1 ANALISIS PENGUKURAN Ralat (Uncertainties), Perambatan ralat (Propagation of Error), Pencocokan Kuadrat tekecil (Least Square Fitting), dan Analisis Grafik 1. Pengukuran 1.1 Ralat dalam Pengukuran Dalam dunia ideal pengukuran selalu sempurna. Papan kayu dapat dipotong berukuran x 3 meter persegi tepat. Balok aluminium bermassa 4 kilogram. Semua pengukuran bernilai eksak, perhitungan hasil ukur menjadi sangat sederhana. Namun sayangnya eksperimen dilakukan dalam dunia real, bukan dunia ideal. Dalam dunia real pengukuran tidak pernah sempurna. Alat ukur memiliki keterbatasan, tidak precisi dan tidak akurat. Ketidaksempurnaan yang inheren di dalam pengukuran eksperimental disebut ralat (uncertainty/ketidakpastian). Ralat harus disertakan setiap pengukuran dilakukan. Notasi untuk menyatakan hasil ukur beserta ralatnya adalah: (estimasi terbaik ralat) satuan Gambar 1 Pengukuran dan ralat: g = (9.801 ± 0.00) m/s Misal pengukuran menghasilkan g = (9.801 ± 0.00) m/s seperti ditunjukkan anak panah. Pengukuran ini dapat diinterpretasikan berada diantara (9.801 + 0.00) m/s and (9.801-0.00) m/s, atau pada interval 9.799 m/s < g < 9.803 m/s. Maka tampak bahwa pengukuran eksperimental bukan merupakan nilai eksak namun jangkau / interval dari nilai kemungkinan. Jangkau ini ditentukan oleh ralat. Di bawah ini diberikan dua contoh pengukuran: V=(4.000 ± 0.00) m 3 G=(6.67 ± 0.01) x 10-11 Nm /kg
Ketentuan yang dipakai untuk menyatakan pengukuran adalah: Taksiran terbaik dan ralat harus memiliki jumlah digit setelah titik desimal yang sama. Jika ditulis dalam notasi aljabar menjadi: ( X ± δx) Notasi delta sesuai perjanjian menyatakan ralat. Bagaimana kita menentukan ralat di laboratorium? 1. Ralat dalam Pengukuran Eksperimental Karena pengukuran eksperimental dituliskan dalam bentuk pasangan bilangan maka pengukuran yang lengkap baik taksiran maupun ralatnya harus diperoleh. Taksiran terbaik dapat ditentukan secara sederhana dengan membaca skala atau tampilan digital, namun penentuan ralat menjadi lebih rumit. Perjanjian yang digunakan bahwa ralat di dalam pengukuran merupakan ukuran skala terkecil pada alat ukur yang digunakan. Misal, jika skala digital menampilkan 1.35 g, maka pengukuran dinyatakan dengan (1.35 ± 0.01) g karena alat ukur yang digunakan mampu mengukur increment 0,01 g. Untuk alat ukur analog seperti meteran maka skala terkecil merupakan tanda pembagian terkecil pada alat. Oleh karena itu pengukuran terkecil yang mampu dilakukan oleh meteran hanya dalam 1 milimeter, sehingga ralat untuk meteran adalah 1 mm, seperti (0.353 ± 0.001) m. 1.3 Persentase Ralat Pengukuran Penting dan dianjurkan menentukan kualitas hasil ukur. Untuk menentukan bagaimana hasil ukuran dibadingkan dengan hasil ukur yang diperoleh dengan alat ukur lain digunakan konsep persentase ralat. Persentase menjadikan kita bias membandingkan antara apel dan jeruk. Contohnya, manakah dari pengukuran panjang atau massa yang menyebabkan percepatan gravitasi memiliki ralat besar. Persentase ralat dari hasil pengukuran didefinisikan sebagai rasio antara ralat pengukuran dengan taksiran terbaiknya kemudian dikalikan dengan 100%. Sebagai contoh pengukuran menghasilkan M M. Persentase ralat adalah: M Persentase ralat: 100% M 1.4 Ralat tak langsung (Implied Uncertainties) Pada buku teks Fisika mungkin anda tahu bahwa semua hasil ukur dinyatakan tanpa ralat. Ini bukan berarti pengarang dapat mengukur besaran secara
3 eksak, namun semata-mata hanya untuk alasan praktis. Ralat disini merupakan ralat tidak langsung, atau implisit (implied). Untuk pengukuran yang mengadung ralat tak langsung, maka ralat sesungguhnya didefinisikan dengan tempat desimal signifikan terkecilnya. Contoh, jika suatu buku menyatakan bahwa percepatan gravitasi bumi g = 9.80146 m/s, maka ralat tak langsungnya adalah 0.00001 m/s sehingga kita dapat menuliskan: g g = (9.80146 ± 0.00001) m/s.. Kesesuaian dan ketidaksesuaian (Agreements and Discrepancies) Salah satu hal yang penting untuk dilakukan jika telah memperoleh hasil pengukuran adalah membandingkan dengan hasil ukur yang lain. Ada dua tipe pembandingan hasil ukur yaitu: (1) membandingkan dengan hasil yang telah standar; dan () melakukan beberapa pengukuran kemudian membandingkan antar hasil pengukuran tersebut. Untuk kedua kasus ini dibutuhkan perjanjian apakah dibandingkan dengan hasil standar ataukah dibandingkan dengan hasil ukur yang lain. Secara numerik juga dibutuhkan seberapa dekat satu hasil ukur terhadap hasil ukur yang lain. Dua pengukuran dikatakan sesuai jika keduanya memiliki nilai bersama; yaitu jangkau ralat yang overlaping. Overlaping dari jangkau ralat bisa total sehingga dalam hal ini hasil pengukuran memiliki nilai taksiran dan ralat terbaik, atau secara parsial, dalam hal ini hanya beberapa nilai yang sama antara kedua hasil ukur. sesuai sesuai tak sesuai Gambar. Sesuai dan tidak sesuai Pada gambar tersebut disajikan contoh 3 hasil pengukuran yang berbeda-beda. Estimasi paling baik jika garis masuk pada kotak. Selanjutnya jika hasil ukur berbeda maka perlu diketahui besarnya ketidaksesuaian. Untuk hal ini digunakan istilah ketaksesuaian (discrepancy). Ketaksesuaian (Z) antara pengukuran eksperimental (XX) dan pengukuran yang lain (biasanya secara teoritis atau pengukuran standar) (YY) adalah:
4 X Y Z 100% Y Catatan: jika kita akan menentukan ketaksesuaian maka yang dipakai hanya nilai estimasi terbaiknya dan bukan ralatnya. Jika anda akan membandingkan dua hasil eksperimental yang anda lakukan, maka gunakanlah data yang pertama sebagai standar dan kemudian hitunglah ketaksesuaian data kedua terhadap data pertama. Contoh: Dengan penimbangan, pemanasan untuk mengeluarkan air, dan kemudian menimbang lagi, seorang murid menentukan persentase air di dalam hidrat dari SrCl sebanyak 40.8%. Berapa persen ralatnya jika rumus ikatan kimia sesungguhnya adalah SrCl.6HO? 6H Persentase riil air dalam hidrat: O 108 100% x 100% 40.3%. SrCl.6HO 68 40.3-40.8 Persentase kesalahan = x 100% 1% 40.3 Hitung persen kesalahan dari setiap penentuan kandungan berikut yang dikerjakan di laboratorium: 1. Massa molar CO is 43.79 g/mol.. Kapasitas panas Cd is 0.197 J/g.C. (Nilai teoritis 0.31 J/g.C) 3. Konstanta ionisasi CH3COOH adalah 1.85 x 10-5. (Nilai teoritis 1.75 x 10-5 ) 4. Titik lebur timah 44 C. (Nilai teoritis 3 C)..1 Precisi (cermat) dan Akurasi (tepat) Dalam bahasa sehari-hari precisi dan akurasi sering dipertukarkan. Pada bidang sains keduanya memiliki arti berbeda. Precisi menentukan dapat diulangulangnya hasil ukur (repeatability). Precisi melukiskan seberapa tepat hasil pengukuran berikutnya mendekati hasil pengukuran sebelumnya. Semakin kecil presentase semakin tinggi precisinya. Akurasi melukiskan seberapa cocok hasil pengukuran dengan yang telah diketahui yaitu ukuran standar. Ukuran akurasi adalah ketidaksesuaian seperti yang telah dijelaskan di atas.
5 Gambar 3. Penggambaran perbedaan precisi dan akurasi. (a) Precisi tetapi tidak akurat, (b) Akurat tetapi tidak precisi. Precisi ada dua macam: 1. precisi mutlak. precisi relatif Pada precisi mutlak, besarnya ralat dinyatakan dengan satuan yang sama dengan hasil ukurnya, sedangkan precisi relatif besarnya ralat harus dibagi dengan hasil ukur. Contoh: Nilai benar = 30 _ Jika suatu pengukuran menghasilkan: x = 3 maka dikatakan precisi tetapi tidak akurat karena kesalahan sistematisnya terlalu besar. x = 8 7 maka akurat tetapi tidak precisi karena hasil pengukuran di sekitar 30 namun kesalahan acaknya terlalu besar. Jadi pengukuran harus akurat dan precisi 3. Perambatan ralat Di laboratorium kita membutuhkan penggabungan beberapa hasil pengukuran seperti penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Namun hasil pengukuran terdiri dari bagian yaitu taksiran dan ralat. Untuk bagian nilai estimasi, operasi dijalankan sebagaimana biasa, namun untuk ralat data tidak dilakukan seperti operasi biasa. Oleh karena itu digunakan perambatan ralat dengan asumsi jika nilai estimasi digabungkan maka ralatnya menjadi bertambah. Disini akan ditunjukkan bagaimana menggabungkan hasil ukur dan ralatnya. Perambatan ralat yang biasa dipakai sudah benar, sedangkan yang ditampilkan disini adalah
6 nilai terjelek dari perambatan ralat. Sebenarnya hal ini tidak selalu tepat karena tidak pasti masing-masing hasil ukur menghasilkan ralat. Cara yang benar adalah dengan mengambil akar-jumlah kuadrat dari ralat. Namun cara ini sangat komplek. Oleh karena itu di bawah ini diberikan aturan aljabar yang disertai dengan ralat. Penjumlahan: Ralat pengukuran akhir merupakan jumlah dari ralat pengukuran awalnya. Pengurangan: Ralat pengukuran akhir merupakan jumlah dari ralat pengukuran awalnya. Perkalian: Ralat pengukuran akhir diperoleh dengan menjumlahkan persentase ralat pengukuran awalnya dan kemudian mengalikannya dengan hasil kali nilai estimasi masing-masing. Hal ini dapat diturunkan dengan mudah dengan asumsi bahwa ralat sangat lebih kecil daripada nilai estimasi terbaiknya. Dengan demikian jika kedua suku ruas kiri dikalikan maka suku AB dapat diabaikan. Dengan menyusun kembali akan memberikan hasil pada ruas kanan. Jika kita kana mengalikan tiga pengukuran sekaligus maka hasilnya menjadi: dan seterusnya. Catatan: persamaan di atas secara matematis jika salah satu A atau B nol maka hasilnya tak terdefinisikan. Dalam keadaan demikian asumsi bahwa ralat lebih kecil dari nilai estimasi terbaiknya tidak benar sehingga harus dipastikan benar bahwa suku-sukunya tidak demikian baru menghitungnya. Pembagian: ralat pada pengukuran akhir diperoleh dengan menjumlahkan persentase ralat pengukuran awal dan kemudian mengalikan jumlah tersebut dengan pembagian hasil ukurnya.
7 Rumus tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan ekspansi binomial bagian penyebut dengan asumsi bahwa ralat-ralatnya sangat kecil dibandingkan nilai estimasi terbaiknya. Contoh: menghitung kecepatan rata-rata pelari yang menempuh jarak D D = (100.0 0.)m dalam t t = (9.85 0.1) s. Dalam contoh ini ralat akhir umumnya disumbang oleh ralat pengukuran t yang tampak dari persentase ralatnya yaitu t/t~1.% sedangkan untuk D, D/D~0.0%. Maka jika kita ingin memperbaiki ralat dari kecepatan rata-rata maka pertama-tama yang kita perbaiki adalah cara mengukur waktu, misalnya dengan mengukur membeli stop watch yang lebih baik sebelum membeli meteran yang baik. Catatan: selama proses perhitungan maka tempat desimal dipertahankan, baru setelah sampai pada hasil akhir maka dibulatkan. Operasi aljabar yang lain adalah: Inversi: Perkalian dengan suatu konstanta: Akar : Bandingkan dengan cara lebih teliti 1. Penjumlahan dan pengurangan: Jika C = A + B atau C = A - B, maka σc = (σa + σb ) 1/ Jika C = ra + sb, dengan r dan s konstanta, maka
8 σc = [(rσa) + (sσb) ] 1/ Jika C = f(abc), dimana f(abc) berarti suatu fingsi dalam variabel A, B, and C, maka C C A A C B B C C C. Perkalian atau pembagian: Jika C = AB n, maka dan σc/c = [(σa/a) + (nσb/b) ] 1/ σc = C[(σA/A) + (nσb/b) ] 1/ 4. Pembulatan pengukuran Semua yang dijelaskan di atas merupakan cara memperoleh dan menganalisis hasil ukur di laboratorium. Bagian ini akan membahas bagaimana menyajikan hasil akhir secara benar. Ada dua konsep mayor. Angka signifikan adalah jumlah angka pengukuran yang memiliki arti Karena kita tahu bahwa semua pengukuran memiliki keterbatasan, maka ada satu tempat desimal pada setiap pengukuran yang memiliki tingkat akurasi tertinggi. Sebagi contoh, jika kemampuan baca anda hanya 0.1 g maka tak ada faedahnya membuat estimasi hingga 433.33333g. Kita hanya akan melaporkan yang kita tahu sehingga cara yang benar untuk menuliskan estimasi terbaik adlah 433.3g. Estimasi terbaik ini memiliki 4 angka signifikan. Pembulatan dapat diselesaikan sehingga estimasi terbaik dan ralatnya sesuai pada bagian tempat desimalnya. Tidak ada gunanya menulis keduanya dalam tempat desimal yang berbeda. Contoh, hasil pengukuran dapat dituliskan (433.3333±0.1)g atau (433±0.1)g keduanya mengandung pesan mengenai akurasi pengukuran anda. 4.1 Angka Penting
9 Angka signifikan merupakan semua digit dalam besaran Fisika yang memiliki arti atau sesuai dengan akurasi pengukuran besaran Fisika tersebut. Angka nol yang berada pada titik desimal tidak memiliki signifikansi. Setiap pengukuran memiliki sejumlah angka signifikan. Ketentuan angka penting 1. Semua angka bukan nol adalah angka penting. Angka nol yang terletak diantara dua angka bukan nol termasuk angka penting 3. Semua angka nol yang terletak pada deretan akhir dari angka-angka yang ditulis di belakang koma desimal termasuk angka penting 4. Angka-angka nol yang digunakan hanya untuk tempat titik desimal bukan angka penting 5. Bilangan-bilangan puluhan, ratusan, ribuan dan seterusnya yang memiliki angka-angka nol pada deretan akhir harus dituliskan dalam notasi ilmiah agar jelas apakah angka nol tersebut anagka penting atau bukan. 836,5: 4 angka penting 75,006: 5 angka penting 0,006: 1 angka penting 0,0060: angka penting 8900 jika ditulis menjadi: 8,9 x 10 3 : angka penting 8,90 x 10 3 : 3 angka penting 8,900 x 10 3 : 4 angka penting Ada dua cara utama untuk menangani angka penting dalam perhitungan. Yang pertama untuk penjumlahan dan pengurangan dan yang kedua untuk perkalian dan pembagian. 1) jika MENJUMLAHKAN atau MENGURANGI besaran, maka jumlah tempat desimal pada hasil harus sama dengan tempat desimal bilangan terkecil. Sebagai contoh: 51.4-50.63 = 0.8; 7146-1.8 = 7133; 0.8 + 18.7 + 0.851 = 40.4
10 ) Jika MENGALIKAN atau MEMBAGI besaran, maka jumlah angka signifikan pada hasil akhir sama seperti jumlah angka penting dari besaran yang paling tidak precisi yang dikalikan atau dibagi. Contoh:.6 x 31.7 = 8 bukan 8.4; 5.3/748 = 0.0071 bukan 0.007085561 angka yang paling tidak signifikan pada bilangan pembilang atau penyebut adalah angka signifikan sehingga hasil baginya juga harus angka signifikan bukan 7 angka signifikan) Jika menambahkan atau mengurangkan dua bilangan maka jumlah tempat desimal harus dipertimbangkan. Demikian pula jika mengalikan atau membagi dua bilangan maka jumlah angka penting harus dipertimbangkan. 4. Pembulatan Misalkan dicari luas area A ± A dari bujur sangkar panjang l± l = (.708 ± 0.005) m dan lebar w ± w = (1.05 ± 0.01) m. Pertama kita lihat berapa angka penting untuk estimasi terbaik bagi A. Dalam hal ini A = lw, dan karena l memiliki 4 angka penting dan w memiliki 3 angka penting. Maka A hanya dibatasi 3 angka penting. Lihat bahwa pada saat proses perhitungan boleh saja menulis berpaun akngka penting, namun pada akhirnya kita hanya akan menulis 3 angka penting. Karena dengan menyertakan angka penting lain dalam perhitungan tersebut menjadikan pembulatkan tidak salah. Pertama kita membulatkan estimasi terbaik yaitu.843 m menjadi.84 m dan kemudian kita membulatkan ralat sesuai dengan tempat desimal dari nilai terukur. Dalam hal ini kita membulatkan 0.0333 m menjadi 0.03 m. Akhirnya kita tulis: A ± A=(.84 ± 0.03) m.
11