka parameter m= - a da l = - b. Diketahui bahwa S '( t) =, maka dapat dicari aalogi diskretya dega cara sebagai berikut: ( + ) ( ) ' S t t S t S ( t) = lim t t Pada model diskret diambil t =, sehigga S = ( t + ) S( t) ( t ) S( t) = S + Dega memisalka = St (), y = It () da t = maka didapat: ( ) ( ) + S t + S t ' Setelah diketahui S() t =D, dari model diskret + = didapat: + y + = + ( + y) = + y + ( y ) = + + - =- ( y ) + + D =- ( y ) + Dega memisalka = St (), y = It () da t = maka didapat: D = - + ( y ) S ' =- St ( + )() I t =-SI Dega ii telah ditujukka diskretisasi dari sistem sistem kotiu diskret =- SI meghasilka + = + y. Dega megguaka persamaa (3.2) da (3.3) serta melakuka proses diskretisasi yag sama dega proses di atas, aka didapat betuk di da diskret dari persamaa da pada sistem persamaa diferesial (3.), lihat Lampira 5. Model diskret yag meggambarka peyebara virus HIV sebagai hasil trasformasi dari model kotiuya dituliska sebagai berikut : + =, + +y z ( ) = - a y +ßz + dega : y y =ay +, +y..(3.4) = bayakya idividu populasi reta pada waktu ke- y = bayakya idividu populasi terifeksi pada waktu ke- z = bayakya idividu populasi meiggal atau telah sembuh pada waktu ke- a = - mda b = - l =,, 2, 3,
Utuk kedua parameter, didapatka b < a < yag berkorespodesi pada fakta bahwa l > m> pada limit kotiu. Dega melakuka simulasi komputer megguaka software mathematica 6 didapatka grafik dari model kotiu peyebara AIDS da model diskretya, sehigga dapat dibadigka atara kedua model tersebut. Dega memisalka ilai awal dari masig masig varibel adalah = S() = 95, y = I() =., da z = A() =.. Didapatka grafik perkembaga ketiga variabel pada model peyebara AIDS kotiu da diskret terhadap beberapa ilai parameter, sebagai berikut: Keteraga : S, =,. I, y =,. A, z =,. Model Diskret Peyebara AIDS (persamaa (3.)) Model Kotiu Peyebara AIDS (persamaa (3.4)) a = ß =.5 µ =? =.5 a = ß =.7 µ =? =.7 Gambar 4 Perbadiga grafik m odel peyebara AIDS kotiu da diskret. Dapat dilihat pada gambar di atas, bahwa grafik perkembaga dari, y, z dari model diskret hasil trasformasi model kot iu dari model peyebara AIDS. Grafik model diskret memperlihatka betuk yag sama dega model asalya, model kotiu. Tidak terdapat perbedaa yag sigifika atara betuk diskret da betuk kotiu dari sebuah model peyebara AIDS. Dari 2 grafik pada tabel di atas, dapat dilihat bahwa model diskret (persamaa (3.4)) hasil diskretisasi masih membawa karakteristik model kotiu asalya (persamaa (3.)).