LIMIT & KONTINUITAS Oleh Nuryanto, ST., MT
3.1 Limit Fungsi di Satu Titik Pengertian it secara intuisi Perhatikan ungsi ( ) 1 1 Fungsi diatas tidak terdeinisi di =1, karena di titik tersebut () berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai () jika mendekati 1 Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai () bila mendekati 1, seperti pada tabel berikut () 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1 1.9 1.99 1.999 1.9999?.0001.001.01.1
Secara graik () () º 1 Dari tabel dan graik disamping terlihat bahwa () mendekati jika mendekati 1 Secara matematis dapat dituliskan Sebagai berikut 1 1 1 Dibaca it dari 1 adalah 1 1 untuk mendekati Deinisi(it secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa ( ) L berarti c bahwa bilamana dekat, tetapi berlainan dengan c, maka () dekat ke L 3
Contoh 1. 3 1 5 8. 3 ( 1)( ) 1 5 3. 9 9 3 9 3 9 3 3 4. sin(1/ ) 0 ( 9)( 9 9 3) 9 Ambil nilai yang mendekati 0, seperti pada tabel berikut 3 6 / / / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 /8 0 sin( 1/ ) 1 0-1 0 1 0-1 0? Dari tabel terlihat bahwa bila menuju 0, sin(1/) tidak menuju ke satu nilai tertentu sehingga itnya tidak ada 4
Deinisi it c ( ) L jika 0, 0 0 c ( ) L L º L º c Untuk setiap 0 Terdapat c 0 sedemikian sehingga L º L L L º c c c c 0 c ( ) L 5
Limit Kiri dan Limit Kanan c c Jika menuju c dari arah kiri (dari arah bilangan yang lebih kecil dari c, it disebut it kiri, notasi c ( ) Jika menuju c dari arah kanan (dari arah bilangan yang lebih besar dari c, it disebut it kanan, notasi ( ) c Hubungan antara it dengan it sepihak(kiri/kanan) c ( ) L c ( ) Jika ( ) ( ) c c L dan maka c c ( ) ( ) L tidak ada 6
Contoh Diketahui 1. ( ),, 0 0 1, 1 Jawab a. Hitung 0 b. Hitung) ( ) Jika ada 1 c. Hitung UNIVERSITAS GUNADARMA ( ) ( ) d. Gambarkan graik () a. Karena aturan ungsi berubah di =0, maka perlu dicari it kiri dan it kanan di =0 7
0 0 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ( ) 0 b. Karena aturan ungsi berubah di =1, maka perlu dicari it kiri dan it kanan di =1 1 1 ( ) ( ) 1 1 UNIVERSITAS GUNADARMA 1 1 1 3 Karena ( ) ( ) 1 Tidak ada c. Karena aturan ungsi tidak berubah di =, maka tidak perlu dicari it kiri dan it kanan di = ( ) 6 8
d. 3 di =1 it tidak ada ( ) º 1 Untuk 0 ( ) Graik: parabola Untuk 0<<1 ()= Graik:garis lurus Untuk 1 Graik: parabola 9
. Tentukan konstanta c agar ungsi 3 c, 1 ) c, 1 ( mempunyai it di =-1 Jawab Agar () mempunyai it di =-1, maka it kiri harus sama dengan it kanan 1 1 ( ) ( ) 3 c 3 c 1 1 c 1 c Agar it ada 3+1c=1-c C=-1 10
Soal Latihan A. Diberikan graik suatu ungsi seperti gambar berikut. Cari it /nilai ungsi berikut, atau nyatakan bahwa it /nilai ungsi tidak ada. 1. ( ) 3 5.. 3. 4. 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 6. (-3) 7. (-1) 8. (1) ( ) 11
Soal Latihan B. 1. Diketahui : 1, ) ( 1, 1 a.hitung 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 g( ) 3 ( ) dan b. Selidiki apakah ada, jika ada hitung itnya. Diketahui, hitung ( bila ada ) : g( ) a. g g b. ( ) c. 3. Diketahui ( ), hitung ( bila ada ) a. ( ) b. ( ) c. ( ) 1
Siat it ungsi Misal a maka ( ) L dan a g( ) G (it dari, g ada dan berhingga) 1. a ( ) g( ) ( ) g( ) L G a a. 3. 4. a a ( a ( ) guniversitas ( ) ( ) g( ) GUNADARMA LG ( ) g( ) a a g( ) a ( ) L G n n ( )) ( ( )) a a, bila G 0,n bilangan bulat positi ( ) ( ) L n n 5. n bila n genap L harus positi a a 13
Prinsip Apit Misal ( ) g( ) h( ) untuk disekitar c dan maka c c Contoh Hitung UNIVERSITAS 1 GUNADARMA 1 1 ( 1) ( 1) sin ( 1) ( 1) 1 ( ) g( ) L L serta ( 1 1) sin 1 sin 0 1 h( ) c Karena 1 1 sin( ) 1 1 dan ( 1) 0,( 1) 1 maka 1 1 0 L 14
Limit Fungsi Trigonometri sin 1. 0. cos 0 tan 3. 0 Contoh 3 0 5 1 1 1 sin 4 tan 3 0 5 sin 4.4 4 tan. sin 4 3.4 40 4 tan 5. 0 7 3 sin 4 3.4 0 4 tan 5. 0 0 ekivalen dgn 4 0 15
Soal Latihan Hitung 1.. 3. 4. 5. tan 3t t0 t cot t t0 sec UNIVERSITAS GUNADARMA cos t t0 1 sin t t 0 0 sin t t sin 3t 4t t sect tan sin 16
Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga Limit Tak Hingga Misal a ( ) L 0 dan g( ) 0, maka a ( i), jika L 0 dan g( ) 0 dari arah atas ( ii), jika L 0 dan g( ) dari arah bawah ( iii), jika L 0 dan g( ) ( iv), jika L 0 dan g( ) 0 0 dari arah 0 dari arah atas ( ) g a ( ) bawah Ctt : g() 0 dari arah atas maksudnya g() menuju 0 dari nilai g() positi. g() 0 dari arah bawah maksudnya g() menuju 0 dari nilai g() negati. 17
Contoh Hitung a. 1 Jawab 1 1 1 b. 1 c. 1 sin a. 1 0 1 Sehingga UNIVERSITAS GUNADARMA b. 1 0 g( ) 1akan menuju 0 dari arah atas, karena 1-1 dari kiri berarti lebih kecil dari -1, tapi bilangan negati yang lebih kecil dari -1 jika dikuadrat kan lebih besar dari 1 sehingga bernilai positi Sehingga 1 1 1,g()=-1 akan menuju 0 dari arah bawah, karena 1 dari kiri berarti lebih kecil dari 1, akibatnya -1 akan bernilai negati 1 1 1 1 18
c. Karena 0 dan ()=sin Jika menuju dari arah kanan maka nilai sin menuju 0 dari arah bawah(arah nilai sin negati) sehingga sin 19
Limit di Tak Hingga a. ( ) L jika 0 M 0 M ( ) L atau () mendekati L jika menuju tak hingga L Contoh Hitung Jawab 5 4 4 5 (1 ( 4 5 ) ) 5 1 4 = 1/ 0
b. ( ) L jika 0 M 0 M ( ) L atau () mendekati L jika menuju minus tak hingga L Contoh Hitung Jawab 5 4 5 4 ( ( 5 ) ) 4 4 ( ) ( 5 ) = 0 1
Contoh Hitung Jawab : 3 Jika, it diatas adalah bentuk ( ) 3 3 ( ) UNIVERSITAS GUNADARMA 3 3 3 (1 ) 1 3 (1 ) ( 1 1 1 3 3 1) 3 3 3 3 1 (1 1 1 3 ) 3
3 Soal Latihan 3 3 3 3 4 ) 1 ( 1 1 1 1. Hitung 1.. 3. 4. 5. 6. Nuryanto,ST.,MT Nuryanto,ST.,MT Nuryanto,ST.,MT Nuryanto,ST.,MT
Kekontinuan Fungsi Fungsi () dikatakan kontinu pada suatu titik = a jika (i) (a) ada (ii) a ( ) ada (iii) ( ) ( a) a Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka dikatakan tidak kontinu di =a (i) º a (a) tidak ada tidak kontinu di =a 4
(ii) L L 1 a Karena it kiri(l1) tidak sama dengan it kanan(l) maka () tidak mempunyai it di =a Fungsi () tidak kontinu di =a (iii) (a) L UNIVERSITAS GUNADARMA º (a) ada a ( ) ada a Tapi nilai ungsi tidak sama dengan it ungsi Fungsi () tidak kontinu di =a 5
(iv) (a) (a) ada ( ) ada a ( ) ( a) a a () kontinu di = º a Ketakkontinuan terhapus Ketakkontinuan kasus (i) bisa dihapus dengan cara mendeinisikan nilai ungsi dititik tersebut = it ungsi 6
contoh Periksa apakah ungsi berikut kontinu di =, jika tidak sebutkan alasannya 4 4 ( ) ( ), 1, a. b. c. ( ) 1, Jawab : 3, a. Fungsi tidak terdeinisi di = (bentuk 0/0) () tidak kontinu di = b. - () = 3 4 - - ( ) ( )( ) ( ) () 4 Karena it tidak sama dengan nilai ungsi, maka () tidak kontinu di = 7
c. - () 1 3 - ( ) 1 3 ( ) 1 3 ( ) 3 - ( ) () Karena semua syarat dipenuhi () kontinu di = 8
Kontinu kiri dan kontinu kanan Fungsi () disebut kontinu kiri di =a jika a ( ) ( a) Fungsi () disebut kontinu kanan di =a jika a ( ) ( a) Fungsi () kontinu di =a jika kontinu kiri dan kontinu kanan di =a Contoh : Tentukan konstanta a agar ungsi a, ( ) a 1, Kontinu di = 9
Jawab : Agar () kontinu di =, haruslah kontinu kiri di = ( ) () ( ) a ( ) kontinu kanan di = () a () a () + a = 4a 1-3a = -3 a = 1 ( ) 1 a 4a a 1 1 1 4a 4a 1 1 Selalu dipenuhi 30
Soal Latihan 1. Diketahui 1, 1 ( ), 1 selidiki kekontinuan ungsi () di = -1. Agar ungsi 1, 1 ( ) a b,1 3, kontinu pada R, maka berapakah a + b? 3. Tentukan a dan b agar ungsi a b 4 ( ), 4, kontinu di = 31
Kekontinuan pada interval Fungsi () dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila () kontinu pada setiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan () dikatakan kontinu pada interval tutup [ a,b ] bila : 1. () kontinu pada ( a,b ). () kontinu kanan di = a 3. () kontinu kiri di = b Bila () kontinu untuk setiap nilai R maka dikatakan () kontinu ( dimana-mana ). 3
Teorema 3. Fungsi Polinom kontinu dimana-mana Fungsi Rasional kontinu pada Domainnya Misalkan ( ) n, maka () kontinu di setiap titik di R jika n ganjil () kontinu di setiap R positi jika n genap. Contoh : tentukan selang kekontinuan ( ) 4 Dari teorema diatas diperoleh () kontinu untuk -40 atau 4. 4 ( ) 4 4 0 (4) Sehingga () kontinu pada [4, ) () kontinu kanan di =4 33
Soal Latihan A. Carilah titik diskontinu dari ungsi 1.. ( ) ( ) ( ) 3 3 3 4 8 ( ) B. Tentukan dimana () kontinu 1. 4 1 9 3.. ( ) 4 34
Limit dan Kekontinuan Fungsi Komposisi Teorema Limit Fungsi Komposisi: Jika g ( ) L dan () kontinu di L, maka a a ( g ( )) g ( ) ( L) a Teorema kekontinuan ungsi komposisi: Jika g() kontinu UNIVERSITAS di a, () kontinu di GUNADARMA g(a), maka ungsi kontinu di a. Bukti ( g)( ) ( g( )) a a ( g )( ) ( g( )) karena kontinu di g(a) a = (g(a)) karena g kontinu di a = (og)(a) 35
Contoh Tentukan dimana ungsi Jawab : 4 ( ) cos kontinu 3 1 3 4 Fungsi () dapat dituliskan sebagai komposisi dua ungsi atau dengan ( ) ( g h)( ) h( ) 4 3 3 1 4 dan g() = cos Karena h() kontinu di R-{-4,1} dan g() kontinu dimana-mana maka ungsi () kontinu di R-{-4,1} 36