Blaga Kompleks Feomea blaga kompleks arlah dua buah blaga ag jumlaha da haslkala juga Msalka blaga ag dcar adalah da w, dega kods + w = da w = Dar kods + w = dperoleh w = Gatka ke w =, dperoleh ( ) =, ag hasla adalah persamaa kuadrat - + = 0 elesaka persamaa kuadrat dega betuk kuadrat legkap, dperoleh ( - ) + = 0, atau ( - ) = - Msalka - = ( dkeal sebaga blaga majer), maka ( - ) = elesaka, maka dperoleh - = ±, ag meghaslka solus = + atau = - Blaga w ag terkat dega adalah = + f w= - = - ( + ) = - da = -f w= - = -( - ) = + Jad blaga ag jumlaha da haslkala juga adalah ( + ) da ( ) Pemerksaa Jumlahka, hasla adalah ( + ) + ( ) = Kalka, hasla adalah ( + ) ( ) = = ( ) = Defs blaga kompleks Blaga kompleks (lambag: ) ddefska sebaga pasaga terurut blaga real (x,), dtuls = ( x, ) ; x, Œ Utuk blaga kompleks = (x,), blaga real x damaka baga real dar, dtuls x = Re da blaga real damaka baga majer dar, dtuls = Im Badgka blaga kompleks dega vektor d bdag (ruag dmes dua) Blaga kompleks = (x,0) ddetfkas sebaga blaga real = x Blaga kompleks = (0,) damaka satua majer da dtuls = (0,) Blaga kompleks = (0,) = (0,) = damaka blaga majer sejat Blaga kompleks = ( x, ) da = ( x, ) dkataka sama, dtuls =, jka x = x da = Operas aljabar pada blaga kompleks Jumlah dar = ( x, ) da = ( x, ), dtuls +, ddefska sebaga + = ( x+, x+ ) Haslkal dar = ( x, ) da = ( x, ), dtuls, ddefska sebaga = ( xx-, x+ x) Notas blaga kompleks dega satua majer da hmpua blaga kompleks Dega defs haslkal d atas, jka = (0,), maka = (0,) (0,) = (0,0 0) = (,0) = Jad satua majer = (0,) adalah blaga kompleks ag memeuh = Blaga kompleks = ( x, ) ; x, Œ dapat dtuls dalam betuk = ( x, 0 ) + (,0) ( 0,) = x+ x Dega otas satua majer, jumlah da haslkal dar = x+ da = x+ adalah + = ( x + ) + ( x + ) da = ( xx - ) + ( x + x ) Hmpua blaga kompleks dtuls dega lambag, ag betuka adalah = { = ( x, ) ; x, Œ } = { = x+ ; x, Œ } = { = x+ ; x, Œ } otoh Jka = + da = 3+ 4, htuglah + da Jawab Berdasarka defs d atas, + = ( - ) + ( 3+ 4) = ( + 3 ) + ((- ) + 4) = 4+ = ( - )( 3+ 4) = ( 3 -(- ) 4) + ( 4+ 3( - ) ) = ( 3+ 8) + ( 4-6) = - Perhatka bahwa jumlaha sepert jumlah dua vektor da haslkala dapat dega hukum dstrbutf, = ( - )( 3+ 4) = ( 3+ 4) - ( 3+ 4) = 3+ 4-6- 8 = 3- + 8= -
fat aljabar blaga kompleks Hmpua blaga kompleks terhadap opeas pejumlaha da perkala membetuk suatu lapaga fat Pejumlaha Perkala Tertutup + Œ ", Œ Œ ", Œ Komutatf + = + ", Œ = ", Œ Asosatf ( + ) + 3= + ( + 3) ",, 3Œ ( ) 3= ( 3) ",, 3Œ Usur Kesatua $ 0Œ ' + 0= " Œ $ Œ ' = " Œ Usur Ivers " Œ $ (-) Œ ' + (- ) = 0 " Œ, π 0$ - Œ ' - = Dstrbutf ( + 3) = + 3",, 3Œ elsh dar Œ da Œ, dtuls -, ddefska sebaga - = + (- ) Haslbag dar Œ da Œ ( π0 ), dtuls, ddefska sebaga = - - - Usur vers - dapat dpadag sebaga haslbag dar da, = = - Jka = x +, maka x- x- x = = x+ = x+ x- = = - x + x + x + Geometr blaga kompleks Blaga kompleks = (x, ) = x + dapat dpadag sebaga vektor poss pada bdag datar (ruag dmes dua) dega bass {, }, usur kesatua d da satua majer + (x,) x + j (0,) (0,) (,0) (,0) 0 x 0 x 0 x 0 x Bdag datar utuk semua blaga kompleks damaka bdag kompleks Kompleks sekawa Kompleks sekawa dar = x +, dtuls, ddefska sebaga = x- ecara geometr kompleks sekawa dar dperoleh dega mecermka terhadap sumbu x fat kompleks sekawa (A) Jka = x + = Re + Im, maka () = () + = Re = x (3) - = Im = (4) = ( Re ) + ( Im ) = x + 0 x x (B) Jka Œ da Œ, maka () + = + () - = - (3) = (4) ( ) =, π 0 (5) + = Re( ) Bukt sfat (B) (5) ( ) + = + = + = Re Modulus blaga kompleks Modulus dar blaga kompleks = x +, dtuls, ddefska sebaga = x + Art geometr dar modulus adalah jarak dar ttk (x,) ke ttk (0,0) pada bdag kompleks Utuk blaga kompleks da, jarak dar ke adalah - (Lhat gambar -Œ ) fat modulus blaga kompleks (A) Jka = x + = Re + Im, maka () = = - () = = ( Re) + ( Im) = x + - (3) Re Re (4) Im Im (5) = =, π 0 (6) Re + Im (B) Jka Œ da Œ, maka () = () =, π 0 = (x, ) = x + = (x, ) = x
otoh Jka = + da = 3+ 4, maka = + 4 = 5 da = 9 + 6 = 5 + = ( - ) + ( 3+ 4) = 4+ da + = 4+ = 6+ 4 = 5 - = ( -) -( 3+ 4) = -- 6 da - = -- 6 = 4+ 36 = 0 - = ( 3+ 4) -( - ) = + 6 da - = + 6 = 4+ 36 = 0 = ( - )( 3+ 4) = - da = - = + 4 = 5 5 = ( - ) = -3-4 da =- 3-4 = 9+ 6 = 5 - - 3-4 -5-0 = = = = - 3 4 3 4 3 4 5 5-5 da 4 + + - = - 5-5 = + = 5 5 5 3+ 4 3+ 4 + - 5+ 0 = = = 5 = - + da 4 5 - - + =-+ = + = + x Ketaksamaa segtga Jka Œ da Œ, maka () + + () + - (3) + - (4) - + (5) - - (6) - - Bukt ketaksamaa segtga () Karea + = + = Re( ) =, maka + = ( + )( + ) = + + + + + = ( + ) Dar s lagsug dperoleh + + () Karea = + - + + - = + +, maka + - (3) Karea = + - + + - = + +, maka - - + Gabugka dega () - +, dperoleh - + - + fat la mutlak memberka - +, akbata + - (4) Guaka sfat (), lagsug dperoleh - = + (- ) + - = + (5) Karea = - + - +, maka - - (6) Karea = - + - + = - +, maka - - - Gabugka dega (5) - -, dperoleh - - - - fat la mutlak membeberka - -, akbata - - Art geometr ketaksamaa segtga + + + - + - + + 5 x - + - - - - 3
Argume blaga kompleks Argume dar blaga kompleks 0, dtuls arg, ddefska sebaga sudut atara radus vektor 0 dega sumbu x postf Jka = x + 0 da θ = arg, maka x cos q = r da s q = r dega r = x + Blaga kompleks mempua lebh dar satu argume karea θ + π ( blaga bulat) juga arg Nla utama dar arg dtuls Arg, dega π < Arg π, kataa adalah arg = Arg + π ( blaga bulat) r = x + θ 0 x x Betuk kutub blaga kompleks Utuk blaga kompleks = x + 0 ag membetuk sudut θ dega sumbu x postf da 0 = r, betuk kutub dar ddefska sebaga = r cos θ + r s θ (dsgkat = r cs θ ) Jka = x + 0, maka betuk kutuba dperoleh dega mecar r da θ ag memeuh x r = x +,cos q = r,s q = r Kompleks sekawa dar = r cs θ mempua betuk kutub = rcs (- q ) Defs kesamaa blaga kompleks dalam betuk kutub = r csq da = r csq adalah = r= r da q= q+ p, blaga bulat r fat Jka = r csq da = r cs q, maka = rr cs( q+ q) da = cs( q-q), π 0 r Bukt = ( r(cosq+ s q) )( r(cosq+ s q ) = rr ( (cosqcosq- cosqcos q) + (s qcosq+ cosqs q ) = rr ( cos( q+ q) + s ( q+ q) = rr cs( q+ q) rr cs( q-q) r = = = = cs( q-q), π 0 r r Dega megambl = da = = rcsq dperoleh kebalka dar adalah - = = cs( - q ), π 0 Dar sfat d atas dperoleh arg( ) = arg + arg da arg = arg -arg ; π0, π 0 fat tak bear lag blamaa arg dgat Arg = 0 0 = 0 0 4 0 x 0 x Gambar perkala dua blaga kompleks Jka = r csq da = r csq blaga kompleks, maka utuk haslkal = berlaku arg = arg + arg da = 0 0 Utuk π 0 da π 0, dar s dperoleh = = = D0 D0 0 0 Gambar pembaga dua blaga kompleks Jka = r csq da = r csq blaga kompleks, maka utuk haslkal = berlaku arg = arg - arg da = Utuk π 0 da π 0, dar s dperoleh 0 0 = = = D 0 0 0 D 0
h A L B g 0 x - = Gambar kebalka blaga kompleks Jka = r cs θ 0, maka - = = cs( - q), sehgga - = da r arg - =- arg =- q Karea - = = =, maka terdapat tga kemugka utuk poss blaga kompleks - terhadap lgkara L: x + = - - () = = = ( da - pada L) () - > < ( d luar L da - d dalam L) (3) - < > ( d dalam L da - d luar L) Utuk meggambarka blaga kompleks - lakuka tga lagkah berkut () D ttk ujug buatlah gars g ag tegak lurus 0 da memotog lgkara L d ttk A () Buatlah gars sggug h pada lgkara L d ttk A, ag memotog perpajaga 0 d ttk B 0 0B = 0 A f 0B= f 0B = r Ô - 0B cs f = r q = = ( ) arg 0B = arg = q Ô (3) ermka 0B terhadap sumbu x sehgga dperoleh 0, maka 0 = Betuk ekspoe, pagkat, da akar kompleks Betuk ekspoe Blaga kompleks dapat dtuls dalam betuk ekspoe berdasarka rumus Euler q e = cosq + s q Rumus merupaka perluasa deret pagkat utuk ekspoe, kosus, da sus dar blaga real ke blaga kompleks Betuk ekspoe dar blaga kompleks 0 adalah = rcsq = r( cosq + s q) = re q fat ekspoe kompleks q ( q+ p Betuk ekspoe dar blaga kompleks tdak tuggal, = re = re ), blaga bulat Jka re q = da r e q ( ) = π 0, maka rre q + q r ( ) = da = r e q - q Kebalka dar blaga kompleks = re q π 0 adalah - = = e - q Kesamaa blaga kompleks dalam betuk ekspoe: utuk = re q da = r e q berlaku r = r = r daq = q + p, blaga bulat Pagkat kompleks Jka = re q π 0, maka = r e q, blaga bulat Blaga kompleks pagkat blaga asl: Jka = re q π 0, maka = r e q, blaga asl Blaga kompleks pagkat blaga bulat: Utuk = 0 dperoleh bulat egatf, = m (m blaga asl) dperoleh ( ) ( ) Teorema de Movre Betuk ekspoe: ( q e ) e q =, blaga bulat 0 0 0 = = r e Utuk blaga -m - m - m m m ( ) r q - - = = = = q = q e r e r e Betuk kutub: ( csq) = cs q, atau (cos q + sq) = cos q + s q, blaga bulat Akar kompleks Tetuka semua blaga kompleks ag memeuh = ( blaga asl, ) Gatka re q = π 0 ke persamaa =, dperoleh ( re q q 0 ) =, ag memberka re = e Guaka kesamaa blaga kompleks, dperoleh r = da q = kp, sehgga r = da q = kp, k blaga bulat Jad terdapat solus persamaa, k = e = cs kp, k= 0,,,, - ( p / ) 3 Ilustras Persamaa = mempua tga solus, = cs0 =, = cs 3 = - + 3, da 4 3= cs p = - - 3 3 5
6 / Akar ke- dar blaga kompleks Akar ke- dar blaga kompleks ς 0, dtuls V ( atau V ), ddefska sebaga semua blaga kompleks ag memeuh = ς Karea dalam sstem blaga kompleks persamaa = ς mempua solus, maka V juga mempua solus Pearka akar dalam sstem blaga kompleks mempua lebh dar satu solus Dalam blaga kompleks, 4 mempua dua solus, 4 = atau-, Demka juga 4 6 mempua 4 solus, 4 6 =, -,, atau - Pada persamaa = ς, jka = re q da V= re a, maka q a re = re, sehgga r = r da q = a+ kp, / ( ) / k= 0,,,, - Jad a+ kp = V = r e = r cs a+ kp, k= 0,,,, - 4 /4 4 Karea 6 = 6 cs 0, maka = 6 = 6 = 6 cs kp 4 = cs kp, k = 0,,,3, ag memberka: utuk k= 0: 3 = cs 0 = ; k= : = cs p = ; k= : 3= csp = - ; k= 3: 4= cs p = - Rumus abc utuk persamaa kuadrat kompleks - b± b-4ac olus persamaa kuadrat kompleks a + b+ c= 0; abc,,, Œ, aπ0 adalah = a ac + + = + + = + = - =, b c b b c b - 4 a a a a a 4a b- 4ac,, Bukt Tulslah a b c 0 0 ( ) ( ) Akbata + b a = ± a sehgga solus persamaa kuadrat adalah otoh Htuglah ( + ), satua majer ag memeuh =- 6 6 6 6 4 olus ( + ) = ( + ) ) = ( + - ) = ( ) = = 64 ( - ) = - 64 otoh Jka <, buktka () Re ( + ) > 0 da () Im ( ) < 0 olus Msalka = x + dega <, maka x + <, sehgga x + < Dar x + < dperoleh - x > 0 Akbata x <, sehgga - < x < - b± b -4ac = a Dar x + < dperoleh - > x 0 Akbata <, sehgga - < < () Karea + = x+ + = ( x+ ) + da ( < f- < x< ), maka Re ( + ) = x + > 0 () Karea - = x+ - = x+ ( - ) da ( < f- < < ), maka Im ( ) = < 0 otoh 3 Jka = da blaga kompleks sebarag, buktka - = - olus Guaka formas = da =, maka dperoleh - = ( - )( - ) = ( -)( - ) = + -( + ) = + -( + ) - = ( - )( - ) = ( - )( - ) = + - ( + ) = + -( + ) Akbata - = -, jad - = - otoh 4 Msalka,,da 3 adalah tga blaga kompleks ag memeuh π π 3 π 0 (berbeda 3 da takol) Buktka,,da 3 Im - - = 0 terletak pada gars g ( ) olus Jka π π 3 π 0, maka vektor arah (kemrga) gars g adalah vektor takol 3-atau - Kta mempua,,da3terletak pada gars g ( 3-) sejajar ( - ) $ kœ, kπ 0 '( 3- ) = k( -) 3 - - = k Œ 3 Im - - = 0 ( ) g 3 0 x
Proeks stereografk da bola Rema Pada gambar, P adalah bdag kompleks da adalah bola satua N (berjar-jar ) ag meggug bdag P d ttk = 0 Gars tegah bola N tegak lurus bdag P, dega N sebaga ttk-kutub sphere A utara (orth pole) da sebaga ttk-kutub selata (south pole) Bola ag terkat bdag P dkeal sebaga bola Rema Utuk sebarag ttk A pada bdag P dapat dkostruks gars NA A P ag memotog bola d ttk A Jad setap ttk d bdag kompleks P berkorespodes satu-satu dega ttk d bola satua x plae etap blaga kompleks dapat terkat dega satu ttk pada etap ttk pada bola satua (kecual N) terkat dega ttk d bdag kompleks P Dalam koteks ttk N damaka ttk tak hgga (pot at ft) dar bdag kompleks Hmpua semua ttk d bdag kompleks termasuk ttk tak hggaa damaka seluruh bdag kompleks, atau bdag kompleks ag dperluas Proses ag terkat dega korespodes satu-satu atara setap ttk d bdag kompleks dega bola Rema damaka proeks stereografk Daerah da rego d bdag kompleks Lgkara Persamaa kompleks utuk lgkara berpusat d ttk 0(0,0) a 0 da berjar-jar a > 0 adalah = a akram terbukaa adalah < a da cakram tertutupa adalah a 0 < a a Persamaa kompleks utuk lgkara berpusat d ttk 0 da 0 < a x berjar-jar a > 0 adalah - 0 = a akram terbukaa adalah - 0 < a da cakram tertutupa adalah - 0 a a 0 0 a Dalam betuk ekspoe, persamaa lgkara dtuls = 0 + ae q,0 q p Ttk-dalam, ttk-luar, da ttk-batas Lgkuga-r dar 0, dtuls N r( 0 ), ddefska sebaga Nr ( 0) = { Œ : - 0 < r} * Lgkuga-r dar 0 tapa pusat, dtuls N r( 0 ), * ddefska sebaga Nr ( ) = Nr ( ) - { } Ttk 0 dkataka ttk-dalam dar hmpua jka $ r > 0 ' Nr( 0) Hmpua semua ttk-dalam dar dtuls dega lambag It () Ttk 0 dkataka ttk-luar dar hmpua jka $ r > 0 ' Nr( 0) Hmpua semua ttk-luar dar dtuls dega lambag Eks () 0 0 0 Ttk 0 dkataka ttk-batas dar hmpua jka 0 buka ttk-dalam da buka ttk-luar dar Arta " r > 0, Nr( 0) π da Nr( 0) π Hmpua semua ttk-luar dar dtuls Bdag kompleks Bdag kompleks Bdag kompleks peutup dar kompleme dar batas ttk-dalam It () ttk-luar Eks () kompleme dar ttklmt ttkbatas ttk-lmt kompleme dar ttkpecl batas 7
Ttk-lmt da ttk-pecl * Ttk 0 dkataka ttk-lmt dar hmpua jka " r > 0, Nr( ) π Hmpua semua ttk-lmt dar dtuls dega lambag 0 Ttk 0 dkataka ttk-pecl dar hmpua jka 0 buka ttk-lmt dar * * Arta $ r > 0, Nr( 0) = ( Nr( 0) lepas dar ) Hmpua buka, hmpua tutup, da peutup hmpua Hmpua dkataka hmpua buka d jka Hmpua dkataka hmpua tutup d jka Peutup dar hmpua adalah = = fat hmpua buka d It () = tutupd Õ fat hmpua tutup d = = buka d Daerah da rego d bdag kompleks Polgo adalah sejumlah berhgga ruas gars d bdag kompleks ag meghubugka dua ttk Hmpua dkataka tersambug jka setap dua ttk d dapat dhubugka oleh polgo g Hmpua dkataka terbatas jka R > 0 setap ttk d terletak pada cakram R Hmpua damaka doma jka hmpua terbuka da tersambug pada bdag kompleks Hmpua damaka rego jka adalah doma ag memuat sebaga atau seluruh batasa oal Latha : Blaga kompleks Buatlah racaga rumus umum utuk, Œ 7 Buktka = + adalah suatu gars ag Buktka = 0 = 0 atau = 0 melalu (0,0) dega grade 3 Jelaska megapa pada sstem blaga kom- 8 Buktka hmpua ttk 4 + + 4 = 0 pleks dua blaga tdak dapat durutka adalah suatu elps 4 Buktka = ( ) Œ atau majer sejat 9 Jka 3 π 4, buktka + + 3+ 4 3-4 5 Buktka Re + Im 0 Jka adalah suatu akar persamaa =, bukt- 6 Buktka persamaa lgkara - 0 = a dapat ka - - + + + + + = 0 dtuls sebaga - Re( 0) + 0 = a Buktka + 7 Jka =, buktka Œ Œ atau = 4 3 3 3 - + Buktka cos3q = cos q - 3cosqs q da 3 8 Jka <, buktka Im( - + ) < 3 s 3q = 3cos q sq - s q dega teorema 9 Tetuka suatu argume dar blaga kompleks de Movre 6 = ( 3 - ) - 3 Jka = cs t, buktka + = cost da 0 Tetuka suatu argume dar blaga kompleks - - = s t, Œ = - + 3 Jka π 0, buktka Re = arg - arg = p, Œ Buktka - = - arg - arg = p, Œ 7 3 Buktka (- + ) = - 8( + ) -0-4 Buktka ( + 3) = (- + 3) 5 Buktka ( + 5)( - ) = 3 + 5 6 Htuglah 4-8- 8 3 8 4 Jka A= { Œ = rcs t,0< r< da0< t< p}, tetuka It (A), Eks (A), A, A, da A Apakah A suatu rego d bdag kompleks 5 Jka B = { Œ π 0 da0 arg p 4}, tetuka It (B), Eks (B), B, B, da B Apakah B suatu rego d bdag kompleks 6 Jka = = { Œ =, Œ }, tetuka It (), Eks (),,, da Apakah suatu rego d bdag kompleks