TEOREMA URYSOHN SMIRNOV ROSMAN SIREGAR Fakultas Matematka Da Ilmu Pegetahua Jurusa Matematka Uverstas Sumatera Utara PENDAHULUAN -. Latar Belakag Setelah peuls membaca dar beberapa buku, maka pembcaraa megea ruag topolog da metrk dbahas secara terpsah, tetap ada peryataa metrzable yag megkatka pegerta metrk pada ruag topolog, dmaa dega mempelajar metrzablt berart eksstes dar suatu metrk merupaka alat yag bergua utuk pembukta teorema pada ruag topolog. Dar beberapa teorema yag membahas tetag metrzablt ruag topolog maka peuls g megemukaka teorema urysoh da smrov, karea kedua teorema membahas metrzablt dega syarat da pembukta yag berbeda. Jad dega mempelajar teorema urysoh da teorema smrov, peuls megharapka lebh memaham problema megea metrzablt sehgga peuls megambl judul Stud Tetag Teorema Urysoh da Smrov. Bagamaa syarat suatu ruag da peraa metrk pada suatu ruag topolog sehggadapat djawab kapa suatu ruag topolog aka metrzable da juga bagamaa persamaa da perbedaa teorema urysoh da teorema smrov dalam membahas metrzabllt suatu ruag topolog. BEBERAPA DEFENISI, LEMMA DAN TEOREMA Dalam bab aka dbcaraka beberapa defes, lemma da teorema, dmaa defes da teorema yag dbahas aka meujag pegerta da pembukta teorema tetag metrzablt ruag topolog yag dberka oleh teorema urysoh da smrov yag aka dbahas pada bab berkutya. Defes 2. : Padag X hmpua sembarag yag tdak kosog; maka fugs d : X x X ----- > R yag memeuh : (a). d(x,y) > 0, jka x y ; d(x,y) = 0, bla x = y utuk semua x,y X. (b). d(x,y) = d(y,x) utuk semua x,y X (c). d(x,z) d(x,y) + d(y,z) utuk semua x,y,z X Maka d dkataka metrk pada X, sedagka pasaga (X,d) dkataka ruag metrk. Suatu metrk dsebut juga fugs jarak, bla terdapat ε > 0 da x,y X dtuls B d (x, ε) atau B(x, ε) dtetuka sebaga B d (x, ε) = { y d(x,y) < ε } dsebut bola terbuka. 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary
Defes 2.2 : Metrk yag dtetuka dega d(x,y) = m {d(x,y),} dsebut dega metrk stadard terbatas pada R. Sedagka bla dberka suatu hmpua deks J dmaa ttk x = (x α ) α j da y = (y α ) α j adalah aggota R j, dtetuka suatu metrk ρ pada R j dega persamaa, ρ (x,y) = lub {d(x α,y α ) α J } ρ dsebut metrk seragam pada R j. Defes 2.3 : Padag X hmpua sembarag yag tdak kosog, maka koleks σ dar hmpua hmpua baga x memeuh: (a) X da φ termuat d dalam σ. (b) Gabuga eleme eleme sesuatu sub koleks dar σ termuat d dalam σ. (c) Irsa dar eleme-eleme sesuatu sub koleks berhgga dar σ termuat d dalam σ. Pasaga (X, σ) dsebut ruag topolog, sedagka aggota-aggota σ adalah hmpua terbuka. Defs 2.4: Padag X hmpua sembarag yag tdak kosog, bass utuk suatu topolog pada X adalah suatu koleks β dar hmpua baga X (dsebut eleme bass) sedemka hgga: (a) Utuk setap x X, terdapat palg sedkt satu eleme bass B memuat x. (b) Jka x termuat pada rsa dua eleme bass B da B 2, maka terdapat suatu eleme bass B 3 sedemka sehgga B 3 B B 2. Lemma 2.5: Adaka X ruag topolog, aggap A suatu koleks hmpua-hmpua terbuka dar X sedemka hgga utuk setap x X da setap hmpua terbuka U dar X, tedapat suatu eleme A A sedemka hgga x A U. Maka A adalah bass utuk topolog X. Ambl x X, karea X sedr suatu hmpua terbuka maka dega megaggap suatu eleme A dar A sedemka hgga x A X, maka syarat (a) dar bass dpeuh. Dperksa syarat (b) dar bass, bla x termuat pada A A 2, dmaa A, A 2 A. Karea A da A 2 terbuka, juga A A2 terbuka maka terdapat eleme A 3 A, sedemka hgga x A 3 A A 2. Adaka σ topolog pada X dhaslka oleh A, σ merupaka topolog dar X. bahwa σ lebh luas (fer) dar σ. Sebalkya, karea setap eleme A merupaka eleme dar σ, begtu juga gabuga dar eleme-eleme A. Karea σ sama dega koleks dar semua gabuga eleme-eleme A maka σ σ. Jad σ = σ. Defs 2.6: Jka X ruag topolog, X dkataka metrzable jka ada metrk d pada hmpua X yag meyebabka (duced) topolog dar X. Defs 2.7: Suatu ruag X dkataka metrzable lokal jka setap ttk x dar X mempuya suatu lgkuga U yag metrzable d dalam ruag baga topolog. Defs 2.8: 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 2
Suatu ruag topolog X dkataka ruag Hausdorff, jka utuk setap pasaga x, x 2 X terdapat lgkuga U da U 2 dar x da x 2 yag salg asg. Ruag topolog X dkataka rua regular bla F hmpua baga tertutup dar X da p X yag tdak termuat pada F, maka terdapat hmpua terbuka G da H yag salg asg sedemka sehgga F G da p H. Ruag topolog dkataka ormal bla da haya bla utuk setap F da F 2 hmpua tertutup yag salg asg dar X, terdapat hmpua terbuka G da H yag salg asg sedemka sehgga F G da F 2 H. Defs 2.9: Bla X da Y ruag topolog, pergadaa topolog pada X x Y adalah topolog yag sebaga bass adalah koleks B dars emua hmpua-hmpua berbetuk UxV, dmaa U hmpua baga terbuka dar X da V hmpua baga terbuka dar Y. Teorema 2.0: Adaka d ( a, b) = m a b, merupaka metrk stadard terbatas pada R. Jka x da y dua ttk pada R W, dtetuka, d ( x, y D( x, y) = lub ) Maka D adalah metrk yag meyebabka pergadaa topolog pada R W. Sfat-sfat dar suatu metrk dpeuh dega sedrya kecual utuk ketdaksamaa segtga (sfat (c) dar metrk), yag maa dbuktka utuk semua, d ( x, z ) d ( x, y ) d ( y, z ) + D( x, y) + d ( x, y ) lub D( x, y) + D( y, z karea, ) D( y, z) Pertama, adaka U terbuka d dalam metrk topolog da x U, dtemuka suatu hmpua terbuka V d dalam pergadaa topolog sedemka hgga x V U. plh suatu bola B D (x, ε) terletak d dalam U. Maka ambl N cukup besar sehgga / N < ε. Adaka V merupaka eleme bass utuk pergadaa topolog. V = (x - ε, x + ε)x x(x - ε, x + ε) x R x R x Dyataka bahwa V B D (x, ε); ambl suatu ttk, Y R W Ruag berdmes tak berhgga d (, y ) x ; N Lebh lajut, d D x, y) max ( Utuk N ( x, y ) d ( x, y ),..., N, N N N Jka y berada d dalam V, berart lebh kecl dar ε, karea tu V B D (x, ε). Sebalkya, ambl suatu eleme bass: U = Π - z + U utukpergadaa topolog, dmaa U adalah terbuka d dalam R utuk = α, α 2,, α da U = R utuk semua deks I yag la. Berka x U, dtemuka suatu hmpua terbuka V dar metrk topolog sedemka hgga x V U. 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 3
Plh suau terval (x - ε, x + ε ) dalam R berpusat pada x da terletak d dalam U utuk = x, x 2,, x ; plh setap ε. Maka dtetuka, ε ε = m = α, α2,..., α Dyataka bahwa, x B D (x,ε) U Adaka y suatu ttk dar B D (x, ε), maka utuksemua I, d ( x, y ) D( x, y) < ε sekarag jka = α, α 2,, α, maka da tu berart ε ε =, karea tu d ( x, y ) π ε x π ε y Karea tu y Π U. Berart R W pada pergadaa topolog adalah metrzable. Lemma 2.: (Urysoh Lemma) Adaka A da B hmpua baga tertutup yag salg asg dar suatu ruag ormal. Maka terdapat suau fugs kotu f : x [0,] sedemka hgga f[a] = {0} da f[b] = {}. Karea A B =φ, maka A B C. Dalam hal khusus bla B hmpua tertutup, B C adalah superset terbuka dar hmpua tertutup A. Bahwa ada hmpua terbuka U /2 sedemka hgga A U 2 U 2 B C dmaa U /2 superset terbuka dar hmpua tertutup A da B C adalah superset terbuka dar hmpua tertutup U /2. Maka terdapat hmpua-hmpua terbuka U /4 U 3/4 sedemka hgga A U 4 U 4 U 2 U U U Dteruska cara da dperoleh utuk setap p D, dmaa D adalah hmpua blaga rasoal pada [0,], suatu hmpua terbuka U p dega sfat jka: p, q D da p < q maka U p Uq. Dtetuka fugs f sebaga berkut: f { p: x U }, jka x f ( x) = p B { jkax B Dapat dlhat, bahwa utuk setap x X, 0 f(x) yatu f memetaka X ke [0,], juga A U p utuk semua p D. Karea tu f(a) = 0. Selajutya dar ketetua, f(b) =. Tggal membuktka bahwa f kotu. Fugs f kotu jka vers dar hmpua [0, a) da (b, ] adalah hmpua baga terbuka dar X. Haruslah; ). f 2). f [( 0,) ] = { Up: p π a} c ( b,) = U : p π b [ ] { } p Maka masg-masg adalah gabuga hmpua-hmpua terbuka, karea tu terbuka. 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 4 2 3 4 3 4 C B
) Adaka x f - [[0,)], maka f(x) [0,), yatu 0 f(x) < a. Karea D adalah dese (rapat) d dalam [0,], terdapatlah p x D sedemka hgga, f(x) < p x < a. Dega kata la f(x) = f{p:x U p } < p x < a. Karea tu x Up x dmaa p x < a. Maka x U{Up: p < a}. Telah memperlhatka bahwa setap eleme dalam f - [[0,a)] juga termuat ke {Up : p < a} yatu: f - {[0,a)] {Up: p < a} Cara laya; aggap y {Up: p < a}, maka terdapat py D sedemka hgga py < a da y Up y. Karea tu, f(y) = f{p: y Ut} p y < a. Maka y juga termuat ke f - [[0,a)]. Dega kata la, {Up: p < a} f - [[0,a)]. Kedua hal d atas membuktka ). 2) Adaka x f - {(b,]]. Maka f(x) (b,] yatu: b < f(x). Karea D dese pada [0,], terdapat p,q D sedemka hgga b < p < q < f(x) atau dega kata la; f(x) = f{p: x Up} > q. Karea tu x Uq. Utuk p < q berart U Uq. Karea tu juga x tdak termuat ke U p. Karea tu c x U p y dmaa p > b; maka x { U c p : p > b} Akbatya f - [(b,]] { U c p : p > b}. Pada cara la, adaka y { U : p > b}. Maka terdapat p y D sedemka hgga p y > b da y berart Up Up y U py c p y c p U ; karea tu y tdak termuat ke U py. Tetap p < Py ; maka y Up utuk setap p < py. Akbatya f(y) = f {p: y Up} py > b Karea tu y f - ((b)). Dega kata la, { U c p : p > b} f - [(b,]] Dar hal d atas maka f kotu. Teorema 2.2: Adaka X ruag Hausdorff, {f x }x j koleks dar fugs-fugs kotu. f x : X R memeuh utuk setap ttk x 0 X da setap lgkuga U dar x 0 terdapat deks x sedemka sehgga f x postf pada x 0 da hlag (vash) d luar U. Maka, F: X R j ddefska sebaga F(x) = F x (x) x j Adalah suatu peyspa dar X d dalam R j. Ambl fugs f x sehgga terdapat suatu fugs koleks coutable dar fugs kotu; f x : X [0,]. Utuk x 0 X da lgkuga U dar x 0, ada deks x sedemka hgga f x postf pada x 0 da dhlagka d luar U. Dtetuka pemetaa F: X R j, dega atura, f(x) = (f (x), f 2 (x), ), F aka dyataka suatu peyspa. Pertama F adalah kotu karea R j mempuya pergadaa topolog da setap fx adalah kotu. Kedua, F adalah jektf karea 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 5
utuk setap x y, dketahu terdapat suatu deks x sedemka hgga f x (x) > 0 da f x (y) = 0, karea tu F(x) F(y). Akhrya, harus dbuktka bahwa F adalah homomorphs dar X oto bayagaya, ruag baga Z = F (X) dar R j. Dketahu bahwa F meetuka suatu kotu bjektf dar X dega Z, juga haya perlu dperlhatka bahwa utuk setap hmpua terbuka U d dalam X, hmpua F(U) adalah terbuka d dalam Z. Msal z 0 merupaka suatu ttk dar f(u). Aka dtemuka suatu hmpua terbuka W dar z sedemka sehgga, z 0 W F(U) Bla x 0 ttk dar U sedemka hgga F(x 0 ) = z 0 plh deks N utuk maa f N (x 0 ) da f N (X U) = 0. Ambl terval terbuka (0, + ) pada R, da V hmpua terbuka V π ((0, + )) dar R j. = N Bla W = V Z; maka W adalah terbuka d dalam Z, oleh defs ruag baga topolog dyataka bahwa z 0 W F(U). Pertama z 0 W karea, π N ( N = N 0 z0) = π ( F( x0)) f ( x ) φ 0 Kedua, W F(U). Jka z W, maka z = F(x) utuk beberapa x X da π ( z) (0, + ). karea, N π ( z) = π ( F( x) f ( x), da f N hlag d luar U, haruslah x d dalam N N = N U. Maka z = F(x) adalah d dalam F(U). Jad F adalah suatu peyspa dar X d dalam R j. Defs 2.3: Bla X ruag topolog, suatu koleks A dar hmpua baga X dyataka berhgga lokal (locally fte), jka setap ttk dar X mempuya suatu lgkuga yag megrs berhgga bayakya eleme-eleme dar A. Suatu koleks B dar hmpua baga X dkataka coutable berhgga lokal (coutably locally fte) jka B dapat dtuls sebaga gabuga coutable dar koleks B, dmaa setap B adalah berhgga lokal. Defs 2.4: Hmpua baga A dar ruag X dsebut hmpua G δ d dalam X, jka A sama dega rsa dar koleks coutable hmpua-hmpua baga terbuka dar X. Lemma 2.5: Aggap X ruag regular dega bass B yag berhgga lokal da coutable. Maka X adalah ormal da setap hmpua tertutup d dalam X adalah hmpua G δ d dalam X. Lagkah : Adaka W X, W terbuka, maka ada koleks coutable {U} dar hmpua-hmpua terbuka dar X sedemka hgga, W = U = U Karea bass B utuk X adalah coutable berhgga lokal, dapat dtuls, B = B Dmaa setap koleks B adalah berhgga lokal. Bla C koleks dar eleme bass B sedemka hgga B B da B W, maka C adalah berhgga lokal, merupaka sub koleks dar B. Dtetuka B U = B C 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 6
Maka U adalah hmpua terbuka,sedagka, U = B C B Karea tu, U W, juga U U W Dyataka bahwa kesamaa dpeuh. Ambl x W, dega keregurela, suatu eleme bass B B sedemka hgga x B da B W. Sekarag B B utuk beberapa. maka B C dega defs 2.4, juga bahwa x U. Jad W = U. Lagkah 2: Dperlhatka bahwa setap hmpua tertutup C d dalam X suatu hmpua G δ d dalam X. ambl C, adaka W = X C. Dega lagkah terdapat hmpuahmpua U d dalam X sedemka hgga W = U maka, C = (X - U ), Dar tu C sama dega suatu rsa coutable dar hmpua-hmpua terbuka dar X. Lagkah 3: Dperlhatka bahwa X adalah ormal. Adaka C da D hmpua tertutup yag salg asg d dalam X. megguaka lagkah utuk hmpua terbuka X D, dbetuk suatu koleks coutable {U } dar hmpua-hmpua terbuka sedemka hgga, U = U = X D Maka {U } meutup c da setap hmpua U adalah salg asg dar D. dega cara yag sama, dbetuk suatu selmut coutable {V} dar D dega hmpua-hmpua terbuka yag maa closureya salg asg dega C. Karea suatu ruag reguler dega bass yag coutable adalah ormal. Dtetuka, U = U = V da V = V = U maka hmpua-hmpua : U = z + U da V = z + adalah hmpua-hmpua terbuka yag salg asg yag masg-masg memuat C da D. (lhat gambar ). V 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 7
U V V 2 U 2 C D V 3 U V V 2 U 2 C D Gambar : Eleme pada ruag Normal. Teorema 2.6: (Syarat cukup Nagata-Smrov). Adaka X ruag regular dega suatu bass B yag coutable daberhgga lokal, maka x adalah metrzable. Lagkah. Dperlhatka bahwa jka W terbuka d dalam X, terdapat suatu fugs kotu f : X [0,] sedemka hgga f(x) > 0 utuk x W da f(x) = 0 utuk x W. Oleh Lemma 2.5, setap hmpua tertutup dar X adalah rsa coutable dar hmpua-hmpua terbuka dar X. dega komplemeya, memberka bahwa hmpua terbuka W adalah gabuga coutable dar hmpua-hmpua tertutup A dar X. Megguaka keormala, plh utuk setap blaga postp, suatu fugs kotu. f : X [0,] sedemka hgga f(a ) = {} da f(x-w) = {0}. f 2 Dtetuka f(x) = Deret tersebut koverge seragam, dega perbadga, karea tu f adalah kotu, juga f postp pada W da hlag d luar W. Lagkah 2: Adaka B = B dmaa setap koleks B adalah berhgga lokal. Utuk setap blaga postp da setap eleme bass B B, plh suatu fugs kotu, f,b : X [0,/] sedemka hgga f,b (x) > 0 utuk x B da f, B = 0 utuk x B. Koleks {f,b} ttk-ttk terpsah dar hmpua-hmpua tertutup dar X. V 3 2 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 8
Ambl suatu ttk x 0 da suatu lgkuga U darx 0, ada suatu eleme bass B sedemka hgga: x 0 B U. Maka B B utuk beberapa, karea tu f,b(x 0 ) > 0 da f, B hlag d luar U. Adaka J hmpua baga dar z + x B terdr dar semua pasaga (,B) sedemka hgga B berada pada B. Dtetuka, F : X [0,] j dega persamaa F(x) = (f,b (x)),b j. Relatf ke pergadaa topolog pada [0,] j, pemetaa F adalah suatu peyspa (mbeddg), oleh teorema 2.2. Jad, [0,] j buka metrzable secara umum. Lagkah 3: Sekarag berka [0,] j topolog dhaslka oleh metrk seragam ρ da dperlhatka bahwa F adalah suatu peyspa relatf ke topolog. Topolog seragam lebh besar dar pergadaa topolog. Karea tu relatf ke metrk seragam, pemetaa F adalah jektf da membawa hmpuahmpua terbuka dar X oto hmpua-hmpua terbuka dar ruag bayaga Z = F(X). harus dberka bukt terpsah bahwa F adalah kotu. Pada ruag baga [0,] j pada R j, metrk seragam sama dega metrk ρ[( x α ),( y α )] = lub { x y } α α Ambl suatu ttk x 0 X da blaga ε > 0, da temuka suatu lgkuga W dar x 0 sedemka hgga, X W ρ[(f(x), F(x 0 )] <ε. Plh suatu lgkuga U darx 0 yag megrs haya berhgga bayakya eleme-eleme dar koleks B. I dmaksud sebaga B daerah peta d atas B semua tetap berhgga bayakya dar fugs-fugs f,b adalah sama dega ol pada U. Tetap semua fugs f,b adalah kotu. Sekarag dapat dplh suatu lgkuga V dar x 0 termuat d dalam U pada maa setap ssa fugs f,b utuk B B, bergat pada hampr ε / 2. Dplh sedemka suau lgkuga V dar x 0 utuk setap z+. maka plh N sedemka / N ε / 2, da tetuka W = V V 2 V N. Dyataka bahwa W adalah lgkuga x 0 dmaksud. Bla x W. Jka < N, maka, f, ( ), ( 0) ε B x f B x 2 Karea fugs f,b juga hlag atau bergat dega hampr ε / 2 pada W, jka > N, maka; f, ( ), ( 0) ε B x f B x π 2 karea f,b pemetaa X ke [0, / ]. karea tu ρ (( F ( x), F( x )) ε 0 2 π ε Defs 2.7: Bla A adalah suatu koleks dar hmpua-hmpua baga X. Suatu koleks B dar hmpua baga X dkataka peyempuraa (refemet) dar A jka utuk setap elemet B B, terdapat suatu eleme A A memuat B. Jka elemee-eleme dar B adalah hmpua-hmpua terbuka, maka B dsebut peyempuraa terbuka dar A; jka tertutup, B dsebut peyempuraa tertutup dar A. Lemma 2.8: Adaka X ruag metrzable, jka A adalah selmut terbuka dar X, maka terdapat suatu koleks D dar hmpua baga X sedemka hgga; 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 9
a). D adalah selmut terbuka dar X b). D adalah peyempuraa dar A c). D adalah coutable berhgga lokal. Msalka koleks A bers eleme-eleme U, V,W, plh uruta < utuk koleks A. Plh metrk utuk X. Utuk > 0, ambl suatu eleme U dar A, dtetuka S (U) hmpua baga dar U dega jarak /. Secara sgkat, adaka, S (U) = { x B (x, / ) U} Guaka uruta < dar A hgga hmpua lebh kecl utuk setap U A, dtetuka; S ( U ) = S ( U ) v u V Keadaa dmaa A terdr dar tga hmpua U < V < W dgambarka sepert gambar.2 Jad gambar meujukka, hmpua-hmpua yag dbetuk adalah salg asg. Maka dyataka bahwa hmpua tu terpsah dega jarak palg sedkt /. U S (U) V S (V) S (W) 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 0 W Gambar 2: Eleme selmut pada ruag X. Jka V da W adalah eleme yag berlaa dar A dyataka bahwa, ( V ) da y S ( W ) d( x, y) () x S... utuk membuktka hal tersebut, aggap bahwa otas telah dplh V < W. Karea x S( V ) berart x S (V). Da y S( W ) dberka oleh defes bahwa y V (karea V < W). Karea x S (V) da y V, haruslah d(x,y) /. Hmpua-hmpua S ( U ) buka yag dperluka, yag tdak dketahu bahwa hmpua-hmpua tersebut adalah terbuka. Jad adaka dkembagka sedkt utuk memperoleh suatu hmpua terbuka E (U). khususya, msalka E (U) merupaka lgkuga / 3 dar ( U ), maka E { 3 } ( U ) = B( x, ) x S ( U ) Dalam hal U < V < W, keadaa sekarag sepert gambar 3. Dar gambar meujukka hmpua-hmpua yag terbetuk adalah salg asg da sesugguhya terpsah palg sedkt / 3. Karea tu jka V da W adalah eleme yag berbeda aggota A, dyataka bahwa, S
x E ( V ) da y E ( W ) d( x y)., 3 dperoleh dar (*) da ketdaksamaa segtga. Juga utuk setap v A, hmpua E (V) termuat d dalam V. Sekarag dtetuka, ε = {E (U) U ε A} Harus bahwa ε koleks berhgga lokal dar hmpua-hmpua terbuka da ε meyempuraka A. Keyataa bahwa ε meyempuraka A dperoleh dar keyataa bahwa E (V) V utuk setap v A. Bahwa ε adalah berhgga lokal dperoleh dar keadaa utuk suatu x X, lgkuga / 6 dar x dapat megrs palg bayak satu eleme dar ε. Tetu koleks ε tdak aka meutup X (Gambar membuktka hal tersebut). U E (U) V E (V) W E (W) Gambar.3 : Eleme peyempuraa ruag X. Tetap dyataka bahwa koleks, ε = z+ ε adalah meutup X. Bla x X. Koleks A dega maa mula-mula dtutup x; plh U merupaka eleme pertama dar A yag memuat x. Karea U terbuka, dapat dplh sehgga B(x, / ) U. Maka dega defs x S (U). Sekarag karea U adalah eleme pertama dar A yag memuat x, ttk berada ke S ( U ). maka x juga berada/termuat ke eleme E(U) dar ε. Berart ε adalah koleks hmpua terbuka yag dgka. Teorema 2.9: (Syarat perlu teorema Nagata-Smrov). Padag X ruag metrzable, maka X mempuya suatu bass yag coutable berhgga lokal. Bukt : Plh suatu metrk utukx. Utuk m, maka A m merupaka selmut terbuka dar X dega semua bola-bola terbuka dega jar-jar / m ; A m = {B(x, / m ) x X} Dega lemma 2.8, terdapat suatu selmut terbuka D m dar X meyempuraka A m sedemka hgga D m adalah berhgga lokal yag coutable dmaa setap eleme dar D m berdameter palg besar 2 / m. Bla D = m z+ D m Karea setap koleks D m gabuga coutable dar koleks berhgga lokal, begtu juga utuk D. Dyataka bahwa D adalah suatu bass utuk X, maka teorema terbukt. 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary
Dbuktka bahwa x X da setap ε > 0, terdapat suatu eleme D dar D memuat x da termuat d dalam B(x,ε). Pertama plh m sedemka / m < ε / 2, maka karea D m meutup X, dapat dplh suatu eleme D dar D m memuat x. Karea D memuat x da berdameter palg besar 2 / m < ε, berart termuat d dalam; B(x,ε). Meurut lemma 2.5 bahwa D adalah bass utuk X. Defes 2.20: Suatu ruag X adalah parakompak jka ruag tersebut Hausdorff da setap selmut terbuka A dar x memlk suatu peyempuraa terbuka B yag berhgga lokal yag meutup X. Teorema 2.2: (Teorema Stoe) Setap ruag metrzable adalah parakompak. Adaka X ruag metrzable, dar lemma 2.8 telah dbuktka bahwa setap selmut terbuka dar X mempuya suatu peyempuraa terbuka (ope refemet) yag meutup X da coutable berhgga lokal. Bla A suatu selmut terbuka dar X da B merupuaka peyempuraa A yag coutable, juga B = B dmaa setap B berhgga lokal. Dtujukka eleme-eleme B secara umum dega, U, V, W, Bla V = u B U, maka setap z+ da setap eleme U dar B, dtetuka, S (U) = U - < V Dmaa C = {S (U) U B} maka C peyempuraa dar B, karea S (U) U utuk setap U B. Karea C = C, dmaa C meyataka peyempuraa yag berhgga lokal dar A da meutup X. Ambl x suatu ttk dar X. Tjau selmut B = B, N merupaka blaga bulat terkecl sedemka hgga x terletak dalam suatu eleme dar B. Ada U suatu eleme dar B N yag memuat x, karea x tdak terletak d dalam eleme B utuk < N, ttk x terletak d dalam eleme S N (U) dar C. Karea setap koleks B adalah berhgga lokal, dapat dplh utuk setap =, 2,, N suatu lgkuga W dr x yag megrs berhgga bayakya elemeeleme dar B. Jka W megrs eleme-eleme S (V) dar C, haruslah megrs eleme V dar B, karea S (V) V, maka W megrs haya berhgga bayakya eleme-eleme C. Karea U terletak B, U tdak ada megrs eleme dar C utuk < N. Jad lgkuga W W 2 W U dar x megrs haya berhgga bayakya eleme-eleme dar C. Maka x terletak d dalam suatu eleme dar C da x mempuya suatu lgkuga yag megrs haya berhgga bayakya eleme dar C. Jad X adalah parakompak. METRIZABILITI RUANG TOPOLOGI OLEH TEOREMA URYSOHN DAN TEOREMA SMIRNOV Dalam bab dbcaraka teorema Urysoh da teorema Smrov, dmaa kedua teorema meujukka kemetrzablea suatu ruag da juga dberka bukt dar kedua teorema tersebut. Teorema 3.: (Teorema Urysoh) Setap ruag regular X dega bass yag coutable adalah metrzable. Aka dbuktka bahwa X metrzable dega peyspa X d dalam suatu 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 2
ruag metrzable Y, dega memeperlhatka X homomorphs dega suat ruag baga dar Y. Lagkah : Dtujukka terdapat suatu koleks coutable dar fugs-fugs kotu f : X [0,] dega sfat bahwa dberka suatu ttk x 0 dar X da dberka suatu lgkuga U dar x 0, terdapat suatu deks sedemka hgga f postp pada x 0 da hlag d luar U. Utuk setap, m pada maa B Bm, dega megguaka lemma 2.2 utuk memlh suatu fugs kotu g,m : X ( [0,] sedemka hgga g,m B m = {} da g,m(x Bm) = {0}. Maka koleks {g,m } memeuh keperlua, ambl x ε U, dapat dplh satu eleme bass Bm sedemka hgga; x ε B m ε U Megguaka keregulera, dapat dplh satu B sehgga, x 0 ε B Maka fugs g,m tertetu, da g,m postp pada x 0 da hlag d luar U. Karea koleks berdeks dega suatu hmpua baga z+ * z+ berart coutable, karea tu dapat d deks kembal dega blaga postp yatu {f} Lagkah 2: Ambl fugs f dar lagkah pertama, da RW d dalam pergadaa topolog da dtetuka suatu pemetaa F : X ( RW dega atura, F(x) = (f(x), f2(x), ) dyataka bahwa F suatu peyspa. Pertama, F adalah kotu karea RW memlk pergadaa topolog da setap f adalah kotu. Kedua, F adalah jektf karea bla x y, dketahu ada suatu deks sedemka hgga f (x) > 0 da f (y) = 0; karea tu, F(x) ( F(y). Akhrya harus dbuktkka bahwa F suatu homomorphsma dar X oto bayagaya, ruag baga Z = F(x) dar RW. Dketahu bahwa F meujukka suatu kotu bjektf dar X dega Z, yag dperluka haya memperlhatka utuk setap hmpua terbuka U ( X, hmpua F(u) adalah terbuka d dalam Z. Adaka Z 0 suatu ttk dar F(u), aka dtemuka suatu hmpua terbuka W dar Z sedemka hgga, Z 0 ε W ε F(U) Bla x 0 merupaka ttk dar U sedemka hgga F(x 0 ) = Z 0. Plh suatu deks N utuk maa f N (x 0 ) > 0 da f N (x-u) = {0}. Ambl terval terbuka (0, +() d dalam R da adaka V hmpua terbuka, V = π N (0, + ) dar RW. Bla W = V Z, maka W terbuka d dalam Z, oleh defes ruag topolog. Lhat gambar.4, dyataka bahwa Z 0 ε F(U). Pertama, Z0 ε W karea, π N (Z 0 ) = π N (F(x 0 ) = f N (x 0 ) > 0 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 3
F F(u) E 0 R W x 0 u x w = v z 0 Gambar.4 : Pemetaa dar ruag X ke ruag metrzable Y. Kedua, W F(u), bla z ε W, maka z = F(x) utuk beberapa x ε X, da π N (z) (0,+0). Karea (N(z) = (NF(x) = fn(x), da fn hlag d luar U, haruslah x d dalam U. Maka z = F(x) adalah d dalam F(u). Jad F adalah suatu peyspa dar X d dalam R W. Lagkah 3: Dsspka X d dalam ruag metrk (R W, ρ Keyataa dsspka X d dalam ruag baga [0,] W, pada maa ρ sama dega metrk, { } ρ ( x, y) = lub x y dguaka koleks coutable dar fugs f : X [0,] dbetuk d dalam lagkah., tetap sekarag dkeaka syarat tambahaa bahwa f(x) / utuk semua x. dtetuka F : X [0,] W dega persamaa, F(x) = (f(x), f2(x), ), sepert sebelumya. Dyataka F sekarag suatu peyspa relatf ke metrk ρ pada [0,] W. Dketahu dar lagkah.2, bahwa F jektf. Karea tu dketahu bahwa jka dguaka pergadaa topolog pada [0,] W, pemetaa F membawa hmpuahmpua terbuka dar X oto hmpua-hmpua terbuka Z = F(X). Tggal membuktka bahwa F kotu. Adaka x 0 suatu ttk dar X da utuk ε > 0 perlu dtemuka suatu lgkuga U dar x 0 sedemka hgga, x ε U ρ(f(x), F(x 0 )) < ε Pertama plh cukup besar sehgga /N ε/2. Maka utuk setap =, 2,, N, guaka kekotua dar f utuk memlh suatu lgkuga U dar x 0 sedemka hgga, f (x) f (x 0 ) ε / 2 utuk x U, dmaa U = U U 2... UN; dperlhatka bahwa U adalah lgkuga dar x 0 yag dmaksudka. Bla x U da N, f(x) f(x0) ε / 2 dega plha dar U. Da jka > N, maka f(x) f(x0) < / N ε / 2 Karea f pemetaa X ke [0,/]. Demka juga utuk semua x U, ρ (( () x,f( x ) ε / 2 π ε F 0 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 4
Teorema 3.2: Teorema Smrov Suatu ruag X adalah metrzable, ruag tersebut parakompak da metrzable lokal. Aggap X metrzable. Maka X adalah metrzable lokal da juga parakompak, oleh teorema stoe. Sebalkya aggap bahwa X parakompak da metrzable lokal, aka dperlhatka bahwa X memlk suat bass B yag coutable berhgga lokal. Karea X adalah reguler (merupaka parakompak), meurut teorema agatasmrov bahwa X adalah metrzable. Tutup X dega hmpua-hmpua terbuka yag metrzable, kemuda plh suatu peyempuraa terbuka C yag berhgga lokal dar selmut yag meutup X. Setap eleme c dar C adalah metrzable. Adaka fugs d c : c x C R merupaka suatu metrk ya memberka topolog dar C. Ambl x C da Bc(x, ε) meujukka hmpua semua ttk-ttk y C sedemka hgga dc(x,y) < ε. Aka terbuka d dalam C. Ambl m Z +, msalka A m selmut dar X oleh semua bola-bola terbuka dega jar-jar /m d dalam hmpua-hmpua c C; A m = { Bc( x,/ m) c C da x c} Bla A m peyempuraa terbuka dar A m yag meutup x dmaa D = D M ; Maka D adalah berhgga lokal yag coutable. Dyataka bahwa D adalah suatu bass utuk X. Adaka x suatu ttk-ttk dar X da U lgkuga dar X. dcoba meemuka suatu eleme d D sedemka hgga, X d U Sekarag x termuat ke haya berhgga bayakya eleme-eleme dar C, katakalah C, C 2,..., C k. Maka U C adalah suatu lgkuga dar x d dalam hmpua C, juga terdapat ε > 0 sedemka hgga B c (x, ε ) (U C ) Plh m sehgga /m < ½ m {ε, ε 2,..., ε k }. karea koleks D m meutup x, haruslah eleme d D m memuat x. karea D m peyempuraa dar A m, haruslah terdapat suatu eleme Bc (y, /m) dar A m, utuk beberapa c C da beberapa y c, yag memuat d. Maka x termuat ke C, karea tu c haruslah salah satu dar hmpua-hmpua c, c 2,..,c k. katakalah bahwa c =c, maka dega memperguaka ketdaksamaa segtga dperoleh, D B c (y, /m) B c (x, ε ) U Maka D adalah bass utuk X. 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 5
DAFTAR PUSTAKA. Kelley Joh, L., Geeral Topolog, Va Nostrad Rehold Compay, Ic., New York, Lodo, Toroto, 955. 2. lpschutz Seymour, Theory ad Problem of geeral Topolog, Schaum s Outle Seres, MC Graw Hll Iteratoal Book Compay, Sgapore, 965. 3. Mukres James, R., Topolog A frst Course, Pretce Hall of Ida Prvate Lmted, New Delh, 978. 4. Tse Hu-Sze, Elemets of geeral topolog, A Feffer ad Smos Iteratoal Uversty Edto, Frst Prtg, 964. 2002 dgtzed by USU dgtal lbrary 6