I PENDAHULUAN 11 Latar Belakag Peelta yag dlakuka oleh Va der Pol pada sebuah tabug trode tertutup, yatu sebuah alat yag dguaka utuk megedalka arus lstrk dalam suatu srkut pada trasmtter da recever meghaslka suatu perlaku peyelesaa yag uk da berbeda perlaku peyelesaa persamaa dferesal lear Va der Pol megusulka model yag dkaj dalam peelta berupa persamaa dferesal tak lear yag selajutya dsebut persamaa Va der Pol Dalam peeltaya tersebut, Va der Pol memberka kotrbus pada pegembaga metode matematka, khususya pada masalah persamaa dferesal Dalam hal, a berkotrbus pada teor kestabla peyelesaa persamaa dferesal Peelta Va der pol tersebut memberka motvas bag Cartwrght da Lttlewood utuk megkaj kestabla persama Va der Pol khususya yag memuat gaya luar [Cartwrght 1945] Persamaa va der Pol hgga sekarag mash dkaj oleh beberapa peelt, khususya pada masalah perturbas da relaksas oslas Persamaa juga djadka model pada beberapa feomea fska, bolog da sesmology [Guckehemer ] Aka tetap masalah bfurkas dar sstem persamaa mash sagat sedkt kajaya Dalam karya lmah, persamaa va der Pol aka dyataka dalam suatu sstem persamaa dferesal orde satu utuk megklasfkas bfurkas Hopf dar orbt perodk dalam sstem yag telah tereduks Reduks ke dalam sstem persamaa dferesal yag dlakuka ddasarka pada alur yag terdapat dalam paper [Guckehemer ] 1 Tujua Peulsa Tujua dar peulsa karya lmah adalah megkaj persamaaa Va der Pol yag memuat gaya luar cara meyataka persamaa tersebut ke dalam suatu persamaa dferesal orde satu Persamaa yag dhaslka aka dguaka utuk megklasfkas bfurkas Hopf yag memberka orbt perodk dalam sstem yag telah tereduks tersebut 1 Sstematka Peulsa Pada bab pertama djelaska latar belakag da tujua dar peulsa karya lmah Bab dua bers ladasa teor yag mejad kosep dasar dalam peyusua pembahasa Pada bab tga aka dbahas persamaa Va der Pol da mereduks persamaa tersebut mejad suatu sstem persamaa dferesal orde satu Sela tu, pada bab juga aka daalss bfurkas Hopf megguaka persamaa yag telah tereduks Smpula dar karya lmah aka dbahas pada bab empat II LANDASAN TEORI Persamaa va der Pol adalah suatu persamaa dferesal tak lear yag dapat ddekat betuk sstem persamaa dferesal lear Teor sstem persamaa dferesal lear da kestablaya dsarka dar buku [Ato 1995], [Farlow 1994], [Szdarovszky & Bahll 1998], [Tu 1994] da [Verhulst 199] Sebelum membahas teor sstem persamaa dferesal lear, maka berkut aka dbahas kosep lmt cycle Pejelasa tetag lmt cycle terdapat dalam buku [Strogatz 1994] Lmt cycle adalah suatu betuk trayektor tertutup da tersolas Pada umumya utuk meggambarka lmt cycle, sstem persamaa dferesal ulska sebaga persamaa dferesal dalam koordat kutub Jka semua lgkuga trayektor medekat lmt cycle maka lmt cycle dsebut lmt cycle stabl (lhat gambar 1) Pada keadaa sebalkya lmt cycle dsebut lmt cycle tak stabl (lhat gambar ) Sedagka pada kasus tertetu lmt cycle dsebut lmt cycle setegah stabl (lhat gambar ) Gambar 1 Lmt cycle stabl
Gambar Lmt cycle tak stabl Gambar Lmt cycle setegah stabl Eksstes lmt cycle djam oleh Teorema Leard berkut: Teorema Leard Tjau persamaa Leard berkut d d + f ( ) + g( ) = () Persamaa () dapat dyataka sebaga sstem persamaa berkut = y (4) y = g () f() y Jka fugs f da g memeuh kods: 1) f da g terturuka da kotu, ) g ( ) = g( ), utuk setap ) g( ) > utuk > 4) f ( ) = f ( ), utuk setap 5) Fugs gajl F( ) f ( u) du =, bela ol utuk = a, egatf utuk < < a, Fa= ( ), postf da tak turu utuk > a, da F( ) utuk, maka sstem persamaa (4) memlk peyelesaa tuggal da mempuya lmt cycle stabl Bukt secara legkap dapat dlhat dalam [Perko 1991] Msalka dberka suatu sstem persamaa dferesal orde satu sebaga berkut d = = f (, y), (5) dy = y = g(, y) Jka fugs f da g kotu berla real da dyataka dalam da y saja serta tdak bergatug pada waktu, maka sstem persamaa (5) dsebut sstem persamaa dferesal madr Sstem persamaa va der Pol salah satu cotoh sstem persamaa dferesal madr Selajutya aka dbahas kestabla suatu ttk dar suatu sstem damk Msalka dberka sstem persamaa dferesal (SPD) berkut d f( ), = = R (6) Ttk dsebut ttk tetap jka f( ) = Ttk tetap dsebut juga ttk krts ttk kesembaga Selajutya, msalka ttk adalah ttk tetap SPD madr (6) da () t adalah solus yag memeuh kods awal () = da Ttk dkataka ttk tetap stabl, jka terdapat ε >, yag memeuh sfat berkut: utuk setap ε 1, < ε1 < ε, terdapat ε > sedemka sehgga jka < ε maka () t < ε1, utuk setap t > t Sebalkya ttk dkataka ttk tetap tdak stabl, jka terdapat ε >, yag memeuh sfat berkut: utuk setap ε >, < ε < ε, sedemka sehgga, jka < ε maka () t < ε, utuk setap t > t Utuk megaalss kestabla ttk tetap dar sstem persamaa dferesal tak lear, dapat dlakuka peleara pada sstem persamaa dferesalya Msalka dberka SPD taklear sebaga berkut =f() (7) f: U R, U R Dega megguaka uraa Taylor dar f d ttk tetap, maka persamaa (6) dapat uls sebaga berkut = A +ϕ( ) (8) Persamaa tersebut merupaka SPD taklear A adalah matrks Jacob,
A = Df = ( ) Df ( ) = f1 f1 1 = f f 1 a11 a1 = a1 a = da ϕ ( ) suku berorde tgg yag bersfat lm ϕ( ) = Selajutya A pada persamaa (8) dsebut peleara dar sstem taklear persamaa (7) da ddapatka betuk = A (9) Utuk sstem yag berada dalam bdag R, dperoleh = f( ) = A +ϕ( ) 1 = f1( ) = a1+ b + ϕ1( 1, ) = f( ) = c1+ d + ϕ( 1, ) dmaa f1 f1 a = = a11, b = = a1 1 f f c = = a1, d = = a 1 ϕ1( 1, ) ϕ( 1, ) da lm = lm = r r r r r = 1 Nla ϕ 1 da ϕ kecl sekal, sehgga dapat dabaka Persamaa (1) dsebut persamaa karakterstk Nla ege yag dperoleh dar hasl peleara tersebut dapat dguaka utuk megaalss kestabla d sektar ttk tetap yag dperoleh, yag kemuda dapat dgambarka orbtya Msalka dberka matrks A berukura sebaga berkut a b A = c d Persamaa karakterstkya berbetuk a λ b det = c d λ λ τλ+ = τ = trace( A ) = a + d da = det( A ) = ad bc Sehgga dperoleh la ege dar A adalah τ ± τ 4 λ = Aalss kestabla ttk tetap dlakuka utuk setap la ege yag dperoleh Dalam tulsa aka dperlhatka 6 kasus sebaga berkut: 1 Jka <, la ege mempuya akar real yag yag berbeda tada, maka ttk tetap bersfat ttk pelaa (saddle pot) (lhat Gambar 4) Selajutya, msalka A adalah matrks, maka suatu vektor takol d dalam R dsebut vektor ege dar A, jka utuk suatu skalar λ, yag dsebut la ege dar A, berlaku: A = λ (1) Vektor dsebut vektor ege yag bersesuaa la ege λ Utuk mecar al ege dar matrks A yag berukura, maka persamaa (1) dapat ulska sebaga berkut: (A λi) = (11) I matrks dettas Persamaa (1) mempuya solus tak ol jka da haya jka det (A λi) = (1) Gambar 4 Ttk Pelaa (saddle pot) Jka >, τ > da memeuh kods τ 4 >, berart kedua la ege mempuya la yag sama, maka ttk tetap merupaka smpul tak sejat (odes) tak stabl (lhat Gambar 5) Jka τ < maka ttk tetap merupaka odes stabl (lhat Gambar 6) Gambar 5 Smpul tak sejat tak stabl
4 Gambar 6 Smpul tak sejat stabl Jka >, τ > da memeuh kods τ 4 <, berart la egeya merupaka comple cojugate, maka ttk tetap bersfat spral tak stabl (lhat Gambar 7) Jka τ < maka ttk tetap bersfat spral stabl (lhat Gambar 8) 5 Jkaτ 4 =, τ > da ada satu vektor ege bebas lear, maka ttk tetap bersfat degeerate ode tak stabl Jka τ <, maka ttk tetap bersfat degeerate ode stabl (lhat Gambar 11) 6 Jka τ =, la ege merupaka majer mur, maka ttk tetap bersfat ceter yag selalu stabl (lhat Gambar 1) Gambar 11 Degeerate Gambar 7 Spral takstabl Gambar 1 Ceter Gambar 8 Spral stabl 4 Jkaτ 4 =, τ >, da ada vektor ege bebas lear, maka bersfat smpul sejat (star ode) tak stabl (lhat Gambar 9) Jka τ <, maka ttk tetap bersfat smpul sejat stabl (lhat Gambar 1) Gambar 9 Smpul sejat tak stabl Gambar 1 Smpul sejat stabl Berdasarka uraa d atas dapat dsmpulka bahwa kestabla ttk tetap mempuya prlaku sebaga berkut: 1 Stabl, jka a Setap la ege real adalah egatf ( λ < utuk setap ) b Setap kompoe la ege kompleks baga realya lebh kecl sama ol, ( ( ) Re λ utuk setap ) Tak stabl, jka a Setap la ege real adalah postf ( λ > utuk setap ) b Setap kompoe la ege kompleks baga realya lebh besar dar ol, ( Re( λ ) > utuk setap ) Sadel, jka Perkala dua buah la ege real sembarag adalah egatf ( λλ j < utuk da j sembarag) Dalam karya lmah juga aka dlakuka aalss utuk Bfurkas Hopf Pejelasa megea Bfurkas Hopf terdapat dalam buku [Borell 1998] Msalka dberka suatu sstem : = α( c) + β( c) y+ P(, y, c) (1) y = β c + α c y+ Q, y, c ( ) ( ) ( )
5 P da Q setdakya merupaka orde kedua dalam da y da terturuka dua kal secara kotu dalam, y da c Fugs α ( c) da β ( c) adalah fugs yag kotu da terturuka pada c Nla ege utuk matrks Jacob dar sstem persamaa (1) adalah α( c) ± β( c) Selajutya, perhatka Teorema Bfurkas Hopf berkut Teorema Bfurkas Hopf Msalka α ( ) =, α ( ) > da β ( ), dmaa sstem persamaa (1) stabl asmtotk d ttk awal utuk c =, maka ttk awal tdak stabl da meghaslka lmt cycle yag besarya k( c ), k ( ) = da k( c ) fugs kosta da ak utuk setap c yag cukup kecl dmaa c medekat ol dar kr Perode dar cycle medekat la π β utuk c yag kecl Teorema d atas dperkuat teorema berkut : Msalka A operator lear pada ruag vektor dmes dua λ = α ± β, merupaka la ege dar A, maka terdapat matrks R sehgga R α β αi βj β α + 1 J 1 Pejelasa da bukt teorema d atas dapat dlhat pada [Tu 1994] III PEMBAHASAN 1 Model Tjau persamaa Va der Pol berkut + μ ( 1) + = (14) μ 1 Berkut aka dperlhatka bahwa persamaa (14) memlk lmt cycle yag stabl berdasarka Teorema Leard Utuk tu, dmsalka f = μ 1 da g ( ) = ( ) ( ) Prems dar Teorema Leard terpeuh, sebab: 1) Fugs f ( ) da g ( ) terturuka da kotu, ) g ( ) = g( ), utuk setap ) f ( ) = f ( ) = μ ( 1, ) utuk setap 4) g( ) > utuk > 5) F( ) = f ( u) du = μ ( u 1) μ = Fugs F( ) berupa fugs gajl da mempuya tepat satu akar postf, yatu a = Selajutya F( ) berla egatf utuk < <, berla postf da tak turu utuk >, da F( ), bla Dega demka persamaa Va der Pol (14) mempuya peyelesaa tuggal da lmt cycle stabl Selajutya perhatka betuk + μ ( 1) Tulska betuk d atas sebaga d + μ( 1) = ( + μf( ) ) (15) F ( ) = μ (16) Persamaa (15) dapat ulska dalam betuk + μ ( 1) = w (17) w= + μf( ) (18) Jka dmsalka w= μ y, maka dar persamaa (18) dperoleh = w μf( ) = μ ( y F( ) ) = y (19) μ Selajutya guaka pegskalaa waktu berkut t = τ μ maka dperoleh