PENAKIR RAIO YANG EFIIEN UNTUK VARIANI POPULAI PADA AMPLING ACAK EDERHANA MENGGUNAKAN FRAKI PENGAMBILAN AMPEL Rio Permadi 1*, Bustami, Haposa irait 1 Mahasiswa Program 1 Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus Biawida Pekabaru 893, Idoesia * rio.permadi1@gmail.com ABTRACT The estimators studied here are three ratio estimators for populatio variace i simple radom samplig without replacemet usig samplig fractio. This stud is a review of article writte b Tailor ad harma [tatistics i Trasitio-ew series 13 (01): 37-46]. All estimators are biased, the their mea square error (ME) of the studied estimators are compared to obtai the most efficiet estimator. A example is give to explai the studied problem. Kewords: ratio estimator, samplig fractio, simple radom samplig, biased estimator ad mea square error. ABTRAK Peaksir ag dibahas merupaka tiga peaksir rasio utuk variasi populasi pada samplig acak sederhaa tapa pegembalia dega megguaka fraksi pegambila sampel, ag merupaka pejabara dari artikel ag ditulis oleh Tailor da harma [tatistics i Trasitio-ew series 13 (01): 37-46]. Ketiga peaksir merupaka peaksir bias, kemudia mea square error (ME) dari peaksir tersebut dibadigka utuk memperoleh peaksir ag palig efisie. ebuah cotoh diberika utuk meujukka efisiesi dari peaksir. Kata kuci: peaksir rasio, fraksi pegambila sampel, samplig acak sederhaa, peaksir bias da mea square error. 1. PENDAHULUAN amplig acak sederhaa terbagi atas dua aitu samplig acak sederhaa dega pegembalia da samplig acak sederhaa tapa pegembalia. Pada peelitia ii diguaka samplig acak sederhaa tapa pegembalia aitu metode utuk megambil sampel dari data populasi sehigga setiap eleme dari data populasi mempuai kesempata ag sama utuk diambil, da sampel ag telah diambil tidak dikembalika ke populasi [1:h.1]. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 485
uatu peaksir ag baik berasal dari sampel ag bersifat represetatif, aitu sampel dapat mewakili parameter populasi. alah satu parameter ag ditaksir melalui samplig adalah variasi populasi. Ketelitia peaksir dapat ditigkatka dega megguaka metode rasio. Dalam metode ii, suatu variabel tambaha ag berkarakter X berkorelasi positif dega variabel ag aka diteliti aitu variabel ag berkarakter Y, dimaa iformasi tetag populasi pada variabel tambaha telah diketahui [1:h.173]. Dalam artikel ii dibahas tiga peaksir rasio ag diajuka oleh Tailor da harma [4] aitu, da utuk variasi populasi pada samplig acak 1 3 sederhaa dega megguaka fraksi pegambila sampel. Peaksir tersebut merupaka peaksir bias, utuk medapatka peaksir rasio ag efisie diatara ketiga peaksir adalah dega membadigka Mea quare Error (ME) utuk masigmasig peaksir. Peaksir ag memiliki ilai ME ag terkecil merupaka peaksir ag palig efisie.. AMPLING ACAK EDERHANA amplig acak sederhaa adalah sebuah metode utuk megambil uit sampel dari N uit populasi dimaa setiap uit memiliki kesempata ag sama utuk diambil mejadi uit sampel. Pegambila sampel dapat dilakuka dega pegembalia atau tapa pegembalia. Dalam hal ii pegambila sampel tapa pegembalia meataka satua uit ag telah diambil tidak mugki terambil kembali mejadi aggota sampel, sehigga hasil ag diperoleh lebih akurat Pada samplig acak sederhaa tapa pegembalia, peluag satu dari uit aka terambil mejadi sampel pada pegambila pertama adalah N. elajuta pada 1 N 1, da seterusa, sehigga peluag dari uit pegambila ke dua adalah N terambil pada pegambila ke- kali adalah 1 C [1:h.1]. Utuk meetuka bias da ME dari masig-masig peaksir rasio diguakalah teorema megeai variasi. Teorema.1 [1:h.30] Utuk sebuah samplig acak sederhaa tapa pegembalia dari populasi berkarakter Y, variasi sampel s ag didefiisika dega i i1 s, 1 merupaka peaksir tak bias utuk variasi populasi N i i1. Y N 1 Bukti: Dapat dilihat pada [1:h.30]. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 486
Teorema. [3:h.36] ebuah sampel berukura diambil secara samplig acak sederhaa tapa pegembalia dari populasi berkarakter Y da berukura N, maka variasi dari V adalah dega ( ) s dega otasi s 1 s 4 1 40, 0 V ( ), Bukti: Dapat dilihat pada [3:h.36]. 3. BIA DAN ME PENAKIR RAIO UNTUK VARIANI POPULAI Dalam artikel ii dibahas tiga peaksir utuk variasi populasi pada samplig acak sederhaa dega megguaka fraksi pegambila sampel ag merupaka review dari artikel Tailor da harma [4], aitu 1. Betuk dari peaksir rasio tipe 1 utuk variasi populasi pada samplig acak sederhaa adalah 1 f s f x 1 s (1) s x Bias da ME peaksir rasio tipe 1 pada persamaa (1), aitu B 1 1 f ( h, 1 4 ME 1 ( ) 1 1 f ( 1 1 f h 1. () dega 04 f, ( x ), h. N. Betuk dari peaksir rasio tipe utuk variasi populasi pada samplig acak sederhaa adalah 0 1 f 3 f x s s (3) 1 f 1 f sx Bias da ME peaksir rasio tipe pada persamaa (3), aitu ME 0 3 f h B ( x, 1 f ) 1 4 3 f 3 f 1 1 1 ( ) (. (4) 1 f 1 f h 0 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 487
3. Betuk dari peaksir rasio tipe 3 utuk variasi populasi pada samplig acak sederhaa adalah 1 f 4 f x 3 s s (5) 1 3 f 1 3 f sx Bias da ME peaksir rasio tipe 3 pada persamaa (5), aitu f B 4 3 ( x h, 1 3 f ) 1 4 4 f 4 f ME 1 3 ( ) 1 ( 1 h. (6) 1 3 f 1 3 f 4. PENAKIR RAIO YANG EFIIEN Utuk meetuka peaksir ag lebih efisie dari peaksir bias, dapat ditetuka dega cara membadigka ME dari masig-masig peaksir. Peaksir ag lebih efisie merupaka peaksir dega ME terkecil. 1 a. Perbadiga ME dega ME Dari persamaa () da (4) diperoleh bahwa peaksir peaksir dega K 1 aka lebih efisie dari jika 0 f 0, 366, da 0 dega 1 maka ( 1 ( ( h K1 f atau f 1 ( h ( h h. 3 3 3 1 1 3 b. Perbadiga ME dega ME ( 1 ( Dari persamaa () da (6) diperoleh bahwa peaksir peaksir dega K 1 ( h K1, (7) 3 aka lebih efisie dari jika 0 f 0, 333, da 3 3 dega 1 maka ( 1 ( 3 ( h K f atau f 3 1 1 ( h ( h h. 4 4 ( 1 ( ( h K, (8) JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 488
3 c. Perbadiga ME dega ME Dari persamaa (6) da (4) diperoleh bahwa peaksir peaksir dega K jika 0 f 1, da 17 ( 1h 5 0 maka 3 10h 7 f 34 ( ( 3 K 4h 10 atau 49 4h 94 4h 4h 49. 3 ( ( ( 10h 7 ( 3 K f 34 4h 10 aka lebih efisie dari JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 489 ( 3, (9) Cotoh ebagai cotoh dari pembahasa, diberika data pada Tabel 1 megeai permitaa masarakat terhadap air bersih Y pada Perusahaa Daerah Air Mium (PDAM) Tirta Idragiri di Kota Tembilaha Kabupate Idragiri Hilir [4] dega megaggap N 99 merupaka data populasi, kemudia dari populasi ii diambil sampel dega 30. Data pada Tabel 1 tersebut diguaka utuk megetahui variasi permitaa air bersih dega memafaatka iformasi tambaha aitu pedapata masaraat (X). Tabel 1: Permitaa air bersih pada Perusahaa Daerah Air Mium (PDAM) Tirta Idragiri di Kota Tembilaha Kabupate Hilir, Riau No. Permitaa Air Bersih (Y) Pedapata Masarakat (X) No. Permitaa Air Bersih (Y) Pedapata Masarakat (X) 1 9.500.000 5 18 1.600.000 7.500.000 53 1.000.000 3 15 1.500.000 54 0 1.600.000 4 3 3.000.000 55 30.800.000 5 0.00.000 56 0 1.600.000 6 7.000.000 57 11 1.400.000 7 5.500.000 58 9 1.00.000 8 18.000.000 59 19 1.00.000 9 17.000.000 60 3.600.000 10.300.000 61 3 3.00.000 11 30.500.000 6 19.500.000 1 9.500.000 63 18 1.500.000 13 5.500.000 64 3.700.000 14 0 1.900.000 65 13 1.800.000 15 8.500.000 66 9.600.000 16 30.500.000 67 8.500.000 17 35 4.000.000 68 19.500.000
18 10 1.400.000 69 31 3.000.000 19 5 3.500.000 70 7.000.000 0 0.000.000 71 0.300.000 1 0.300.000 7 10 1.400.000 16.100.000 73 15.500.000 3 0.000.000 74 15.100.000 4 1.000.000 75 35 3.300.000 5 1.000.000 76 30 3.000.000 6 30.500.000 77 0.000.000 7 15 1.800.000 78 4 3.000.000 8 5.500.000 79 36 5.000.000 9 3 3.000.000 80 9 3.000.000 30 5.300.000 81 8.500.000 31 5 3.000.000 8 31 3.000.000 3 10 1.400.000 83 1 1.400.000 33 30.700.000 84 35 1.600.000 34 7.500.000 85 8.000.000 35.000.000 86 1 1.500.000 36 1 1.700.000 87 10 1.400.000 37 8 3.100.000 88 33.500.000 38 9.500.000 89 1.000.000 39 19 1.700.000 90 1.000.000 40 1 1.900.000 91 31 3.000.000 41 9 1.00.000 9 30.500.000 4 33.800.000 93 31.500.000 43 5.000.000 94 5 3.000.000 44 10 1.100.000 95 5.400.000 45 9 1.400.000 96 31 3.500.000 46 13 1.500.000 97 34 3.500.000 47 8.500.000 98 1.700.000 48 1.500.000 99 31 3.100.000 49 6.900.000 50 31 3.000.000 Jumlah.309 9.00.000 51 30.500.000 umber: [] Y : Permitaa masarakat terhadap air bersih pada Perusahaa Daerah Air Mium (PDAM) Tirta Idragiri di Kota Tembilaha Kabupate Idragiri Hilir m 3. X : Pedapata masarakat (Rp/bula). Dari data pada Tabel 1 tersebut diguaka utuk meetuka peaksir rasio ag efisie utuk meaksir variasi permitaa air bersih dega megguaka sarat peaksir palig efisie ag diperoleh sebeluma. ecara umum dapat ditujukka dega meghitug ME dari masig-masig peaksir, terlebih dahulu ditetuka ilai seperti pada Tabel ag diguaka utuk membadigka ME dari ketiga peaksir. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 490
Tabel : Nilai parameter ag diperluka utuk membadigka ME dari peaksir. Y 3,3 f 0,303 X.315.151,5 ( ),17014 55,687 ( 4,44386 x 447.41.150.77,7 h 1,88873 elajuta substitusika ilai pada Tabel ke persamaa (7), (8) da (9), diperoleh a. lebih efisie dari 1 jika 0,01511 f 1, b. c. 3 1 lebih efisie dari jika 0,01131 f 1, 3 lebih efisie dari jika 0,09083 f 1. Peaksir ag efisie dapat juga ditetuka dega meghitug ME dari ketiga peaksir. Berdasarka ilai-ilai dari Tabel, diperoleh ME dari ketiga peaksir. Tabel 3: Nilai ME utuk Ketiga Peaksir No Peaksir ME 1 1 355,483 80,856 3 3 316,856 Berdasarka Tabel 3 da kriteria peaksir ag relatif efisie pada persamaa (7), (8) ME ME ME da (9) diperoleh ilai 3 5. KEIMPULAN Berdasarka pembahasa ag telah dikemukaa pada artikel ii, maka dapat disimpulka bahwa peaksir rasio ag palig efisie dibadig peaksir rasio da peaksir rasio 1 jika sarat efisiea terpeuhi. 1 3 JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 491
DAFTAR PUTAKA [1] Cochra, W. G. 1991. Tekik Pearika ampel, Edisi ke Tiga. Terj. dari amplig Techiques oleh Rudiasah & Erwi R. Osma. UI-Press, Jakarta. [] Rais, B. 011. Faktor-faktor ag Mempegaruhi Permitaa Air Bersih pada Perusahaa Daerah Air Mium (PDAM) Tirta Idragiri di Kota Tembilaha Kabupate Idragiri Hilir. kripsi Fakultas Ekoomi Uiversitas Riau, Pekabaru. [3] ukhatme, P. V. 1957. amplig Theor of urves with Applicatios. The Idia Coucil of Agricultural Research, New Delhi. [4] Tailor, R. & B. harma. 01. Modified estimators of populatio variace i presece of auxiliar iformatio, tatistics i Trasitio. 13 : 37-46. JOM FMIPA Volume No. 1 Februari 015 49