Veetha Adiyani Pardede M Komputasi Fisika METODE BISECTION

Transkripsi

1 METODE BISECTION Program ; Uses crt; var a,b,m,fa,fb,fm,tol,n : real; iter_max,it : integer; function f(x:real) : real; f:= sqr(x)+ 3*x - 5; Begin Clrscr; writeln ('================================================================= ='); writeln ('Program Bisection':50); writeln ('================================================================= ='); writeln; write ('Batas Bawah = '); readln (a); write ('Batas Atas = '); readln (b); write ('Nilai Toleransi = '); readln (tol); write ('Iterasi Maksimum = '); readln (iter_max); writeln; it:=0; fa:=f(a); fb:=f(b); if ( fa * fb > 0) then writeln ('Nilai F(X0) x F(X1) > 0') else writeln (' '); writeln (' It. A M B F(A) F(B) F(A)-F(B) '); writeln (' '); n := tol+1; while ((it <= iter_max) and (n > tol)) do it := it+1; m := (a+b)/2; fm := f(m); writeln (it:3,' ',a:10:3,' ',m:10:3,' ',b:10:3,' ',fa:10:3,' ',fm:10:3,' ',abs(fb-fa/2):10:3); n := abs (m-a); if (fa * fm <= 0)

2 then b := m; fb := f(m); end else a := m; fa := f(m); if (it <= iter_max) then writeln ('Toleransi Terpenuhi'); writeln ('Hasil Akhir = ',m:8:7); end else writeln ('Toleransi Tidak Terpenuhi'); readln; end. Hasil Output 1 ================================================================== Program Bisection ================================================================== Batas Bawah = 0 Batas Atas = 5 Nilai Toleransi = Iterasi Maksimum = It. A M B F(A) F(B) F(A)-F(B)

3 Toleransi Terpenuhi Hasil Akhir = Hasil Output 2 ================================================================== Program Bisection ================================================================== Batas Bawah = -5 Batas Atas = 0 Nilai Toleransi = Iterasi Maksimum = It. A M B F(A) F(B) F(A)-F(B)

4 Toleransi Terpenuhi Hasil Akhir = Analisa Data 2 Sebuah fungsi f ( x) x 3x 5 dijadikan pokok permasalahan untuk dicari akarakar persamaannya. Untuk pemecahannya digunakan metode Bisection, dimana metode bisection membagi daerah sebuah garis fungsi menjadi sama besar (dibagi menjadi dua bagian). Ketika menggunakan: Batas Bawah 0-5 Batas Atas 5 0 Nilai Toleransi Akar-akar (x n ) Dari program bisection ini, ketika nilai batas berkisar dari 0<x<5 didapat nilai akar pertama (x 1 ), dan -5<x<0 didapat nilai akar kedua (x 2 ). Nilai toleransi sangat mempengaruhi besarnya ketelitian pada akar sebuah fungsi, karena metode bisection hanya membagi luas daerah menjadi dua bagian yang sama besar. Besarnya nilai toleransi juga mempengaruhi jumlah iterasi yang digunakan, dengan batas 0<x<5 atau -5<x<0 dibutuhkan 29 iterasi. Semakin kecil nilai toleransi, maka akan semakin banyak iterasi yang dibutuhkan. Jika semakin besar

5 nilai toleransim, maka akan semakin kecil jumlah iterasi yang dibutuhkan. Hal ini dikarenakan nilai toleransi merupakan tingkat ketelitian dari fungsi tersebut. METODE ITERASI SEDERHANA TIPE 1 Program ; uses crt; var x : array [ ] of real; it : integer; iter_max,tol,n : real; clrscr; writeln('program METODE ITERASI SEDERHANA':50); writeln; writeln('persamaan Pertama'); write('masukkan X0 = ');readln(x[0]); write('toleransi = ');readln(tol);

6 write('iterasi max = ');readln(iter_max); it:=0; it:=it+1; n:=tol+1; writeln(' it x g(x) Ea'); while ((it <= iter_max) and (n>tol)) do x[it+1] := (5-sqr(x[it]))-3; writeln (it:4,' ',x[it]:8:3,' ',x[it+1]:8:3,' ',abs((x[it+1]-x[it])/x[it+1]):3); n := abs(x[it+1]-x[it]); inc(it); if (n<=tol) then writeln('toleransi terpenuhi'); writeln('hasil akhir = ',x[it]:8:7); end else writeln('toleransi tidak terpenuhi'); readln; end.end. Hasil Output tipe 1 PROGRAM ALGORITMA METODE ITERASI SEDERHANA Persamaan Pertama x awal = 1 Toleransi = Iterasi Max = 100 it x g(x) Ea

7 Toleransi terpenuhi Hasil akhir = TIPE 2 Program ; uses crt; var x : array [ ] of real; it,d : integer; b,c,n : real; clrscr; writeln('program ALGORITMA METODE ITERASI SEDERHANA':50);writeln; writeln('persamaan Kedua ); write('x awal = ');readln(x[0]); write('toleransi = ');readln(c); write('jumlah iterasi max = ');readln(d); it:=0; n:=c+1; writeln(' it x g(x) Ea');

8 while ((it <= d) and (n > c)) do x[it+1]:=((5/x[it])-3); writeln(it:4,' ',x[it]:8:4,' ',x[it+1]:8:4,' ',abs((x[it+1]-x[it])/x[it+1]):8:7); n:=abs(x[it+1]-x[it]); inc(it); if (it<=d) then writeln('toleransi terpenuhi'); writeln('hasil akhir = ',x[it]:8:7); end else writeln('toleransi tidak terpenuhi'); readln; end. Hasil Output Tipe 2 PROGRAM ALGORITMA METODE ITERASI SEDERHANA Persamaan Kedua x awal = 1 Toleransi = Jumlah iterasi max = 100 it x g(x) Ea Toleransi terpenuhi Hasil akhir = Program ; TIPE 3

9 uses crt; var x : array [ ] of real; it,d : integer; b,c,n : real; clrscr; writeln('program ALGORITMA METODE ITERASI SEDERHANA':50);writeln; writeln('persamaan Ketiga'); write('x awal = ');readln(x[0]); write('toleransi = ');readln(c); write('jumlah iterasi max = ');readln(d); it:=0; n:=c+1; writeln(' it x g(x) Ea'); while ((it <= d) and (n > c)) do x[it+1]:=sqrt(5-(3*x[it])); writeln(it:3,' ',x[it]:8:5,' ',x[it+1]:8:5,' ',abs((x[it+1]-x[it])/x[it+1]):4); n:=abs(x[it+1]-x[it]); inc(it); if (it<=d) then writeln('toleransi terpenuhi'); writeln('hasil akhir = ',x[it]:9:7); end else writeln('toleransi tidak terpenuhi'); readln; end. Tidak Bisa Dijalankan Program ; uses crt; var x : array [ ] of real; it,d : integer; b,c,n : real; clrscr; Hasil Output Tipe 3 TIPE 4

10 writeln('program ALGORITMA METODE ITERASI SEDERHANA':50);writeln; writeln('persamaan Keempat'); write('x awal = ');readln(x[0]); write('toleransi = ');readln(c); write('jumlah iterasi max = ');readln(d); it:=0; n:=c+1; writeln(' it x g(x) Ea'); while ((it <= d) and (n > c)) do x[it+1]:=5/(3+x[it]); writeln(it:3,' ',x[it]:8:5,' ',x[it+1]:8:5,' ',abs((x[it+1]-x[it])/x[it+1]):4); n:=abs(x[it+1]-x[it]); inc(it); if (it<=d) then writeln('toleransi terpenuhi'); writeln('hasil akhir = ',x[it]:9:7); end else writeln('toleransi tidak terpenuhi'); readln; end. Hasil Output Tipe 4 PROGRAM ALGORITMA METODE ITERASI SEDERHANA Persamaan Keempat x awal = 1 Toleransi = Jumlah iterasi max = 100 it x g(x) Ea E E E E E E E E-0005 Toleransi terpenuhi Hasil akhir =

11 Analisa Data 2 Sebuah fungsi f ( x) x 3x 5 dijadikan pokok permasalahan untuk dicari akarakar persamaannya. Untuk pemecahannya digunakan metode iterasi sederhana, dimana metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh: x = g(x), dikenal juga sebagai metode x = (x). Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk x(n+1) = g (xn). Dimana n = 0,1,2,3 Digunakan 4 tipe x untuk menyusun kembali persamaan tersebut dalam bentuk x=g(x), yakni 5 x Tipe 1: x( n 1) 3 5 Tipe 2: x( n 1) 3 x Tipe 3: Tipe 4: 5 x x( n 1) 3 x n 5 3x ( 1) 2 2 Tipe x awal Nilai Toleransi Iterasi Maksimum Akar-akar (x n ) Dari hasil-hasil program, tampak pada persamaan tipe 1 & 4 memberikan hasil yang konvergen, sedangkan persamaan tipe 2 tidak konvergen, dan tipe 3 tidak memberikan mampu meberikan akar yang dicari. Dari table hasil, dapat kita lihat bahwa tipe 1, 2, maupun 4 tidak memberikan akar yang sama. Tipe 1 dan 4 hanya berbeda tingkat ketelitiannya saja, sedangkan tipe 2 mempunyai akar lain dari fungsi.

12 METODE FALSE POSITION program false_position; uses crt; var n,a,m,b,fa,fb,fm,tol : real; iter_max,it : integer; function f(x:real):real; f:= sqr(x)+ 3*x - 5; clrscr; writeln ('PROGRAM FALSE POSITION':50); writeln; write ('Batas Bawah (b) = '); readln (a); write ('Batas Atas (a) = '); readln (b); write ('toleransi = '); readln (tol); write ('Iterasi Maksimum = '); readln (iter_max); it:=0; fa:=f(a); fb:=f(b); If (Fa*Fb > 0) then writeln('nilai F(a) x F(b) > 0') else writeln (' it. a m b f(a) f(b) f(b)-f(a)]/2 '); n:=tol+1; while ((it <= iter_max) and ( n > tol)) do it:=it+1; m:= b-((f(b)*(a-b))/((f(a)-f(b)))); fm:=f(m); writeln (it:4,' ',a:8:3,' ',m:8:3,' ',b:8:3,' ',fa:8:3,' ',fm:8:3,' ',abs(fb-fa)/2:12:7); n:=abs(m-a); if (fa * fm <= 0) then b:=m; fb:=fm; end else

13 a:=m; fa:=fm; if (n <= tol) then writeln('toleransi terpenuhi'); writeln('hasil akhir= ',m:9:7); end else writeln('toleransi tidak terpenuhi'); readln; end. Output Hasil PROGRAM FALSE POSITION Batas Bawah (b) = 0 Batas Atas (a) = 5 toleransi = Iterasi Maksimum = 100 it. a m b f(a) f(b) f(b)-f(a)]/

14 toleransi terpenuhi hasil akhir= PROGRAM FALSE POSITION Output Hasil 2 Batas Bawah (b) = -5 Batas Atas (a) = 0 toleransi = Iterasi Maksimum = 100 it. a m b f(a) f(b) f(b)-f(a)]/ toleransi terpenuhi hasil akhir= Analisa Data 2 Sebuah fungsi f ( x) x 3x 5 dijadikan pokok permasalahan untuk dicari akarakar persamaannya. Untuk pemecahannya digunakan metode False Position. Ketika menggunakan: Batas Bawah 0-5

15 Batas Atas 5 0 Nilai Toleransi Akar-akar (x n ) Metode False Position merupakan perbaikan dari metode Bisection. Metode False Position menggunakan taksiran persamaan grafik yang perpotongan garis lurus pada sumbu x f ( x1) f ( x2 ) f ( x2 )( x1 x2 ) nya x' x2. Pada batas -5<x<0 diperkirakan bernilai x' x x' x f ( x ) f ( x ) akar Sedangkan dengan batas 0<x<5 diperkirakan mempunyai akar Besarnya nilai toleransi sangat mempengaruhi nilai ketelitian pada hasil akhir. Semakin kecil toleransinya akan semakin teliti pula hasil akhirnya. Program ; uses crt; var it,iter_max : integer; x0,x1,fa,fb,f1a,n,tol : real; function f (x:real) : real; Begin f:=sqr(x)+3*x-5; function f1 (x:real) : real; f1:=2*x+3; METODE NEWTON RHAPSON

16 clrscr; writeln ('PROGRAM NEWTON RHAPSON':50); writeln (' ');writeln; write ('Tebakan akar (X0) = '); readln (x0); write ('Nilai Toleransi = '); readln (tol); write ('Jumlah iterasi = '); readln (iter_max);writeln; it:=0; writeln (' Iter X X1 F(X0) F1(X0) F(X1) N '); writeln (' '); n:=tol+1; while ((it <= iter_max) and (n>tol)) do it := it+1; x1 := x0-f(x0)/f1(x0); fa := f(x0); fb := f(x1); f1a:= f1(x0); n := abs(x1-x0); writeln (it:4,' ',x0:8:3,' ',x1:10:3,' ',fa:10:3,' ',f1a:10:3,' ',fb:10:3,' ',n:10:3); x0 := x1; if (n<tol) then writeln (' '); writeln ('toleransi terpenuhi'); write ('hasil akhir = ',x1:8:7); end else writeln ('toleransi tidak terpenuhi'); readln; end.

17 Hasil Output 1 PROGRAM NEWTON RHAPSON Tebakan akar (X0) = 0 Nilai Toleransi = Jumlah iterasi = 100 Iter X X1 F(X0) F1(X0) F(X1) N toleransi terpenuhi hasil akhir = Hasil Ouput 2 PROGRAM NEWTON RHAPSON Tebakan akar (X0) = -5 Nilai Toleransi = Jumlah iterasi = 100 Iter X X1 F(X0) F1(X0) F(X1) N toleransi terpenuhi hasil akhir =

18 Analisa Data 2 Sebuah fungsi f ( x) x 3x 5 dijadikan pokok permasalahan untuk dicari akarakar persamaannya. Untuk pemecahannya digunakan metode Newton Rhapson, dimana metode Newton Rhapson merupakan salah satu metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x) membagi daerah sebuah garis fungsi menjadi sama besar (dibagi menjadi dua bagian). Ketika menggunakan: Tebakan akar (x 0 ) Nilai Toleransi Akar-akar (X n ) Dalam metode Newton-Rhapson, diawal kita harus menentukan f (x) dan f (x) dari f ( x0 ). f ''( x0 ) f(x). Setelah itu kita menebak akar dari fungsi tersebut lalu diujikan 1. Jika x f '( x ). f '( x ) tebakan akar tersebut memenuhi persamaan maka dilanjutkan dengan iterasi (pengulangan) f ( xi ) xi 1 xi, jika tidak maka akan dimintai nilai x lagi. Akar x akan semakin akurat, f '( x ) i jika nilai f(x) semakin mendekati 0. Kelemahan Metode Newton-Rhapson antara lain: - Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akar-akar penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan. - Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner). - Tidak bias mencari akar persamaan yant tidak memenuhi persayaratan persamaannya, meskipun ada akar penyelesainnya. - Untuk persamaan non linier yang cukup kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua f(x) akan menjadi sulit. 0 0

19 METODE SECANT Program ; uses crt; var it,iter_max : integer; x2,x1,x0,n,tol : real; function f(x:real) : real; f:=sqr(x)+3*x-5; clrscr; writeln ('PROGRAM METODE SECANT':50);writeln; write ('Masukkan X0 = ');readln(x0); write ('Masukkan X1 = ');readln(x1); write ('Toleransi = ');readln(tol); write ('Iterasi maksimal = '); readln(iter_max); it:=0; writeln ('Iterasi X1 X2 X3 F(X1) F(X2) F(X3) N '); N:=tol+1; while (it<=iter_max) and (N>tol) do it:=it+1; x2:=x1-(f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))); N:=abs(x2-x1); writeln(it:2,' ',x0:8:3,' ',x1:8:3,' ',x2:8:3,' ',f(x0):8:3,' ',f(x1):8:3,' ',f(x2):8:3,' ',N:8:3); x0:=x1; X1:=X2; if (N<tol) then writeln ('toleransi terpenuhi'); write ('Hasil akhir = ',x2:8:7); end else

20 writeln ('toleransi tidak terpenuhi'); readln; end. Hasil Output 1 PROGRAM METODE SECANT Masukkan X0 = 0 Masukkan X1 = 5 Toleransi = Iterasi maksimal = 100 Iterasi X1 X2 X3 F(X1) F(X2) F(X3) N toleransi terpenuhi Hasil akhir = Hasil Output 2

21 PROGRAM METODE SECANT Masukkan X0 = -5 Masukkan X1 = 0 Toleransi = Iterasi maksimal = 100 Iterasi X1 X2 X3 F(X1) F(X2) F(X3) N toleransi terpenuhi Hasil akhir = Analisa Data 2 Sebuah fungsi f ( x) x 3x 5 dijadikan pokok permasalahan untuk dicari akarakar persamaannya. Kali ini pemecahannya digunakan metode Secant, dimana metode Secant Metode secant merupakan perbaikan dari metode Newton Rhapson, yaitu nilai turunan f (x) didekati dengan beda hingga ( ).. Ketika menggunakan: Batas Bawah 0-5 Batas Atas 5 0 Nilai Toleransi Akar-akar (X n )

22 Algoritma metode secant dimulai dengan menentukan x 0, x 1, toleransi dan jumlah iterasi f ( x1 )( x1 x0 ) maksimum. Setelah itu menentukan x baru x1. Jika x baru x 1 toleransi, f ( x ) f ( x maka diperoleh x baru sebagai hasil perhitungan. Keuntungan menggunakan metode secant yakni cepat konvergen, namun tidak selalu konvergen terkadang bisa divergen. Hasil akar yang didapat dari metode Secant hanya satu akar saja dari tiap iterasi. 1 0) Kesimpulan: Metode bisection membagi daerah sebuah garis fungsi menjadi sama besar (dibagi menjadi dua bagian). Metode iterasi sederhana adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh: x = g(x), dikenal juga sebagai metode x = (x). Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk x(n+1) = g (xn). Metode Newton Rhapson merupakan salah satu metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x) membagi daerah sebuah garis fungsi menjadi sama besar (dibagi menjadi dua bagian). Metode secant merupakan perbaikan dari metode Newton Rhapson, yaitu nilai turunan f (x) didekati dengan beda hingga ( ). Dari hasil-hasil akar di tiap metode, mempunyai ketelitian yang sama, kecuali pada metode iterasi satu titik sederhana. Dikarenakan toleransi yang digunakan berbeda dengan metode yang lainnya. Besarnya toleransi mempengaruhi nilai ketelitian pada hasil 2 akhir. Dapat disimpulakan bahwa fungsi f ( x) x 3x 5 mempunyai perkiraan akar: Akar-akar (X n )