Definisi Metode Numerik

Transkripsi

1 Definisi Metode Numerik Seringkali kita menjumpai suatu model matematis yang berbentuk persamaan, baik itu linier ataupun non-linier, sistem persamaan linier ataupun sistem persamaan non-linier, differensial, integral maupun persamaan differensial biasa. Selanjutnya, ditunjukkan atau bagaimana mencari penyelesaian dari model matematis tersebut. Penyelesaian tersebut dapat berupa penyelesaian secara analitis atau bukan analitis. Khusus penyelesaian secara analitis ini, model matematis tersebut diselesaikan menggunakan teori atau metode dan analisa matematika yang telah ada sedemikian hingga hasil yang diperoleh adalah penyelesaian eksak. Sedangkan untuk penyelesaian bukan secara analitis, penyelesaian dari model matematis tersebut diperoleh dengan menggunakan metode pendekatan yang dikembangkan untuk menangani model matematis tersebut sedemikian hingga penyelesaian yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan. Sehingga, penyelesaian tersebut bukan penyelesaian eksak. Metode pendekatan tersebut selanjutnya disebut Metode Numerik. Seiring dengan pesatnya perkembangan komputer digital, metode numerik banyak digunakan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan riil, yang mana penyelesaian eksak sangat sulit untuk diperoleh. 1

2 Bilangan Pendekatan & Angka yang Berarti Manusia pada umumnya menyajikan bilangan dalam bentuk decimal (basis 10) atau menggunakan binary (basis 2) atau headecimal (basis 16) atau juga basis 8. Pada operasi aritmatika, misalnya pembagian, seringkali menghasilkan bilangan decimal tak hingga seperti 2/3. Dalam perhitungan pendekatan, bilangan dibedakan antara bilangan yang mutlak eksak dan bilangan yang menyatakan nilai pendekatan. Bilangan seperti, 2, 1/3, 100, π, 2, dan e adalah bilangan eksak. Bilangan-bilangan , dan adalah bilangan pendekatan dari π, 2, dan e. Angka yang berarti adalah angka yang dapat digunakan dengan pasti atau dari digit 1, 2, 3,..., 9. Dan 0 juga suatu angka yang berarti kecuali jika 0 digunakan untuk menentukan letak titik desimal atau untuk mengisi tempat-tempat dari digit yang tidak diketahui atau dibuang. Contoh 1 : Bilangan maka angka yang berarti adalah 1, 8, 4, dan 5, sedangkan nol hanya untuk menentukan tempat titik decimal (bukan angka berarti). Contoh 2 : Pada bilangan seperti yang dapat ditulis atau atau , maka faktor sebelah kiri yang menentukan banyaknya angka yang berarti yaitu 4 atau 2 atau 5. 2

3 Kesalahan Dalam suatu perhitungan dengan menggunakan metode numerik, seringkali digunakan komputer digital. Sehingga, sangat jarang sekali perhitungan tersebut diselesaikan sedemikian hingga menghasilkan penyelesaian eksak. Secara umum, pada suatu perhitungan numerik, suatu bilangan dinyatakan dalam bentuk desimal. Ini berarti bahwa apabila diambil contoh bilangan 8 maka bilangan tersebut cenderung dinyatakan dengan 7, atau 8, Karena itu, dalam semua perhitungan numerik yang menggunakan komputer digital selalu mengandung kesalahan meskipun itu sangat kecil sekali. Hal ini yang menjadi perhatian apabila menyelesaikan suatu permasalahan perhitungan dengan metode numerik menggunakan komputer digital. Dan yang penting adalah sampai batas mana kesalahan tersebut dapat diterima, khususnya pada masalah teknik. Terdapat beberapa jenis error yang biasa terjadi dalam perhitungan numerik, yaitu absolute error, relative error, Roundoff error, truncation error dan propogated error. 3

4 (1). Absolute Error dan Relatif Error Kesalahan mutlak dari suatu bilangan adalah nilai mutlak dari selisih antara nilai sebenarnya dengan suatu nilai pendekatan pada nilai sebenarnya. Ea = * Kesalahan relative adalah perbandingan antara kesalahan mutlak dengan nilai sebenarnya. Er = * Sedangkan untuk prosentase kesalahan adalah besarnya relative error dikalikan dengan 100%. Ep = * 100% (2). Round-Off Error (Error Pembulatan) Error pembulatan terjadi karena computer hanya mempertahankan sejumlah angka tetap yang berarti selama proses perhitungan. Bilangan-bilangan seperti π, e, 7 tidak dapat diekspresikan oleh sejumlah angka tetap yang berarti. Oleh karena itu, bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan secara eksak oleh computer. 4

5 Error pembulatan adalah error yang terjadi akibat pembulatan suatu bilangan sampai pada beberapa digit tertentu. Contoh : 1. Misalkan sebuah mesin hitung hanya mampu menampilkan bilangan sampai 10 angka di belakang koma. Untuk bilangan , akan dibulatkan menjadi Dan error yang didapat : Ea = Misalkan nilai π = Cara pemenggalan : π = dengan Error yang didapat : Ea = Cara pembulatan : π = dengan Error yang didapat : Ea = Ternyata round-off error cara pembulatan lebih baik dari pemenggalan. (3). Truncation Error (Error Pemotongan) Truncation error merupakan error yang terjadi karena pemotongan dari suatu deret tak hingga menjadi deret berhingga. Pendekatan yang sering dipakai pada penyelesaian numeric adalah deret Taylor. Untuk menyederhanakan permasalahan biasanya perhatian hanya ditujukan pada 5

6 beberapa suku dari deret Taylor tersebut, sedangkan suku lainnya diabaikan. Pengabaian suku inilah yang menyebabkan truncation error. Contoh : Selanjutnya, seandainya dihitung ep(1/3). Apabila ep(1/3) dinyatakan dengan ep(0.3333) maka akan muncul suatu kesalahan, yaitu : dimana 1 adalah kesalahan yang berkembang ( Propagated error ). Apabila deret (1) tersebut dipotong setelah suku yang ke 5, maka diperoleh kesalahan pemotongan 2, yaitu : Selanjutnya, dan ini menimbulkan kesalahan akibat pembulatan yaitu sehingga kesalahan totalnya adalah

7 (4). Propagated Error (Error Perambatan) Propagated error merupakan error yang terjadi pada suatu algoritma yang agak rumit karena adanya operasi matematik. Misalnya penjumlahan dua bilangan positif, sebelum dilakukan penjumlahan kita rubah bilangan menjadi bilangan floatingpoint dengan cara pemenggalan atau pembulatan. = fl( ) = fl( ) 1 1 pada saat kita melakukan operasi matematika jumlah bilangan floating-point jumlah hasil pemenggalan atau pembulatan Error absolute dari nilai eksak : Ea = ( + ) ( ) Error perambatan sebagai akibat konversi ke bilangan floating-point : Ep = ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) Dan akibat pembulatan muncul round-off error : 1 ( + ) ( )

8 8