ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS

ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS

ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS Metode Bagi dua (Bisection Method) Metode Regula Falsi (False Position Method) Metode Grafik Iterasi Titik-Tetap (Fi Point Iteration) Metode Newton-Raphson Metode Secant SOLUSI PERSAMAAN KUADRAT TINGKAT f ( ) a b c 0 b b 4ac a Persamaan di atas memberi akar-akar penyelesaian untuk fungsi aljabar Yaitu nilai-nilai yang memberikan = 0 Kalau persaamaannya = e- -? OVERVIEW OF METHODS Bracketing methods Graphing method Bisection method False position Open methods One point iteration Newton-Raphson Secant method SPECIFIC STUDY OBJECTIVES Memahami konsep konvergensi dan divergensi. Memahami bahwa metode tertutup selalu konvergen, sedangkan metode terbuka kadang-kadang divergen. Konvergensi pada metode terbuka biasanya didapat jika initial guess nya dekat dengan akar sebenarnya. METODE TERTUTUP Graphical Bisection method False position method CARA GRAFIK Plotkan fungsinya dan tentukan dimana memotong sumbu. Lacks precision =e-- Trial and error 10 8 6 4 0 - - -1 0 1 CARA GRAFIK (LIMITED PRACTICAL VALUE) Pembatas atas dan Bawah memiliki tanda sama. Akar tidak ada atau banyak akar Tanda berbeda, jumlah akar-akar ganjil

BISECTION METHOD Memanfaatkan beda tanda dua nilai batas f(l)f(u) < 0 dimana l=lower (batas bawah) dan u=upper (batas atas) Minimal ada satu akar ALGORITHM Pilih u dan l. Cek beda tanda nilai fungsi keduanya f(l)f(u) < 0 Perkirakan akar r = (l + u) / Tentukan interval berikut ada di subinterval atas atau subinterval bawah f(l)f(r) < 0 then u baru = r RETURN f(l)f(r) >0 then l baru = r RETURN f(l)f(r) =0 then root equals r - COMPLETE METODE BAGI DUA Asumsi: Fungsi kontinu dalam interval a0,b0 f (a0 ) f (b0 ) 0 do n = 0,1, m (an bn ) / an 1 an, bn 1 m if f (a n ) f (m) 0, then else a n 1 m, bn 1 bn if bn 1 an 1 or end do f ( m) 0 eit BISECTION METHOD ERROR perkiraanakhir perkiraanawal a 100 perkiraanakhir CONTOH Gunakan bisection method untuk mencari akar-akar persamaan 8 6 = e- - l = -1 u = 1 10 3.7 1 88 4-0.631 0 - - -1

0 1 SOLUTION 10 8 6 4 3.7 1 88 1-0.631 0 - - -1 0 1 SOLUTION 1 0 0.1 06531-0.631 - -1 0 1 FALSE POSITION METHOD Brute Force dari metode bagi dua kurang efisien Menghubungkan

dua nilai batas dengan garis lurus Mengganti kurva menjadi garis lurus memberikan false position Mempercepat perkiraan net estimate, r f(u) l Based on similar triangles f l f u r l r u u f(l) f u l u r u f l f u Nilai f(r) dicek tandanya, kemudian tentukan u dan l yang baru berdasarkan perbedaan tanda seperti pada metode bagi dua REGULA FALSI Asumsi: Fungsi kontinu dalam interval a0,b0 f (a0 ) f (b0 ) 0 do n = 0,1, w [ f (bn )an f (an )bn ] /[ f (bn ) f (an )] an 1 an, bn 1 w if f (an ) f ( w) 0, then else a n 1 w, if end do bn 1 an 1 bn 1 bn or f ( w) 0 eit REGULA FALSI CONTOH Tentukan akar persamaan dari persamaan berikut menggunakan false position method, mulai dengan initial estimate l=4.55 and u=4.65 30 0 = 3-98

10 0-1 0-0 -30-40 4 4.5 5 OPEN METHODS Simple one point iteration Newton-Raphson method Secant method Pada metode tertutup, akar terdapat di antara kedua interval yang dibatasi batas atas dan bawah OPEN METHODS Metode terbuka diharapkan konvergen solution moves closer to the root as the computation progresses Metode terbuka; single starting value, atau two starting values that do not necessarily bracket the root Ada kemungkinan metode ini divergen solution moves farther from the root as the computation progresses The tangent gives net estimate. f(i+1 ) i i+1 f(i) Solution can overshoot the root and potentially diverge 1 0 SIMPLE ONE POINT ITERATION / METODE TITIK TETAP Merubah formula untuk memperkirakan akar Re-arrange fungsi sehingga ada satu nilai pada sebelah kiri dari persamaan Contoh, untuk = - + 3 = 0 Ubah menjadi = ( + 3) / SIMPLE ONE POINT ITERATION Contoh lain, untuk = sin = 0, menjadi = sin + Hitung nilai = g() Perkiraan nilai berikut berdasar pada i+1 = g(i) ITERASI TITIK TETAP CONTOH

Untuk = e- -3 Ubah menjadi g() = e- / 3 Initial guess = 0 16 14 1 10 8 6 4 0 - -4-6 - -1 0 1 Initial guess 0.000 g() 0.333-0.83 0.39 0.071 39.561 0.63-0.018 9.016 a 16 14 1 10 8 6 4 0 - -4-6 - -1 0 0.56 0.005.395

0.58-0.001 0.61 0.58 0.000 0.158 0.58 0.000 0.041 1 METODE NEWTON RAPHSON tangent f(i) i+1 i dy tangent f' d f i 0 f ' i i i 1 rearrange f i i 1 i f ' i METODE NEWTON-RAPHSON NEWTON RAPHSON PITFALLS CONTOH 1 00 80 60 Gunakan metode Newton Raphson untuk mencari akarakar dari = - 11 memakai initial guess i = 3 40 0 0-0 0 4 6 8

10 NEWTON RHAPSON SECANT Include an upper limit on the number of iterations Establish a tolerance, s Check to see if a is increasing Bagaimana jika turunan fungsinya sulit dipecahkan? SECANT METHOD SECANT METHOD Memperkirakan turunan menggunakan finite divided difference f i 1 f i f ' i 1 i APAKAH finite divided difference? HINT: dy / d = y / Masukkan FDD pada rumus untuk Newton Raphson f i i 1 i f ' i f i i 1 i i 1 i f i 1 f i Masukkan perkiraan dengan finite difference pada rumus untuk Newton Raphson SECANT METHOD METODE SECANT SECANT METHOD f i i 1 i i 1 i f i 1 f i Membutuhkan dua nilai perkiraan awal tidak harus berbeda tanda, membedakan dengan metode tertutup, false position method. FALSE POSITION SECANT METHOD 1 1 new est. Perkiraan baru dipilih dari potongan garis dengan sumbu new est. Perkiraan baru bisa diluar batas kurva SYSTEMS OF NON-LINEAR EQUATIONS Kita telah mengenal sistem persamaan linier = a11 + a+... ann - C = 0 dimana a1, a... an dan C adalah konstanta Maka, perhatikan sistem persamaan non-linier y = - + + 0.5 y + 5y = 3 Selesaikan dan y

SYSTEMS OF NON-LINEAR EQUATIONS Buat persamaan sama dengan nol u = + y 10 v = y + 3y 57 u(,y) = + y 10 = 0 v(,y) = y + 3y 57 = 0 Solusi adalah nilai-nilai dan y yang akan memberikan nilai fungsi u dan v sama dengan nol. METODE TITIK TETAP Mulai dengan nilai awal 0 = 1.5 dan y0 = 3.5 1 10 0 y 0 y1 57 y 0 3 1 METODE NEWTON RHAPSON u(,y) dan v(,y) vi u vi ui y y i 1 i ui vi ui vi y y vi u ui vi yi 1 yi ui vi ui vi y y Versi dua persamaan untuk Newton-Raphson DETERMINAN JACOBIAN (TAMBAHAN SAJA) vi u ui vi y y i 1 i ui vi ui vi y y vi u ui vi yi 1 yi ui vi ui vi y y THE DENOMINATOR OF EACH OF THESE EQUATIONS IS FORMALLY REFERRED TO AS THE DETERMINANT OF THE JACOBIAN JACOBIAN (TAMBAHAN JUGA) The general definition of the Jacobian for n functions of n variables is the following set of partial derivatives: f1 1 f ( f1, f,..., f n ) 1 ( 1,,..., n )... f n 1 f1 f... f n............ f1 n f n... f n n JACOBIAN (INI JUGA TAMBAHAN) The Jacobian can be used to calculate derivatives from a function in one coordinate sytem from the derivatives of that same function in another coordinate system. Equations u=f(,y), v=g(,y), then and y can be determined as functions of u and v (possessing first partial derivatives) as follows: u f (, y ); f f / y; f y f / v g (, y ); g g / ; g y g / y gy u f f y g g y g y u f f y g gy With similar functions for v and yv. The determinants in the denominators are eamples of the

use of Jacobians. CONTOH u = 3 + y v = y + 4y 3 Mulai dengan nilai awal 0 = 0.5 dan y0 = 1.5 v v u u 8y; 4y ; ; 6 y y y