PERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA.. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) :
Bab 3 PERSAMAAN KUADRAT 1. Bentuk Umum : ax bx c 0, a 0, a, b, c Re al Menyelesaikan persamaan kuadrat : 1 1. dg. Memfaktorkan : ax bx c a (ax p)(ax q) = ax ( p q) x dimana : b = p + q dan c pq a pq a, Jika ac 0 p dan q berbeda tanda ac 0 p dan q sama tanda. dg. Melengkapkan bentuk kuadrat ( kuadrat sempurna ) : Untuk suatu kuadrat sempurna x bx c, nilai c diperoleh dengan membagi koefisien x dengan, kemudian mengkuadratkan hasilnya. c b 3. dg. Rumus abc : x1, b b 4ac ; b 4ac 0 a Soal Latihan 1. Nilai a,b dan c berturut-turut dari persamaan a. 1, 10, 56 b. 0, 6, -56 x 4 x 4 10, x 4 dan x 4 adalah x 4 x 4 3 c. 4, 0, -56 d.0, 6, 56. Jika p dan q adalah bil. Bulat positip yang memenuhi e. 10, 4, 56 1 1 4, Nilai p q... p q 7 a. 50 b. 100 c. 150 d. 00 e. 50 3. Jumlah tiga kali kuadrat suatu bilangan dengan 7 kali bilangan itu sama demgan 0. Jika bilangan itu p atau q dan p 0, maka pers.kuadrat memp. dua akar nyata dan berlainan. D = 0, maka pers. Kuadrat memp. akar sama 3. D< 0, maka pers. Kuadrat memp. akar imajiner/tidak nyata 4. D k, merupakan bil kuadrat sempurna yg. memp. Dua akar rasional. 3. Sifat-sifat akar pers. Kuadrat mempunyai dua akar yg. positip x1 0; x 0 b c 0; x1.x 0 a a mempunyai dua akar yg. negatif x1 0; x 0 b c Syarat : D 0; x1 x 0; x1.x 0 a a mempunyai dua akar yg. berbeda tanda x1 0; x 0 Syarat : D 0; x1 x Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
1 Syarat : D 0; c 0 a mempunyai dua akar yg. berlawanan x1 x Syarat : D 0; b 0 mempunyai akar yg. saling berkebalikan x1 1 x Syarat : D 0; c a Contoh : Jika akar-akar dari (k 7) x 3x 5 0, saling berkebalikan maka tentukan nilai k Jawab : Saling berkebalikan syarat : a = c k 7 = 5 k = 1 k=6 4. Jumlah,Selisih dan Hasil kali akar-akar pers. Kuadrat x 1 +x = b a x1. x = c a x1 x ( x1 x ) x1x x1 x ( x1 x )( x1 x ) D a 1 1 x1 x x1 x x1 x x1 x x1 x ( x1 x ) x1x ( x1 x ) 4 4 x1 x ( x1 x )3 3x1x ( x1 x ) x1 x ( x1 x ) x1x ( x1 x )( x1 x ) 3 4 3 4 x1 x ( x1 x )3 3x1x ( x1 x ) 3
3 Contoh : Jika akar-akar pers. x ax 8 0 ialah x1 dan x, sedangkan akar-akar persamaan x 10 x 16 p 0 ialah 3x1 dan 4x, maka nilai p = A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 E. 16 Jawab dg. Cerdik : c 8 a 3x1.4 x 16 p 1 x1.x 16 p x1.x 1(-8)=-16p maka p = 6 5. Perbandingan Akar Persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x jika x1 m.x maka mb ac(m 1) Contoh : Jika akar-akar pers. x ( p 3) x ( p ) 0 ialah x1 dan x, Jika p bil. Asli dan x1 3x maka p= A. B. 3 C. 4 D. 5 E. 7 Jawab dg. Cerdik : mb ac(m 1) 3( p 3) 1( p )(3 1) Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 13 3( p 6 p 9) 3 p 3 3 p 14 p 5 0 (3p+1)(p-5)=0 p 1,p=5 3 6. Hubungan dua persamaan kuadrat Dua persamaan kuadrat ekuivalen (memp. Akar-akar yg. sama ) a1 x b1 x c1 0 a x b x c 0 a b c maka : 1 1 1 a b c Dua persamaan tidak ekuivalen a1 x b1 x c1 0 a x b x c 0 a b c maka : 1 1 1 a b c 7. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika x1 dan x adalah akar-akar persamaan kuadrat maka dapat disusun persamaan kuadrat dengan dinyatakan dengan : ( x x1 )( x x ) 0 atau x ( x1 x ) x ( x1.x ) 0 1. Pers baru yang akar-akarnya n kali akar pers. ax + bx + c = 0 ax + nbx + n.c = 0. Pers baru yang akar-akarnya berkebalikan pers. ax + bx + c = 0 cx + bx + a = 0 3. Pers. Baru yang akar-akarnya berlawanan pers. ax + bx + c = 0 ax - bx + c = 0 4.Pers. Baru yang akar-akarnya x1 m dan x m dari pers. ax + bx + c = 0 a(x-m) +b(x-m)+c=0 5.Pers. Baru yang akar-
akarnya x1 dan x dari.pers. ax + bx + c = 0 a x (b ac) x c 0 Contoh : Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akarakar persamaan kuadrat x 8x 10 0 adalah. A. x 16 x 0 0 D. x 16 x 10 0 B. x 16 x 40 0 E. x 16 x 160 0 C. x 16 x 80 0 Jawab dg. Cerdik : ax + nbx + n.c = 0 x +.8x +.10 = 0 x + 16x +40 = 0 8. Persamaan harga mutlak : x jika x 0 x jika x 0 Jika x adalah bilangan real maka x Contoh : x 6 x Tentukan akar-akar persamaan tersebut. Jawab : ( x 6) x ( kuadratkan kedua ruas ) Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 14 3x 1 x 36 0 x 4 x 1 0 ( x 6)( x ) 0 x = 6 atau x = - ( Ujilah x kedalam persamaan awal ) maka Hp = {6} 9. Persamaan Tak Rasional Persamaan tak rasional adalah persamaan yang variabelnya dibawah tanda akar. Misalnya x 1 memiliki nilai rasional jika ( x 1) 0 Contoh : x x 5 x 1 ( untuk menghilangkan tanda akar maka kuadratkan kedua ruas ) x x 5 ( x 1) x x 6 0 ( x 3 )( x + ) = 0 x = 3 atau x = - ( Uji x ke persamaan awal ) Maka Hp : {3} 10. Persamaan yang diselesaikan dengan pemisalan. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari x 4 4 x 5 0 Misal x u maka persamaan akan menjadi persamaan kuadrat. u 4u 5 0 Maka dapat diseleaikan dengan hasil u = -5 atau u = 1 Substitusikan kembali pada pemisalan semula maka diperoleh : x 5 dan x 1 Jadi Hp { -1, 1 } Soal Latihan : 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan harga mutlak berikut : b. x 4 8 a. x 4 7 c. x 4 x. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan tak rasional berikut : a. x x 7 x 3 b. 3x 1 x 1 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut :
a. ( x ) 4( x ) 1 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono b. x 4 5 x 4 6 15 Soal Latihan. 1. Persamaan (m-1)x + 4x + m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah(98) A. 1 m B. m 1 C. 1 m D. m atau m 1 E. m 1 atau m. Persamaan (m 4) x 5x 0 mempunyai akar-akar real berkebalikan, maka nilai m adalah(97) 1 1 C. D. 3 E. 6 3 3 x 4 x 3. Persamaan t memiliki akar sama ( kembar ), maka t adalah x 6x 3 A. 1 dan 3 B. 14 dan 1 C. 34 dan 3 D. 1 dan 3 E. dan 3 B. A. 3 4. Dikatahui persamaan x 4 x a 0 dengan a bilangan real. Supaya didapat akar berlainan yang positip, maka haruslah A. a > 0 B. a<0 C. 0 < a < D. 0 < a < 4 E. a 4 5. Akar-akar persamaan x px 6. 1 q 0 adalah p dan q, p + q = 6 dan p 0. Nilai p q = A. 4 B. C. D. 6 E. 8 Akar-akar persamaan kuadrat x x 5 0 adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya ( 1) dan ( 1) adalah A. x x 6 0 B. x x 5 0 C. x 3x 1 0 D. x 5x 0 E. x 5x 4 0 7. Jika x1 dan x merupakan akar-akar persamaan 4 x bx 4 0, b 0, maka 1 1 x1 x 16( x1 x ) berlaku untuk b b sama dengan 3 3 A. 0 atau B. 6 atau 1 C. 0 atau 30 D. 4 atau 56 E. 7 atau 90 8. Akar-akar persamaan kuadrat x bx c 0 adalah x1 dan x. Persamaan kaudrat dengan akar-akarnya x1 x dan x1.x adalah A. x bcx b c 0 B. x bcx b c 0
x (b c) x bc 0 D. x (b c) x bc 0 E. x (b c) x bc 0 C. 9. Akar-akar persamaan kuadrat ax 3ax 5(5 3) 0 adalah x1 dan x, Jika x1 x 117, maka a a sama dengan 3 3 A. 4 B. 3 C. D. 1 E. 0 10. Jika p 0 dan akar-akar persamaan x px q 0 adalah p dan q maka p q A. B. 3 C. 4 D. 5 E.6 11. Dalam persamaan kuadrat x (a 1) x (a 3) 0 dengan a konstanta. Jika selisih kedua akarnya sama dengan 1, maka kuadrat jumlah akar-akarnya adalah A. 1 atau 5 B. 1 atau 5 C. 3 atau 9 D. 9 atau 81 E. 5 atau 5 1. Agar akar-akar x1 dan x dari persamaan kuadrat x 8x m 0 memenuhi 7 x1 x 0, haruslah m = A. 4 B. 1 C. 1 D. 18 E. 0 13. Supaya kedua akar persamaan px qx 1 p 0 real dan yang satu kebalikan dari yang lain, maka haruslah A. q = 0 B. p 0 atau p 1 C. q 1 atau q 1 D. q 4 p 4 p 0 E. p 1 ( p 1) Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 16 14. Jika dalam persamaan cx bx c 0, diketahui c < 0, maka kedua akar persamaan ini A. Positip berlainan B. Negatif dan berlainan C. berlawanan D. Berlawanan tanda E. tidak real 15. Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x 3x 5 0, maka persamaan kuadrat 1 1 dan - adalah a b A. 5x 3x 0 B. 5x 3x 0 C. 5x 3x 0 D. 5x 3x 0 E. 5x x 3 0 16. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x 3x n 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan x x n 0, maka nilai n adalah yang akar-akarnya - A. 8 B. 6 C. D. 8 E. 10 17. Akar-akar persamaan kuadrat x - ax + a - 7 = 0 adalah x1 dan x. Jika x1 - x = 7, maka nilai a adalah : A. 7 atau - B. 7 atau C. 7 atau D. 7 atau E. 7 atau 18. Persamaan kuadrat yang masing-masing akarnya tiga kali akar persamaan kuadrat x + px + q = 0 adalah : A. x + 3px + 9q = 0 D. x - 3 px + 9q = 0 B. x + 3px + 18q = 0 E. x + 3 px + 9q = 0 C. x + 3px 9q = 0 19. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x - (k + 1)x + (k + 3) = adalah dua kali akar lainnya, maka nilai k adalah : A. 5 atau -5 B. -5 atau 5 C. 5 atau 5 D. 5 atau 5 E. -5 atau 5 0. Jika dan merupakan akar-akar persamaan x + bx - = 0,
1 ( ) maka nilai b : A. -4 B. C. 1 D. E. 4. 1. Jika p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat x - 3x +1 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya p q + 1 dan 1 adalah: q p A. x +9x+9 =0 B. x +9x-9 =0 C. x -9x +9 =0 D. 9x +x+9 =0 E. 9x - x + 9 = 0. Jika p dan q akar-akar dan persamaan 3x - x - 5 = 0 maka persamaan yang akar-akarnya adalah (p + ) dan (q + ) adalah A. 3x 11x 14 0 D. 3x 14 x 11 0 B. x 14 x 11 0 E. x 9 x 14 0 C. x 9 x 14 0 3. Akar-akar persamaan kuadrat (p - )x + 4x + (p+) = 0 adalah dan. Jika 0, maka p = A. -3 atau -6 / 5 B.3 atau 5 / 6 C. -3 atau -5 / 6 D. 3 atau 6 / 5 E. -3 atau 5/6 4. Jika x 1 dan x akar persamaan kuadrat x - (5 - a)x - 5 = 0; dan x1 x 6 maka nilai a sama dengan : A. - atau B. -7 atau 7 C. -3 atau 3 D. 3 atau 7 E. -3 atau 7 5. Jika dalam persamaan cx + bx - c = 0 diketahui c > 0, maka kedua akar persamaan ini : A. positif dan berlainan D. negatif dan berlainan B. berlawanan E. berlainan tanda C. tidak real Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 17 SOAL UNAS Materi Pokok : Persamaan Kuadrat 1. Persamaan kuadrat x 5x + 6 = 0 mempunyai akar akar x1 dan x. Persamaan kuadrat yang akar akarnya x1 3 dan x 3 adalah. a. x x = 0 b. x x + 30 = 0 c. x + x = 0 d. x + x 30 = 0 e.
x + x + 30 = 0 Soal Ujian Nasional Tahun 007. Diketahui sebidang tanah berbentuk persegi panjang luasnya 7 m. Jika panjangnya tiga kali lebarnya, maka panjang diagonal bidang tersebut adalah m. a. 6 b.6 c.4 15 6 d.4 e.6 15 30 Soal Ujian Nasional Tahun 006 3. Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 19 m. Selisih panjang dan lebarnya adalah 4 m. Apabila disekeliling kebun dibuat jalan dengan lebar m, maka luas jalan tersebut adalah m. a. 96 b.18 c.144 d.156 e.168 Soal Ujian Nasional Tahun 006 4. Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB = cm. a. 4 b.4
c.8 d.4 e.8 4 Soal Ujian Nasional Tahun 005 kurikulum 004 5. Kawat sepanjang 10 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum, panjang kerangka (p) tersebut adalah m. a. 16 b.18 c.0 d. e.4 Soal Ujian Nasional Tahun 005 kurikulum 004 6. Diketahui akar akar persamaan kuadrat x 4x + 1 = 0 adalah dan. Persamaan kuadrat baru yang akar akarnya dan adalah. a. x 6x + 1 = 0 b.x + 6x + 1 = 0 4. x + 6x 1 = 0
e.x 8x 1 = 0 c.x 3x + 1 = 0 Soal Ujian Nasional Tahun 005 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 18 7. Persamaan x + qx + (q 1) = 0 mempunyai akar akar x1 dan x. Jika x1 + x = 4, maka nilai q =. d. 6 dan b. 6 dan c. 4 dan 4 d. 3 dan 5 e. dan 6 Soal Ujian Nasional Tahun 004 8. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat x 9x + c = 0 adalah 11, maka c =. a. 8 b. 5 c. d.5 e.8 Soal Ujian Nasional Tahun 004 9. Persamaan (1 m)x + ( 8 m )x + 1 = 0 mempunyai akar kembar, maka nilai m =. a. b. 3 c.0
d. 3 e. Soal Ujian Nasional Tahun 003 10. Jika x1 dan x adalah akar akar persamaan kuadrat x + x p = 0, p kostanta positif, maka x1 dan x x x1 =. a. 1 p b. 1 c. 1 p d. 1 p e. 1 p p Soal Ujian Nasional Tahun 00 11. Persamaan kuadrat x + (m )x + 9 = 0 mempunyai akar akar nyata. Nilai m yang memenuhi adalah. a. m 4 atau m 8 b.m 8 atau m 4 a. 4 m 8 e. 8 m 4 c.m 4 atau m 10 Soal Ujian Nasional Tahun 00 1. Peramaan kuadrat mx + ( m 5 )x 0 = 0, akar akarnya
saling berlawanan. Nilai m =. a. 4 b.5 c.6 d.8 e.1 Soal Ujian Nasional Tahun 001 13. Jika x1 dan x adalah akar akar persamaan kuadrat x + px + 1 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar - akarnya dan x1 + x adalah. x1 x a. x px + 3p = 0 b.x + px + 3p = 0 a. x 3px + p = 0 e.x + px + p = 0 c.x + 3px + p = 0 Soal Ujian Nasional Tahun 001 14. Akar akar persamaan x + px q = 0 adalah p dan q. Jika p q = 6 maka nilai pq =. a. 6 b. c. 4 d. 6 e. 8 Soal Ujian Nasional Tahun 000 1. C 1.B. C 13. C 3. B 14. E 4. E
5. C 6. A 7. E 8. B 9. A 10. A 11. A Tidak ada kebanggaan, kecualisaat mampu memecahkan persoalan Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 19