Vol. 4. No. 1, 41-45, Aril 2001, ISSN : 1410-8518 KETERHUBUNGAN GALOIS FIELD DAN LAPANGAN PEMISAH Bambag Irawato Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstact I this aer, it was leared of the ecessary ad sufficiet coditio for fiite field with elemets, rime ad 1 a iteger. A field F is a etetio field of a field K if K subfield F. The etesio field F of field K is Slittig field of collectio oliomial { f i () i I } of K if F smallest subfield K cotaiig K ad all the zeros i K of the oliomial f i (). The zeros of oliomial f i () are elemets of field F ad the elemets of F is fiite the F is fiite field (Galois fileld). F is fiite with elemets, rime ad 1 a iteger if oly if F is Slittig field of - over Z. Keywords : etetio fields, slittig fields, fiite fields. 1. PENDAHULUAN Laaga adalah daerah itegral yag setia eleme yag tidak ol memuyai ivers terhada ergadaa. Laaga disebut laaga berhigga jika laaga memiliki jumlah eleme yag berhigga. Laaga berhigga serig juga disebut dega Galois Field (Raisighaia, M.D, 1980). Salah satu motivasi yag melatarbelakagi egertia dari Galois Field yaitu laaga erluasa F atas laaga K da K adalah sub field dari F (Hugerford, T. W, 1984). Misalka laaga K, oliomial f () K[] da a K adalah akar dari f () jka da haya jika ( a) faktor dari f () (Hugerford, 1984). Dalam tulisa ii dielajari hubuga Galois Field dega laaga emisah. 41
Keterhubuga Galois Field (Bambag Irawato) 2. LAPANGAN PEMISAH Laaga F disebut laaga erluasa atas laaga K jika K subfield dari F (Hugerford,T. W, 1984). Misal laaga F dega karakteristik (rima) maka F memuat sub field yag isomorfis dega Z, jika karakteristik F sama dega 0 maka F memuat sub field yag isimorfis dega Q (himua bilaga rasioal). Jika oliomial tak ol f () K [] da α F sedemikia higga f (α) = 0 maka α disebut eleme aljabar sebalikya disebut trasedetal (Fraleigh, J. B, 1994). Defiisi 1. F laaga erluasa atas laaga K. Misal himua K F = {α F / α aljabar atas K} disebut eutu aljabar (aljabaraic closure). Defiisi 2. Misal K suatu laaga dega eutu aljabar (algebraic closure) K. { f i () / i I } koleksi dari oliomial-oliomial dalam K[]. Suatu laaga F K disebut laaga emisah (slittig field) dari { f i () / i I }atas K jika F adalah sub field terkecil dari K yag memuat K da semua akar dalam K dari setia fi(), utuk i I. Suatu laaga F K adalah laaga emisah (slittig field) atas K, jika F K adalah laaga emisah (slittig field) dari himua sebarag dari oliomial-oliomial dalam K[]. Semua laaga K da semua f() K[] sedemikia higga deg (f) 1, terdaatlah erluasa F dari K yag meruaka laaga emisah utuk (f) atas K (Dea R.A, 1996). 3. GALOIS FIELD Laaga dega jumlah eleme berhigga disebut Galois Field. meulis bahwa setia eleme dari laaga berhigga K dega rima memeuhi ersyarata =. (Raisighaia, MD, 1980). Teorema 1. Misal F suatu laaga dega eleme dega rima yag termuat dalam eutu aljabar Z dari Z maka eleme-eleme F adalah akarakar di Z dari oliomial Z[] } 42 - Z[] atau F = { a Z / akar dari -
Vol. 4. No. 1, 41-45, Aril 2001, ISSN : 1410-8518 Bukti : Padaga himua F* yag meruaka himua eleme-eleme yag tidak ol dalam F. Jelas meruaka F* gru multilikatif, dega order 1. Utuk α F*, order dari α dalam gru multilikatif membagi order 1 dari gru. Jadi utuk α F* dieroleh 1 α = 1, α α =. Sehigga utuk setia α F adalah akar dari ( - ) Z [] alig bayak maka F memuat teat akarakar dari -, atau F = { a Z / a akar-akar dari ( - ) eleme Z [] }. Selajutya ditujukka bahwa Z termuat di dalam F, berarti utuk setia a Z meruaka akar dari ( dega iduksi Matematika. - ) atau utuk setia a Z memeuhi (i) Bear utuk 1, sebab a -1 = 1, jadi a = a. a = a. Bukti (ii) Jika bear utuk = k maka bear utuk = k + 1. Meurut hiotesis iduksi bear utuk = k, maka a k = a, selajutya a (k +1) = a k. = (a k ) = a = a. Jadi a (k+1) = a sehigga bear utuk = k + 1 jadi bear utuk setia, yag berarti terbukti bahwa utuk setia a Z memeuhi a = a. Berarti F adalah subfield dari Z terkecil yag memuat Z da semua akar-akar dari ( - ) Z []. Jadi F laaga emisah dari - atas Z. Misal K suatu laaga dega eutu aljabar (algebraic closure) K. {f i () / i I }koleksi dari oliomial-oliomial dalam K[]. Suatu laaga F K disebut laaga emisah (slittig field) dari { f i () / i I } atas K jika F adalah sub field terkecil dari K yag memuat K da semua akar dalam K dari setia f i (), utuk i I. Suatu laaga F K adalah laaga emisah (slittig field) atas K, jika F K adalah laaga emisah (slittig field) dari himua sebarag dari oliomial-oliomial dalam K []. Semua laaga K da semua f() K [] sedemikia sehigga deg (f) 1, terdaatlah erluasa F dari K yag meruaka laaga emisah utuk f() 43
Keterhubuga Galois Field (Bambag Irawato) atas K (Dea R. A, 1996). Sedagka jika F suatu laaga dega karakteristik rima 0 maka oliomial f() = - F[] utuk 1 memiliki akarakar yag berbeda. (Raisighaia,MD, 1980). Teorema 2. Misal rima da 1 adalah bilaga bulat, akar-akar oliomial - Z[] dalam laaga emisah atas Z yag semua berbeda membetuk laaga F dega eleme. Bukti : Misal oliomial f() = -, maka f 1 () = 1-1, karea rima da f() oliomial dalam laaga emisah Z jadi f 1 () = 0. 1-1 = -1 0 sehigga f() memiliki akar-akar yag berbeda oliomial f() 1 - berderajat da memiliki akar-akar yag semua berbeda sehigga jumlah akar-akarya akar. Misal F himua semua akar-akar dari f() atau F = { a Z a akar dari f() = - } aka ditujukka bahwa F adalah laaga. Ambil a, b F maka a - a = 0 jadi a = a begitu juga b - b = 0 maka b = b, sehigga (a + b) - (a + b) = 0 dieroleh (a + b) = (a + b) selajutya utuk (a b -1 ) = a (b ) 1 = a b -1 Jadi F adalah laaga, karea jumlah akarya maka F adalah laaga dega eleme atau GF ( ). 4. KESIMPULAN 44 F adalah laaga dega eleme dimaa rima da 1 bilaga bulat bila da haya bila F meruaka laaga emisah dari 5. UCAPAN TERIMA KASIH - atas Z. Pada kesemata ii kami meyamaika ucaa terima kasih yag sebesar-besarya keada Prof. Drs. Setiadji, MS atas bimbigaya.
Vol. 4. No. 1, 41-45, Aril 2001, ISSN : 1410-8518 DAFTAR PUSTAKA 1. Dea R. A, Elemet of Abstract Algebra, Joh Wiley & Sos, USA, 1966. 2. Fraleigh, J. B, A First Course i Abstract Algebra, Addiso Wesley Publishig Comay, USA, 1994. 3. Hugerford, T. W, Graduete Tet i Mathematics Algebra, Sriger Verlag, New York, 1984. 4. Raisighaia M. D, Aggarwal R. S, Moder Algebra, S Chad & Comay Ltd, New Delhi, 1980. 45