PENGARUH PERUBAHAN PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-2 SKRIPSI MIZWAR ARIFIN SRG 070803030 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 20 PENGARUH PERUBAHAN PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-2
SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains MIZWAR ARIFIN SRG 070803030 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 20
PERSETUJUAN Judul : PENGARUH PERUBAHAN PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-2 Kategori : SKRIPSI Nama : MIZWAR ARIFIN SRG Nomor Induk Mahasiswa : 070803030 Program Studi : SARJANA (S) MATEMATIKA Departemen Fakultas : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, Juli 20 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing Drs. Marihat Situmorang, M.Kom. Prof. Dr. Tulus M.Si. NIP. 96324 98903 00 NIP : 962090 98803 002 Diketahui/Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Prof. Dr. Tulus M.Si. NIP : 962090 98803 002
PERNYATAAN PENGARUH PERUBAHAN PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-2 SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juli 20 MIZWAR ARIFIN SRG 070803030
PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpahan kurnia-nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan. Shalawat beriring salam kepada Baginda Rasulullah SAW, sebagai rahmatan lil alamin. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. dan Bapak Drs. Marihat Situmorang, M. Kom. selaku pembimbing yang telah memberikan panduan dan penuh kepercayaan kepada penulis untuk menyempurnakan kajian ini. Bapak Drs. Sawaluddin, M. Kom, M.Si. dan Bapak Syahril Efendi, S.Si., M.IT. selaku penguji yang telah memberikan kritikan dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si. dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si.. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi di lingkungan Departemen Matematika, serta seluruh civitas akademika di lingkungan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada kedua orang tua penulis tercinta, Ayahanda Sahman Siregar dan Ibunda Nur Ayumi Harahap yang telah memberikan banyak bantuan baik materi, moral maupun spiritual. Kepada saudara-saudara penulis, Adinda Nadhira Dwi Sabrina S dan Adinda Azzahra Tri Najla. Teristimewa untuk Affan H. Siregar, S.H dan Hardi Alamsyah Siregar, S.E sebagai sosok pengganti ayah dan juga tempat untuk berbagi cerita yang tak henti-hentinya memberikan bantuan, semangat dan motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini dan menyelesaikan studi di Departemen Matematika FMIPA USU. Tidak terlupakan, ucapan terima kasih kepada sahabat penulis, Sylvia Ria Berlian S, Trinita Hanum dan Yazeni Diana Putri, Ika Ayu Kartika Lbs, Mohammad Ramzi, Aghni Syahmarani, Muhammad Iqbal Pradipta serta rekan-rekan stambuk 2007 Departeman Matematika FMIPA USU, MW Family (Tracy Baumgardner, Károly Kajo Tóth, Pamela Karakula, John Patrick, Sharon Sullivan Delano dan lainlain). Sahabat-sahabat di Ikatan Mahasiswa Matematika Muslim FMIPA USU, rekanrekan di Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA USU dan kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan dan dorongan yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Semoga Allah SWT akan membalasnya.
PERNYATAAN PENGARUH PERUBAHAN PARAMETER TERHADAP NILAI ERROR PADA METODE RUNGE-KUTTA ORDO-2 SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juli 20 MIZWAR ARIFIN SRG 070803030
ABSTRAK Metode Runge-Kutta merupakan suatu metode numerik yang digunakan untuk mencari solusi dari suatu persamaan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi f ( x, y ) pada titik terpilih dalam setiap selang langkah. Dalam tulisan ini dibahas tentang pengaruh perubahan nilai parameter (a ) terhadap nilai error pada metode Runge-Kutta Ordo-2 dengan menggunakan bahasa pemrograman Matlab. Persamaan yang akan dibahas yaitu persamaan diferensial biasa linier tingkat dua. Dalam proses perhitungan persamaan akan dicari nilai parameter yang paling efisien sehingga diperoleh error terkecil.
THE EFFECT OF CHANGING PARAMETERS ON THE VALUE OF ERROR IN THE RUNGE-KUTTA METHOD OF ORDER-2 ABSTRACT Runge-Kutta method is a numerical method used to find the solution of an equation. This method seeks to obtain a higher degree of accuracy, and also avoid the need to find higher derivatives by evaluating the function at selected points within each interval step. In this paper discussed about the effect of changes in values of parameter (a) to the value of error in the Runge-Kutta Order-2 by using the Matlab programming language. The equation to be discussed is the linear ordinary differential equations level two. In the process of calculation of the equation will be sought in the most efficient parameter values to obtain the smallest error.
DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR DAFTAR TABEL ii iii iv v vi ix x BAB PENDAHULUAN. Latar Belakang.2 Perumusan Masalah 3.3 Batasan Masalah 3.4 Tinjauan Pustaka 4.5 Tujuan Penelitian 6.6 Manfaat Penelitian 6.7 Metodologi Penelitian 6 BAB 2 LANDASAN TEORI 7 2. Persamaan Diferensial 7 2.2 Persamaan Diferensial Biasa Linier 0 2.2. Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu 0 2.2.2 Persamaan Diferensial Linier Tingakt Dua 3 2.2.2. Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua Homogen 4 2.2.2.2 Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua Tidak Homogen Dengan Koefisien Konstan 7 2.2.3 Persamaan Diferensial Linier Tingkat Tinggi 7 2.3 Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem) 7 2.4 Kesalahan (Error) 9 2.4. Pembagian Kesalahan 2 2.5 Metode Deret Taylor 23 2.6 Metode Runge-Kutta 24 2.6. Metode Runge-Kutta Ordo-2 27 2.6.2 Metode Runge-Kutta Ordo-3 3 2.6.3 Metode Runge-Kutta Ordo-4 3 2.6.4 Metode Runge-Kutta Ordo Tinggi 32 BAB 3 PEMBAHASAN 34 3. Penyelesaian Analitik Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua 34 3.. Persamaan Dengan Koefisien Konstan 34 3... H( x ) Adalah Polinomial Berderajat n ( Pn ( x )) 35
x 3...2 Jika H( x) P ( x) e 37 n x 3...3 Jika H( x) e P ( x)cos x Q ( x)sin x 4 3...4 Jika H( x) M cos x N sin x 44 3..2 Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua dengan Koefisien Peubah 47 3..2. Persamaan Tidak Memuat Varialbel y 47 3..2.2 Persamaan Diferensial Euler Tingkat Dua 5 3.2 Penyelesaian Numerik Persamaan Diferensial Linier Tingkat Dua 55 3.3 Perbandingan Nilai Error Menggunakan Nilai Parameter Yang Berbeda 6 3.4 Analisis Error 79 n n BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 87 4. Kesimpulan 87 4.2 Saran 88 DAFTAR PUSTAKA 89 LAMPIRAN A 90 LAMPIRAN B 96
DAFTAR TABEL Halaman Tabel 3.a Perbandingan Nilai Error Persamaan Contoh Pada 62 Tabel 3.b Perbandingan Nilai Error Persamaan Contoh Pada 63 Tabel 3.2a Perbandingan Nilai Error Persamaan Contoh 2 Pada 65 Tabel 3.2b Perbandingan Nilai Error Persamaan Contoh 2 Pada 66 Tabel 3.3a Perbandingan Nilai Error Persamaan Contoh 3 Pada 68 Tabel 3.3b Perbandingan Nilai Error Persamaan Contoh 3 Pada 69 Tabel 3.4a Perbandingan Nilai Error Persamaan Contoh 4 Pada 7 Tabel 3.4b Perbandingan Nilai Error Persamaan Contoh 4 Pada 72 Tabel 3.5a Perbandingan Nilai Error Persamaan Contoh 5 Pada 74 Tabel 3.5b Perbandingan Nilai Error Persamaan Contoh 5 Pada 75 Tabel 3.6a Perbandingan Nilai Error Persamaan Contoh 6 Pada 77 Tabel 3.6b Perbandingan Nilai Error Persamaan Contoh 6 Pada 78