Bab 1 BILANGAN KOMPLEK

Transkripsi

1 Bab BILANGAN KOMPLEK. Pedahulua Sstem blaga sepert ag kta keal hgga saat merupaka hasl dar pegembaga secara bertahap sepert ag dtujukka dalam daftar berkut.. Blaga asl,,,,.., juga dsebut blaga bulat postp, pertama kal dguaka dalam meghtug. Smbol bervaras dega waktu, msala ag dguaka bagsa Romaw I, II, III, IV..., jka a da b adalah blaga asl, jumlah a b da perkala a. b,( a( b atau ab juga dsebut blaga asl. Utuk alasa hmpua blaga asl dkataka tertutup d bawah operas pejumlaha da perkala atau memeuh sfat tertutup (closure terhadap operas.. Blaga bulat egatp da ol, dlambagka dega -, -, -... da masgmasg, mucul utuk memugkka solus dar persamaa sepert b a, dmaa a da b adalah setap blaga asl. Hal megarah pada operas peguraga, atau vers pejumlaha, da kta tuls dega a b hmpua blaga bulat postp, egatp da ol dsebut hmpua blaga bulat da tertutup d bawah operas-operas pejumlaha, perkala, da peguraga.. Blaga rasoal da pecaha sepert 6,,,,... mucul sebaga baga 7 5 ag memugkka selesaa persamaa berbetuk bulat a da b d maa b. perkala, da dtuls dega adalah pemblag da b adalah peebut. b a utuk semua blaga Hal megarah ke operas pembaga atau vers a ag dsebut hasl bag a da b, d maa a b Hmpua blaga bulat adalah hmpua baga atau subset dar blaga a rasoal, karea blaga bulat sesua dega blaga rasoal dmaa b. b Hmpua blaga rasoal tertutup d bawah operas-operas pejumlaha, peguraga, perkala, da pembaga, selama pembaga dega ol tdak dlakuka.

2 . Blaga rasoal sepert =.... da π = adalah blaga ag tdak rasoal, ag tdak dapat dataka dega b a dmaa a da b adalah blaga bulat da b. Hmpua blaga rasoal da rasoal d sebut dega hmpua blaga real. Dasumska bahwa sswa sudah megetahu blaga real. dega berbaga operas pada. Represetas Grafs Blaga Real Blaga real dapat drepresetaska oleh ttk-ttk pada gars ag dsebut sumbu real, sepert dtujukka pada gambar. d bawah. Ttk ag sesua dega ol dsebut ttk asal. Gambar. Sebalka utuk setap ttk pada bars ada satu da haa satu blaga real. Jka suatu ttk A sesua dega blaga real a ag terletak d sebelah kaa ttk B sesua dega b blaga real, kta kataka bahwa a lebh besar dar b atau kurag dar a da dtuls secara beruruta dega a b atau b a. Hmpua dar la-la termasuk a < <b dsebut terval terbuka pada sumbu real bla a b, ag maa ddalama terdapat ttk awal a da ttk akhr b, dsebut terval tertutup. Lambag, ag maa dapat berdr utuk semua susua dar la la asl, ag dsebut varabel asl. Nla mutlak dar sebuah blaga real a, dotaska dega a, adalah a jka a, a utuk a < da jka a =. Jarak atara dua ttk a da b pada sumbu real adalah a b. Atau dega kata la: a a, jka a, jka a a, jka a

3 . Sstem Blaga Komplek Tdak ada blaga real ag memeuh persamaa + = utuk memberka solus solus utuk da persamaa persamaa ag sama susua dar blaga komplek telah d perkealka. Kta dapat megaggap sebuah blaga komplek ag berbetuk a + b dmaa a da b adalah blaga asl da, ag maa dsebut blaga majer, mempua sfat =. = a + b, kemuda a dsebut blaga asl dar da b dsebut baga blaga majer dar da ddeotaska oleh Re{ } da Im{ } berturutturut, smbol ag maa dapat berdr utuk semua susua blaga-blaga komplek, dsebut varabel komplek. jka Dua blaga komplek a b da c d adalah sama jka da haa a c da b d. Kta dapat megagap blaga asl sebaga sebuah baga dar susua blaga komplek dega b =. Blaga komplek + da - + kembal dtujuka blaga asl da - berturut-turut. Jka a =,blaga komplek + b atau dsebut blaga majer sejat. Kojugate komplek atau secara sgkat kojugate, suatu blaga komplek a b adalah a b. Kojugate blaga blaga komplek serg ddkaska * oleh atau.. Operas dasar pada blaga Komplek Operas ag dtujuka pada blaga komplek juga berlaku sepert pada Aljabar. Operas pada blaga komplek melput pejumlaha, peguraga, perkala, da pembaga. Pada operas blaga komplek kta dapat memprosesa sepert aljabar dar blaga-blag asl da meggat dega - sehgga dperoleh hasl sebaga operasa. Msal a b da c d hasl operasa dapat djelaska sebaga berkut:. Pejumlaha ( a b ( c d a b c d ( a c ( b d Cotoh a. ( ( 8 8 ( 8 (

4 b. (8 8 ( (8 8 ( ( (. Peguraga d b c a d c b a d c b a ( ( ( ( Cotoh a. 7 ( ( ( ( (7 ( b. ( ( ( ( ( (. Perkala bc ad bd ac bd bc ad ac bd bc ad ac d c b a ( ( ( ( ( ( Cotoh a. ( 8 8 b. 9 5 ( 9. Pembaga d c ad bc d c bd ac d c ad bc bd ac d cd cd c d c b a d c d c d c b a d c b a ( ( ( (. Cotoh a b Soal-soal. Htuglah

5 5 5 5 ( ( ( ( ( ( ( ( ( Tetuka ( Re da ( Im.5 Nla Mutlak Nla Mutlak atau modulus dar suatu blaga komplek b a dotaska dega da ddefska sebaga b a b a Cotoh. 9 (. 5 6 ( Jka,,,., adalah blaga komplek, berlaku sfat-sfat berkut. atau m m Bukt Msal d c b a, bc ad bd ac d c b a ` ( ( bc ad bd ac ` ( ( c b abcd d a d b acbd c a

6 ( a c ( a b d b ( c a d d ` ` a b c d ( a b ( c d `., jka. atau... m... m. atau Catata Bukt la dtggalka peuls sebaga latha bag pembaca.6 Pembagu-pembagu Aksomats dar Sstem Blaga Komplek Dar suatu seg padaga ag logs dapat dgambarka agka-agka comple sebaga pasaga ( a, b dar blaga real a da b meujuk pada ag defs ag beragam terata sama dega defs datas. Semua defs ag dgambarka, dmaa semua agka meggatka blaga-blaga real. a. Persamaa ( a, b ( c, d jka da haa jka a c, b d b. Pejumlaha ( a, b ( c, d ( a c, b d c. Produk ( a, b( c, d ( ac bd, ad bc da m( a, b ( ma, mb Dar kta dapat meujukka bahwa ( a, b a(, b(, da kta berhubuga dega a b d maa lambag utuk (, da mempua (,(, (, (ag dpertmbagka setara dega blaga rl - da (, jadlah setara dega blaga real. Pasaga ag dgka (, sesua dega blaga real. Dar perataa d atas kta dapat membuktka bahwa jka,, baga dar blaga komplek S.. da terdapat d S Hukum tertutup

7 = Bukt a b c d a b c d a c b d c d a b c d a b c a d b a c b d ( Hukum Komutatf Pejumlaha ( Hukum Asosatf Pejumlaha Hukum komutatf Perkala ( Hukum assosatf Perkalam ( ( Hukum Dstrbutf Perkala terhadap.. Pejumlaha dsebut dettas pejumlaha dsebut dettas perkala 8. Utuk suatu blaga komplek ada satu blaga S ag tuggal sedemka sehgga. Utuk selajuta dsebut vers (balka pejumlaha dar da dlambagka dega. 9. Utuk suatu ada satu blaga S ag tuggal sedemka sehgga. Utuk selajuta dsebut ver perkala dar da dlambagka dega atau Secara umum suatu hmpua sedemka sehgga sepert pada S ag aggotaaggotaa memeuh sfat d atas dsebut dega feld (lapaga..7 Represetas secara Grafs Blaga Komplek

8 atu Jka skala-skala blaga real dplh pada dua sumbu ag salg tegak lurus, XOX ' da YOY ' (selajuta dsebut sumbu da sumbu secara berturutturut sepert pada gambar. dbawah. Gambar. Selajuta kta dapat meletakka sebarag ttk pada bdag dega cara meark gars ag sejajar masg-masg da kedua garus dapat b ertemu d satu ttk, ttk tersebut damaka koordat tegak lurus da dotaska dega (,. Pada gambar d atas dplh ttk P (,5. Karea suatu blaga komplek dapat dpadag sebaga pasaga beruruta blaga real sehgga kta dapat merepresetaska blag komplek dega suatu ttk pada bdag. Bdag sebaga represetas blaga komplek damaka bdag komplek atau argad. Blaga komplek ag dtujukka ttk P(,5 sepert pada gambar. dapat dpadag sebaga 5. Setap blaga komplek berkorepodes satu da haa satu dega setap ttk pada bdag, sebalka setap satu ttk pada bdag berkorespodes dega satu da haa satu

9 blaga komplek. Karea hal serg da basa kta meataka blag komplek, sebaga ttk. Kadag-kadag kta dapat meataka sumbu da sumbu sebaga sumbu real da sumbu majer secara berturut-turut da bdaga damaka bdag. Jarak atara dua ttk ( ( da pada bdag komplek dberka oleh.8 Betuk Polar Blaga Komplek Jka P adalah ttk pada bdag komplek ag berkorepodes dega blaga komplek (, atau maka berdasarka gambar. kta dapat melhat bahwa: r cos, r s. Y P(, r X Gambar. Karea r adalah modulus atau la mutlak dar blaga komplek (dotaska dega mod atau ; da dsebut ampltude atau argumet dar (dotaska dega arg, adalah sudut ag dbuat oleh gars OP dega sumbu postf. Oleh karea tu, r(cos s (

10 Yag dsebuts betuk polar dar blaga komplek, r da θ dsebut koordat polar. Kadag-kadag dega mudah utuk meuls da meebut sebagau sgkata utuk cos s. cs Utuk suatu blaga kompleks terdapat korespodes satu da haa satu terdapat haa satu la ag sesua dega utuk θ < π. Namu, terval la dar pajag π, msala - π < θ π, dapat dguaka. Setap plha utama, dputuska terlebh dahulu, dsebut jarak utama, da la θ dsebut la utamaa..9 Teorema de Movre Jka r (cos s da r (cos s dapat meujukka bahwa: r (cos s r (cos r s r r cos cos cos s s cos s s r r (cos cos s s (s cos cos s r r cos( s(... ( kta r (cos s r (cos s r (cos s r. r (cos s r (cos (cos s s r r (cos cos s cos s cos s s r (cos s cos s cos s r r (cos cos r r (cos cos r r cos( s( r s cos s cos r (cos (cos ( s s ( s s s s (s cos s cos r r cos( s( r... (

11 Betuk geeralsas dar ( meebabka... r r... r {cos(... s(... } ( da jka..., betuk ( mejad { r(cos s } r (cos s Betuk (5 serg dsebut teorema de Movre... (5. Akar-akar dar Blaga Komplek Suatu blaga w dsebut akar dapat kta tuls dalam betuk w / meujukka bahwa jka adalah blaga bulat postp, ke blaga komplek jka w atau. Berdasarka teorema de Movre kta dapat / { r(cos s } / / r k cos k s Dar berkut bahwa adalah la ag berbeda utuk berbeda dar. asalka. k,,...(... (6 /, atu akar ag. Rumus Euler Berdasarka asums perluasa deret berhgga e...!! elemeter ketka, kta dapat megambl hasl: dar kalulus e ( (! (! (! ( 5! 5 (... (!!!... (!! 5 5! 5... (!!!... (!! 5 5!... (!

12 5...!! (!! 5!... (! Dega megguaka defs jumlah deret tak hgga dperoleh: e cos s e,788...(7 Yag maa (7 kta sebut sebaga rumus Euler s ag sesua,bagamaapu secara sederhaa kta medefska e. umuma kta defska e e e e e cos s `...(8 Msala utuk cotoh dmaa meghaslaka e Perlu dcatat bahwa betuk dar (7 pada dasara merupaka hasl dar teorema de Movre utuk e e. Persamaa-persamaa Polomal Serg dalam hal-hal prakts kta meemuka selesaa persamaa pagkat baak (polomal dega betuk umum : Dmaa a a a... a a a...,...( 9, a a dar blaga komplek da adalah blaga bulat postp ag dsebut pagkat dar persamaa. Selesesaa dar persamaa polomal juga dsebut pembuat ol (eros ruas kr persamaa (9 akar-akar persamaa. Teorema sagat petg sehgga dsebut teorema medasar dar aljabar ag meataka bahwa setap persamaa polomal dar betuk (9 mempua palg sedkt satu akar blaga. Berdasarka fakta kta dapat polomal mempua akar blaga komplek ag kadag-kadag beberapa ada ag sama da bahka mugk semua akar-akara sama. Jka tuls sebaga: a,,,,... dega akar-akar persamaa polomal maka (9 dapat d o ( ( (...(... ( ag maa d sebutbetuk pemfaktora dar persamaa polomal,sebalka jka kta dapat meuls (9 pada betuk ( kta dapat determaka akar-akara dega muda.. Akar-akar ke dar Satua

13 Selesaa dar persamaa dmaa adalah blaga bulat postp dsebut akarakar ke dar satua da d berka oleh : cos k s k e k k,,,,..., cos k s k k / Mssal jka e, akar-akar dar persamaaa adalah:,,,...,. ag secara geometr meujukka bahwa vertcal dar sebuah polgo (seg baak beratura teratur dmaa d sampg d tulska pada sebuah lgkara dar jarak satu dega pusat ag sebeara. Lgkara... ( mempua persamaa da serg d sebut lgkara satua.. Iterpretas Vektor dar Blaga Komplek Betuk blaga komplek dapat dpadag sebaga vektor OP ag mempua ttk awal d ttk asal O (org da ttk akhra pada koordat P (, sepert pada gambar. berkut. Y B A P(, O X Gambar - Kadag-kadag kta meebut OP sebaga vektor postp dar P. Dua vektor mempua pajag atau magtudo da arah ag sama, tetap ttk-ttk awal berbeda sedemka sehgga OP da AB pada gambar - dpadag sama. Dalam hal dapat dtuls OP AB

14 Jumlah dar blaga komplek berkorespodes dega hukum jajaragejag dar jumlah utuk vektor. (lhat gambar komplek da melegkap jajaragejag -5. Dega demka jumlah blaga OABC dma OA da OC berkorespodes dega da. Dagoal OB dar jajaragejag adalah berkorespodes dega. Y O X Gambar.5.5 Represetas Sphercal Blaga Komplek, Proeks Stereografs Msala P (pada gambar.6 adalah bdag komplek da padag suatu ut sphere (jar-jar satu taget P d. Utuk dameter NS tegaklurus dega P da ttk N da S kta sebut kutub-kutub utara da baga selata dar. Beberapa korespodes ttk A d P kta dapat membuat gars NA berpotoga dega pada ttk A. Dega demka setap ttk d bdag blaga komplek berkorespodes satu-satu da haa satu ttk dar sphere, da kta dapat meggambarka sebarag blaga komplek oleh satu ttk pada sphere. Utuk melegkap ttk N hal tu berkorespodes dega jumlah pada ttk dar bdag tersebut. Dar hmpua semua ttk-ttk termasuk bdag komplek utuk jumlah pada ttk dsebut semua bdag kompleks, semua bdag, atau bdag kompleks secara luas.

15 Methode ag telah djelaska d atas utuk memetaka bdag pada sphere dsebut proeks stereografs. Sphphch. Sphere tersebut kadag-kadag dsebut Rema sphere. N A P S Gambar -6.6 Hasl Kal Ttk (dot da Slag (cross Msal da adalah dua blaga komplek (vektor-vektor. Hasl kal ttk (juga dsebut hasl kal skalar dar da. vector. Hasl kal ttk ( dsebut juga hasl kal ttk dar da ddefeska sebaga... (. cos Re Dmaa adalah sudut datara da ag maa terletak atara da. Hasl kal slag dar da ddefeska sebaga Im... (. e ( s Jka da adalah buka ol, maka. Sarat perlu da cukup bahwa da tegak lurus adalah bahwa.. Sarat perlu da cukup bahwa da sejajar adalah bahwa

16 . Magtudo proeks dar pada. adalah. /.. Luas jajaragejag ag mempua ss da adalah..7 Koordat-koordat Kojugat Blaga Komplek Suatu ttk d bdag kompleks, dapat dletakka pada koordat tegak lurus (, atau koordat kutub (r, θ. Namu baak juga kemugka ag la. Salah satua adalah megguaka keataa bahwa = ( +, = ( dmaa = +. Koordat (, ag meetuka letak suatu ttk damaka koordatkoordat kojugat blaga komplek atau dsgkat koordat kojugate. Dar suatu ttk..8 Hmpua-hmpua Ttk Sebarag kumpula ttk-ttk d bdag kompleks damaka suatu hmpua ttk berdmes dua, da setap ttka damaka suatu aggota atau usur hmpua tersebut. Defs dasar berkut dberka sebaga baha rujuka.. Lgkuga (eghbourhoods Suatu lgkuga delta (atau δ dar ttk Zo adalah Hmpua semua ttk sehgga Zo < δ dmaa δ adalah suatu blaga postf ag dberka. Suatu lgkuga δ ag dhlagka dar Zo adalah Suatu lgkuga dar Zo ag ttk Zo a dbuag, atu < Zo < δ.. Ttk lmt (lmt pots Suatu ttk Zo dsebut ttk lmt, ttk gabug, atau ttk kumpul dar hmpua ttk S. Jka setap lgkuga δ ag dhlagka dar Zo memuat ttk d hmpua S, karea δ adalah Suatu blaga postf sebarag, maka hmpua S harus memlk baak ttk ag tak berhgga. Perhatka bahwa Zo mugk terletak d dalam atau d luar hmpua S.. Hmpua-hmpua tertutup (closed sets Sebuah hmpua S dsebut tertutup jka setap ttk lmt dar S termasuk d dalam S, aut S memuat semua ttk lmta. Sebaga cotoh, hmpua semua ttk sehgga adalah suatu hmpua tertutup.

17 . Hmpua-hmpua terbatas (bouded sets Sebuah hmpua S dsebut terbatas jka kta dapat meemuka suatu kostata M sehgga M utuk setap ttk da S. Suatu hmpua tak terbatas adalah hmpua ag tdak memlk batas. Suatu hmpua ag terbatas da tetutup damaka Kompak. 5. Ttk dalam, ttk luar, da ttk terbatas (teror, eteror, ad boudar pots Suatu ttk Zo dsebut ttk dalam dar hmpua S jka kta dapat meetuka suatu lgkuga δ dar Zo ag semua ttka termasuk pada S. Jka setap lgkuga δ dar Zo memuat ttk d S da juga ttk d luar S, maka Zo damaka ttk batas. Jka suatu ttk buka suatu ttk dalam atau ttk batas dar suatu hmpua S, maka ttk damaka ttk luar dar S. 6. Hmpua-hmpua terbuka (ope sets Suatu hmpua terbuka adalah suatu hmpua ag haa terdr dar ttk dalam. Sebaga cotoh, hmpua ttk Z sehgga < adalah suatu hmpua terbuka. 7. Hmpua-hmpua tersambug (coected sets Suatu hmpua terbuka S dsebut tersambug jka utuk setap dua ttk d hmpua tersebut dapat dhubugka oleh suatu ltasa ag berbetuk gars lurus (ltasa seg baak ag semua ttka terletak d dalam S. 8. Daerah terbuka atau doma (ope regos or domas Suatu hmpua terbuka tersambug damaka suatu daerah terbuka atau doma. 9. Closure suatu hmpua (closure of a set Jka suatu hmpua S kta gabugka semua ttk lmta, maka hmpua baru ag terbetuk dsebut peutup hmpua S da merupaka suatu hmpua tertutup.. Daerah tertutup (closed regos Peutup suatu daerah terbuka atau doma dsebut suatu daerah tertutup.. Daerah (regos Jka pada suatu daerah terbuka atau doma kta gabugka beberapa, semua atau tdak sama sekal ttk lmta, maka kta meemuka suatu hmpua ag dsebut daerah. Jka semua ttk lmta dgabugka, maka daeraha tertutup da jka tdak dgabugka sama sekal, maka daerahaterbuka. Dalam buku blamaa kta megguaka stlah daerah tapa megelompokkaa, kta aka megartkaa sebaga daerah terbuka atau doma.

18 . Gabuga da Irsa dar hmpua. sebuah hmpua terdr dar semua ttk ag tergabug dalam hmpua S da hmpua S atau kedua-duaa ag damaka uo/gabuga dar hmpua S da S ag dtada dega hmpua S + S / s s Suatu hmpua terdr dar semua ttk ag terdapat dalam hmpua S da S damaka rsa S da S ag dtada dega S, S / s s. Kompleme dar hmpua. Suatu hmpua ag tergabug dar semua ttk ag tdak termasuk dalam hmpua S damaka kompleme S da dataka ~ dega. Hmpua kosog dar sub hmpua. Meark utuk memkr sebuah hmpua ag tak berla, hmpua damaka hmpua kosog (. Jka dua hmpua S da S tdak memlk la (dmaa kedua hmpua tersebut damaka hmpua ag tak berkata/salg keterkata, kta dapat mejelaskaa dega meuls S - S =. Setap hmpua ag dbetuk melalu pemlha semua la / tapa la dar sebuah hmpua damaka sub hmpua dar S. bla kta mejelaska hmpua dmaa semua la S telah dplh maka hmpua tu damaka sebuah hmpua ag bear dar S. 5. Hmpua tak terhgga. Jka baga sebuah hmpua dapat dtempatka dalam sebuah persamaa dega agka-agka,, maka hmpua tu damaka hmpua ag dapat dhtug, jka tdak dapt dhtug maka hmpua tersebut damaka hmpua tak terhgga. Berkut ada dua teor petg megea la-la hmpua: a Teorema Welerstrass-Bolao. Teor meataka bahwa setap hmpua dasar terkat memlk palg sedkt satu batas la. b Teorma Hee-Borel. Teor meatak bahwa S merupaka sebuah hmpua terpadu masg-masga megadug satu atau lebh hmpua A, A...( ag kemuda dkataka melput hmpua S tak terhgga. Kemuda aka terjad sejumlah hmpua dasar A, A ag melput S tak terhgga..8 Soal-soal Peelesaa-peelesaa dasar dega blaga kompleks.. Membuat peelesaa pada masg-masg blaga kompleks. (a ( + + (-7- = 7 + I = - =

19 (b (-7- + ( + = -7 + I + = - + Hasl blaga komleks (a da (b meujuka peelesaa ag dapat dmegert. (c (8 6 - ( - 7 = = 5 8 (d (5 + + {( (7 5} = (5 + + { } = (5 + + (6 = (e {( (- + } + (7 5 = { } + (7 5 = ( (7 5 = Hasl (d da (e meujuka hasl ag berkata. (f ( ( + = ( + - ( + = = = 8 (g ( + ( = ( + ( = = = 8 Hasl (f da (gmeujuka hasl ag dapat dpaham. (h ( {(- + (5 - } = ( - { } = ( - (-7 + = = ( {( (- + } (5 - = { } (5 - = (- + 7 (5 - = = Hasl (h da ( mejelaska hasl perkawa ag salg berkata satu dega ag laa. Halama 9 (j. ( + {(7 5 + ( + } = = + 9 metode ag la. ( + {(7 5 + ( + } = ( + ( 5 + ( + ( + = ( ( = ( + + ( 5 = + 9 I memberka pejelasa pembaga rumus ag la. (k =. = = = dega metode ag la

20 Meurut des, ( ( + adalah blaga a + b tu, dmaa a da b adalah blaga reall sepert tu ( + (a + b = a b + (a b =. kemuda a b =, a b = da kemuda pecahka secara bersamaa, a = 5, b = atau a + b = 5. (l + =. +. = = (m = = ( (.jka = +, = da = + mela masg masg dar berkut. + = + =. = = + (a = ( + ( = = 6 + = ( 6 + ( = 57, (b + 8 = ( + ( + + ( + 8 = {( + ( ( + (( + } ( = = 7 + (c ( = + = = = + + = + = + = (d = (( (( = = = (( ( ( =. temukalah blaga real da sepert ag = Kemuda berka hubuga persamaa tertuls sebaga berkut ( = kemuda meamaka baga blaga real da magear, + 5 = 7, = 5. kemuda pemecaha secara bersamaa, =, =. Buktka: (a + = +, (b =

21 Msalka = = +, = +. kemuda (a + = + + = + + ( + = + ( + = + = = + (b = ( + ( = + + ( + ( + + ( + = ( + ( + = + + = dega metode ag la. + = ( ( = + = ( ( = or = dmaa kta sudah megguaka fakta bahwa hasl kojugas dar dua blaga kompleks ag sama dega produk kojugatf ag la (lhat Soal 55. Halama BILANGAN KOMPLEKS A.Gambar Grafs Dar Blaga Kompleks 5.Megerjaka,meujuka pembedaha, megaalsa da gambarka. (++(5+, (6--(-5, (-+5+(++(5-+(--6 A.Megaalss (++(5+=+5++=8+6 Meggambarka grafs dua blaga komplek la P da P ag berturut turut sepert gambar dbawah.7. Sempuraka gars ltag dega OP da OP sepert berdekata ss. Nla P meggambarka jumlah 6+8 dar dua blaga komplek. Catata persamaa gars ltag utuk pejumlaha dar vektor OP da OP memperoleh vektor OP. Pertmbaga utuk memudahka sebuah blaga kompleks sepert a +b sebuah vektor memperoleh kompoe da b ke arah dar postp da tapa hubuga berturut. у Р

22 P O 5+ P ᵡ Gambar.7 P -+5 P O + 6- ᵡ Gambar.8 P (b Megaalsa, (6+-(-5=6--=+ Grafs, (6--(-5=6-+(-+5. Mejumlahka 6- da((-+5sepert dbaga (a.meujuka hasl utuk OP ddalam gambar.8 datas. (CMegaalsa. Grafs, (-+5+(++(5-+(--6=(-++5-+(5+--6=-. Meggambarka blaga ag dtambah utuk,,, berturut turut. Gambarlah grafs dbawah.9 utuk memperoleh jumlah ag dbutuhka bertambah terus sepert betuk pertama gambar dbawah..sebaga la dar vektor koseps vektor,vektor koseps vektor, da la dar koseps vektor. Pada suatu saat, sebaga hasl dar jumlah ag dbutuhka adalah memperoleh vektor OP utuk meusu huruf awal dar la,. E. OP = Z + Z + Z + Z =Z Z. O ᵡ

23 Gambar.9 O P ᵡ Gambar s. Halama Jka da adalah dua dar Blaga Kompleks (vektor vektora pada gambar -. Buatlah grafka 5 (a (b (a Pada gambar - dsampg, OA adalah sebuah vektor ag mempua pajag kal vektor da OB adalah sebuah vektor ag mempua pajag kal vektor da Da vektor OC OA OB

24 Q P O Gambar - Gambar - R C B A O Gambar - (b Persamaa vektor (Blaga kompleks dtujukka oleh OP pada gambar - datas 7. Buktka : (a., (b., (c. da gambarkalah grafka (a. Peelesaa

25 Msal, da kta harus meujukka bahwa ( ( Kuadaratka Persamaa kedua datas, aka bear jka ( ( ( (.e. jka ( ( atau jka ( Kuadratka Kedua persamaa lag Atau Tetap sama utuk ( jka bear. Balkka lagkah lagkah ag reversbel. Buktka hasla. Grafs. Secara grafs hasl dar fakta bahwa,, dtujuka pajag dar ss ss sebuah segtga (lhat gambar - da jumlah pajag dar ss dar sebuah segtga ag lebh besar dar atau sama dega pajag ss ketga. Gambar -

26 Gambar -5 (b. Peelesaa. Baga (a ( Grafs. Hasl dar sebuah kesepakata fakta geometrs bahwa sebuah bdag gars lurus lebh pedek datara ttk O da P (lhat Gambar -5 Halama TERJEMAHAN ANALYSIS VARIABEL COMPLEX 8. Msal dberka vector poss dar ttk A(, da ttk B(, ag dwakl oleh da berturut-turut.(a gambar vector AB sebaga blaga kompleks.(b tetuka jarak atara ttk A da B (a Dar gambar.6 OA AB OB AB AB AB OB OA ( ( AB (b Jarak atara ttk A da B dapat d car dega rumus AB ( ( ( ( 9. msal da ag dwakl dua vector o kolear atau vector o parallel Jka a da b adalah blaga real sedemka sehgga a b dega sarat a dab Dberka kods a b ekuvale dega a b( atau ( a b ( a b jad a b da a b persamaa aka mempua solus ag smulta a, b, jka.jka vector tersebut adalah vector o kolear atau vector o parallel.. buktka bahwa dagoal jajara gejag salg membag dua

27 B Pada gambar.7 OABC aka dberka jajara gejag dega dagoal ag salg berpotoga pada ttk P Karea AC, AC jad AP m( Dega sarat m Karea OB OP ( dega sarat, tap OA AP OP, m( ( atau ( m ( m kareaa dar masalah 9, m, m atau dagoal m, da P adalah ttk tegah dar kedua. meemuka persamaa utuk gars lurus ag melewat dua ttk A, da B (, ( Msal da adalah vektor-vektor dar masg-masg ttk A da B. Dar gambar.8 OA AP OP atau AP AP, OA AB OB atau AB, AB Karea AP da AB segars maka AP tab atau t dmaa t adalah ( blaga real da persama umuma adalah t( atau ( t t Dega megguaka, t(, t atau ( da, juga dapat dtuls Ada dua betuk persamaa,ag pertama dsebut persamaa parametrk gars dega t adalah parametera.ag kedua dsebut persamaa gars betuk stadar. Metode la. Karea AP da PB segars da m da adalah blaga real maka, map PB atau m ( (

28 Peelesaa m m atau m m Betuk persamaa d atas dsebut betuk smetrs., m m Halama Dega megguaka = +, = + da = + dapat d tulska - = t ( -, - = t ( - atau = Dua ag pertma dsebut persamaa parametrc gars da t adalah parameter ag ke dua d sebut persamaa dar gars ag pertama Dapat d pecahka map=pb atau m ( - = ( - = atau Dar persamaa d atas dapat d sebut betuk smetrs =, =. Msal A (, -, B ( -,, C (, mejad kesmpula dar segtga ABC.Carlah pajag meda dar C kess AB. Vektor poss A,B da C d berka oleh =, = - + da = + masg masg.kemuda dgambar AB = - = + - ( = + BC = - = + ( - + =5 - AB = - = - + ( = AD = AB = ( = - + dmaa D adalah ttk tegah AB AC +CD = AD atau CD =AD AC = - + ( + =- Maka pajag rata rata dar CD adalah CD =, = B D C. Tetuka persamaa utuk (a lgkra berjar dega pusat ( -,, (b, elps dega sumbu utama ag pajaga da ttk fokusa d (-, da (,. A

29 a dega d otaska atau d tulska dega blaga kompleks - + I.Jka adalah setap ttk pada lgkara (gambar. jarak dar - + I adalah ( = Kemuda = adalah persamaa ag d perluka dalam betuk empat perseg pajag d berka oleh ( ( =,.e ( + + ( - =6 Y Z (-, (-, (, b Jumlah jarak dar setap ttk pada elps ( gambar - utuk focus harus sama= maka persamaaa adalah [ + ] +[-]=,dalam empat perseg pajag dapat d kurag utuk /5 + /6=(lhat soal 7 Aksoma Dasar dar Blaga Komleks. Guaka defes dar sebuah blaga kompleks sebaga pasaga orderdar blaga real da defes pada halama tga utuk membuktka bahwa (a,b=a(,,b(,dmaa (,,(,=(-, =(a,c + (c,b =(a,b

30 Halama BILANGAN KOMPLEK Dar defes jumlah da produk atau hasl d halama, kta medapatka (a, b = (a, + (, b = a(, + b(, dmaa (,(, = (, + = (, Dar detfkas (, dega da (, dega, kta melhat bahwa (a, b = a + b 5. Jka = (a, b, = (a, b da = (a, b, membuktka hukum persamaa dstrbus =, = + + Kta medapatka =, = (a, b {(a, b + (a, b } = (a, b (a, a + (b, b = {a (a +a b (b, b, a (b, b + b (a +a } = a a b b + a a b b, a b + b a + a b + b a = (a a b b, a b + b a + (a a b b, a b + b a = (a, b (a, b + (a, b (a, b =, +, KOORDINAT POLAR DARI BILANGAN KOMPLEK 6. Nataka setap blaga komplek berkut dalam betuk koordat polar a + Nla peelesaa atau mutlaka, r = + = + = Perluasa atau bukt, θ = s = s = 6 = (radas Kemuda + = r(cos θ + s θ = (cos 6 + s 6 = (cos π + s π Hasla juga dapat dtuls sebaga cs atau, megguaka rumus euler s, e + 6 Gambar

31 b r = 5 +5 = = 5 θ = 8 5 = 5 = (radas Kemuda = 5 (cos 5 + s5 = 5 cs π = 5 e Gambar c 6 r = 6 = 6 + = θ = 8 + = = 7 (radas Kemuda 6 = (cos + s = cs 7 π = e 6

32 Gambar d r = = 9 = θ = 7 = (radas Kemuda = cos π + s π = cs π = e 7 - Gambar 5 7. Grafkka dar setap baga berkut: (a 6(cos + s, (b e, (c e (a 6(cos + s = 6 cs = 6 cs π = 6 e dapat drefresetaska secara grafk dega OP d gambar 6 dbawah.

33 5 p b o Jka kta memula dega vektor OA ag besaraa adalah 6 da ag maa araha adalah postf, kta dapat memperoleh OP dega merotaska OA berlawaa dega arah jarum jam melalu sudut. Secara umum re sebadg dega vektor ag dperoleh dega merotaska atau memutar vektor ag besaraa r dega arah as postf, bergerak berlawaa melalu sudut θ. Halama 5 Nama : Leo marwa NPM : 959 Jurusa: Matematka, 9. B BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS 6 p o A O A 8 P Gambar -6 Gambar. -7 Gambar. -8 / 5 (b e cos / 5 s / 5 cos8 s s8 Dwakl oleh pada gambar datas. / c cos / s / cos 5 s 5. e

34 o a. C Blaga kompleks dapt drpesetaska oleh vector OP pada gambar. Datas -8 vektor dapat dperolah dega memula dega vector OA. Yag besara adalah da ag araha adalah bahwa dar sumbu X postf, da memutara berlawaa tu memula sudut -5 (ag sama dega memutar secara jarum jam melalu sudut seorag pra perjalaa ml tmur laut, ml barat dar utara, B da kemuda 8 ml 6 selata barat, meetuka (a secara aaltk 6 o da (b grafs seberapa jauh da kearah maa a adalah dar ttk tolak 8 A (a. Aalts. Baraka o mejad ttk awal (lhat gambar -9. Maka perp- 5 o Idaha berturut-turut dwakl oleh vector OA,AB da BC, hasl dar ke- o Tga perpdaha dwakl oleh vector. OC OA AB BC sekarag Kemuda OA AB / cos5 s 5 e / cos9 s 9 e \ / 6 s 8 6 8e BC 8 cos 8 OC e Jka / / / o o o o o o cos5 cos 8cos s 5 s 8s / / 8 / / / 8 / rcos s 6 9 6, Maka r o ' cos 6 9/ r cos sektar dar e 8e

35 Sehgga orag tu adalah,7 ml dar ttk tolaka dalam arah 5 o 9, -9 o = 5 o 9, barat utara. (b grafs, megguaka ut ag ama pajag sepert PQ dalam ambar -9 ag mewakl ml, Da busur derajat utuk megukur sudut, membagu vektor OA,AB da BA kemuda dega meetka jumlah ut d OC da sudut ag membuat OC dega sumbu V, kta memper oleh hasl perkraa (a DE MOIVRE S TEOREMA 9. f r cos s da r cos s, a r r cos s b cos s. r r c r cos s r cos s r r cos cos s s s cos cos s r r cos s Membuktka : Halama 6 (b r r r r cos s cos s cos s cos s cos cos s s s cos cos s r cos s r cos s Pada sarat-sarat rumus Euler e cos s, hasla meataka bahwa jka r e da r e maka r e e re r r. r r e da

36 . Buktka teorema De Movre s : postf. cos s dmaa adalah blaga bulat Kta guaka prsp duks matematka. Megaggap bahwa hasla bear utuk blaga bulat postf khusus k, atu megaggap k cos s cos k s k kemuda kalka kedua ss dega cos s, kta dapatka k cos s cos k s k cos s o.9. Jka bear utuk sk cos k meurut soal k maka bear utuk k Tetap sejak hasla jelas bear utuk, maka past bear utuk da, dst., da past bear utuk semua blaga bulat postf. 5. Buktka dettas : (a cos 5 6 cos cos 5cos (b s 5 6cos cos, f,, s Kta megguaka rumus Bomal r r a b a a b a b... a b... b Dmaa koefse koefse bomal. Blaga! atau... da kta defska! r r!, juga dataka dega C r, ag dsebut r! r! Dar soal o., dega 5, dega rumus bomal, cos 5 s 5 cos cos s 5 faktoral, ddefska sebaga hasl cos s cos s 5 cos s cos s 5 5 s 5 cos 5 cos 5 cos s s s cos 5 s 5 = cos cos s 5 cos s 5 cos s cos s s cos 5 s

37 Maka (a cos 5 cos 5 cos s 5 cos s 5 cos cos 5 6 cos cos cos 5 cos cos 5 cos da (b s 5 5 cos s cos s s 5 atau s 5 s 5 cos cos s s cos cos 5 cos cos 6 cos cos dega s, atu,,,... e e. Tujukka bahwa (a cos,(b e s e Kta mempua ( e e cos s, ( e cos s Halama 7 (a Tambahka ( da ( e + e = cos θ atau cos θ = (b Kuragka ( dar ( e e = s θ atau s θ =. Buktka dettas (a s θ = s θ s θ,(b cos θ = cos θ + cos θ + (a s θ = = = e e e + e e e

38 = e e + e e = = s θ s θ (b cos θ = = = e + e e + 6 e e + e e + e = e + e e + e = + = cos θ cos θ +. Dberka blaga komplek (vektor, megartka secara geometr e dmaa α blaga real. Msal = re meggambarka gars vector d gambar -. Kemuda e = re. e = re ( Adalah vector ag dwakl oleh OB. Maka perkala vector oleh e sebesar putara ag berlawaa dar sudut α. Gambar -

39 Kta dapat mempertmbagka e sebaga peghubug ag bertdak pada utuk meghaslka rotas. 5. Buktka : e = e (, k =, ±, ±, e ( = cos(θ + kπ + s (θ + kπ = cos θ + s θ = e 6. Evaluas soal-soal berkut : (a [ (cos + s ] [ (cos 8 + s 8 ] = [cos( + (b 8 + s( + 8 ] ( ( = = cs (5 5 = (cos + s = + = = [cos( + s( ] = [cos s ] = (c ( = ( = (cs = cs = cs Metode la : = + = / / = e / = e / = e e / = ([cos(π/ + s(π/] = + Halama 8 7. Buktka bahwa (a arg ( = arg + arg, (b arg ( / = arg arg meataka kods ag sesua valdtas.

40 Barka, = r (cos θ + s θ, = r (cos θ + s θ, da arg = θ, arg = θ. a Sejak = r r (cos(θ + θ + s(θ + θ, arg( = θ + θ = arg + arg b Sejak = (cos(θ + θ + s(θ θ, arg = θ θ = arg arg Karea ada la ag mugk baak θ = arg da θ = arg, kta haa dapat megataka bahwa kedua belah phak dalam kesetaraa d atas adalah sama utuk beberapa la dar arg da arg mereka tdak dapat memegag bahka jka la-la utama ag dguaka. AKAR AKAR BILANGAN KOMPLEKS. 8. (a Temuka semua la dar Z, dmaa Z =, da (b tempatka atau masukka la dalam bdag kompleks. a Dalam betuk polar, = {cos(r + kπ + s(π + kπ }, k =, ±, ±,,. Barka r(cos θ + s θ. kemuda dega megguaka "Teorema De Movre", = r (cos 5θ + s 5θ = {cos(π + kπ + s(π + kπ} sehgga r =, 5θ = π + kπ, dmaa r =, θ = (π + kπ/5. Oleh karea tu, = cos + s

41 If k =, = = (cos π 5 + s π 5 If k =, = = (cos π 5 + s π 5 If k =, = = (cos 5π 5 + s 5π 5 = If k =, = = (cos 7π 5 + s 7π 5 If k =, = = (cos 9π 5 + s 9π 5 Dega mempertmbagka k = 5, 6 serta la-la egatf, -, -,..., pegulaga dar lma la d atas dperoleh. Oleh karea tu adalah satusatua solus atau akar dar persamaa ag dberka. lma akar dsebut " lma akar dar da secara kolektf dtujukka dega ( /. Pada umuma, a / mewakl Akar ke-" " dar da a. Da terdapat akar. b Nla-la sepert ag dtujukka dalam Gambar -. mecatat bahwa mereka memlk jarak ag sama dsepajag kellg lgkara dega pusata d ttk pusat da jar-jar. Atau dega kata la dapat dkataka bahwa, akar - akar dwakl oleh ttk- ttk dar polgo ag beratura. Z π π/5 Z Z π/5

42 7π/5 9π/5 Z 5 Z Gambar - 9. Temuka akar akara da posska akar akar tersebut dalam grafk. a ( + / π + = cos + kπ + s π + kπ ( + = cos π + kπ + s π + kπ If k =, = cos π + s π If k =, = cos π If k =, = cos 9π + s π + s 9π Semua akar akar dapat terlhat pada grafk -. π/ Z Z π/

43 9π/ Z Gambar -. Halama 9 (b = cos 7π 6 + kπ + s 7π 6 + kπ 7π = cos 6 + kπ + s If k =, = cos 7π 7π + s If k =, = cos 9π If k =, = cos π If k =, = cos π + s 9π + s π + s π 7π 6 + kπ Hal drepresetaska da dtujukka secara grafs dalam gambar -. 9π/ 7π/ π/ π/ Gambar -. Meemuka akar kuadrat dar 5 8

44 Metode. 5 8 = 7{cos(θ + kπ + s(θ + kπ} dmaa cos θ =, s θ =. Maka akar kuadrat dar 5 8 adalah da 7 cos θ + s θ. ( 7 cos + π + s + π = 7 cos + s ( Sekarag cos = ±( = ± = ± s θ + 5 = ± ( cos θ = ± 7 = ± 7 karea Q adalah sudut d kuadra ketga cos =, s = dbutuhka adalah + da da. adalah sudut d kuadra kedua. maka da sebagaa dar ( da ( akar kuadrat ag Sebaga catata utuk pembukta ( + = ( = 5 8 Metode. Jadka p + q, dmaa p da q adalah blaga real, da merupaka akar kuadrat ag dperluka. Maka; (p + q = p q + pq = 5 8 atau, p q = 5. ( pq =. (

45 meggatka q = 6 =. dar ( ke (, mejad p = 5 atau p + 5p (p + 6(p = atau p = 6, p =. Ketka p adalah blaga real, p = ±. dar ( jka p =, q =, da jka p = q =, dega demka akar akara adalah - + da -. PERSAMAAN POLYNOMIAL.. Selesakalah persamaa kuadrat berkut : a + b + c =, a Meukar C da membaga dega a. + = Masg masg ruas djumlahka dega (kuadrat sempura + b b + a a = c b + a a Sehgga, + = Meggambl akar kuadrat, Oleh karea tu, + = ± = ±. Selesaka persamaa kuadrat berkut : + ( + 5 = Dar soal omor, dketahu : a =, b =, c = 5. Sehgga peelesaaaa adalah sebaga berkut : = ± = (±( (( (

46 ± 5 8 = = ± ( = atau + Megguaka fakta bahwa akar kuadrat dar 8 5 adalah ± (. o.. I dtemuka utuk memeuh persamaa ag dberka. (lhat soal Halama TUGAS AKHIR Nama : Theobaldus B. Ndarug Kelas : Matematka 9B Fakultas : FPIEK. Jka blaga rasoal ata p / q (dmaa p da q tdak mempua faktor umum,kecual,. e. p / q berada dalam batas tereda, persamaa polomal a a... a ordmaa a..., a,... a adalah blaga bulat,meujuka bawah p da q harus mejad faktor dar a da a dega masg-masg Subttus p / q dalam pembera persamaa da pegalha oleh q dar hasl a p a p q... a pq aq oleh p da memdaka batas akhr a p a p q... a q aq p Pembaga Mula dar ss kr p adalah bllaga bulat,begtu juga pada ss kaa.tetap p tdak mempua faktor umum dega q jad tu tdak bsah d bag q da harus dbag a.begtu juga pada pembaga oleh q da perkala la utama,kta meemuka bahwa q harus dbag a.

47 . Selesaka 6 5 Faktor tegral dar 6 da - adalah masg-masg,,, 6 da,, 5,. oleh karea tu dega soal o mugk peelesaa blaga rasoal adalah,,, 6,,, 5, 5, 5, 5 6,,. Dega percobaa kta meemuka bahwa da adalah peelesaa,jad blaga polomal 6 merupaka faktor dar 6 5,faktor la mejad 5 sepert peemua pada baga lama. Oleh karea tu : Peelesaaa dar 5 (lhat o. 6,kemuda peelesaaa adalah,,, 5. Buktka bahwa jumlah da hasl dar semua akar dar a a... a dmaa a,jka a a da a a dega masg-masg.jka,, merupka akar.persamaaa dapat dtus dalam betuk faktor dbawah : a... Persamaa datas lagsug meujuka bawah a... a... a bawah da o a ao, Jka p q a tu d kut... a dar a... a adalah akar dar sebaga sarat. a a... a dmaa a o, a,... a, p da q adalah blaga real,bukta bawah p q juga merupaka sebuah akar.

48 Msalka p q e r dalam betuk polar. Ya memeu persamaa o : ar e ar e... a re a ambl kojugs kedua baga lhat bawah ar e ar e... a re a re tdak tetap. Jka.. Kta p q juga merupaka sebuah akar ag hasla a...a buka sebuah blaga real (lhat o Teorema serg dataka dalam betuk perataa; merupaka sebuah polomal dega koefse blaga real terjad dalam kojugs berpasaga. Halama Terjemaha Hal AKAR-AKAR DARI KESATUAN 7. Temuka semua akar-akar dar kesatua cos k s k Dmaa k,,,... e k cos k 5 s 5 k e k 5 Nla ag dguaka cukup k =,,, karea semua la dalam k past berulag. 5 Jad akar dar, e k 5 Jka e = w maka k k 6k 8k 5 5 5,,, Nla d atas dapat dtuls, w, w, w, w 8. Jka =,,... Tetuka bahwa e 6 ( a cos cos + cos... cos 6 ( b s s s... s e e msalka persamaa, mempua solus terhadap la dar akar-akar kesatua.

49 , e k k 6 k 5 5,, e e 8k ( 5, e... e Yatu ( ( cos cos... cos s s... s Sesuaka dega hasl ag telah dtetuka. 9. Jka da Tetuka : a. b. Jawab : PERKALIAN TITIK DAN SILANG a. Re( (- Re 7 Re Cara la : (( ( ( b. Im ( (- Im 7 7 Im Cara la : (( ( ( 7. Temuka ketelta sudut datara vektor-vektor pada kasus o.9 a Kta peroleh cos Maka ketlta sudut cos '. Buktka daerah dar sebuah jajargejag ag mempua ss da atu. Daerah dar jajargejag (gambar. Gbr.

50 kak pucak s s h= s Halama. Carlah luas segtga ag ttk ttk sudut d A(,, B(,, da C(,. Z C(, Z A(, B(, Gambar -5 Vector dar C ke A da B [ gambar -5 ] berturut turut adalah sebaga berkut = ( + ( = ( + ( Sejak luas segtga dega ss da adalah setegah luas jajara gejag ag sesua, tdak sesua dega o : Luas dar segtga = = Im {[( ( ][( + ( ]} = ( ( ( ( = + + = dalam betuk determa. KOORDINAT KOORDINAT KONJUGAT BILANGAN KOMPLEKS

51 . Tujukka setap persamaa dalam hal kojugas koordat : (a + = 5, (b + = 6.. Sejak = +, =, =, =. Sehgga + = 5 mejad + = 5 atau ( + + ( =. Persamaa merupaka gars lurus pada bdag.. Metode. Persamaaa adalah ( + ( = 6 atau = 6. Metode. Gatka =, = pada + = 6 utuk memperoleh = 6. Persamaa tu merupaka lgkara pada bdag dar radus 6 dega pusat pada ttk asal.. Buktka bahwa persamaa dar setap lgkara atau gars pada bdag dapat dtuls sebaga α + β + β + γ = dmaa α da γ adalah kostata ata, semetara β dapat berupa sebuah kostata kompleks. Persamaa umum lgkara pada bdag dapat dtuls ag pada kojugas koordat mejad A( + + B + C + D = A + B + C + D = atau A D = Sebutka A = α, + = β da D = γ, megkut hasla. Dalam kasus khusus A = α =, lgkara berubah mejad gars. HIMPUNAN TITIK 5. Dberka hmpua ttk S,,,, atau secara sgkat. (a Apakah S dbatas? (b Apakah ttk batasa, jka ad? (c Apakah S tertutup? (d Apa teror da ttk batas? (e Apakah S terbuka? (f Apakah S tersambug? (g Apakah S daerah terbuka atau daerah asal? (h Apa peutupa S? ( Apakah kompleme dar S? (j Apakah S dapat dhtug? (k Apakah S tersusu rapat? (l apakah akhr S tersusu padat? a S dbatas karea utuk setap po S, < [sebaga cotoh], atu semua ttk S terletak d dalam lgkara berjar-jar dega pusat pada ttk asal.

52 b Karea setap lgkuga ag dhapus dar = bers ttk S, ttk batasa adalah =. Itu adalah haa ttk batas. Halama Perhatka bahwa karea S dbatas da tak terbatas teorema Weelerstrass-Bolao mempredks setdaka satu ttk lmt. a S tdak tertutup karea ttk lmt = buka S. b Setap lgkuga δ dar setap ttk / [atu setap lgkara dar radus δ dega pusat d /] bers ttk ag termasuk ke S da ttk ag buka S. Jad setap ttk S, da juga ttk =, adalah ttk batas. S tdak memlk ttk teror. c S buka termasuk ttk teror. Karea tdak dapat terbuka. Dega demka S adalah tdak terbuka atau tertutup. d Jka kta gabugka dua ttk S melalu jala polgoal, ada ttk pada jala ag buka S. Jad S tdak tersambug. e Karea S buka hmpua terhubug terbuka, mak S buka merupaka wlaah terbuka atau doma. f Yag tertutup dar S termasuk hmpua S bersama dega lmt ttk ol, atu {,, /, /,...}. g Yag kompleme dar S adalah hmpua semua ttk ag buka S, atu semua ttk, /, /,... h Terdapat korespodes satu-satu atara usur-usur dar S da blaga asl,,,... sepert ag dtujukka d bawah. a. j Maka S dapat dhtug k S dbatas tetap tdak tertutup. Oleh karea tu tdak kompak. l Yag tertutup dar S merupaka dbatas da dtutup serta kompak juga.

53 6. Dketahu hmpua ttk A = {,,, +, 5}, B = {,,, + }, C =,,. Tetuka (a A + B atau A B, (b AB atau A B, (c AC atau A C, (d A (B + C atau A (B C, (e AB + AC atau (A B (A C, (f A(BC atau A (B C. a. A + B = A B terdr ttk-ttk ag termasuk salah satu ttk dar A da B atau keduaa da hasla {,,, +, 5,, }, b. AB atau A B terdr ttk-ttk ag termasuk dar kedua ttk A da ttk B da hasla {, + }. c. AC atau A C = {}, ag terdr dar haa aggota. d. B + C atau B C =,,, +,,,. Oleh karea tu A (B + C atau A (B C = {,, + }, terdr dar po mlk A da B + C. a. AB = {, + }, AC = {} dar baga (b da (e. Oleh karea tu AB + AC = {, +, }. Dar hasl da (d kta ketahu bahwa A (B + C = AB + AC atau A (B C = (A B (A C, ag meggambarka bahwa A, B, C memeuh hukum dstrbutf. Kta dapat meujukka bahwa hmpua ag meujukka baak sfat-sfat aljabar berlaku dalam blaga-blaga. Hal sagat petg dalam teor da aplkas. b. BC = B C =, hmpua ol, karea tdak ada ttk ag sama dar kedua ttk B da ttk C. Oleh karea tu A (BC = juga. MASALAH LAIN-LAIN 7. Suatu blaga dsebut blaga aljabar jka blaga tu adalah solus dar persamaa polomal a + a + + a + dmaa a, a,, a adalah blaga bulat. Buktka bahwa (a + da (b adalah blaga aljabar. (a Msalka = + atau =. Dkuadratka, + = atau =. Dkuadratka lag, + = 8 or + =, suatu persamaa polomal dega koefse blaga bulat ag memlk + sebaga akar. Oleh karea tu + adalah blaga aljabar.

54 (b Msalka = atau + =. Dpagkat tga, + ( + ( + ( = atau = (8 6. Dkuadratka, =, suatu persamaa polomal dega koefse blaga bulat ag memlk adalah blaga aljabar. sebaga akar. Oleh karea tu Blaga ag buka aljabar,,e. tdak memeuh setap persamaa polomal dega koefse blaga bulat, dsebut blaga trasedetal. Hal telah dbuktka bahwa agka-agka π =,59... da e =,788 adalah trasedetal. Namu, mash belum dketahu apakah blaga sepert eπ atau e + π, cotoh trasedetal atau tdak. Halama BILANGAN KOMPLEKS 8. Meataka grafk hmpua dar la utuk (a =, (b < (a Dberka persamaa ekuvale dega = + atau jka = +, + = + + ekuvale dega ( + = ( + + Dega megkuadratka da meederhaaka, Mejad = atau ( = 6 mejad + 5 =, lgkara berjar-jar dega pusat d (-5, sepert ag dtujukka pada gambar, - 6 Secara geometr, setap ttk P pada lgkara sedemka sehgga jarak dar P ke ttk B (,. dua kal jarak dar P ke ttk A (-,. Gambar - 6

55 Metode la = adalah ekuvale dega = atau = Mejad ( + 5( + 5 = 6 atau + 5 = (b Dberka pertdaksamaa ekuvale dega < + atau ( + < ( + + Dega megkuadratka da meederhaaka, mejad > atau ( >6 dperoleh + 5 > Gambar -6. Hmpua ag ddapat terdr dar semua ttk eksteral utuk lgkara 9. Dberka hmpua A da B atu - < da < Nataka secara geometr (a A B atau AB, (ba B atau A + B Hmpua ag ddapat dar ttk ag dtujukka darsr pada Gambar - 7 da -8. Gambar -7 Gambar Peelesaa Metode. Persamaa dapat dtuls

56 + 6 =, mejad =, ( + 9 = atau ( + + ( + = maka solus ag tepat atu solus dar = Da + = atau ± da ± Metode. Dberka w = persamaa dapat dtuls mejad w w + 6 = da w = ± 7 Utuk medapatka solus dar = ± 7 dapat dguaka metode Soal. Halama 5 5. jka Z, Z, Z mewakl pucak dar suatu segtga sama ss, maka dapat d buktka bahwa Z + Z + Z = Z Z Z Z + Z Z dar gambar.9 kta lhat bahwa gambar.9 Z Z = e / ( Z Z Z Z = e / ( Z Z Maka betuk pembaga, = atau Z + Z + Z = Z Z Z Z + Z Z 5. buktka utuk m =,, s s s ( (-5, s = A Akar dar Z = adalah Z =, e /, e /, e (/. maka dapat dtuls Z = (Z (Z e / (Z e /... Z e (/

57 Membag kedua ss dega Z da kemuda Z = [ meujuka bahwa (Z /(Z = + Z + Z + Z ] kta temuka, m = ( e / ( e /... ( e (/... ( Megambl kojugat kompleks kemuda meghubugka kedua hasl dar ss ( m = ( e / ( e /... ( e (/ ( Megalka ( dega ( megguaka ( e / ( e / = cos (kπ/m Kta dapatka m = cos ( ( cos. ( Dar cos(kπ/m = s (kπ/m, ( mejad m = s.....( s s ( Kemuda megambl akar kuadrat postf dar kedua ss meghaslka hasl ag dperluka. MASALAH-MASALAH TAMBAHAN OPERASI DASAR DENGAN BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS 5. tujukalah setap operas ag ddkaska (a ( + ( 8 (c ( + ( (b ( + (7 (d ( {( + ( } (e (f ( + ( + ( ( (h ( + (g ((( ( (j Jawab : (a (c 8 + (e /7 (/7 (g 5/ + 5 (b 7 + (d (f + (h / (/ ( + (j

58 5. jka Z =, Z = +, Z =, htuglah setap hasl-hasl dbawah 5 } Jawab : (a Z + (b (e ( Re{ + + (f + (j Im{ / } (c ( (g (d + (h [ + ] + [ + ] (a (c (e /5 (g 7 (b 7 (d (f /7 (h ( 5 (j 6 + /7 Halama 6 55.Buktka bahwa, (a. 56. Buktka bahwa, (a. =, (b.. = =, (b. =, jka. 57. Carlah blaga real da dar: + 5 = ( + + ( + Jawab : =, = Buktka bahwa (a. Re =, (b. Im =. 59. Buktka jka hasl dar dua blaga kompleks adalah < dar blaga ol. 6. Jka w = da = +, carlah w dar da. Jawab : MENGGAMBAR GRAFIK VEKTOR DARI BILANGAN KOMPLEKS 6. Betuklah operas-operas berkut secara aaltk da grafk. a ( + + ( 5 (c ( + ( b (7 + ( (d ( + + ( ( + 5

59 (e ( + (5 + Jawab : (a. 6, (b. +, (c. - +, (d. 9 8, (e. 9 + ( 6. Jka, da merupaka vektor ag dtujuka dalam gambar., buatlah s grafk : (a. + (c. + ( + (e. (b. ( + + (d Jka = da = - +, buatlah grafk da aaltk: (a. (b. (b. (d. Jawab : (a. (b. 5 (c (d Letak vektor dar ttk A,B da C dar segtga ABC masg-masg dber = +, = - da samakak da htuglah pajag ssa. Jawab : 5, 5, 8 = 6. Buktka bahwa ABC merupaka segtga 65. Msalka,,,,letak vektor tegak lurus utuk seg empat ABCD. Buktka bahwa ABCD adalah sebuah jajara gejag jka da haa jka Gambar. 66. Jka dagoal sebuah seg empat salg membag dua,buktka bahwa seg empat merupaka sebuah jajara gejag. 67. Buktka bahwa meda dar sebuah segtga dhubugka dalam satu ttk.

60 68. Msalka seg empat ABCD da E,F,G,H ttk tegah dar ssa. Buktka bahwa EFGH adalah sebuah jajara gejag. 69. Dalam jajar gejag ABCD, ttk E membag dua ss AD. Buktka bahwa dmaa ttk BE dhubugka dega ttk AC membag AC. 7.Letak vektor dar ttk A da B berturut-turut adalah + da. carlah sebuah persamaa gars AB. (b. carlah sebuah persamaa gars ag tegak lurus ke AB pada ttk tegaha. Jawab:(a. ( t( atau t, t atau 7 (b. ( 5 t( atau t 5, t atau = 7.Gambar da grafk betuk maakah ag dtujuka d bawah :, (b. 6, (c., (d. (, (e. Im. Jawab: (a. lgkara (b. elps (c. hperbola (d. lgkara (e. hperbola 7. Carlah sebuah persamaa (a. sebuah lgkara jar-jara dega ttk pusat (-,, (b. pajag lgkara dega ttk pusat pada (, da (,- ag maa sumbu utama mempua pajag. Jawab: (a. atau ( (, (b. (a. (a. REINELDIS EBU WEA NPM : 95 MATEMATIKA 9 A Halama 6

61 Halama 7 7.jelaskasecaragrafswlaahdwaklolehmasg-masgberkut : (a < +, (b Re ( >, (c + >, (d <. 7.meujukkabahwaelps + + = dapatdatakadalampersegpajagdarsebaga = (lhatmasalah (b. AKSIOMA DASAR DARI BILANGAN KOMPLEK 75. megguakadefsblagakomplekssebagapasagablaga real utukmembuktkabahwajkaprodukdarduablagakompleksadalaholmakapadaterak hrdaromorharussamadega ol. 76. buktkahukumkomutatfberkeaadega (a pejumlaha, (b perkala. 77. buktkahukumasosatfberkeaadega (a pejumlaha, (b perkala. 78.(a carblaga real da sedemkasehga (c,d.(, = (a,b d maa (c,d (,. (bbagamaacara (,terkatdegahaslautukpembagablagakompleksdberka d halama? 79. buktkabahwa (cos θ,sθ (cos θ,sθ... (cos θ,sθ = (cos θ + θ θ,s θ + θ θ 8. (a bagamaaadamedefska(a. b d maa adalahblagabulatpostf? (b tetuka(a, b dalam betuk a da b BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS 8.atakasetapblagakompleksberkutdalambetuk polar (a -, (b -+, (c +, (d -, (e -, (f -, (g, (h -. Jawaba. (a cs 5 atau e, (b cs atau e, (c cs 5 atau e, (d cs7 atau e, (e cs 8 atau e, (f cs atau e, (g cs 9 atau e, (h cs atau e 8. tujukabahwa + = 5e (.

62 8. atakadalambetuk polar (a --, (b - Jawaba. (a 5e (, (b 5e 8. gambargrafksetaphalberkutdatujukkadalambetukpersegpajag. (a 6 (cos 5 + s 5, (b cs 9, (c cs 5, (d e, (e 5e, (f e. Jawaba. - +, (b, (c -, (d - -, (e -5 + (5, (f - -( 85.sebuahperjalaapesawat 5 km sebelahteggara, km barat, 5km utara tmur, dakemudatmurlaut km. tetuka (a secaraaaltsda, (bsecaragrafsseberapajauhdakearahmaatudarttkawal. Jawaba. 75km, utaradartmur (sektar 86. tgagaasepertpadagambar. - seumpamasebuahpesawatpadaobjekdtempatka d O. tetuka (a secaragrafsda (b gaasecaraaaltsapa ag dbutuhkautukmecegahobjektersebutbergerak. [gaaserg kal dsebut equlbrat.] 87. buktkabahwapadalgkara = Re, e = e 88. (abuktkabahwar e + r e = r e d maa r = r + r + r r cos(θ + θ θ = ta ( (b samarataka hasl d (a Halama 8 Nama : Atous sak NPM : 96 Jurusa : Peddka Matematka 9 B Tugas : Aalss Varabel Kompleks 8 BILANGAN KOMPLEKS

63 TEOREMA DE MOIVRE S 89. evaluaska setap soal dbawah : 8 cs a 5cs cs c cs 6 6 b cs 5 e As. a5/ 5 / b, c d / / e / / 5 / 6 5 / 5 / e e 6 e d / e Buktka bahwa a s s s b cos cos cos 9. Buktka bahwa solus-solus dar bla dberka cos6, cos7, cs 9. Tujuka bahwa 9. Buktka bahwa 6, cos 5 a cos6 5 / b cos 7 5 a 9. Buktka theorema De movre s petujuk : guaka masalah omor 9 s 8cos cos 6cos s b cos 8s 8s a b t egral egatf / blaga blaga rasoal AKAR-AKAR DARI BILANGAN-BILANGAN KOMPLEKS 95. Carlah setap akar-akar dkas da letak grafka, a, b 5 c d 6 e 6 6 f jawaba : a cs65, cs5 b cs7, cs 99, c cs, cs, d cs 67,5, cs57,5, e cs, cs 6, cs f cs 6, cs8, cs cs7, cs 6 cs,, cs 7,5, cs 7,5 cs5, cs8, cs, cs 96. carlah semua akar-akar dkas da letaka dalam bdag kompleks

64 a c d akar akar kubus dar 8 jawaba : a c d cs 5, cs5, b akar akar seg lm a dar 6 6 akar akar 7 cs, cs, cs b cs 8, cs, cs9, cs 6, cs 6 seg eam dar akar cs65 akar perseg dar, 8 cs,5 cs 5,, 8 cs,5 cs 85,,, cs Selesaka persamaa persamaa a 8, b jawaba : a cs 5,cs5,cs 5,cs b cs, cs6, cs, cs 8, cs 98. Carlah akar-akar perseg dar a 5, b 8 5 a,. b, jawaba : 99. Carlah akar-akar kubus dar --, jawaba, : PERSAMAAN-PERSAMAAN PANGKAT BANYAK. Selesaka persamaa-persamaa dbawah, berlaku semua akar-akar : a 5, b jawaba : a 7/ 5, b, 5. selesaka 6 jawaba :,,,. a Carlah semua akar-akar dar bdag kompleks jawaba, : da b letaka dalam. Buktka bahwa jumlah akar-akar dar a a a... a dmaa a amblka r pada perkala r a r / a dmaa r.. Carlah dua blaga ag jka djumlahka hasla da jka dkalka hasla 8. jawaba :, Halama 9 Akar-akar satua ke

65 5. Tetuka semua (a akar-akar, (b akar-akar 7 satua da tujukka grafka. Jawab : (a =, k =,,, (b, k =,,...,6 6. (a Buktka bahwa + cos 7 + cos + cos 6 + cos 88 = (b Berka gambara grafk dar hasl (a 7. Buktka bahwa cos 6 + cos 7 + cos 8 + cos = da gambarka grafka 8. Buktka hasl jumlah dar semua akar-akar kesatua atau susua ag dambl,,,...( pada perkala adalah ol. 9. Tetuka semua akar-akar dar ( + 5 = ( - 5 Jawab:, ( - / ( + / ( / ( +, ( - / ( +, ( - / ( +, dmaa = Perkala ttk da perkala slag. jka = + 5 da =, tetuka (a, (b, (c, (d, (e, (f, (g, (h. Jawab: (a, (b -7, (c, (d 7, (e, (f, (h 7. Buktka bahwa (a =, (b =. Jka = da =, buktka bahwa (a = cos (, (b = s (. Buktka bahwa (a ( + = +, (b + = +. Tetuka daerah ttk dar sebuah segtga ag tegak lurus pada, +,. Jawab: 7 5. Tetuka daerah ttk dar seg empat ag tegak lurus pada (, -, (,, ( -, da ( -, -. Jawab: 8

66 Kordat kojugt 6. Ubahlah setap lokus berkut mejad betuk kordat kojugt (a = 6, (b =, (c =, (d = + 6. Jawab: (a + = 6, (b =, (c =, (d = - 7. Tulslah setap persamaa berkut mejad ttk koordat (a ( - + = 9, (b - = 5, (c + 6 = 5 Jawab: (a ( ( -, (b ( + ( + = (c ( = Kumpula-kumpula ttk 8. Jka s kumpula dar semua ttk-ttk dmaa a da b blaga rasoal, ag maa terletak d dala perseg / kuadrat ag dtujukka pada gambar dsampg (a Apakah s terbatas? (b Apakah ada ttk batas dar s, jka a jelaska? (c Apakah s tertutup? (d Apakah s tu merupaka ttk-ttk baga luar da terbatas? (e Apakah s terbuka? (f Apakah s pua pasaga? (g Apakah s adalah daerah terbuka / daerah asal (h Apakah hasl akhr dar s? ( Apakah kompleme dar s? (j Apakah s dapat dhtug? (k Apakah s pua prapata? (l Apakah klosure dar s adalah suatu ag prapata? Jawab: (a Ya (b Setap baga ttk atas pada kuadrat merupaka sebuah ttk batas (c Tdak, (d Setap baga ttk merupaka ttk luar, setap ttk pada batasa merupaka ttk batas (e Ya (f Ya (g Ya (h Hasl akhr dar s adalah kumpula dar semua baga ttk da pada batasa dar kuadrat