BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: = f(x, y) M(x, y) + N(x, y) = 0 Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika PDB dapat disusun dalam bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana. = f (x), maka persamaan Contoh1: maka = 3x2 6x + 5 y = (3 x 2 6x + 5) = x 3 3x 2 + 5x + c Contoh2: maka sehingga x = 5x3 + 4 = 5x2 + 4 x y = 5 3 x3 + 4ln x + c Nilai c tidak dapat ditentukan kecuali jika dalam persamaan di atas diberi keterangan syarat (sebuah nilai y untuk x tertentu). Solusi dengan nilai konstanta sembarang atau c disebut solusi umum/primitif, sedangkan solusi disebut khusus jika nilai c dapat dihitung. Contoh3: Tentukan solusi khusus persamaan berikut jika y=3 untuk x=0: e x = 4

Penyelesaian maka x e = 4 sehingga = 4e x y = 4e x = 4e x + c dengan mengetahui y=3 untuk x=0 dapat dihitung nilai c yaitu y = 4e x + c menjadi 3 = 4 + c ; c = 7 sehingga solusi khusus adalah: y = 4e x = 4e x + 7 Penyelesaian PDB orde satu dengan pemisahan variabel Jika persamaan diferensial berbentuk = f(x, y), yaitu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan sebagai perkalian atau pembagian fungsi x dan fungsi y, maka penyelesaian PD dengan cara memisahkan variabelnya sehingga faktor y bisa kita kumpulkan dengan dan faktor x dengan. contoh: selesaikan PD berikut = (1 + x)(1 + y) maka jika kita pisahkan berdasarkan variabelnya menjadi: 1 = (1 + x) (1 + y) jika kita integrasikan kedua ruas menjadi: 1 = (1 + x) (1 + y) ln(1 + y) = x + 1 2 x2 + c Persamaan Homogen substitusi y=vx tinjau persamaan diferensial berikut: = x + 3y 2x persamaan di atas tidak dapat diselesaikan dengan cara memisahkan variabelnya. Dalam hal ini kita lakukan substitusi y =vx, dengan v adalah fungsi x. Sehingga penyelesaiannya:

dari y = vx dideferensialkan menjadi sehingga Persamaan sekarang menjadi: x + 3y 2x = v + x dv = 1 + 3v 2 v + x dv = 1 + 3v 2 x dv = 1 + 3v 2 kedua ruas diintegrasikan menjadi: substitusi v=y/x didapatkan v = 1 + v 2 2 1 + v dv = 1 x 2 1 + v dv = 1 x 2ln(1 + v) = lnx + c (1 + v) 2 = c. x (1 + y x )2 = c. x atau (x + y) 2 = c. x 3 Persamaan Linier dalam bentuk Untuk PD yang berbentuk + Py = Q + Py = Q dengan P dan Q fungsi x atau konstanta maka penyelesaian PD dengan mengalikan kedua ruas dengan faktor integrasi e P. Contoh, selesaikan PD berikut: y = x Penyelesaian dari persamaan diperoleh P = -1 dan Q = x faktor integrasinya e P = e x jika kedua ruas persamaan dikalikan dengan e x maka:

e x ( y) = e x (x) x e e x. y = e x. x d {e x y} = e x. x d {e P. y} = e P. x = e P. Q sehingga penyelesaiannya d(e x y) = e x. x e x. y = e x. x + e x = e x. x e x + c y = x 1 + c /e x dari contoh di atas jika faktor integrasi e P = μ, maka PD linier orde satu bisa dinyatakan dalam bentuk d (μ. y) = μ. Q dengan bentuk di atas, penyelesaiannya menjadi: μ. y = μq + c atau y. e P = e P. Q + c Persamaan Bernoulli berbentuk + Py = Q yn PD yang berbentuk + Py = Q yn dengan P dan Q fungsi x atau konstanta diselesaikan dengan cara: Pertama, membagi kedua ruas dengan y n sehingga persamaan menjadi n y + P y1 n = Q Kedua, misalkanlah z = y 1 n sehingga dz = d(y1 n ) dz = (1 n) y n supaya suku pertama didapat dz n) didapat: maka persamaan pertama dikalikan (1- (1 n)y n + (1 n)p y1 n = (1 n)q

dz + P 1. z = Q 1 (PD Linier) dengan P1 dan Q1 fungsi x atau konstanta. Persamaan terakhir dapat diselesaikan dengan faktor integrasi. Setelah diperoleh penyelesaian untuk z, dengn substitusi z = y 1 n kita dapatkan y. contoh, selesaikan PD berikut: + y x = x. y2 penyelesaian kedua ruas dibagi y 2 menjadi 2 y + y 1 x = x misalkan z = y 1 n, n=2 sehingga z = y 1 dan dz = y 2 supaya suku pertama didapat dz maka persamaan dikali -1, diperoleh: 2 y y 1 x = x dz z x = x PD Linier faktor integral e P dimana P = 1 x maka e P = e 1 x = e lnx = e lnx 1 = 1 x bentuk umum penyelesaian PD linier didapat: μ. y = e P. Q + c sehingga 1 x. z = 1 x. ( x) + c z x = x + c z = cx x 2 karena z = y 1 maka y 1 = cx x 2 y = (cx x 2 ) 1

Persamaan Diferensial Eksak PDB dalam bentuk: M(x, y) + N(x, y) = 0 dikatakan eksak jika terdapat fungsi Q(x,y), sedemikian sehingga δq δx = M(x, y) dan δq = N(x, y). Dengan mengingat diferensial total dari fungsi Q(x, y), maka disimpulkan bahwa persamaan M(x, y) + N(x, y) = 0 eksak jika dan hanya jika: δm = δn δx Langkah-langkah untuk menyelesaikan PD Eksak adalah sebagai berikut: Langkah 1. Tuliskan PD dalam bentuk diferensial : M(x, y) + N(x, y) = 0 Langkah 2. Uji ke-eksak-an PD: δm = δn δx Langkah 3. Jika eksak, integralkan M terhadap x atau N terhadap y. Misal dipilih M, maka : Q(x, y) = M(x, y) + g(y) Langkah 4. Turunkan Q terhadap y dan samakan hasilnya dengan N(x,y) N(x, y) = δ ( M(x, y)) + g (y) Langkah 5. Integralkan g'( y) untuk memperoleh g(y) Langkah 6. Tuliskan penyelesaian umum dalam bentuk implisit: Q(x, y) = C. Langkah 7. Tentukan C jika diberikan kondisi awal tertentu. Contoh: Selesaikan PDB Penyelesaian: = x 2y y 2 2x, y(0)=3 Langkah 1. Bentuk diferensial PD adalah : Langkah 2. Uji ke- eksak-an PD ini: (x-2y) + (y 2-2x) = 0

δm δn = 2 ; δx = 2 Langkah 3. Misal dipilih M untuk diintegralkan, maka : Q(x, y) = M(x, y) + g(y) = (x 2y) + g(y) = 1 2 x2 2xy + g(y) Langkah 4. Menyamakan turunan Q(x,y) terhadap y dengan N(x,y): δ (1 2 x2 2xy + g(y)) = y 2 2x 0 2x + g (y) = y 2 2x g (y) = y 2 Langkah 5. Integralkan g'( y), diperoleh : g(y) = 1 3 y3 Langkah 6. Penyelesaian umum dalam bentuk implisit Q(x,y)=c: 1 2 x2 2xy + 1 3 y3 = c Langkah 7. Dengan kondisi awal y(0) = 3, diperoleh C = 9, sehingga penyelesaian khususnya adalah : 1 2 x2 2xy + 1 3 y3 = 9 Persamaan Diferensial Tak-Eksak Jika suatu PD orde satu berbentuk mempunyai sifat: M(x, y) + N(x, y) = 0 δm δn δx maka PD tersebut disebut PD Tak-Eksak. Suatu PD tak eksak dapat diubah ke PD eksak dengan mengalikan persamaan dengan suatu faktor yang tepat, yang disebut faktor pengintegralan (integrating factor). Pada bagian sebelumnya, kita mengenal faktor integral: μ(x) = e P(x) untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier order satu dalam bentuk:

+ P(x)y = Q(x) Faktor integral μ(x) = e P(x) akan membawa persamaan diferensial linier order satu berbentuk + P(x)y = Q(x) menjadi PD eksak. Secara umum suatu faktor integral adalah faktor μ(x, y) dapat mengubah persamaan diferensial tidak eksak menjadi persamaan diferensial eksak. Contoh: Tunjukkan bahwa x + (2y xex ) = 0 tidak eksak, tetapi dengan mengalikan dengan faktor μ = x PD tersebut menjadi eksak. Kemudian selesaikan! Penyelesaian : Uji ke-eksak-an, δ (2y xex ) = 2 dan δ δx (x) = 1 Jadi PD adalah tidak eksak. Dengan mengalikan faktor integral x diperoleh: x 2 + (2xy x 2 e x ) = 0 PD eksak δm = δ(2xy x2 e x ) = 2x ; δn δx = δ(x2 ) δx = 2x dari langkah-langkah penyelesaian PD eksak, maka: Q(x, y) = x 2 y x 2 e x + 2xe x 2e x + g(y) jika diketahui: δ Q(x, y) = N(x, y) maka x 2 + g (y) = x 2 g (y) = 0 g(y) = 0 jadi solusi PD adalah: Q(x, y) = c x 2 y x 2 e x + 2xe x 2e x = c Menentukan Faktor Itegrasi Jika M(x, y) + N(x, y) = 0 PD tak eksak dan μ(x, y) faktor integrasi, maka μ(x, y)m(x, y) + μ(x, y)n(x, y) = 0 adalah PD eksak, sehingga atau δμm = δμn δx

δμ M + δm ( δm δn δμ ) μ = δx δx μ = δμ δn μ = N + δx δx μ N δμ M ( δμ δμ M δx N) ( δm δn δx ) ada beberapa kasus, yaitu: (1) Faktor integrasi hanya fungsi x saja atau μ(x, y) = μ(x) maka: μ = (0 δμ δx N) ( δm δn δx ) δm δn δx = N δμ μ δx 1 ( δm μ δμ = δn δx ) N ( δm δn δx ) lnμ = N δm ( μ = e δn δx ) N Jadi jika ( δm δn δx ) N menghasilkan fungsi x saja maka μ(x, y) = μ(x). (2) Faktor integrasi hanya fungsi y saja atau μ(x, y) = μ(y) maka:

Kesimpulan: Faktor integrasi ditentukan dengan menghitung δm δn δx kemudian membaginya sehingga diperoleh fungsi yang mandiri. Contoh:

dari sini seperti contoh sebelumnya dapat ditunjukkan dengan mengalikan x pada persamaan dihasilkan PD eksak.

Penerapan PDB orde satu: Trayektori Ortogonal Definisi Diketahui keluarga kurva pada bidang XY yang dinyatakan oleh persamaan F(x, y, k)= 0 dengan k = parameter. Kurva yang memotong tegak lurus kurva-kurva tersebutdinamakan trayektori ortogonal dari kurva F. Contoh Diberikan keluarga kurva y = mx dan y 2 + x 2 = k 2 yang disajikan pada satu sistem koordinat kartesius seperti Gambar di bawah ini. Gambar Keluarga kurva y = mx dan y 2 + x 2 = k2. Terlihat bahwa suatu garis berpotongan dengan suatu lingkaran. Garis arah antara lingkaran (pada titik potong) dan garis adalah saling tegak lurus atau ortogonal, karena itu kedua kurva dikatakan ortogonal di titik potongnya. Dengan kata lain garis lurus y = mx adalah trayektori ortogonal dari keluarga lingkaran tersebut. Sebaliknya dapat dikatakan juga bahwa setiap lingkaran merupakan trayektori ortogonal dari garis y = mx. Langkah-langkah menentukan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva F(x, y, k) = 0:

Langkah 1. Langkah 2. Ditentukan persamaan diferensial untuk keluarga kurva, yaitu y = f (x, y, k ) Disubstitusikan k = F(x, y) untuk memperoleh persamaan diferensial implisit bagi F(x, y, k) = 0 berbentuk = f(x, y) Langkah 3. Dituliskan persamaan diferensial yang berkaitan untuk keluarga ortogonal, yaitu = 1 f(x, y) Langkah 4. Diselesaikan persamaan diferensial baru. Penyelesaiannya adalah keluarga trayektori ortogonal. Contoh Tentukan keluarga trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut ini. y = cx 2. Penyelesaian Langkah I Persamaan diferensial untuk keluarga kurva y = cx 2 yaitu = 2cx Langkah 2 Disubstitusikan c = y x2 untuk memperoleh persamaan diferensial implisit: = 2 y 2y x = x2 x Langkah 3 Persamaan diferensial untuk keluarga ortogonal yaitu = 1 f(x, y) = 1 = x 2y 2y x Langkah 4 Selesaikan persamaan diferensial baru = x 2y = x 2y 2y = x y 2 = 1 2 x2 + k1 2y 2 + x 2 = k Jadi, persamaan trayektori ortogonal untuk keluarga kurva y = cx 2 adalah: 2y 2 + x 2 = k Penerapan PDB orde satu: Rangkaian Listrik

Rangkaian listrik sederhana adalah rangkaian seri. Rangkaian ini terdiri atas: 1. suatu baterai atau generator yang menghasilkan tenaga gerak listrik (electromotive force atau e.m.f / tegangan atau potensial) sebesar E volt 2. suatu penghambat (resistor) dengan pembatas sebesar R ohm 3. suatu induktor dengan induktansi sebesar L henry. 4. suatu kapasitor dengan kapasitansi sebesar C farad Arus I yang diukur dalam Ampere adalah laju perubahan sesaat muatan Q pada kapasitor yang diukur dalam coulomb terhadap waktu, yaitu I=dQ/dt. Dari prinsip dasar kelistrikan, kita memperoleh: Potensial yang dihasilkan pada resistor adalah, ER= I.R (a) Potensial yang dihasilkan pada induktor adalah, EL = L. di/dt (b) Potensial yang dihasilkan pada kapasitor adalah, EC = Q/C, karena: I(t) = dq dt maka E C = 1 t I(t)dt C 0 Hukum Kirchoff a. Jumlah aljabar arus yang mengalir ke dalam suatu simpangan adalah nol b. Jumlah aljabar potensial yang dihasilkan sepanjang suatu loop tertutup adalah nol. (c) RANGKAIAN RL

Untuk rangkaian RL seperti Gambar di atas dan berdasarkan hukum tegangan Kirchoff serta (a) dan (b), diperoleh: L di + R. I = E(t) dt (d) Kasus A. Jika E(t) = E0 (konstanta), maka dari (d) diperoleh PD: di dt + R L. I = E 0 L PD diselesaikan dengan faktor integral yaitu: I(t) = e R L dt ( E 0 R L e L dt dt + k) = E 0 R + ke R L t Jika t = tak hingga maka ke R L t = nol, sehingga I(t) sama dengan nilai batas E0 /R. Penyelesaian khusus untuk syarat awal I(0) = 0 adalah I(t) = E 0 R R (1 e L t ) Kasus B. Jika E(t) = E0 sinωt, maka dari (d) diperoleh PD: di dt + R L. I = E 0 sin ωt L PD diselesaikan dengan faktor integral yaitu: I(t) = e R L dt ( E 0 L R sin ωt e L dt dt + k) dan dengan integrasi parsial diperoleh penyelesaian umum: I(t) = ke R L t + E 0 R 2 + ω 2 (R sin ωt ωl cos ωt) L2