Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 IDAL DALAM ALJABAR LINTASAN LAVITT Ida Kura Walyat Program Stud Peddka Matematka Jurusa Peddka MIPA FKIP Uverstas Kharu mal: adhku@gmal.com ABSTRAK Graf dapat dpadag sebaga alabar ltasa da ka graf tersebut dperluas dapat ddefska suatu alabar ltasa Leavtt, yag pada keyataaya merupaka Z alabar bertgkat. Selautya aka dbahas pembetuka deal dalam alabar ltasa Leavtt, yag dbagu oleh hmpua baga ttk-ttk yag heredter da tersaturas. Dega membetuk graf baru dar suatu graf yag dberka, dapat dsmpulka bahwa deal bertgkat dar suatu alabar ltasa Leavtt merupaka alabar ltasa Leavtt uga. Kata Kuc : Ideal Bertgkat, eredter, Saturas, Alabar Ltasa Leavtt PNDAULUAN Graf merupaka obek kombatoral yag terdr dar gars-gars (edges) da ttk-ttk (vertex). Graf berarah dapat dpadag sebaga pasaga 4-tupel yag terdr dar dua hmpua da dua pemetaa. mpua yag dmaksud adalah hmpua ttk da hmpua gars. Sedagka pemetaaya adalah pemetaa dar hmpua gars ke hmpua ttk, yag masg-masg daerah haslya dsebut sebaga sumber/asal (source) da uug/target (rage) dar suatu gars dalam graf. Dega ddefskaya operas perkala pada hmpua semua ltasa dalam graf, hmpua mempuya struktur semgrup. Selautya utuk sebarag lapaga K da graf dapat ddefska suatu K-alabar yag dsebut dega alabar ltasa atas lapaga K pada yag memlk bass hmpua semua ltasa yag ada pada graf tersebut. al seala dega peryataa Passma dalam [6] da Wsbauer dalam [7], bahwa apabla dberka sebarag grup, bahka semgrup terhadap operas perkala da sebarag lapaga K, maka dapat ddefska K-alabar asosatf. Alabar ltasa merupaka alabar atas lapaga dega bass hmpua semua ltasa yag ada pada graf. Dalam hal graf dpadag secara alabar, buka sebaga obek kombatoral. Sela tu graf dapat dperluas sehgga terbetuk graf baru yag dsebut graf perluasa. Salah satu de perluasa dlakuka oleh Leavtt dega meambahka adaya gars yag berlawaa arah dega gars yag ada pada graf.
Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 Setap gars yag ada pada graf aka berpasaga dega gars baru yag dbetuk yag dsebut dega gars hatu. Ide perluasa dapat dlhat dalam [] da [2]. Dar s dapat ddefska suatu alabar ltasa atas lapaga pada graf perluasa, yag dsebut dega alabar ltasa Leavtt. Semetara de pembetuka graf baru yag mead dasar acua deal bertgkat sebaga alabar ltasa Leavtt dka dar [3]. Tulsa aka megka defs alabar ltasa da alabar ltasa Leavtt yag dfokuska pada hmpua baga dar ttkttk yag ada dalam graf da hubugaya dega pembetuka deal dalam alabar ltasa Leavtt. mpua baga yag dmaksud adalah hmpua baga heredter da tersaturas. Kemuda aka dseldk pula apakah deal dalam alabar ltasa Leavtt uga merupaka alabar ltasa Leavtt. Beberapa lemma aka dberka tapa bukt, pembaca dapat melhat pada referes yag druuk. KAJIAN TORI. Alabar Ltasa da Alabar Ltasa Leavtt Pembahasa dawal dega memadag graf berarah = (,, s, r) (selautya cukup dsebut graf saa) sepert yag dyataka Assem [3] sebaga 4-tupel yag memuat hmpua coutable da serta fugs-fugs s, r :. leme-eleme d dsebut ttk da eleme-eleme d dsebut gars. Utuk setap gars e, s(e) merupaka source (sumber) dar e, da r(e) merupaka rage (uug) dar e. Jka s(e) = v da r(e) = w maka dkataka bahwa v emt (memacarka) e da w meerma e atau e meuu w. Ttk v dsebut sk ka utuk setap e, v tdak memacarka e (v sk v s(e)). Graf dkataka row-fte graph (graf barsberhgga) ka utuk setap v hmpua s - (v) berhgga. al meuukka bahwa hmpua gars dalam berhgga ka uga berhgga. Selautya dkataka graf berhgga ka berhgga. Graf yag dsebut dalam paper adalah row-fte graph yag selebhya dsebut graf berhgga. Ltasa da cycle merupaka stlah dasar dalam graf yag bayak dguaka. Ltasa dalam graf adalah barsa gars-gars, = sedemka sehgga r( )=s( + ) utuk =, 2,,. Dega kata la s() = s( ) merupaka sumber dar da r() = r( ) merupaka rage dar. Paag ltasa = adalah dotaska l( ). Ltasa dsebut cycle, ka r() = s() da s( ) 2
Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 s( ) utuk setap (sumber da rageya bermpt) da cycle dega paag damaka loop. Graf yag tdak memuat cycle dsebut graf askls (acyclc graph). Komposs ltasa dapat medefska operas perkala pada hmpua semua ltasa suatu graf. Aka dguaka operas tersebut utuk medefska suatu alabar. Defs 2. [: Def.] Dberka lapaga K da graf s r (,,, ). Ddefska alabar ltasa pada graf atas lapaga K sebaga K-alabar yag bebas (free), dega bass hmpua ltasa-ltasa dalam da memeuh syarat a. v v v utuk setap v, v b. e e r( e ) s( e ) e utuk setap e Alabar ltasa tersebut belum cukup utuk medefska alabar ltasa Leavtt, karea dbutuhka graf yag dperluas yag ddefska sebaga berkut: Defs 2.2 [:Def.2] Dberka graf graf baru yag dtuls (, ( ), s ', r ') r da s ddefska sebaga: s r (,,, ). Perluasa graf merupaka dmaa ( ) e : e da fugs r ' r ; s ' s ; r '( e ) s( e ) da s e '( ) r( e ) Selautya aka dberka defs alabar ltasa Leavtt atas lapaga K yag merupaka alabar ltasa pada graf perluasa da memeuh dua aksoma, berkut : Defs 2.3[: Def.3]: Dberka lapaga K da graf berhgga (row-fte graph). Alabar ltasa Leavtt dar dega koefse dalam lapaga K ddefska sebaga alabar ltasa pada graf perluasa yag memeuh syarat Cutz-Kreger : (CK) e e r ( e ) utuk setap e ; e ( ) (CK2) v e e e ; s( e ) v utuk setap v dega v buka sk. Alabar ltasa Leavtt dotaska dega L K () atau lebh umum dtuls L(). Kods CK2 adalah syarat Cutz-Kreger padav yag buka sk, artya e sehgga v s( e ). Dega kata la, ka v sk maka tdak dsyaratka sfat CK2. Memperhatka kods CK da CK2 pada Defs 2.3, elas bahwa alabar L() dapat dabarka sebaga K-ruag vektor oleh moomal dalam betuk {pq p,q ltasa dalam, r(p) = r(q)}, dmaa ka q q q dkataka dega ltasa yata maka q q q dsebut ltasa hatu. Alabar L() memuat semua ttk (ltasa 3
Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 yag paagya ol), ltasa yata, da ltasa hatu. Secara eksplst dyataka dalam lemma berkut : Lemma 2.4 [2: Lemma 4..7]: Setap moomal dalam alabar ltasa Leavtt L() berbetuk: () k v dega k K da v ; atau () ke e e e d maa k K ;, ; + > ; e s da e ( ) t utuk s, t. Selautya aka dbahas sfat dasar alabar ltasa Leavtt utuk megka sfat petg laya. Sfat dasar yag dmaksud dyataka dalam lemma berkut: Lemma 2.5 [: Lemma.5 da.6] Dberka graf da lapaga K serta L() alabar ltasa Leavtt atas lapaga K, maka dpeuh : () Jka hmpua ttks (alabar dega eleme satua) berhgga maka L() merupaka K-alabar utal () L() merupaka Z alabar bertgkat (Z graded algebra () Sebarag hmpua dar ltasa-ltasa yag berbeda merupaka hmpua depede lear terhadap K (K-learly depedet) dalam L(). Setelah dbcaraka beberapa sfat-sfat dasar alabar ltasa Leavtt, aka dbahas secara khusus deal yag dbagu oleh a hmpua baga dar ttk-ttk d. 2. mpua Baga eredter da Tersaturas Pembahasa deal dalam alabar ltasa Leavtt dawal dega pegeala hmpua baga ttk-ttk suatu graf secara khusus, yatu heredter da saturas. Dberka graf, utuk 2, dotaska sebaga hmpua ltasa yag paagya, da merupaka hmpua semua ltasa dalam graph. Kemuda ddefska suatu relas dalam, dega ketetua ( v, w ) v w, ka terdapat dega s( ) v da r( ) w. Kemuda ddefska hmpua baga pada sebaga berkut. Defs 3.: hmpua baga dar dkataka heredter ka ( v, w ) v w, v w. hmpua baga dar v s ( v) da r( s ( v)) v. Kods tersebut dapat dgambarka dega cotoh berkut: dkataka tersaturas ka 4
Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 Cotoh 3.2: b c a d f e Dar gambar d atas dperoleh {c,d,e,f} merupaka hmpua baga yag heredter da tersaturas, {b,c,d,e,f} heredter tap tdak saturas,{a,b,c,f} tersaturas tap tdak heredter da {b,c,f} tdak heredter maupu tersaturas. Koleks semua hmpua baga dar heredter da tersaturas dotaska. Sebaga cotoh dberka graf, maka suatu hmpua baga dar saturas secara trval adalah hmpua kosog da yag terheredter sedr. Kemuda dberka defs poho yag memuat ttk v da merupaka hmpua baga heredter terkecl yag memuat v. Lemma 3.3: Tree dar v ddefska T ( v) w v w baga heredter terkecl d yag memuat v. merupaka hmpua Peryataa dalam lemma 3.3 dapat dperluas utuk suatu hmpua dyataka dalam lemma berkut. Lemma 3.4: Dberka X, X. Ddefska tree yag memuat X, adalah T( X ) T( x). T ( X ) xx merupaka hmpua baga yag heredter. Defs 2.3 da lemma 2.5 meyataka bahwa eleme dar L() merupaka kombas ler dar eleme dalam v : v e, e : e dega koefse dar lapaga K. Msalya dberka dua ltasa dalam L() da dlakuka operas datara keduaya, maka sebaga akbat dar CK kods, yatu sebaga ltasa yata, r ( ) sebaga ltasa hatu, aka mucul beberapa sebaga suatu ttk, atau ltasa tersebut tdak terhubug (meyambug). Lebh elasya peryataa aka dsaka dalam lemma berkut. Lemma 3.5 [5: Lemma 3.]: Jka adalah suatu graph da L() merupaka Alabar Ltasa Leavtt, maka utuk suatu,,, aka berlaku: 5
Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 ( )( ) ' ', ka = ', ka =, ka = ', yag la Lemma d atas aka dadka acua utuk membuktka peryataa yag berkata dega perkala dua ltasa atau lebh. Sepert dalam teorema megea pembagua deal bertgkat. 4. Ideal dalam Alabar Ltasa Leavtt Alabar ltasa Leavtt merupaka alabar bertgkat lebh tepatya Z alabar bertgkat. Aka dbahas megea deal pada alabar tersebut. Msal I adalah deal kr Z alabar bertgkat dsebut deal bertgkat kr, dtuukka dega I ( I L( ) ). I berart utuk y I, Z homogeya dapat dtuls y, maka y I. y Z ka ddekomposska dalam eleme Dega cara yag sama dapat ddefska deal bertgkat kaa da yag memeuh keduaya dsebut deal bertgkat. Dalam baga aka dbahas megea betuk deal bertgkat dalam alabar ltasa Leavtt, khususya yag dbagu oleh hmpua baga. Ddefska dulu bahwa suatu deal yag dbagu oleh merupaka kombas lear dar moomal-moomal yag melewat ttk d. Kemuda aka dtuukka pembetukka deal bertgkat dalam L(). Lemma 4. Dberka grap. adalah hmpua baga dar tdak harus saturas. Maka deal yag dbagu oleh adalah I( ) k k K,,, r( ) r( ) bertgkat. yag terheredter Selautya I() merupaka deal Lemma 4. meelaska megea deal yag dbagu oleh hmpua baga heredter dar. Sela heredter uga terdapat hmpua baga dar yag tersaturas, yag uga membagu deal d L(). Teryata ttk dalam suatu deal uga membetuk hmpua baga heredter tersaturas d, dyataka dalam lemma berkut. 6
Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 Lemma 4.2: Utuk setap deal I dar alabar ltasa Leavtt L(), hmpua baga heredter da saturas dar. I merupaka Bukt: Terlebh dahulu aka dtuukka bahwa I heredter. Dambl sebarag v, w sedemka sehgga v I da v w, aka dtuukka bahwa w I. Dberka ltasa... 2 sedemka hgga s( ) v da r( ) w. Karea I Ideal da v I, maka v I sehgga aka dperoleh v 2, r( ) s( ) I. Akbatya s( ) I, da aka dperoleh s( ) 3 2 2 2 s( ) I. Proses dlakuka sampa s( ) w I, artya Dambl sebarag v I. Dar I v heredter. Kemuda aka dtuukka bahwa dega r( ) 2 2 2 2 2 2 r( ) s( ) w. Jad I saturas. s ( v) da r( e) s( e) v I, aka dtuukka s ( v) maka v tdak sk, ad berlaku sfat CK2. Jka dambl sebarag e sedemka hgga s( e ) v, karea ( ) ( ) r e s e v I maka r ( e ) I, lebh laut e e r ( e ) I, ad e I. Karea v tdak sk dpeuh sfat CK2 sehgga utuk sebarag e yag dambl tad berlaku e e v, e I, ad e e I, artya v I. Jad I saturas. Lemma 4. da 4.2 d atas mead dasar bahwa semua deal bertgkat dar suatu alabar ltasa Leavtt berasal dar hmpua baga ttk-ttk yag heredter da tersaturas. Uraa d atas bayak membahas tetag deal bertgkat d L(). Dar s mucul pertayaa apakah setap deal bertgkat dar suatu alabar ltasa Leavtt uga merupaka alabar ltasa Leavtt. Pertayaa aka dawab melalu beberapa lemma da teorema yag dawal dega pedefsa megea quotet dar alabar ltasa Leavtt da beberapa defs laya, walaupu quotet tdak dbahas dalam paper. Defs 4.3 [4]: Dberka graph da hmpua baga heredter dar. )Grap quotet dotaska sebaga / da ddefska: \, e r( e), r, s ( / ) ( / ) 2)Grap pembatasa dotaska da ddefska: e r e r s, ( ),, ( ) ( ) 7
Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 Berkut dsaka defs megea eleme dalam L() yag haya memuat gars yata atau hatu saa. Defs 4.4 [5:Def 3.3]: Dkataka bahwa x L semua gars yata ka x, K,. merupaka polomal dalam semua gars ghost ka merupaka polomal dalam k k k k k Dkataka bahwa x L x, K,. k k k k k Defs d atas memberka pemkra apakah sfat polomal dalam gars yata saa uga berlaku dalam gars hatu saa, sehgga perlu dberka suatu volus sepert dalam lemma berkut. Lemma 4.5[:Lemma 3.4]: Dberka graf. Ddefska sebuah volus lear x x pada L sebaga berkut:. k v k v, k K, v, 2. ke... e e... e ke... e e... e, k K,,,, e, e, s t Ltasa-ltasa yag berakhr d dapat dkumpulka dalam hmpua F ( ). Dar s dapat dbuat graf baru, lebh elasya dyataka dalam defs berkut. Defs 4.6[4:Def.]: Dberka graph da. Ddefska ( ) (... ), ( ) \, F s r r ( ) \ ( ), ( ) Selautya ddefska grap baru,, s ', r ' Dberka F F dega: ( ) ( ).. F ( ) ( ) ( ) 2. e s e F 4. F ( ), s '( ) da r '( ) r( ) 3. s( e), s '( e) s( e) da r '( e) r ( e) Baga sebelumya telah dkemukaka megea deal yag dbagu oleh, yag dotaska dega I(). Jka dhubugaka dega graf yag baru saa dbetuk, dperoleh hubuga yag dsaka dalam lemma berkut. Lemma 4.7: Dberka graf. Utuk setap, hmpua baga yag heredter da saturas, deal I() somorfs dega L. Bukt: Dbetuk suatu pemetaa : L( ) I( ) yag ddefska sebaga berkut: 8
Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22. ( ) v v v. F ( ) ( ). e s( e) ( e) e da ( e ) e v. F ( ) ( ) da ( ) Aka terlebh dahulu dtuukka bahwa medefska pemetaa mage dar pembagu dtuukka bahwa well-defed. Dar ketetua dalam elas bahwa memeuh well-defed. Perhatka bahwa L memeuh relas pedefsa L. Sekarag aka surektf. Cukup dega meuukka bahwa setap ttk d da setap ltasa berhgga yag berakhr d merupaka mage dar. Yag pertama dambl sebarag v, meurut ketetua () elas bahwa v ( v). Dar s baga pertama terbukt. Kemuda dambl sebarag (... ), dega. Dar s aka terad beberapa kemugka, yatu ka s( ) maka meurut perluasa dar ketetua () da karea suatu morphs dperoleh ( ) ( )... ( ). Jad dapat dkataka bahwa merupaka mage. Kemugka laya adalah ka s da r( ) maka terdapat, sedemka hgga ( ) \ r( ) \ da r( ). Akbatya (... )(... ), 2 atau dapat dtuls uga (... ) utuk suatu 2 2 (... ) F ( ). Sehgga meurut ketetua (v) ( ) (... ). Dega kata la utuk setap merupaka mage dar. Dega demka terbukt bahwa surektf. Selautya aka dtuukka bahwa ektf. Perhatka ketetua () yatu F ( ) ( ), padahal meurut ketetua (v) da sfat morpsme ddapatka ( ) sehgga ( ), atau =. Akbatya utuk setap t L( ) dapat dtulska:, ( ).... (),,, F ( ) t a a L Utuk meuukka ektf, cukup dega meuukka bahwa Ker ( ). Dadaka Ker ( ), maka dapat dambl sebarag t Ker ( ) da bsa dtulska sepert dalam (). Meurut ketetua (v) dperoleh: 9
Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22,,...(2), F ( ), F ( ) ( t) a a Kemuda dambl sebarag F ( ) dega paag maksmal dalam (2), maka utuk F ( ) yag la dalam peryataa yag sama (2), aka berlaku:. ka r( ) ka... (3) sehgga aka dperoleh: a a,,..(4), F ( ) F ( ) Sekarag, dberka F ( ) dega paag maksmal dalam (4). Dega argume yag sama sepert pada (3) dperoleh: a a,,...(5) F ( ) Tap meurut hpotesa awal a, harus dgkar. Yag bear Ker ( ). demka terbukt bahwa I() somorfs dega L. sehgga terad kotradks. Jad pegadaa Akbatya terbukt bahwa ektf. Dega Teorema merupaka hasl utama dalam pembahasa paper. Dar s dapat dketahu bahwa I() somorfk dega suatu alabar ltasa Leavtt L. Dega demka dapat dkataka bahwa I() merupaka alabar ltasa Leavtt. KSIMPULAN Ideal bertgkat suatu alabar ltasa Leavtt dapat dbagu oleh hmpua baga dar ttk-ttk yag mempuya sfat heredter da tersaturas. Selautya dapat dsmpulka bahwa deal-deal tersebut uga merupaka alabar ltasa Leavtt. DAFTAR PUSTAKA [] Abrams, G., Arada Po, G., 25, Leavtt Path Algebra of a Graph, J. Algebra 293 (2), 39 334. [2] Arada Po, G.,25, O Maxmal Left Quotet Systems ad Leavtt Path Algebras, Tess Doctoral, Uvesdad de Malaga [3] Arada Po,. Pardo, Stable rak of Leavtt path algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 36 (28), o. 7, 2375-2386.
Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 [4] Assem, I., Smso, D. & Skowrosk, A., lemes of the Represetato Theory of Assocatve Algebras, Lodo Math.Soc Studet Text 65. Cambrdge Uversty Press, 25 [5] Passma, D., 977, The Algebrac Structure of Graoup Rgs, A Wley-Iterscece Publcato, Joh Wley & So, New York [6] Tomforde, M., 27, Uqueese Theorems ad Ideal Structure for Leavtt Algebras, J. Algebra, 38, 27-299. [7] Wsbauer, Robert, 99, Foudato of Module ad Rg Theory, Uversty of Dusseldorf, Dusseldorf
Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 2