Modul Dasar dasar C. 1. Struktur Program di C++

Transkripsi

1 Modul Dasar dasar C I 1. Struktur Program di C++ Dalam bahasa pemrograman C++ strukturnya adalah sebagai berikut: a. Header. Ex: #include<iostream.h> b. Main adalah isi dari program diawali {. dan diakhiri dengan..} Contoh: 1. #include <iostream.h> #include<math.h> 2. #define square (x) ((x)*(x)) 3. float masukandata(void); 4. float luasp(float sisi) void tampil(float luasnya); 7. int main() 8. { 9. float sisi; 10. float luas; 11. sisi = masukandata(); 12. luas = luasp(sisi); 13. tampil(luas); 14. } float masukandata(void) 17. { 18. float input; 19. cout << Masukkan sisi bujursangkar = ; 20. cin >> input; 21. return (input); 22. } float luasp(float sisi) 25. { 26. float luas; 27. luas = square(sisi); 28. return(luas); 29. } 30. void tampil (float luas) 31. { 32. cout << \n\nluas Bujursangkarnya adalah = << luas << persegi ; 33. } Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 1

2 2. Fungsi Fungsi dalam suatu program sangat berguna untuk membuat source code dari program tersebut menjadi ringkas dan padat. Suatu fungsi dalam source code akan dipanggil dan dikerjakan sesuai dengan urut-urutan source code-nya. Fungsi harus mengembalikan suatu nilai, baik isi maupun kosong, yang disebut void. Latihan: 1. #include <iostream.h> 2. int tambah (int x, int y) 3. { 4. cout << Berada di dalam fungsi tambah ( )\n ; 5. cout << Angka I = ; 6. cin >> a; 7. cout << Angka II = ; 8. cin >> b; 9. cout << \npanggil fungsi tambah ( )..\n ; 10. c = tambah(a,b); 11. cout << \n Kembali ke fungsi main ( )\n ; 12. cout << Hasil penjumlahan << a << dan << b << adalah << c << \n ; 13. cout << \nselesai \n ; 14. return 0; 15. } 3. Input dan Output Program komputer berfungsi mengolah dan memroses suatu data yang diinputkan menjadi informasi yang dioutputkan menjadi informasi yang dioutputkan. Statemen input dalam c++, cin dengan cara penulisannya : cin >> a; statemen output dalam c++, cout dengan cara penulisan cout << ; Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 2

3 4. Analisa Program Menganalisa bagian perbagian dan menjelaskan dari kegunaan masing-masing bagian program Contoh: #include <iostream.h> // mencari (#) preprosesor (include) file iostream.h dalam (< >) yang digunakan untuk input dan output. int main () // menjalankan fungsi main yang dipanggil secara otomatis leh sistem operasi yang akan mengembalikan nilai integer. 1. { 2. int nomer; 3. cout << Masukkan suatu angka ; 4. cin >> nomer; 5. cout << Angkanya adalah << number; 6. return 0; 7. } Tugas 1. Buatlah source code dari program yang memiliki algoritma sebagai berikut : a. Masukkan suatu kalimat = Hallo, ini program pertamaku b. Tulis/ tampilkan kalimat yang pernah dimasukkan 2. Analisa program tersebut. Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 3

4 Modul Bilangan Random II Tujuan praktikum: Memahami pseudo-random pada komputer dan cara membangkitkannya. Mengetahui batasan-batasan pseudo-random untuk tipe integer. Mengetahui cara memanipulasi untuk membangkitkan bilangan random tipe float menggunakan benih yang dibangkitkan dengan fungsi timer(). Mengetahui cara membangkitkan bilangan random menggunakan fungsi standard rand() dan srand() pada C. Dasar teori: Bahasa pemrograman C menyediakan fungsi librari rand() untuk membangkitkan bilangan random tipe integer antara 0 sampai dengan RAND_MAX, yang adalah harga maksimum yang bergantung pada sistem komputer yang digunakan. Pada modul 1 kita akan mencoba menggunakan fungsi rand() dan memodifikasi output yang dihasilkan. Bilangan random yang dihasilkan oleh komputer adalah pseudo-random (buatan), yang bukan benar-benar bilangan random seperti melempar uang logam dalam ilmu statistik. Output dari fungsi rand() menghasilkan bilangan random yang cukup valid namun pada implementasinya akan bergantung pada librari dari sistem komputer yang digunakan. Pada kuliah Metode Numerik akan dipelajari pentingnya pentingnya ke-random-an dari pseudo-random komputer dan aplikasinya pada bidang ilmu pengetahuan. Fungsi yang lain adalah srand(), yang berfungsi untuk inisialisasi benih untuk pseudo-random dengan rand(). Dengan benih pseudo-random yang berbeda akan dihasilkan urutan bilangan random yang berbeda pula. Batan atas urutan bilangan random RAND_MAX adalah system-dependend yang didefinisikan pada stdlib.h, dan untuk mengetahui harga batas atas bilangan integer bilangan random yang dihasilkan tersebut dapat digunakan dengan program singkat sebagai berikut: Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 4

5 1. #include <stdio.h> 2. #include <stdlib.h> 3. int main() 4. { 5. printf("%d\n", RAND_MAX); 6. return 0; 7. } (Buatlah program di atas pada komputer, lalu compile dan jalankan) Fungsi rand() mengembalikan harga-harga random tipe integer antara 0 RAND_MAX. Program di bawah ini adalah cara menggunakan fungsi rand(). 1. #include <stdio.h> 2. #include <stdlib.h> 3. int main() 4. { 5. int i; 6. for(i=0; i<5; i++) 7. { 8. printf("%d\n",rand()); 9. } 10. return 0; 11. } (Buatlah program di atas pada komputer, lalu compile dan jalankan berulang-ulang dan catat hasil outputnya). Output program di atas adalah urutan bilangan random dengan harga yang selalu sama. Hal itu disebabkan inisialisasi benih adalah identik setiap waktu. Untuk mendapatkan urutan harga random yang berbeda pada setiap program tersebut dijalankan anda dapat menggunakan fungsi time() untuk membangkitkan benih dengan fungsi srand(). Fungsi srand() menggunakan unsigned int sebagai argument dan me-set benih random yang akan dipakai untuk membangkitkan bilangan random dengan rand(). Pada banyak aplikasi, penggunaan fungsi time() untuk membangkitkan benih adalah cara yang baik dan valid. Modifikasi program anda sehingga menjadi program di bawah ini: 1. #include <stdio.h> 2. #include <stdlib.h> 3. #include <time.h> 4. int main() Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 5

6 5. { 6. int i; 7. /* set benih untuk rand() */ 8. srand((unsigned)time(null)); 9. for(i=0; i<5; i++) { 10. printf("%d\n", rand()); 11. } 12. return 0; 13. } Untuk membangkitkan bilangan random pada range tertentu dapat dilakukan dengan cara me-map bilangan integer yang dikembalikan oleh fungsi rand(). Dua program berikut membangkitkan bilangan random tipe float. 1. #include <stdio.h> 2. #include <stdlib.h> 3. #include <time.h> 4. int main() 5. { 6. float x; 7. int i; 8. /* set benih untuk rand() */ 9. srand((unsigned)time(null)); 10. for(i=0; i<5; i++) { 11. x = (float) rand()/(rand_max); 12. printf("%f\n", x); 13. } 14. return 0; 15. } (Buatlah kedua program tersebut, lalu compile dan jalankan. Perhatikan dan catat output dari masing-masing program). Tugas: Buatlah program dengan fungsi rand() untuk membangkitkan bilangan random antara 0 dan 99. Kemudian modifikasi program anda agar keluar dari loop pada saat bilangan random yang dibangkitkan melampui angka 88. Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 6

7 Modul Operasi Matrix III Tujuan praktikum: Mengetahui cara inisialisasi dan memanipulasi data elemen dari sebuah matrix Dapat melakukan operasi matrix, penambahan, pengurangan, perkalian, inverse dll. dengan program komputer Dapat menggunakan array 2D pada C untuk melakukan operasi matrix Dasar teori: Sebuah matrix terdiri dari array segiempat dari elemen-elemen yang ditandai dengan simbul [A]. Individual elemen-elemen dari sebuah matrix [A] dinotasikan dengan a ij. Set dari elemen-elemen horizontal disebut baris dan set dari elemen-elemen vertikal disebut kolom. Dengan demikian sebuah program matrix dapat diimplementasikan menggunakan array 2D. Contoh: int a[2][3]; a[0][0] a[0][1] a[0][2] a[1][0] a[1][1] a[1][2] Array 2D adalah array dari arrays, sehingga deklarasi di atas adalah array dari dua array integer. Matrix di atas mempunyai jumlah baris 2 dan jumlah kolom 3. Berikut adalah contoh program untuk mengisi data elemen-elemen 1 s/d 6 dan me-print elemen-elemen dalam baris dan kolomnya. 1. #include<iostream.h> 2. #include<conio.h> 3. void main(){ 4. clrscr(); 5. int a[3][3]; 6. int b[3][3]; 7. int c[3][3]; 8. int i,j; 9. for (i=1;i<3;i++) { 10. for (j=1;j<3;j++) { 11. cout << "Masukkan elemen matrik A " << i << "," << j << " : "; 12. cin >> a[i][j]; 13. } 14. } Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 7

8 15. cout << "Matrik A : " <<endl; 16. for (i=1;i<3;i++) { 17. for (j=1;j<3;j++) { 18. cout << a[i][j] << " "; 19. } 20. cout << endl; 21. } 22. } Penambahan atau pengurangan dua buah matrix [A] dan [B] dapat dilakukan dengan cara menambahkan atau mengurangkan masing elemen yang bersesuaian dari tiap-tiap matrix [A] dan [B] tersebut. [C] = [A] + [B] cij aij bij [C] = [A] [B] cij aij bij Program penambahan dua buah matrix 2 x 2. Pada program penambahan matrix di bawah terdapat dua buah function mat_read (int mat[2][2]) dan function mat_print (int mat[2][2]) belum dibuat. Buatlah sendiri kedua function tersebut dengan mengacu potongan program di atas dan kemudian selesaikan program penambahan dua buah matrix di bawah. Program untuk menambah dua matrix 2 x 2: 1. #include<iostream.h> 2. #include<conio.h> void main(){ 5. clrscr(); 6. int a[3][3]; 7. int b[3][3]; 8. int c[3][3]; 9. int i,j; for (i=1;i<3;i++) { 12. for (j=1;j<3;j++) { cout << "Masukkan elemen matrik A " << i << "," << j << " : "; 15. cin >> a[i][j]; 16. } 17. } cout << "Matrik A : " <<endl; 20. for (i=1;i<3;i++) { 21. for (j=1;j<3;j++) { Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 8

9 22. cout << a[i][j] << " "; } 25. cout << endl; 26. } for (i=1;i<3;i++) { 29. for (j=1;j<3;j++) { cout << "Masukkan elemen matrik B " << i << "," << j << " : "; 32. cin >> b[i][j]; 33. } 34. } cout << "Matrik B : " <<endl; 37. for (i=1;i<3;i++) { 38. for (j=1;j<3;j++) { cout << b[i][j] << " "; } 43. cout << endl; 44. } for (i=1;i<3;i++) { 47. for (j=1;j<3;j++) { 48. c[i][j]=a[i][j]+b[i][j]; 49. } 50. } cout << "Matrik C : " << endl; 53. for (i=1;i<3;i++) { 54. for (j=1;j<3;j++) { 55. cout << c[i][j] << " "; 56. } 57. cout << endl; 58. } 59. } Perkalian sebuah matrix [A]: m x n, dengan bilangan skalar c, dapat dihitung sebagai berikut: c a 11 c a c a 1n [B] = c [A] = c a 21 c a c a 2n c a m1 c a m2... c a mm Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 9

10 Sedang perkalian dua buah matrix [C] = [A] [B] dapat dilakukan dengan persamaan sebagai berikut (ingat jumlah baris-kolom dari matrik [C]). c ij n k 1 a ik b kj Inverse dari sebuah matrix [A] adalah [A] -1 yang dapat dihitung sebagai berikut: [A] [A] -1 = [A] -1 [A] = [I] dengan [I] adalah matrix identitas. Untuk matrix inversi dari matrix 2 x 2 inverse matrix dapat dihitung dengan jauh lebih sederhana sebagai berikut. [ A ] a a a 12 a 21 a a a a Tugas: Buat program perkalian matrix 2 x 2 dengan bilangan skalar c yang dapat divariasi. Kemudian tentukan matrix inverse dari matrix 2 x 2 tersebut. Buat program perkalian matrix persegi m x n dengan m dan n = 4. Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 10

11 Modul Metode Jacobi IV Tujuan praktikum: Dapat memahami penyelesaian sistem persamaan linear dimensi banyak dengan iterasi Jacobi. Memahami metode trial-and-error dengan metode Jacobi. Dapat membuat program metode numerik Jacobi untuk mencari akar-akar persamaan linear suku banyak. Dasar teori: Metode Jacobi merupakan salah satu metode penyelesaian sistem persamaan linear (baca: matriks) berdimensi banyak (baca: lebih dari 2). Untuk matriks dengan dimensi kecil (kurang atau sama dengan dua), lebih efektif diselesaikan dengan aturan eliminasi atau metode Cramer. Sistem persamaan linear dapat di-representasikan (dimodelkan) dalam bentuk matriks sebagai berikut: Sebagai contoh: 3x1 + x2 - x3 = 5 4x1 + 7x2-3x3 = 20 2x1-2x2 + 5x3 = 10 dapat di-representasikan sebagai: Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 11

12 Tujuannya supaya mudah untuk diselesaikan secara matematis. Aturan Jacobi: Iterasi Jacobi memiliki rumus persamaan sebagai berikut: atau Iterasi berakhir jika: Atau perhitungan saat ini tidak berbeda jauh (baca: mirip) dengan perhitungan sebelumnya. Jika di-implementasikan ke contoh di atas menjadi: Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 12

13 Jika inisialisasi nilai awal x1, x2 dan x3 = 0, maka: Iterasi berikutnya ditunjukkan pada tabel berikut ini: Jika diperhatikan pada tabel di atas, nilai x1, x2 dan x3 semakin stabil (perbedaan nilai saat ini dengan nilai sebelumnya semakin kecil). Proses ini dapat diteruskan sesuka hati sampai diperoleh toleransi error yang diinginkan. Menulis Kode Program Iterasi Jacobi 1. #include<iostream.h> 2. void main() 3. { 4. int i, j, k, l, ukuran, iterasi; 5. float f[10], a[10][10],b[10],x[10], toleransi, sigma[10]; 6. Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 13

14 7. //input ukuran matrik 8. cout << "Masukkan besar matriks : "; 9. cin >> ukuran; Step #4 : Input matriks A dan matriks B //masukkan matrik a 14. for (i=1;i<=ukuran;i++){ 15. for (j=1;j<=ukuran;j++){ 16. cout << "Masukkan a[" << i << "][" << j << "] = "; 17. cin >> a[i][j]; 18. } 19. } //masukkan matrik b 22. for (i=1;i<=ukuran;i++){ 23. cout << "Masukkan elemen matrik b[" << i << "] = "; 24. cin >> b[i]; 25. } //inisialisasi nilai awal 28. for (i=1;i<=ukuran;i++){ 29. x[i]=0; 30. } toleransi = 10; 33. iterasi = 0; while (toleransi > ) 36. { 37. iterasi++; 38. cout << " \n"; 39. cout << "iterasi ke " << iterasi << endl; if (iterasi > 50) 42. break; //menghitung jumlah total sigma 46. for (k=1;k<=ukuran;k++) { 47. sigma[k] = 0; 48. for (l=1;l<=ukuran;l++) { if (k!= l) { 51. sigma[k] = sigma[k] + (a[k][l]*x[l]); 52. } // tutup if k!= l 53. } // tutup for l f[k] = (b[k] - sigma[k])/a[k][k]; 56. cout << "x[" << k << "] = " << f[k] << endl; 57. } // tutup for k 58. Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 14

15 59. toleransi = (f[1]-x[1])+(f[2]-x[2])+(f[3]-x[3]); 60. if (toleransi < 0) { 61. toleransi *= -1; 62. } for (i=0;i<=ukuran;i++) { 65. x[i] = f[i]; 66. } } //tutup while 69. } //tutup void Latihan: 1. Ujilah Program di atas dengan beberapa matrik dengan beberapa dimensi. 2. Lakukan analisis program di atas Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 15

16 Modul Metode Bisection V Tujuan praktikum: Dapat memahami penyelesaian persamaan f(x) = 0 dan mencari akar-akar persamaannya dengan metode penggambaran grafis. Memahami metode trial-and-error dengan metode Bisection untuk mencari akarakar persamaan f(x) = 0. Dapat membuat program metode numerik Bisection untuk mencari akar-akar persamaan f(x) = 0. Dasar teori: Metode paling sederhana untuk mencari akar-akar persamaan f(x) = 0 adalah dengan me-plot fungsi yang dicari akar-akarnya. Akar-akar persamaan adalah harga-harga f(x) yang memotong sumbu x. Metode ini biasa disebut metode grafis. Contoh: Gunakan metode grafis untuk menentukan koefisien penurunan parasut c yang turun dengan massa m = 68.1 kg, kecepatan v = 40 m/s, pada waktu turun t = 10 detik. Grafitasi bumi adalah g = 9.8 m/detik2. gm c ( c / m) t Persamaan: f ( c) 1 e v f(c) c (ordinat) f(c) (absis) Akar persamaan c Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 16

17 Akar persamaan didapatkan c = Cara mengecek kebenaran dari estimasi grafis di atas adalah dengan memasukkan kembali harga tersebut ke dalam persamaannya f (14.75) (14.75) 1 e Anda juga dapat mengecek validitasnya dengan mencari harga kecepatannya. v.8(68.1) (14.75 / 68.1) 1 e yang harganya mendekati kecepatan jatuh parasut v = 40 m / detik. Metode Bisection: Secara umum jika f(x) adalah berharga real dan kontinyu pada interval x x dan l u harga-harga f x ) dan f x ) mempunyai tanda yang berbeda, maka berlaku ( l ( u persamaan f ( x ) f ( x ) 0. Dan paling tidak akan ada satu persamaan yang berharga l u di antara x x. l u Mencari akar-akar persamaan dengan metode Bisection adalah dengan membagi dua interval x x kemudian mencari akar-akarnya pada tiap-tiap interval, lalu membagi l u dua kembali interval yang memuat akar-akar persamaannya. Step-step algoritma dari metode Bisection adalah sebagai berikut: Pilih harga rendah x l dan harga tinggi x u di mana akar-akar persamaanya akan termuat di antaranya. Tentukan estimasi akar persamaan x r xl xu 2 Evaluasi hasilnya dengan cara sebagai berikut: a. Jika f ( x ) f ( x ) 0, maka akar persamaan yang dicari ada pada interval l u bawah. Maka set x x dan kembali ke step 2. u r b. Jika f ( x ) f ( x ) 0, maka akar persamaan yang dicari ada pada interval l u atas. Maka set x x dan kembali ke step 2. l r c. Jika f ( xl ) f ( xu ) 0, maka akar persamaan yang dicari adalah x r. Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 17

18 Program mencari akar persamaan dengan metode Bisection: /* User perlu memdefinisikan fungsi yang dicari akarnya sebagai fungsi pada program dengan nama: ffunction. Contoh diberikan pada program ini. */ 1. #include<iostream.h> 2. void main() { 3. float a,b,c,fa,fb,fc,konvergensi; 4. int iterasi; cout << "Masukkan Nilai A : "; 7. cin >> a; 8. cout << "Masukkan Nilai B : "; 9. cin >> b; konvergensi=1; 12. iterasi=0; 13. while (konvergensi > ) 14. { 15. c=(a+b)/2; fa=(2*a)+3; 18. fb=(2*b)+3; 19. fc=(2*c)+3; if ((fc*fb) > 0) 22. b=c; 23. else 24. a=c; konvergensi=a-b; 27. if (konvergensi < 0) 28. konvergensi=konvergensi*-1; iterasi++; 31. } cout << "Jumlah iterasi : " << iterasi << endl; 34. cout << "Akar persamaan : " << a <<endl; } Tugas: Buatlah program untuk mencari akar-akar persamaan pada metode grafis di atas menggunakan metode Bisection. Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 18

19 Modul Metode Secant VI Tujuan praktikum: Mempelajari pemrograman komputer untuk menyelesaikan persamaan linear simultan Mempelajari teknik metode secant untuk menyelesaikan persamaan non linear Dasar teori: Metode Secant Metode ini juga pengembangan dari metode Interpolasi Linier. Metode ini dapat disebut metode Ekstrapolasi Linier. Pada metode ini fungsi f(x 1 ) tidak perlu berlawanan tanda dengan f(x 2 ), namun dipilih dua harga yang dekat dengan akar sebenarnya yang ditunjukkan oleh fungsi dari kedua titik tersebut. Algoritma dari metode ini adalah : 1. Memilih harga pendekatan awal, x 1 dan x Menentukan harga x 3 x 2 ( x 2 f ( x2) x1 ) ( f ( x ) f ( x )) Jika f(x 3 ) toleransi, maka harga x 3 adalah harga x yang dicari, bila tidak dilanjutkan ke tahap 4. baru 4. Jika f(x 1 ) > f(x 2 ), maka x 1 = x 2, jika tidak maka x baru 1 = x 1. Kemudian menentukan harga x baru 2 = x 3, dan kembali ke tahap 2. Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 19

20 Latihan: 1. #include<iostream.h>; 2. void main() 3. { 4. float x1,x2,x3,y1,y2,toleransi; 5. int iterasi; 6. cout << "Masukkan X1 : "; 7. cin >> x1; 8. cout << "Masukkan X2 : "; 9. cin >> x2; 10. toleransi=2; 11. iterasi=1; 12. x3=0; 13. while (toleransi > ) { cout << "Iterasi " << iterasi << endl; 16. cout << "X2 = " << x2 << endl; 17. cout << "X3 = " << x3 << endl; y1=x1*x1-10; 20. y2=x2*x2-10; x3=(-(y1*x2)+(y2*x1))/(y2-y1); 23. cout << "X3 : " << x3 << endl; toleransi=(x3*x3)-10; 26. if (toleransi<0) { 27. toleransi*=-1; 28. } 29. cout << "Toleransi = " << toleransi << endl; 30. x1=x2; 31. x2=x3; iterasi++; 34. } 35. cout << "Akar Persamaan = " << x3 << endl; 36. } Tugas: 1. Pilih input persamaan yang sesuai sehingga program di atas dapat dijalankan 2. Tulis jawaban dari persamaan anda dalam selembar kertas dan dikumpulkan pada akhir praktikum Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 20

21 Modul Metode Regula Falsi VII Tujuan praktikum: Mempelajari pemrograman komputer untuk menyelesaikan persamaan non linear dengan metode regula falsi Dasar teori: Metode biseksi dapat diperbaiki apabila proses penetuan interval tidak perlu setengah dari interval sebelumnya. Jika bisa dicari interval yang lebih baik maka proses penyelesaian akan memakan waktu yang lebih cepat dengan jumlah iterasi yang lebih sedikit. Metode regula falsi titik xc ditentukan dari perpotongan garis linear g(x) yang menghubungkan f(xa) dan f(xb) dengan y=0 Perhatikan grafik berikut: Xc dicari dengan persamaan : x x c a f ( x a f ( x b )( x b ) x f ( x a a ) ) Sama dengan metode biseksi jika f(xc)*f(xb)<0 maka xb=xc Jika f(xc)*f(xb)>0 maka xa=xc. Pada gambar dengan bertambahnya iterasi, nilai xc akan konvergen ke akar persamaan (penyelesaian). Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 21

22 Proses iterasi berhenti jika selisih nilai xc pada suatu iterasi dengan xc pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai toleransi error yang diberikan Latihan: Tugas: 1. #include<iostream.h>; 2. void main() 3. { 4. float x1,x2,x3,y1,y2,toleransi; 5. int iterasi; 6. cout << "Masukkan X1 : "; 7. cin >> x1; 8. cout << "Masukkan X2 : "; 9. cin >> x2; 10. toleransi=2; 11. iterasi=1; 12. x3=0; 13. while (toleransi > ) { cout << "Iterasi " << iterasi << endl; 16. cout << "X2 = " << x2 << endl; 17. cout << "X3 = " << x3 << endl; y1=x1*x1-10; 20. y2=x2*x2-10; x3= cout << "X3 : " << x3 << endl; toleransi=(x3*x3)-10; 27. if (toleransi<0) { 28. toleransi*=-1; 29. } 30. cout << "Toleransi = " << toleransi << endl; 31. x1=x2; 32. x2=x3; iterasi++; 35. } 36. cout << "Akar Persamaan = " << x3 << endl; 37. } 3. Pilih input persamaan yang sesuai sehingga program di atas dapat dijalankan 4. Tulis jawaban dari persamaan anda dalam selembar kertas dan dikumpulkan pada akhir praktikum Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 22

23 Modul Persamaan Diferensial VIII Tujuan praktikum: Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan-persamaan diferensial biasa beserta masalah syarat awalnya. Mahasiswa mampu menyelesaikan sistem linear beserta masalah syarat awalnya. Mahasiswa dapat melakukan studi lanjut tentang persamaan diferensial. Dasar teori: Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi dengan turunanturunannya. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri 1. #include<iostream.h> 2. #include<math.h> 3. void main() 4. { 5. int a,i,derajat; 6. float hasil,hasil1,x,koef[6],koef1[6]; 7. cout << "Masukkan derajat tertinggi dari persamaan : "; 8. cin >> derajat; 9. cout << "Masukkan nilai x : "; 10. cin >> x; 11. for (i=derajat;i>=0;i--) 12. { 13. cout << "Masukkan koef dari x^"<< i << " : "; 14. cin >> koef[i]; 15. } 16. cout << "Persamaan yang anda masukkan adalah :\n "; 17. cout << "f(x) = "; 18. hasil=0; 19. for (i=derajat;i>=1;i--) 20. { 21. cout << koef[i] << "x^" <<i<< " + "; 22. hasil+=(koef[i]*pow(x,i)); 23. } 24. cout << koef[0]<< "\n"; 25. hasil+=koef[0]; 26. cout << "f(" <<x<< ") : " << hasil <<endl; cout << endl; 29. cout << "Turunan dari persamaan adalah : " <<endl; 30. cout << "f`(x) = "; Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 23

24 31. hasil1=0; 32. for (a=derajat-1;a>=1;a--) 33. { 34. koef1[a]=koef[a+1]*(a+1); 35. cout << koef1[a] <<"x^" << a << " + "; 36. hasil1+=(koef1[a]*pow(x,a)); 37. } 38. cout << koef[1] << endl; 39. hasil1+=koef[1]; 40. cout << "f`(" <<x<< ") : " << hasil1 <<endl; 41. } Tugas: 1. Amati program di atas, jalankan dengan memasukkan data beberapa derajat pangkat dan koefisien masing-masing pangkat tersebut 2. Tulis persamaan dan jawaban (hasil turunan) dan dikumpulkan pada akhir praktikum Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 24

25 Modul Iterasi Newton IX Tujuan praktikum: Mahasiswa mampu menyelesaikan persamaan-persamaan non linear dengan metode iterasi regula falsi Dasar teori: Metode Newton-Raphson Metode ini menggunakan fungsi derivatif sebagai fungsi garis singgung. Algoritma dari metode ini adalah : 1. Memilih harga pendekatan awal, x Menentukan harga x 2 x 1 f ( x1 ) f '( x ) 1 3. Jika f(x 2 ) toleransi, maka harga x 2 adalah harga x yang dicari, bila tidak dilanjutkan ke tahap Menetukan harga x 1 baru = x 2. Kemudian kembali ke tahap 2. Latihan: 1. #include<iostream.h>; 2. #include<math.h>; Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 25

26 Tugas: 3. void main() 4. { 5. float x1,x2,toleransi; 6. int iterasi; 7. cout << "Masukkan X1 : "; 8. cin >> x1; toleransi=2; 11. iterasi=1; 12. x2=0; while (toleransi > ) { cout << "Iterasi " << iterasi << endl; 17. cout << "X1 = " << x1 << endl; x2=x1-((((2*x1*x1)-(10*x1)+12))/((4*x1)-10)); 20. cout << "X2 : " << x2 << endl; toleransi=(x2-x1); 23. if (toleransi<0) 24. { 25. toleransi*=-1; 26. } 27. cout << "Toleransi = " << toleransi << endl; 28. x1=x2; iterasi++; 31. } 32. cout << "Akar Persamaan = " << x2 << endl; 33. } 1. Amati program di atas, jalankan dengan persamaan yang dapat diinput. Modul Praktikum Komputasi Numerik, Teknik Informatika, STTA Yogyakarta 26