SolusiPersamaanNirlanjar

Transkripsi

1 SolusiPersamaanNirlanjar Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh; Rinaldi Munir(IF-STEI ITB) Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 1

2 RumusanMasalah Persoalan: Temukan nilai yang memenuhi persamaan f() = 0, yaitunilai= ssedemikiansehinggaf(s) = 0. Nilai = s disebutakarpersamaanf() = 0. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 2

3 Contoh persoalan dalam bidang elektronika: Suatu arus osilasi dalam rangkaian listrik diberikan oleh I = 10e -t sin(2π t) yang dalam hal ini t dalam detik. Tentukan semua nilai t sedemikan sehingga I = 2 ampere. Persoalan ini adalah mencari nilai t sedemikian sehingga: 10e -t sin(2π t) 2 = 0 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 3

4 Metode Pencarian Akar 1. Metode tertutup(bracketing method) mencariakardidalamselang[a, b]; Selang[a, b] sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar.; Dengankatalain, lelarannyaselalukonvergen(menuju) keakar, karena itu metode tertutup kadang-kadang dinamakan juga metode konvergen. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 4

5 2. Metode terbuka tidak memerlukan selang[a, b] yang mengandung akar mencari akar melalui suatu lelaran yang dimulai dari sebuah tebakan(guest) awal, pada setiap lelaran kita menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati(konvergen), atau mungkin juga menjauhinya(divergen). Karena itu, metode terbuka tidak selalu berhasil menemukanakar, kadang-kadangkonvergen, kadangkala ia divergen Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 5

6 MetodeTertutup Diperlukan selang[a, b] yang mengandung minimal satu buah akar. Syaratcukupkeberadaanakar: Jikaf(a) f(b) < 0 danf() menerus di dalam selang[a, b], maka paling sedikit terdapatsatubuahakarpersamaanf() = 0 didalam selang[a, b]. Dengan kata lain: selang[a, b] harus berbeda tanda pada nilai-nilai fungsinya supaya terdapat minimal 1 buah akar. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 6

7 y = f() akar a b Syarat cukup keberadaan akar Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 7

8 Kondisi yang mungkin terjadi: 1. f(a)f(b) < 0, maka terdapat akar sebanyak bilangan ganjil a b a b 2. f(a)f(b) > 0, maka terdapat akar sebanyak bilangan genap (termasuk tidak ada akar) a b a b Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 8

9 Cara menentukan selang yang cukup kecil dan mengandung akar: 1. Membuat grafik fungsi di bidang X-Y, lalu melihat dimanaperpotongannyadengansumbu-x. 2. Membuat tabel yang memuat nilai-nilai fungsi padapadatitik-titikabsisyang berjaraktetap(h). Nilai h dibuat cukup kecil. (lihat contoh berikut) Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 9

10 Contoh:Tabelnilai-nilaif() = e -5 2 mulaidaria = -0.5 sampaib = 1.4 dengankenaikanabsissebesarh = f() Selang-selang yang dapat dipilih dan mengandung akar: [-0.40, -0.30] [0.60, 0.70] [0.50, 0.70] Bisa dipilih, tetapi cukup lebar [-0.50, -0.20] Bisa dipilih, tetapi cukup lebar Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 10

11 Metode Tertutup ada dua: 1. Metodebagidua 2. Metoderegula-falsi Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 11

12 MetodeBagidua(bisection method) [a, b] bagi dua di = c [a, c] [c, b] f(a)f(c) < 0? ya tidak selang baru: [a, b] [a, c] selang baru: [a, b] [c, b] Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 12

13 Proses pembagian selang[a, b] dengan metode bagidua y = f() a c 0 c 1 b c 2 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 13

14 Kondisi berhenti lelaran dapat dipilih salah satu daritigakriteriaberikut: 1. Lebarselangbaru: a -b < ε, yang dalamhalini ε adalah nilai toleransi lebar selang yang mengurung akar. 2. Nilaifungsidihampiranakar: f(c) < µ, yang dalamhalini µ adalah nilai yang sangat kecil mendekati Galatrelatifhampiranakar: (c baru -c lama )/c baru < δ, yang dalamhalini δadalahgalatrelatifhampiranyang diinginkan. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 14

15 procedure BagiDua(a,b: real); { Mencari akar f()=0 di dalam selang [a,b] dengan metode bagidua K.Awal : a dan b adalah ujung-ujung selang sehingga f(a)*f(b) < 0, nilai a dan b sudah terdefinisi. K.Akhir : Hampiran akar tercetak di layar. } const epsilon1 = ; {batas lebar selang akhir lelaran} epsilon2 = ; {bilangan yang sangat kecil, mendekati nol} begin repeat c:=(a+b)/2; { titik tengah [a,b]} if f(a)*f(c) < 0 then b:=c {selang baru [a,b]=[a,c]} else a:=c; {selang baru [a,b]=[c,b]} until (ABS(a-b)< epsilon1) or (f(c)) < epsilon2); { c adalah akar persamaan } writeln( Hampiran kar =, :10:6); End; Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 15

16 Contoh1: Temukanakarf() = e -5 2 didalamselang[0, 1] dan ε= Penyelesaian: r a c b f(a) f(c) f(b) Selang baru Lebarnya [c, b] [a, c] [a, c] [c, b] [c, b] [a, c] [c, b] [a, c] [c, b] [c, b] [c, b] [c, b] [a, c] [a, c] [c, b] [a, c] [c, b] Jadi, hampiran akarnya adalah = Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 16

17 Kasus yang Mungkin Terjadi pada Penggunaan Metode Bagidua 1. Jumlahakarlebihdarisatu Bila dalam selang[a, b] terdapat lebih dari satu akar(banyaknya akarganjil), hanyasatubuahakaryang dapatditemukan. Cara mengatasinya: gunakanselang[a,b] yang cukupkecilyang memuat hanya satu buah akar. 2. Akarganda. Metode bagidua tidak berhasil menemukan akar ganda. Hal ini disebabkan karena tidak terdapat perbedaan tanda di ujungujung selang yang baru Contoh: f() = ( - 3) 2 = ( - 3)( - 3), mempunyai dua akar yang sama, yaitu = 3. akar ganda y = f() Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 17

18 3. Singularitas. Pada titik singular, nilai fungsinya tidak terdefinisi. Bila selang [a, b] mengandung titik singular, lelaran metode bagidua tidak pernah berhenti. Penyebabnya, metode bagidua menganggap titik singular sebagai akar karena lelaran cenderungkonvergen. Yang sebenarnya, titiksingular bukanlah akar, melainkan akar semu Cara mengatasinya: periksa nilai f(b) - f(a). Jika f(b) - f(a) konvergen ke nol, akar yang dicari pasti akar sejati, y titik singular tetapi jika f(b) - f(a) divergen, akar yang dicari merupakan titik singular (akar semu). a b Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 18

19 MetodeRegula-Falsi Kelemahan metode bagidua: kecepatan konvergensinya sangat lambat. Kecepatan konvergensi dapat ditingkatkan bila nilai f(a) danf(b) jugaturutdiperhitungkan. Logikanya, bilaf(a) lebihdekatkenoldaripadaf(b) tentuakarlebihdekatke= adaripadake =b. Metode yang memanfaatkan nilai f(a) dan f(b) ini adalah metode regula-falsi(bahasa Latin) atau metode posisi palsu. (false position method) Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 19

20 y = f() a b c y C B Gambar Metode Regula-falsi Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 20 A gradien garis AB = gradien garis BC ( ) ( ) c b b f a b a f b f = 0 ) ( ( )( ) ( ) ( ) a f b f a b b f b c =

21 procedure regula_falsi(a, b: real); { Mencari akar f()=0 di dalam selang [a,b] dengan metode regulafalsi K.Awal : a dan b adalah ujung-ujung selang sehingga f(a)*f(b) < 0, harga a dan b sudah terdefenisi K.Akhir : Hampiran akar tercetak di layar } const begin end; epsilon1 = ; {batas lebar selang akhir lelaran} epsilon2 = ; {bilangan yang sangat kecil, bisa diganti } repeat c:=b-(f(b)*(b-a)/(f(b)-f(a))); if abs(f(c))< epsilon2 then begin end else a:=c; b:=c; if f(a)*f(c) < 0 then else b:=c; a:=c; until ABS(a-b)< epsilon1; {selang baru [a,b]=[a,c]} {selang baru [a,b]=[c,b]} writeln( Hampiran akar :, c:10:6); {f(c) = 0, c adalah akar} Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 21

22 Secara umum, lelaran metode regula-falsi lebih cepat daripada lelaran metode bagidua Tetapi, ada kemungkinan lelaran metdoe regulasi lebih lambat Kasus seperti ini akan terjadi bila kurva fungsinya cekung (konkaf) didalamselang[a, b]. Akibatnya, garis potongnya selalu terletak di atas kurva atau atau selalu terletak di bawah kurva. y = f() a 0 a 1 =c 0 a 2 =c 1 c 2 b 0 b 1 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 22 b 2...

23 Padakondisiyang paling ekstrim, b-a r tidak pernahlebihkecildari ε, sebabsalahsatutitikujungselang, dalamhalini b, selalutetapuntuksetiaplelaranr = 0, 1, 2,.... Titik ujung selang yang tidak pernah berubah itu dinamakantitikmandek(stagnantpoint). Pada titik mandek, b r -a r = b-a r r= 0, 1, 2,... Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 23

24 Contoh: menghitungakarf() = e -5 2 didalamselang[0, 1] dan ε= r a c b f(a) f(c) f(b) Selang baru Lebarnya [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [c,b] [a,c] Hampiran akar = Perhatikan ujung selang tidak pernah berubah, sellau[c, b]. Nilai c selalu tetap(c adalah titik mandek/stagnan) Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 24

25 Untuk mengatasi hal ini, kondisi berhenti pada algoritma regula-falsi harus kita tambah dengan memeriksa apakah nilaif(c) sudahsangatkecilsehinggamendekatinol. Jadi, kondisi pada repeat-until menjadi until (ABS(a-b) < epsilon1) or (ABS(f(c)) < epsilon2) Bila perubahan ini diterapkan pada soal pencarian akar di atas dengan epsilon2 = , lelarannya akan berhentipadar = 12 denganakar = Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 25

26 Perbaikan Metode Regula-Falsi Tentukan titik ujung selang yang tidak berubah(jumlah perulangan> 1) -yang kemudianmenjadititikmandek. Nilai f pada titik mandek itu diganti menjadi setengah kalinya y = f() f(b)/2 a 0 c 0 c 1 c 2 b Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 26

27 Tabellelaranuntukmenghitungakarf() = e -5 2 didalam selang[0, 1], ε= dan δ= denganmetode perbaikan regula-falsi adalah sebagai berikut: r a c b f(a) f(c) f(b) Selang baru Lebarnya [c,b] (*/2) [a,c] [c,b] [c,b] (*/2) [a,c] [c,b] Hampiran akar = Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 27

28 MetodeTerbuka Yang ingindicariadalahyang memenuhif() = 0 Bentuk umum persamaan lelaran metode terbuka: r+1 = g( r ) ; r= 0, 1, 2, 3, Terkalahsebuahnilaiawal 0, laluhitung 1, 2, 3,... yang mudah-mudahan konvergen ke akar sejati s sedemikian sehingga f(s) 0 dans f(s) Kondisi berhenti lelaran dinyatakan bila r+1 - r < ε Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 28

29 Yang termasuk ke dalam metode terbuka: 1. Metode lelaran titik-tetap(fied-point iteration) 2. Metode Newton-Raphson 3. Metode secant Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 29

30 MetodeLelaranTitik-Tetap Metode ini kadang-kadang dinamakan juga metode lelaran sederhana, metode langsung, atau metode sulih beruntun. Susunlahpersamaanf() = 0 menjadibentuk= g(). Lalu, bentuklah menjadi prosedur lelaran r+1 = g( r ) ; r= 0, 1, 2, 3, Terkalahsebuahnilaiawal 0, laluhitung 1, 2, 3,... yang mudah-mudahan konvergen ke akar sejati. Kondisi berhenti lelaran dinyatakan bila r+1 r < ε atau r+ 1 r+ 1 r < δ Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 30

31 Contoh: Carilahakarpersamaanf() = = 0 dengan metode lelaran titik-tetap. Gunakan ε = Penyelesaian: Terdapat beberapa kemungkinan prosedur lelaran yang dapat dibentuk. (i) = 0 2 = 2+ 3 = (2+ 3) Dalamhalini, g() = (2+ 3). Prosedur lelarannya adalah r+1 = (2 r + 3). Ambilterkaanawal 0 =4 Tabel lelarannya: Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 31

32 r r r+1 - r Hampiran akar = (konvergen monoton) Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 32

33 (ii) = 0 (-2) = 3 = 3/(-2) Dalamhalini, g() = 3/(-2). Prosedur lelarannya adalah r+1 = 3/( r - 2) Ambilterkaanawal 0 = 4 Tabel lelarannya: Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 33

34 i r r+1 - r Hampiran akar = (konvergen berosilasi) Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 34

35 (iii) = 0 = ( 2-3)/2 Prosedurlelarannyaadalah r+1 = ( r2-3)/2. Ambilterkaanawal 0 =4 Tabel lelarannya: i r r+1 - r Ternyata lelarannya divergen! Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 35

36 Kadang-kadanglelarankonvergen, kadang-kadangiadivergen. Adakah suatu tanda bagi kita untuk mengetahui kapan suatu lelaran konvergen dan kapan divergen? TEOREMA 3.2. Misalkan g() dan g'() menerus di dalam selang[a,b] = [s-h, s+h] yang mengandungtitiktetapsdan nilaiawal 0 dipilihdalamselangtersebut. Jika g'() < 1 untuksemua [a, b] makalelaran r+1 = g( r ) akan konvergenkes. Padakasusinis disebutjugatitikatraktif. Jika g'() > 1 untuksemua [a, b] makalelaran r+1 = g( r ) akan divergen dari s. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 36

37 Teorema 3.2 dapat kita sarikan sebagai berikut: Di dalamselangi= [s-h, s+h], denganstitiktetap, 1. jika0 < g'() < 1 untuksetiap I, makalelaran konvergen monoton; 2. jika-1< g'() < 0 untuksetiap I, makalelaran konvergen bersosilasi; 3. jikag'() > 1 untuksetiap I, makalelaran divergen monoton; 4. jikag'() < -1 untuksetiap I, makalelaran divergrn berosilasi. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 37

38 y y = y = g() y y = y = g() s 0 s 0 (a) Konvergenmonoton: 0 < g () < 1 (b) Konvergen berosilasi: 1 < g () < 0 y y = g() y = y y = y = g() s 0 s 0 (c) Divergen monoton: g () > 1 (d) Divergen berosilasi: g () < -1 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 38

39 Analisis: 1. Prosedur lelaran pertama r + 1 = 2r + 3 ( ) = ( 2 + 3) g g' ( ) = 2 1 ( 2 + 3) Terlihat bahwa g'() < 1 untuk di sekitar titiktetaps= 3. Karenaitu, pengambilantebakanawal 0 = 4 akan menghasilkan lelaran yang konvergen sebab ( 4) = 1/ [ 2 ( 8 + 3) = g' < Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 39

40 2. Prosedurlelarankedua: r+1 = 3/( r -2) g() = 3/(-2) g'() = -3/(-2) 2 Terlihat bahwa g'() < 1 untuk di sekitar titiktetaps= 3. Karenaitu, pengambilantebakanawal 0 = 4 akan menghasilkan lelaran yang konvergen sebab g'(4) = -3/(4-2) 2 = 0.75 < 1. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 40

41 3. Prosedurlelaranketiga r+1 = ( r2-3)/2 g() = ( 2-3)/2 g'() = Terlihat bahwa g'() > 1 untuk di sekitar titiktetaps= 3. Karenaitu, pengambilantebakanawal 0 = 4 akan menghasilkan lelaran yang divergen sebab g'(4) = 4 = 4 > 1. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 41

42 Kesimpulan: ada dua hal yang mempengaruhi kekonvergenan prosedur lelaran: 1. Bentukformula r+1 = g( r ) 2. Pemilihan tebakan awal Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 42

43 Contoh: Gunakan metode lelaran titik-tetap untuk mencariakarpersamaan didalamselang [1, 2] y y = Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 43

44 Penyelesaian: (i) r+1 = ( r3 + 1)/3 Tetapi, karena g'() = 2 > 1 didalamselang[1, 2], maka prosedur lelaran ini tidak digunakan. (ii) r+1 = -1/( r2-3) Tetapi, karena g'() = 2/( 2-3) 3 > 1 didalamselang[1, 2], maka prosedur lelaran ini tidak digunakan. (iii) r+1 = 3/ r -1/ r 2 Ternyata g'() = (-3+ 2)/ 3 1 didalamselang[1, 2], yaitu, g'() naikdarig'(1) = -1 keg'(2)=-1/2. Jadi, g'() lebihkecildari1 didalamselang[1, 2]. Dengan mengambil = 1.5, prosedur lelarannya konvergen ke akar = seperti pada tabel berikut ini. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 44

45 r Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 45

46 4. Prosedurlelarankeempat: r+1 = (- r 3 + 3)/6 g() = ( )/6 g'() = - 2 /2 Terlihat bahwa g'() < 1 untuk di sekitar titiktetaps= Pemilihan 0 = 0.5 akanmenjaminlelarankonvergen sebab g'( 0 ) < 1. Untuk 0 = 1.5 dan 0 = 2.2 memangnilai g'( 0 ) > 1 tetapilelarannyamasihtetapkonvergen, namun 0 = 2.7 terlalu jauh dari titik-tetap sehingga lelarannya divergen. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 46

47 MetodeNewton-Raphson Metode Newton-Raphsonlah yang paling terkenal dan paling banyakdipakaidalamterapansainsdanrekayasa. Metodeinipaling disukaikarenakonvergensinyapaling cepatdiantarametodelainnya. Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu: (i) penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri, (ii) penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Taylor. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 47

48 (a) Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri y = g() Garis singgung kurva di i dengan gradien = f '( i ) i+1 i r + 1 = r f f ( r ) ( ) ' r Gradiengarissinggungdi r adalah y f ( r ) 0 m = f '( ) = = f '( ) r r r+ 1 r = r f ( ) r r+ 1 r+ 1 = r f f ( r ) ( ) ' r, f'( r ) 0 Rinaldi Munir- Topik Khusus Informatika I 48

49 (b) Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret Taylor Uraikanf( r+1 ) disekitar r kedalamderettaylor: f ( ) f ( ) + ( ) f ( ) ( ) 2 r+ 1 r r+ 1 r r+ 1 r ' r + f " < + 2 ( t), r < t r 1 yang bila dipotong sampai suku orde-2 saja menjadi f( r+1 ) f( r ) + ( r+1 - r )f'( r ) dankarenapersoalanmencariakar, makaf( r+1 ) = 0, sehingga 0 = f( r ) + ( r+1 - r ) f'( r ) atau ( r ) ( ) f r+ 1 = r f ', f'( r ) 0 r Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 49

50 Kondisi berhenti lelaran Newton-Raphson adalah bila r+1 - r < ε atau bila menggunakan galat relatif hampiran r+ 1 r+ 1 r < δ dengan εdan δ adalahtoleransigalatyang diinginkan. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 50

51 procedure Newton_Raphson(:real); { Mencari akar persamaan f() = 0 dengan metode Newton-Raphson K.Awal : adalah tebakan awal akar, nilainya sudah terdefinisi K.Akhir: akar persamaan tercetak di layar } const epsilon = ; var _sebelumnya: real; function f(:real):real; { mengembalikan nilai f(). Definisi f() bergantung pada persoalan } function f_aksen(:real):real; { mengembalikan nilai f'(). Definisi f () bergantung pada persoalan } begin repeat _sebelumnya:=; := - f()/f_aksen(); until (ABS(-_sebelumnya) < epsilon) { adalah hampiran akar persamaan } write( Hampiran akar =, :10:6); end; Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 51

52 Contoh: Hitunglahakarf() = e -5 2 denganmetodenewton- Raphson. Gunakan ε= Tebakanawalakar 0 = 1. Penyelesaian: f() = e -5 2 f'() = e -10 ProsedurlelaranNewton-Raphson: r+ 1 = r e e Tebakanawal 0 = 1 Tabel lelarannya: Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 52

53 i r r+1 - r Hampiran akar = Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 53