Uniform (seragam) Multinomial i l Bernoulli Hipergeometrik Binomial Geometrik Poisson Binomial i Negatif MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar 26 Februari 2014
Peubah acak X diasumsikan setiap nilainya (x 1, x 2,, x k ) memiliki peluang yang sama. Distribusi peluang X : 1 Rataan : PX ( x ), x x1, x2,..., xk k Variansi : 1 k xi k i1 2 1 k xi k i1 2 2
Berdasarkan definisi ekspektasi, k k 1 k x [ ] ( ) i EX xpx i xi xi, k k i1 i1 i1 k k 2 2 2 2 EX x ( ) i P X xi xi i1 k i1 1 3
Pelantunan sebuah dadu. 1 P ( X x ), x1, 2,3, 4,5,6 6 0.18 0.175 1 2 3 4 5 6 35 3,5 0.17 6 0.165 2 2 2 2 2 2 016 0.16 2 1 2 3 4 5 6 2 6 15.1717 12.2525 2.92 3.5 P(X=x) 1 2 3 4 5 6 x 4
Percobaan terdiri dari 1 usaha Usaha Peluang sukses p Peluang gagal 1-p Misalkan Sukses Gagal X 1, jika terjadi sukses 0, jika terjadi tidak sukses (gagal) 5
X berdistribusi ib i Bernoulli, x 1 x p (1 p), x 0,1 PX ( x) berxp ( ; ) 0, x lainnya Rataan : E[X] = µ x = p Variansi i : Var(X)= 2 x = p(1-p) ) 6
n usaha yang berulang. Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal. Peluang sukses tidak berubah dari usaha yang satu ke yang berikutnya. Tiap usaha saling bebas. 7
Distribusi binomial, parameter n dan p Notasi X ~ B(n,p) F.m.p: n x PX ( x) bxnp ( ;, ) p(1 p) x Koefisien binomial : o Rataan o Variansi n n! x x!( n x)! : E[X] = µ x = np untuk x = 0,1,, n : var(x)= X 2 = np(1-p) nx n! = n.(n-1).(n-2) 1 8
Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap masyarakat tentang obat penenang. Penelitian itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk percaya obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya. Menurut penelitian ini, berapa peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang yang dipilih secara acak berpendapat seperti itu? 9
Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya y penduduk percaya obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit sesungguhnya. Maka X~B(5, 0.7) Yang ingin dicari adalah P(X 3). P(X 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) 5 3 2 5 4 1 5 0.7 0.3 0.7 0.3 0.7 5 0.3 0 3 4 5 5! 5! 5! (0,343)(0, 09) (0, 240)(0,30) (0,168)(1) 2!3! 1!4! 0!5! 0,309 0,360 0,168 0,837 edited 2011 by UM 10
Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL. Terdefinisi pada : (yang membedakan dari percobaan Binomial) i Panjang selang waktu Luas daerah/area Contoh : - Banyak kejadian angin tornado dalam satu tahun di US -Banyak batu Apung ditemukan di setiap 2 meter panjang sungai A 11
Selang waktu atau daerahnya saling bebas. Peluang gpada Proses Poisson tergantung g pada selang waktu dan besarnya daerah. Peluang untuk selang yang pendek atau daerah yang sempit dapat diabaikan. 12
Peubah acak X berdistribusi Poisson X~P(t) F.m.p : t e t PX ( x), x0,1, 2,... x!! o Rataan : E[X] = X = t o Variansi : var(x)= X2 = t x e = tetapan Euler (2.71828 ) 13
Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7. a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu. b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 bulan. 14
15
Jenis kasus Satuan Paramet er distribu si Pertany aan a. Pertany aan Kasus Diskrit Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah Distribusi Poisson Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1 Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil t = 4 Rata-rata kejadian 1 bulan : 7, rata-rata kejadian 1 minggu : 7/4 Jika t = 1 (dalam bulan) maka X ~ P (7), dengan rata-rata = t = 7 Jika t = 4 (dalam minggu) maka X ~ P (7), dengan rata-rata = t = (7/4)(4) = 7 t = 0,5 (dalam bulan), X ~ P(3,5) maka P(X>2) =... t = 2 (dalam minggu), X ~ P(3,5) maka P(X>2) =... t = 2 (dalam bulan), X ~ P(14) maka =... t = 8 (dalam minggu), X ~ P(14) maka =... b. 16
Ingat definisi: sehingga a. t e t PX ( x), x0,1,2,... x! PX ( 2) 1 2 P X 1P X 0 P X 1 P X 2 x 3,5 3,5 3,5 3,5 0 3,5 1 3,5 2 t0,5 e e e 1 0! 1! 2! 10.030 0,106 0,370 0,494 17 b. Jika dalam 1 bulan, rata-rata banyak kejadian hujan beserta badai adalah 7 (=7) maka dalam 2 bulan (t=2), rata-rata banyak hujan beserta badai terjadi adalah t = 14.
Misalkan p.a X Distribusi si Bernoulli X ~ Ber (1, p) Distribusi Normal X ~ N(μ, σ 2 ) μ= np, σ 2 = np(1- p) μ=, σ 2 = n >>> n >1 Distribusi Binomial X ~ Bin (n, p) n >>>, p <<< n >>> DLP Distribusi Poisson X ~ POI (t) = np = np(1- p) 18
Distribusi Multinomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Binomial Negatif Distribusi Geometri 19
Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil E 1, E 2,, E k dengan peluang p 1, p 2,, p k, maka distribusi peluang peubah acak X 1, X 2,, X k yang menyatakan banyak terjadinya E 1, E 2,, E k dalam n usaha bebasb ialah, n x1 x2 x PX ( 1 x1, X2 x2,..., X ) p1 p2 p k k xk k x1, x2,..., xk dengan, k x n dan p 1 i i1 i1 k i Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap percobaan memiliki lebih dari dua kemungkinan hasil. 20
Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta. Jawab: Misalkan X i : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i i=1i 1,2,3,4 berturut-turut mewakili pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta. 9 3 3 1 2 PX ( 1 3, X2 3, X3 1, X4 2) 0.4 0.2 0.3 0.1 3,3,1, 2 9! 5 0.0640.080.30.0125201.53610 0, 038702 3!3!1!2! 21
X ~ h(n, n, k) X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal. kn k x n x PX ( x) hxnnk ( ;,, ), x0,1, 2,..., n N n Rataan : Variansi : nk N N n k k N 1 n N N 2 1 22
Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung g mempunyai kode pelanggaran! Jawab : Misalkan X : banyak gedung yang dipilih ilih mempunyai kode pelanggaran. 1238 X ~ h(50, 10, 12) 3 7 22012620256 PX ( 3) h(3;50,10,12) 0.2703 50 10272278170 10 23
Percobaan binomial maupun hipergeometrik sama-sama memiliki lk 2kemungkinan, k yaitu sukses dan gagal. Perbedaan mendasar adalah pada binomial percobaan dilakukan dengan pengembalian sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan k tanpa pengembalian. Untuk ukuran sampel acak (n) yang diambil semakin kecil terhadap N, maka distribusi hipergeometrik dapat dihampiri oleh distribusi Binomial, dengan peluang sukses k/n. 24
X ~ g(p) atau X ~ Geom(p) X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p). P X x g x p p p x x1 ( ) ( ; ) (1 ), 1, 2,... Rataan : Variansi : 1 p 2 1 p 2 p 25
Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama! Jawab : X ~ Geom(0.2) 2 PX ( 3) g (3;0.2) 0.2(0.8) 0.128 26
X ~ b*(k, p) X : banyaknya usaha yang berakhir tepat t pada sukses ke-k k dari usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p). x 1 k xk PX ( x) b*( xkp ;, ) p(1 p), xkk, 1, k2... k 1 Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak-peubah acak Geometrik. X = Y 1 + Y 2 +... + Y k dimana Y 1, Y 2,..., Y k adalah peubah acak saling bebas, masing-masing berdistribusi Geom(p). k 2 Rataan : Variansi : p k(1 p) 2 p 27
Perhatikan Contoh 6. Misalkan X adalah banyak tes yang dilakukan sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung peluang bahwa dilakukan k 8 tes sehingga ditemukan 3 patahan pertama! Jawab : PX 7 2 3 5 ( 8) b*(8;3, 0.2) (0.2) (0.8) 0.05505 05505 28
Navidi, William., 2008, Statistics for Engineers and Scientists, 2nd Ed., New York: McGraw-Hill. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika ik untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. 29