160 LAMPIRAN IV KARTU SOAL DAN JAWABAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA DAN 1. Tentukan persamaan garis singgung fungsi f x = x 2 di titik (2, 4). FUNGSI NAIK DAN TURUN Diketahui: f x = dan titik (2,...) Ditanya : Persamaan garis singgung fungsi f x = f x = 2x Gradien: f 2 = 2x = 2.2 = 4 Persamaan garis singgung: y = f a y 4 = 4 x 2 y = 4x 4 2. Tentukan persamaan garis singgung fungsi f x = 2x 2 3x di titik ( 3 2, 0) Diketahui: f x = dan titik ( 3 2, ) Ditanya : Persamaan garis singgung fungsi f x = f x = 4x 3 Gradien: f 3 2 = 4x 3 = 4 3 2 3 = 3 Persamaan garis singgung: y = f a y 0 = 3 x 3 2 3. Tentukan persamaan garis singgung fungsi g x = x 2 (2 x) di titik (2, 0) y = 3x 9 2 Diketahui: g x = dan titik (, 0) Ditanya : Persamaan garis singgung fungsi g x = g x = 4x 3x 2 Gradien: g 2 = 4.2 3(2) 2 = 4 Persamaan garis singgung: y = g a y 0 = 4 x 2 y = 8 4x
161 4. Tentukan persamaan garis singgung fungsi f x = x 3 x 2 + 4x 3 di titik (1, 4) 5. Carilah persamaan garis singgung kurva y = x 2 yang tegak lurus ( ) garis 6x + 3y 4 = 0. 6. Tentukan persamaan garis singgung fungsi y = 2x 2 1 di titik (4, 3) Diketahui: f x = dan titik (, 4) Ditanya : Persamaan garis singgung fungsi f x = f x = 3x 2 2x + 4 Gradien: f 1 = 5 Persamaan garis singgung: y = f a y 4 = 5 x 1 y = 5x 1 Diketahui: kurva f x = tegak lurus dengan garis 6x + = 0 Ditanya: persamaan garis singgung kurva Kurva y = x 2 m 1 = y = 2x Garis 6x + = 0 y = 6x + 4 = 2x + 4 3 = 2 3 Karena kurva y = 6x + 3y 4 = 0 Maka: m 1. m 2 = 1 m 1. 2 = 1 m 1 = 1 2 2x = 1 x = 1 2 4 Untuk x = 1 maka y = 4 x2 = 1 16 Sehingga koordinat titik singgung kurva (, 1 ) 16 Persamaan garis singgung: y = m y 1 16 = 1 2 x 1 4 y = 1 2 x 1 16 Diketahui: f x = dan titik (4, ) Ditanya : Persamaan garis singgung fungsi f x = f x = 4x Gradien: f 4 = 4x = 4.4 = 16 Persamaan garis singgung: y = f a y 1 = 16 x 4 y = 16x 33
162 7. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x 2 5x + 1 dengan titik absisnya 1 8. Temukanlah persamaan garis singgung pada kurva y = 2x 3 5x 2 x + 6 di titik yang berabsis 1 9. Diketahui persamaan kurva f x = x 2 3x + 1 tentukan persamaan garis singgung kurva di x = 3 Diketahui: kurva y = + 1 dengan x = 1 Ditanya : Persamaan garis singgung fungsi Dengan x = 1 maka: y = 1 2 5 1 + 1 = 7 Diperoleh koordinat titik singgung ( 1,7) y = + 1 y = 2x 5 Untuk x = 1 gradien: y = 2x 5 = 7 Persamaan garis singgung: y = f a y 7 = 7 x ( 1) y = 7x Diketahui: kurva y =... 3 2 + dengan x = 1 Ditanya : Persamaan garis singgung fungsi Dengan x = 1 maka: y = 2.1 3 5 1 2 1 + 6 = 2 Diperoleh koordinat titik singgung (1,2) y = 3 2 + y = 6x 2 10x 1 Untuk x = 1 gradien: y = 6x 2 10x 1 = 5 Persamaan garis singgung: y = f a y 2 = 5 x 1 y = 5x + 7 Diketahui: f x = dengan x = 3 Ditanya : Persamaan garis singgung fungsi Dengan x = 3 maka: y = 3 2 3 3 + 1 = 1 Diperoleh koordinat titik singgung (3,1) y = + 1 y = 2x 3 Untuk x = 3 gradien: y = 2.3 3 = 3 Persamaan garis singgung: y = f a y 1 = 3 x 3 y = 3x 8
163 10. Diketahui sebuah fungsi y = x 2 + 8x + 15. Tentukan interval-interval x supaya fungsi f(x) merupakan fungsi naik dan f(x) merupakan fungsi turun. 11. Tentukan interval agar fungsi f x = x 2 + 5x 4 merupakan fungsi naik 12. Tentukan interval agar fungsi f x = 2x 2 8x + 3 merupakan fungsi turun. 13. Pada interval berapa fungsi f x = x 3 6x 2 + 9x + 2 akan turun? Diketahui: fungsi y = f(x) = 2 + + Ditanya: interval agar fungsi merupakan fungsi naik dan fungsi turun f x = 2x + 8 Fungsi naik ketika f x > 0 2x + 8 > 0 2x > 8 x > 4 Fungsi turun ketika f x < 0 2x + 8 < 0 2x < 8 x < 4 Maka fungsi f(x) akan naik ketika x > 4 dan turun ketika x < 4 Diketahui: fungsi f x = 2 + Ditanya: interval agar fungsi merupakan fungsi naik f x = 2x + 5 Fungsi naik ketika f x > 0 2x + 5 > 0 2x > 5 x > 5 2 Diketahui: fungsi y = f x = 2 + Ditanya: interval agar fungsi merupakan fungsi turun f x = 4x 8 Fungsi naik ketika f x < 0 4x 8 < 0 4x < 8 x < 2 Diketahui: fungsi f x = 3 2 + + Ditanya: interval agar fungsi merupakan fungsi turun f x = 3x 2 12x + 9 Fungsi naik ketika f x < 0 3x 2 12x + 9 < 0 x 2 4x + 3 < 0 x 1 x 3 < 0 1 < x < 3
164 14. Jika diketahui fungsi f x = 2x 2 3x + 1. Tentukan interval-interval x supaya fungsi f(x) merupakan fungsi naik dan fungsi turun Diketahui: fungsi y = f x = 2 + Ditanya: interval agar fungsi merupakan fungsi naik dan fungsi turun f x = 4x 3 Fungsi naik ketika f x > 0 4x 3 > 0 4x > 3 x > 3 4 Fungsi turun ketika f x < 0 4x 3 < 0 4x < 3 x < 3 4 Maka fungsi f(x) akan naik ketika x > 3 4 dan turun ketika x < 3 4 15. Grafik fungsi f x = x(6 x) 2 akan naik dalam interval berapa? Diketahui: fungsi f x = x( ) 2 Ditanya: interval agar fungsi merupakan fungsi naik f x = x( ) 2 = 36x 12x 2 + x 3 = x 3 12x 2 + 36x f x = 3x 2 24x + 36 = x 2 8x + 12 Fungsi naik ketika f x > 0 x 2 8x + 12 > 0 x 2 (x 6) > 0 2 < x < 6
165 1. Tentukan nilai stasioner dari fungsi f x = 6x 2 + 3x 1 KARTU SOAL DAN JAWABAN NILAI STASIONER f x = 12x + 3 = 0 12x = 3 x = 1 4 f 1 4 = 6x2 + 3x 1 = 6 1 4 2 + 3 1 4 1 = 22 16 2. Tentukan nilai stasioner dari fungsi y = 4x + 2x 2 3. Tentukan nilai stasioner dari fungsi f x = 1 3 x3 5 2 x2 + 6x Maka nilai stasioner fungsi f x = adalah 22 16 f x = y = 4 + 4x = 0 4x = 4 x = 1 y = f 1 = 4x + 2x 2 = 4 1 + 2 1 2 = 2 Maka nilai stasioner fungsi y = adalah 2 f x = x 2 5x + 6 = 0 x 2 x 3 = 0 x = 2 atau x = 3 f 2 = 1 3 x3 5 2 x2 + 6x = 1 3 (2)3 5 2 2 2 + 6(2) = 14 3 f 2 = 1 3 x3 5 2 x2 + 6x = 1 3 (3)3 5 2 3 2 + 6(3) = 9 2 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 14 3 dan 9 2
166 4. Tentukan nilai stasioner dari fungsi f x = x 3 3x + 30 5. Tentukan nilai stasioner dari fungsi f x = x 2 + 8x + 15 6. Tentukan nilai stasioner dari fungsi f x = 5 x 2 7. Nilai stasioner dari fungsi y = 4x + 2x 2 f x = 3x 2 3 = 0 3x 3 = 3 x = ±1 f 1 = x 3 3x + 30 = 1 3 3 1 + 30 = 28 f 1 = x 3 3x + 30 = 1 3 3 1 + 30 = 32 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 28 dan 32 f x = 2x + 8 = 0 2x = 8 x = 4 f 4 = x 2 + 8x + 15 = 4 2 + 8 4 + 15 = 1 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 1 f x = 2x = 0 2x = 0 x = 0 f 0 = 5 x 2 = 5 0 2 = 5 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 5 f x = 4 + 4x = 0 4x = 4 x = 1 f 1 = 4x 2x 2 = 4 1 + 2 1 2 = 2 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 2
167 8. Tentukan nilai stasioner dari fungsi y = 3x 2 4 9. Tentukan nilai stasioner dari fungsi y = 3 3x 2 10. Tentukan nilai stasioner dari fungsi y = 2x 2 + 4x + 1 11. Tentukan nilai stasioner dari fungsi f x = (x 1) 2 + 4 f x = 6x = 0 x = 0 f 0 = 3x 2 4 = 3(0) 2 4 = 4 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 4 f x = 6x = 0 6x = 0 x = 0 f 0 = 3 x 2 = 3 0 2 = 3 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 3 f x = y = 4x + 4 = 0 4x = 4 x = 1 f 1 = 2x 2 + 4x + 1 = 2 1 2 + 4 1 + 1 = 1 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 1 f x = 2(x 1) = 0 2x + 2 = 0 2x = 2 x = 1 f 1 = (x 1) 2 + 4 = 1 1 2 + 4 = 4 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 4
168 12. Nilai stasioner dari f x = 3x 2 6x + 5 adalah f x = 6x 6 = 0 6x = 6 x = 1 f 1 = 3x 2 6x + 5 = 3 1 2 6 1 + 5 = 2 13. Tentukan nilai stasioner dari fungsi f x = x 3 + 4x 2 3x + 2 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 2 f x = 3x 2 + 8x 3 = 0 3x 1 x + 3 = 0 x = 1 atau x = 3 3 f 1 3 = x3 + 4x 2 3x + 2 = 1 3 = 40 27 3 + 4 1 3 2 3 1 3 + 2 f 3 = x 3 + 4x 2 3x + 2 = 3 3 + 4 3 2 3 3 + 2 = 20 14. Tentukan nilai stasioner dari fungsi f x = x 2 + 2x 3 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 40 dan 20 27 f x = 2x + 2 = 0 2x = 2 x = 1 f 1 = x 2 + 2x 3 = 1 2 + 2 1 3 = 4 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 4
169 15. Tentukan nilai stasioner dari fungsi f x = x 3 12x f x = 3x 2 12 = 0 3x 2 = 12 x 2 = 4 x = ±2 f 2 = x 3 12x = 2 3 12 2 = 16 f 2 = x 3 12x = 2 3 12 2 = 16 Maka nilai stasioner fungsi f(x) = adalah 4
170 KARTU SOAL DAN JAWABAN NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM 1. Tentukan nilai maksimum dan minimum untuk fungsi f x = 2x x 2 pada interval x 1 < x < 2} Nilai fungsi pada interval: f x = f 1 = 2x x 2 = 2 1 1 2 = 3 f 2 = 2 2 2 2 = 4 4 = 0 f x = 2 2x = 0 2 = 2x x = 1 f 1 = 2 1 1 2 = 1 Maka nilai maksimum : 1 dan nilai minimum dari fungsi : 3 2. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f x = 2x x 3 pada interval {x 1 < x < 2} Nilai fungsi pada interval: f x = f 1 = 2x x 3 = 2 1 1 3 = 1 f 2 = 2 2 2 3 = 4 8 = 4 f x = 2 3x 2 = 0 2 = 3x 2 x = 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 f 2 3 = 2 2 3 2 3 = 2 0,816496 0,54431 = 1,63299 0,54431 = 1,0886 Maka nilai maksimum : 1,0886 dan nilai minimum dari fungsi : 4
171 3. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f x = 2x 2 8x pada interval 1 < x < 4 Nilai fungsi pada interval: f x = f 1 = 2x 2 8x = 2 1 2 8( 1) = 10 f 4 = 2x 2 8x = 2 4 2 8(4) = 0 f x = 4x 8 = 0 4x = 8 x = 2 f 2 = 2 2 2 8 2 = 8 Maka nilai maksimum : 10 dan nilai minimum dari fungsi : 8 4. Pada interval [1,5] tentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi f x = x + 9 x Nilai fungsi pada interval: f x = f 1 = x + 9x 1 = 1 + 9 1 1 = 10 f 5 = x + 9x 1 = 5 + 9 5 1 = 2,8 f x = 1 9x 2 = 0 1 = 9x 2 1 = 9 x 2 x 2 = 9 x = 3 f 3 = x + 9 x = 3 + 9 3 = 6 Maka nilai maksimum : 10 dan nilai minimum dari fungsi : 2,8
172 5. Tentukan nilai maksimum dan minimum f x = (x 3 1) 2 pada interval 1 < x < 1 Nilai fungsi pada interval: f x = f 1 = (x 3 1) 2 = x 6 2x 3 + 1 = 1 6 2 1 3 + 1 = 4 f 1 = 1 6 2 1 3 + 1 = 3 f x = 6x 5 6x 2 = 0 x 5 x 2 = 0 x 2 (x 3 1) = 0 x = 0 atau x = 1 f 0 = 0 6 2 0 3 + 1 = 1 6. Tentukan nilai maksimum dari y = x 3 3x + 2 pada interval 2 < x < 2 7. Tentukan nilai minimum dari fungsi f x = 2x 3 6x 2 48x + 5 dalam interval 3 x 4 Maka nilai maksimum : 4 dan nilai minimum dari fungsi : 1 Nilai fungsi pada interval: y = f x = f 2 = x 3 3x + 2 = 2 3 3 2 + 2 = 0 f 2 = x 3 3x + 2 = 2 3 3 2 + 2 = 4 f x = 3x 2 3 = 0 3x 2 = 3 x 2 = 1 x = ±1 f 1 = x 3 3x + 2 = 1 3 3 1 + 2 = 0 f 1 = x 3 3x + 2 = 1 3 3 1 + 2 = 4 Maka nilai maksimum : 4 Nilai fungsi pada interval: f 3 = 2x 3 6x 2 48x + 5 = 2 3 3 6 3 2 48 3 + 5 = 139 f 4 = 2x 3 6x 2 48x + 5 = 2 4 3 6 4 2 48 4 + 5 = 155 f x = 6x 2 12x 48 = 0 x 2 2x 8 = 0
173 8. Berapakah nilai x agar fungsi f x = 4x 3 18x 2 + 15x 20 mencapai nilai maksimum? x 4 (x + 2) = 0 x = 4 atau x = 2 f 2 = 2x 3 6x 2 48x + 5 = 2 2 3 6 2 2 48 2 + 5 = 61 Maka nilai minimum : -155 f x = 0 f x = 12x 2 36x + 15 = 0 4x 2 12x + 5 = 0 2x 5 (2x 1) = 0 x = 5 atau x = 1 2 2 f 5 = 2 4x3 18x 2 + 15x 20 = 4 5 2 = 32,5 3 18 5 2 2 + 15 5 2 20 f 1 2 = 4x3 18x 2 + 15x 20 = 4 1 2 = 16,5 3 18 1 2 2 + 15 1 2 20 9. Di titik berapakah fungsi y = x 4 8x 2 9 akan memiliki nilai maksimum? 10. Di titik berapakah fungsi f x = x 3 3x 2 9x memiliki nilai maksimum Maka nilai maksimum fungsi akan dicapai saat x = 1 2 y = f x = 0 f x = 4x 3 16x = x 3 4x = 0 x(x 2 4) = 0 x = 0 atau x = 2 f 0 = 0 4 8(0) 2 9 = 9 f 2 = 2 4 8(2) 2 9 = 25 Maka fungsi y = akan memiliki nilai maksimum di titik (0, 9) f x = 0 f x = 3x 2 6x 9 = x 2 2x 3 = 0 x 3 (x + 1) = 0 x = 3 atau x = 1 f 1 = 1 3 3 1 2 9 1 = 5 f 3 = 3 3 3 3 2 9 3
174 = 27 Maka fungsi f(x) = akan memiliki nilai maksimum di titik ( 1,5) 11. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f x = x 3 3x + 1 pada interval [-2, 3] 12. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f x = x 2 + 3 pada interval [-2, 1] 13. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi f x = x 2 + 4x 1 pada interval [0, 3] Nilai fungsi pada interval: f x = f 2 = x 3 3x + 1 = 2 3 3 2 + 1 = 1 f 3 = x 3 3x + 1 = 3 3 3 3 + 1 = 19 f x = 3x 2 3 = 0 3x 2 = 3 x 2 = 1 x = ±1 f 1 = 1 3 3 1 + 1 = 3 f 1 = 1 3 3 1 + 1 = 1 Maka nilai maksimum : 19 dan nilai minimum dari fungsi : 1 Nilai fungsi pada interval: f x = f 2 = x 2 + 3 = 2 2 + 3 = 7 f 1 = x 2 + 3 = 1 2 + 3 = 4 f x = 2x = 0 x = 0 f 0 = 0 2 + 3 = 3 Maka nilai maksimum : 7 dan nilai minimum dari fungsi : 3 Nilai fungsi pada interval: f x = f 0 = x 2 + 4x 1 = 0 2 + 4 0 1 = 1 f 3 = x 2 + 4x 1 = 3 2 + 4 3 1 = 2 f x = 2x + 4 = 0
175 14. Tentukan nilai maksimum dari fungsi f x = 2x 3 + 3x 2 pada interval 1 2, 2 15. Tentukan nilai maksimum dari fungsi f x = x 2 + 2x pada interval [-2, 2] 2x = 4 x = 2 f 2 = x 2 + 4x 1 = 2 2 + 4 2 1 = 3 Maka nilai maksimum : 3 dan nilai minimum dari fungsi : 1 Nilai fungsi pada interval: f x = f 1 2 = 2x3 + 3x 2 = 2 1 2 = 1 f 2 = 2x 3 + 3x 2 3 + 3 1 2 = 2(2) 3 + 3 2 2 = 4 f x = 6x 2 + 6x = 0 x 2 + x = 0 x x 1 = 0 x = 0 atau x = 1 f 0 = 2x 3 + 3x 2 = 2(0) 3 + 3 0 2 = 0 f 1 = 2x 3 + 3x 2 = 2(1) 3 + 3 1 2 = 1 Maka nilai maksimum :1 Nilai fungsi pada interval: f x = f 2 = x 2 + 2x = 2 2 + 2( 2) = 0 f 2 = x 2 + 2x = 2 2 + 2(2) = 8 f x = 2x + 2 = 0 2x = 2 x = 1 f 1 = 1 2 + 2 1 = 1 2 Maka nilai maksimum : -1
176 KARTU SOAL DAN JAWABAN PENGGUNAAN MAKSIMUM DAN MINIMUM 1. Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Dalam waktu t detik ketinggian yang dicapai oleh bola dengan persamaan t = 36t 9t 2. Tentukan tinggi maksimum yang dicapai bola itu. 2. Rio akan membuat kotak tanpa tutup dari sehelai karton yang berbentuk bujursangkar dengan rusuk 20 cm, dengan jalan memotong bujursangkar kecil pada ke empat sudutnya. Tentukan ukuran kotak supaya isinya sebanyak-banyaknya. t = 36 18t = 0 18t = 36 t = 2 Tinggi maksimum 2 = 36t 9t 2 = 36 2 9(2) 2 = 36 m x Panjang kotak : p = 20 2x Lebar kotak :l = (20 2x) Tinggi : t = x V = p. l. t = 20 2x 2x 2x x V(x) = 400x 80x 2 + 4x 3 Agar volum maksimum: V x = 12x 2 160x + 400 = 0 3x 2 40x + 100 = 0 3x 10 x 10 = 0 x = 10 atau x = 10 3 V 10 = 400 10 80 10 2 10 3 3 3 3 + 4 3 = 16000, maks 27 V 10 = 0 Panjang: 20 2 10 3 = 40 3 Lebar = panjang : 40 3 3. Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk persegi panjang. Tentukan ukuran kolam agar terdapat luas yang maksimum dan berapa luas yang maksimum itu Tinggi : t = 10 3 Misalkan panjang : x dan lebar : y Keliling kolam: kll = 2x + 2y = 400 y = 200 x Luas: xy = x 200 x = 200x x 2 L = 200 2x = 0 200 = 2x x = 100
177 4. Dino mempunyai 200 m kawat berduri yang ia rencanakan untuk memagari halaman berbentuk persegi panjang untuk anjingnya. Jika ia ingin agar luas maksimum, berapa ukuran yang seharusnya? 5. Carilah dua bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya maksimum. Jika x suatu bilangan, maka yang lainnya 10 x 6. Dua buah bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 2m n = 40, nilai minimum dari p = m 2 + n 2 adalah y = 200 x = 200 100 = 100 L maks = xy = 100 100 = 10000 Maka ukuran kolam agar luas maksimum yaitu: panjang 100 m dan lebar 100 m dengan luas 10000 m 2 Misalkan panjang : x dan lebar : y Keliling kolam: kll = 2x + 2y = 200 y = 100 x Luas: xy = x 100 x = 100x x 2 Agar luas maksimum, maka L = 100 2x = 0 100 = 2x x = 50 y = 100 x = 100 50 = 50 Maka ukuran halaman agar luas maksimum yaitu: panjang 50 m dan lebar 50 m. Jumlah: x + y = 10 y = 10 x Hasil kali: H = xy = x 10 x = 10x x 2 Hasil kali maksimum: H = 0 H = 10 2x = 0 10 = 2x x = 5 y = 10 x = 10 5 = 5 Maka kedua bilangan itu masingmasing adalah 5. 2m n = 40 n = 2m 40 P = m 2 + (2m 40) 2 P minimum: P = 0 P = 2m + 2 2m 40. 2 = 0 = 10m 160 = 0 10m = 160 m = 16 n = 2 16 40 = 32 40 = 8 P = (16) 2 + ( 8) 2 = 320 Maka nilai minimum dari P adalah 320
178 7. Sebuah perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan (225x x 2 ) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah 8. Jumlah dua bilangan adalah 6. Tentukan hasil kali terbesar dari kedua bilangan tersebut? 9. Jumlah dua bilangan sama dengan 100. Tentukan hasil kali maksimum kedua bilangan tersebut Keuntungan dalam x: U x = 225x x 2 Keuntungan x barang: U x = 225x x 2 x = 225x 2 x 3 Keuntungan maksimum jika U x = 0 U x = 450x 3x 2 = 0 3x 150 x = 0 x = 0 atau x = 150 Maka banyak barang yang harus diprduksi adalah 150 barang Jumlah: x + y = 6 y = 6 x Hasil kali: H = xy = x 6 x = 6x x 2 Hasil kali maksimum: H = 0 H = 6 2x = 0 6 = 2x x = 3 y = 6 x = 6 3 = 3 Hasil kali terbesar dari kedua bilangan: H = xy = 3.3 = 9 Maka hasil kali maksimum kedua bilangan itu adalah 9 Jumlah: x + y = 100 y = 100 x Hasil kali: H = xy = x 100 x = 100x x 2 Hasil kali maksimum: H = 0 H = 100 2x = 0 100 = 2x x = 50 y = 100 x = 100 50 = 50 Hasil kali terbesar dari kedua bilangan: H = xy = 50 50 = 2500 Maka hasil kali maksimum kedua bilangan itu adalah 2500
179 10. Keliling persegi panjang sama dengan 60 cm, maka luas maksimum persegi panjang tersebut adalah 11. Sebuah persegi panjang mempunyai panjang (20 a) dan lebarnya 2a, maka tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut 12. Dua buah bilangan jumlahnya 40. Tentukan nilai minimum dari kuadrat bilangan pertama ditambah enam kali bilangan kedua Keliling persegi panjang (kll) Kll = 2p + 2l = 60 p + l = 30 p = 30 l L = p l = 30 l l = 30l l 2 Luas maksimum L = 0 L = 30 2l = 0 30 = 2l l = 15 p = 30 l = 30 15 = 15 L maks = p l = 15 15 = 225cm 2 Maka luas maksimum persegi panjang tersebut adalah 225cm 2 Panjang persegi panjang: p = 20 a Lebar persegi panjang: l = 2a Luas persegi panjang: L = p l = 20 a 2a = 40a 2a 2 Luas maksimum jika L = 0 L = 40 4a = 0 4a = 40 a = 10 L maks = p l = 40a 2a 2 = 40 10 2(10) 2 = 200 Maka luas maksimum persegi panjang tersebut adalah 200 Jumlah: x + y = 40 y = 40 x Jumlah kuadrat bilangan pertama ditambah enam kali bilangan kedua: H = x 2 + 6y = x 2 + 6 40 x = x 2 6x + 240 H minimum jika: H = 0 H = 2x 6 = 0 2x = 6 x = 3 Hasil kali terbesar dari kedua bilangan: H = x 2 6x + 240 = 3 2 6 3 + 240 = 231 Maka nilai minimum kuadrat bilangan pertama ditambah enam kali bilangan kedua adalah 231
180 13. Sebuah industri rumah tangga memproduksi x buah donat dengan biaya total Rp. 2x 2 200x + 1000 jika tiap donat diual dengan harga (1000 10x) maka tentukan keuntungan masksimum yang didapat Biaya produksi dalam x: P x = 2x 2 200x + 1000 Harga jual x donat: J x = 1000 10x x = 1000x 10x 2 Keuntungan: U x = J x P x = (1000x 10x 2 ) (2x 2 200x + 1000) = 1200x 12x 2 1000 Keuntungan maksimum jika U x = 0 U x = 1200 24x = 0 1200 = 24x x = 50 U maks = 1200x 12x 2 1000 = 1200(50) 12(50) 2 1000 = 29000 14. Jumlah dua bilangan positif adalah 60, tentukan nilai minimum dari lima kali bilangan pertama ditambah kuadrat bilangan kedua Maka keuntungan maksimum yang didapat adalah 29000 Jumlah: x + y = 60 y = 60 x Hasil lima kali bilangan pertama ditambah kuadrat bilangan kedua: H = 5x + y 2 = 5x + 60 x 2 = 3600 115x + x 2 H minimum jika: H = 0 H = 115 + 2x = 0 2x = 115 x = 57,5 y = 60 x = 60 57,5 = 2,5 Hasil dari lima kali bilangan pertama ditambah kuadrat bilangan kedua: H = 5x + y 2 = 5 57,5 + 2,5 2 = 293,75 Maka nilai minimum nya adalah 293,75
181 15. Jumlah dua bilangan positif adalah 40 tentukan nilai maksimum dari hasil kali bilangan pertama dan pangkat tiga bilangan kedua Jumlah: x + y = 40 x = 40 y Hasil kali bilangan pertama dan pangkat tiga bilangan kedua: H = xy 3 = (40 y)y 3 = 40y 3 y 4 H maksimum jika: H = 0 H = 120y 2 4y 3 = 0 4y 2 30 y = 0 x = 0 atau x = 30 x = 40 30 = 10 Hasil kali maksimum bilangan pertama dan kuadrat bilangan kedua: H = xy 3 = 10(30) 3 = 270000 Maka nilai maksimum dari hasil kali bilangan pertama dan pngkat tiga bilangan kedua adalah 270000
182 KARTU SOAL DAN JAWABAN NILAI KECEPATAN DAN PERCEPATAN 1. Sebuah benda bergerak dengan persamaan gerak y = 5t 2 4t + 8 dengan y dalam meter dan t dalam satuan detik. Tentukan kecepatan benda saat t = 2 detik. 2. Ditentukan jarak s meter yang ditempuh dalam waktu t detik oleh benda yang jatuh dinyatakan oleh rumus s = 4t 2. Hitunglah kecepatan jatuh benda pada saat t = 5 detik. 3. Jarak s meter yang ditempuh dalam waktu t detik yang dinyatakan dengan rumus s = 3t 2 6t + 5. Hitunglah kecepatan dan percepatan pada saat t = 3 4. Jarak suatu benda yang bergerak dinyatakan dengan s = 2t 2 3, s dalam meter dan t dalam detik. Tentukan kecepatan dan percepatannya pada t = 5 detik y = 5t 2 4t + 8 v = dy = 10t 4 Kecepatan saat t = 2 detik adalah: v = 10.2 4 = 16 m/detik Jadi kecepatan pada t = 2 adalah 16 m/detik v = ds = d(4t2 ) = 8t Kecepatan saat t = 5 detik adalah: v = 8.5 = 40 m/detik Percepatan: a = dv = 8 Jadi kecepatan pada t = 5 adalah 40 m/detik dan percepatannya adalah 8 m/detik v = ds = d(3t2 6t + 5) = 6t 6 Kecepatan saat t = 3 detik adalah: v = 6.3 6 = 12 m/detik Percepatan: a = dv = 6 Jadi kecepatan pada t = 3 adalah 12 m/detik dan percepatannya adalah 6 m/detik v = ds = d(2t2 3) = 4t Kecepatan saat t = 5 detik adalah: v = 4.5 = 20 m/detik Percepatan: a = dv = 4 Jadi kecepatan pada t = 5 adalah 20 m/detik dan percepatannya adalah 4 m/detik
183 5. Sebuah benda bergerak menurut lintasan sepanjang s meter pada waktu t detik dan dirumuskan dengan s = t 3 6t. Tentukanlah besarnya kecepatan dan percepatan benda pada saat t = 2 detik 6. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dirumuskan s = 16 2t 2 + t 3 dimana s dalam meter dan t dalam detik. Tentukan panjang lintasan dan kecepatan benda pada saat t = 2 7. Sebuah benda diluncurkan ke bawah pada suatu permukaan yang miring dengan persamaan gerak s = t 3 6t 2 + 12t + 1. Tentukan waktu yang dibutuhkan agar percepatan benda 48 m/det 8. Sebuah benda bergerak sepanjang garis mendatar menuruti persamaan s = 3t 2 + 1 dimana s cm adalah jarak berarah benda dari suatu titik tetap pada t detik. Tentukan kecepatan dan percepatan benda saat t = 3 v = ds = d(t3 6t) = 3t 2 6 Kecepatan saat t = 2 detik adalah: v = 3(2) 2 6 = 6 m/detik Percepatan: a = dv = 6t = 6.2 = 12 Jadi kecepatan pada t = 5 adalah 6 m/detik dan percepatannya adalah 12 m/detik Panjang lintasan saat t = 2: s = 16 2t 2 + t 3 = 16 2 2 2 + 2 3 = 16 m v = ds = 3t2 4t Kecepatan saat t = 2 detik adalah: v = 3(2) 2 4 2 = 4 m/detik Jadi panjang lintasan pada saat t = 2 adalah 16 m dan kecepatan pada t = 2 adalah 4 m/detik v = ds = d t3 6t 2 + 12t + 1 = 3t 2 12t + 12 Percepatan: a = dv = 6t 12 = 48 6t = 60 t = 10 detik Jadi waktu yang dibutuhkan agar percepatan 48 m/detik adalah 10 detik v = ds = d(3t2 + 1) = 6t Kecepatan saat t = 3 detik adalah: v = 6.3 = 18 m/detik Percepatan: a = dv = 6 Jadi kecepatan pada t = 3 adalah 18 m/detik dan percepatannya adalah 6 m/detik
184 9. Sebuah benda bergerak sepanjang garis mendatar menuruti persamaan s = 2t 3 t 2 + 5 dimana s cm adalah jarak berarah benda dari suatu titik tetap pada t detik. Tentukan kecepatan dan percepatan benda saat t = 1 10. Sebuah bola dilemparkan vertikal ke atas dari tanah dengan kecepatan awal 80m/detik. Jika arah positif diambil ke atas, persamaan gerak adalah s = 16t 2 + 80t. Misalkan t menyatakan waktu dalam detik dan s dalam meter. Tentukan kecepatan dan percepatan sesaat bola setelah 2 detik. 11. Suatu benda bergerak sepanjang garis mendatar mengikuti persamaan s = t 3 6t 2 + 9t + 4 dengan s diukur dalam cm dan t dalam detik. Dari persamaan gerak itu, tentukan kecepatan dan percepatannya dalam t. 12. Suatu perusahaan telah menaksir bahwa biaya (dalam ribuan rupiah) memproduksi x barang adalah C x = 10000 + 5x + 0,01x 2. Tentukan fungsi biaya marginal (laju perubahan biaya sesaat terhadap banyak barang) dan carilah biaya marjinal pada tingkat v = ds = d 2t3 t 2 + 5 = 6t 2 2t Kecepatan saat t = 1 detik adalah: v = 6( 1) 2 2( 1) = 8 m/detik Percepatan: a = dv = 12t 2 = 12 1 2 = 14 Jadi kecepatan pada t = 1 adalah 8 m/detik dan percepatannya adalah 14 m/detik v = ds = d 16t2 + 80t = 32t + 80 Kecepatan saat t = 2 detik adalah: v = 32 2 + 80 = 16 m/detik Percepatan: a = dv = 32 Jadi kecepatan pada t = 2 adalah 16 m/detik dan percepatannya adalah 32 m/detik Kecepatan: v = ds = d(t3 6t 2 + 9t + 4) = 3t 2 6t + 9 Percepatan: a = dv = 6t 6 Jadi kecepatan dalam t adalah 3t 2 6t + 9 dan percepatannya adalah 6t 6 m/detik Dalam ribuan rupiah Fungsi biaya marjinal: dc d 10000 + 5x + 0,01x2 = C = dx dx = 5 + 0,02x Biaya marjinal 500 barang: C 500 = 5 + 0,02(500)
185 produksi 500 barang 13. Sebuah roket ditembakkan vertikal ke atas, dan tingginya dari tanah setelah t detik adalah s meter degnan s = 560t 16t 2 dan arah positif diambil ke atas. Tentukan kecepatan roket setelah 2 detik. 14. Misalkan jumlah penduduk pada suatu kota setelah t tahun sejak 1 Januari 2000 adalah sebesar p = 40t 2 + 200t + 10000. Tentukan laju pertumbuhan penduduk pada 1 Januari 2010 15. Suatu perusahaan mulai beroperasi pada 1 Oktober 2003. Pendapatan kotor tahunan perusahaan itu setelah beroperasi t tahun adalah p juta, dengan p = 50000 + 18000t + 600t 2. Tentukan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada 1 Oktober 2005 = 15 ribu / barang Jadi fungsi biaya marjinal barang adalah 5 + 0,02x dan biaya biaya marjinal 500 barang adalah 15000/ barang. v = ds d 560t 16t2 = = 560 32t Kecepatan saat t = 2 detik adalah: v = 560 32 2 = 496 m/detik Jadi kecepatan pada t = 2 adalah 496 m/detik Laju pertumbuhan penduduk: v = dp = d 40t2 + 200t + 10000 = 80t + 200 Kecepatan saat t = 10 tahun adalah: v = 80 10 + 200 = 1000 jiwa/ tahun Jadi laju pertumbuhan penduduk setelah 10 tahun adalah 1000 jiwa/ taun Laju pertumbuhan pendapatan kotor t tahun: v = dp = d 50000 +18000 t+600t 2 = 18000 + 1200t Laju pertumbuhan pendapatan kotor setelah 2 tahun: v = 18000 + 1200 2 = 20400 juta/ tahun Jadi laju pertumbuhan pendapatan kotor perusahaan setelah 2 tahun adalah 20400 juta/ tahun