PELATIHA STOCK ASSESSMET Modul 5 PERTUMBUHA Mennofaria Boer Kiagus Abdul Aziz Maeri Pelaihan Sock Assessmen Donggala, 1-14 Sepember 27 DIAS PERIKAA DA KELAUTA KABUPATE DOGGALA bekerjasama dengan PKSPL TROPIS UIVERSITAS TADULAKO
PELATIHA STOCK ASSESSMET MODUL 5. PERTUMBUHA Pendahuluan Mempelajari permasalahan perumbuhan pada disiplin perikanan sering diucapkan sebagai usaha unuk menghubungkan sebuah peubah yang mencirikan suau individu (biasanya panjang aau bobo individu) dengan umur dari individu yang bersangkuan. Beriku ini akan kia bahas secara ringkas masalah ersebu. Pendugaan Umur dan Kecepaan Perumbuhan Sejak ahun 1759, dipelopori oleh Hedersrom dari Swedia, banyak para ahli dibidang perikanan berikunya yang mencoba mengungkapkan eknik-eknik lain unuk menduga umur ikan. Beberapa karakerisik yang pernah diungkapkan adalah sebaran frekuensi panjang, percobaan beranda (agging), sisik, bau elinga (oolih), bagian uup insang (opercular), ulang punggung (verebra), sirip (fin rays) dan sebagainya. Hubungan anara pendugaan umur dengan kecepaan perumbuhan sanga era dan memainkan peranan yang pening dalam dinamika populasi ikan. Beberapa Tipe Kecepaan Perumbuhan Perumbuhan dapa dinyaakan dalam panjang (L ) aau dalam bobo (W ) dan dapa dibedakan menuru: a. Kecepaan Perambahan Mulak (absolue rae of increase): L L aau W2 W1 (1) 2 1 b. Kecepaan Perambahan isbi (relaive rae of increase): L L L 2 1 1 aau W W W 2 1 1 biasa dinyaakan dalam %. (2) c. Kecepaan Perambahan Sekeika (insananeous rae of increase): ln L ln L aau lnw2 lnw1 () 2 1
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5 - Model Perumbuhan Suau Populasi (Model Diskre) Misalkan ukuran awal suau populasi yang berambah karena kelahiran dan berkurang karena kemaian. Jika b adalah koefisien kelahiran konsan dalam suau waku erenu, d adalah koefisien kemaian konsan dalam suau waku erenu sera idak ada proses imigrasi maupun emigrasi, maka 1 aau ukuran populasi seelah sau sauan waku selanjunya sama dengan: = + b d 1 ( 1 b ) = + d (4) Selanjunya, 2 aau ukuran populasi pada waku berikunya dapa dihiung dengan cara yang sama menjadi: 2 = 1+ b1 d1 = + = + b d + b d ( 1 b d) 1 ( 1 )( 1 ) 2 ( 1 b d) = + sehingga unuk suau waku erenu k, ukuran populasi k dapa dihiunmg melalui hubungan: k = 1+ b d (6) aau k (5) k = (7) k r oleh karena besaran 1+ b d adalah kosnana sehingga dapa dimisalkan sama dengan r. Besaran r sering juga disebu sebagai suku bunga dalam dunia perbankan dan lebih umum diuliskan sebagai 1+ r dalam persamaan (7). Sebagai ilusrasi, anda dapa menghiung abungan seorang nasabah seelah 8 ahun keika di awal ahun abungannya adalah Rp 1...- dengan suku bunga abungan yang eap sebesar 15% per ahunnya, yaiu sebagai 8 yang sama dengan: 8 ( 1 ) 8 ( 1.15) ( 1) = + r 8 = = Rp 59 22.86.-
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5-4 Model Perumbuhan Suau Populasi (Model Koninu) Misalkan, banyaknya individu dalam suau populasi pada saa ( ) dan r(, ), laju perambahan populasi pada saa. Jika populasi yang dibicarakan erisolir, arinya idak erjadi proses imigrasi dan emigrasi, maka: r(, ) = laju kelahiran laju kemaian (8) berdasarkan baasan: 1 d r(, ) = d (9) aau d d d = (1) d, r disebu laju perambahan mulak. Pendekaan lain yang lebih mendasar adalah dengan membayangkan proses yang sama seperi halnya pada 1.4 sewaku membicarakan model diskre. Persamaan (4) yang digunakan unuk menghiung 1 berdasarkan dapa diubah menjadi persamaan yang mencoba menghiung +Δ berdasarkan dengan analogi bahwa persamaan (4) mencoba menghiung ukuran populasi dari waku ke waku secara diskre dan pada model koninu dari waku ke waku sanga kecil sekali. Secara maemaika, besaran + Δ dengan asumsi bahwa besaran Δ Δ disebu juga sebagai yang mempunyai nilai hampir nol dan persamaan (4) dengan demikian dapa diulis menjadi: +Δ = + bδ dδ (11) yang umum diulis dalam benuk: = b Δ d Δ +Δ = ( b d) Δ = r Δ sehingga +Δ Δ = r (12)
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5-5 Jika pada persamaan (12) diambil hasil akhir berupa limi unuk Δ yang mendekai nol, persamaan (12) dapa diulis menjadi benuk yang sanga dikenal dalam kalkulus, yaiu: lim Δ = lim r +Δ Δ Δ aau d d = r (1) seperi halnya elah diperoleh pada persamaan (1). Besaran r yang diperoleh pada (1) idak selalu konsana, eapi pada kenyaaannya memang sanga erganung pada waku dan pada ukuran populasi ( ) seperi halnya elah diuliskan dalam persamaan (1). Perumbuhan Eksponensial Hipoesa perama yang dapa diberikan erhadap r(, ), laju perambahan populasi pada saa, adalah r(, ) = λ. Arinya, laju perambahan populasi idak bervariasi menuru waku, sama unuk seiap individu dan idak erganung pada ukuran populasi. Dengan demikian, persamaan (9) dapa diuliskan menjadi: 1 d = λ (14) d sehingga d = λd (15) Inegrasikan dikiri dan dikanan, diperoleh hasil beriku: sehingga ln + c = λ+ c d 1 2 ( c2 c1) e λ + ln = λ+ c c = = λd 2 1
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5-6 = e e = ce λ c2 c1 λ (16) Jika adalah ukuran populasi pada saa =, maka: sehingga: λ = ce = c = e λ (17) Persamaan yang erakhir ini disebu juga kurva eksponensial aau kurva Malhus (1798). Ukuran Populasi. 2.5 2. 1.5 1. 5 λ> λ= λ< 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Waku Gambar 1. Kurva = e λ unuk beberapa λ Beberapa penampilan hubungan ini dapa dipelajari melalui berbagai kemungkinan nilai λ. Jika λ = maka = dan dikaakan populasi umbuh secara konsan aau idak berambah maupun berkurang. Jika λ > unuk suau waku yang lama ( ) maka populasi akan berambah erus menuru waku sampai jumlah yang sanga besar sekali ( ). Jika λ < unuk suau waku yang lama ( ) maka populasi akan berkurang erus menuru waku sampai jumlahnya menjadi sanga kecil sekali ( ). Ini merupakan peunjuk bahwa populasi idak dapa umbuh jika idak ada pembaas. Kurva perumbuhan (17) disajikan dalam Gambar 1.1.
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5-7 Unuk menghiung periode yang dibuuhkan agar ukuran populasi berambah sebanyak k ( k > ) kali ukuran populasi sebelumnya dapa digunakan hubungan beriku: sehingga: + T λ( + T) λ e = ke λ + T = ln k+ λ = k ln k T = (18) λ Model Eksponensial Umum Hipoesa kedua yang akan disajikan disini masih menyangku nilai laju perambahan populasi pada saa, r( ) = λ, sedangkan λ merupakan fungsi, koninu unuk. Dengan menggunakan prosedur yang sama seperi 1.6 akan diperoleh: λ s ds = e (19) Teladan yang cukup epa unuk model ini dikenal dibidang kedokeran unuk mengeahui perumbuhan umor. Misalkan V volume umor pada saa. Dengan memisalkan r( ), = λ sedemikian sehingga: λ = λ ; α > (2) e α maka persamaan (19) dapa diselesaikan unuk menenukan V : V = V e αs e ds λ α α( 1 e ) = Ve (21) Perumbuhan Logisik (Pearl-Verhuls) Telah disinggung pada 1.6, kenyaaan menunjukkan bahwa populasi idak umbuh anpa kendala baik pada habia yang erhingga maupun akhingga, aau bahkan pada bakeri. Hipoesa ini dapa dinyaakan secara maemaika dengan mengambil nilai r(, ) fungsi dari ukuran populasi, sehingga:
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5-8 r, = a b ; a, b> (22) Oleh karena iu 1 d d = a b (2) Persamaan (2) disebu Persamaan Perumbuhan Logisik. Konsana a dapa diinerpreasikan sebagai laju perambahan jika populasi ersebu memiliki sumber yang akhingga, aau dengan perkaaan lain jika populasi ersebu memilih umbuh secara eksponen. Adapun konsana b dapa diinerpreasikan sebagai pengaruh persaingan (kompeisi) anar individu, misalnya akiba persaingan dalam memperebukan ruang, makanan aau mai karena penyaki. Dengan menggunakan prosedur yang sama, ukuran populasi pada saa, dinyaakan melalui manipulasi aljabar beriku: 1 d = a b d d = d ( a b) d = d ( a b) Ad Bd + = d a b sedangkan A dan B dapa dihiung berdasarkan persamaan: A B 1 + = a b a b ( ) dapa (24) aau ( ) + 1 = ( a b) ( a b) Aa b B sedemikian sehingga menjadi: 1 A = dan a b B =. Oleh karenanya, persamaan (24) dapa diulis a
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5-9 Ad Bd + = ( a b) d bd + a = a ( a b) 1 1 ln + c1 ln ( a b) + c2 = + c a a ln = a + c a b a b d d = ce a sehingga a = a b e a+ b (25) ilai a = disebu juga iik keseimbangan dan sering dinamakan daya dukung b populasi. Benuk umum persamaan logisik dapa diurunkan dari sehingga: r = a b,, 1 x adu u adu u s = be dx+ k e Teladan Pemahaman Model Sebuah populasi memenuhi model perumbuhan beriku: d d = λ ; θ ; λ > θ Andaikan = 1. Sajikan pemecahan unuk θ > 1, θ = 1 dan θ < 1. dengan memperhaikan iga kasus Teknik pemecahan yang digunakan dapa berbeda, eapi benuk akhirnya akan idenik dengan hasil pemecahan beriku. Jika θ = 1 maka = e λ, jika 1 θ > maka 1 = 1 ( θ 1) λ 1 θ 1 dan jika θ < 1 aau jika θ 1 < < maka 1 1 θ λ 1 1 = + θ.
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5-1 Teladan umerik Sebuah populasi memiliki ukuran awal 1 individu dan menempai sebuah habia yang daya dukungnya 1.. Pada ahun perama, populasi berambah 2. Dengan mengandaikan perumbuhan populasi mengikui model logisik, enukan dalam berapa ahun populasi ersebu mencapai ukuran 95. individu? Dengan menggunakan formula (25) dan baasan daya dukung yang elah disinggung pada 1.8, diperoleh = 5.9 ahun. Perumbuhan VO BERTALAFFY Menuru eori yang diajukan VO BERTALAFFY, bobo organisma akan dipengaruhi oleh dua proses yang berlawanan, yaiu: anabolisma aau sinesa dan kaabolisma aau penghancuran. Proses yang perama mengakibakan berambahnya bobo, eapi yang kedua akan menguranginya. Laju proses anabolisma dapa dianggap sebanding dengan luas permukaan yang dapa diabsorpsi, sedangkan laju proses kaabolisma dapa dianggap sebanding dengan bobonya. Oleh karena kedua proses ini erjadi secara koninu dan selalu bersama-sama selama organisma ersebu hidup, perbedaan keduanya dapa dianggap sebagai laju perubahan bobo pada suau saa erenu. Ide ini yang kemudian dinyaakan dalam suau persamaan maemaika: dw = ( HS DW ) d (26) sedangkan dw adalah perubahan bobo selama periode d, H adalah koefisien anabolisma, D adalah koefisien kaabolisma, S adalah luas permukaan yang dapa diabsorpsi dan W adalah bobo; sehingga: dw = HS DW (27) d dw d disebu laju perubahan bobo. Andaikan perumbuhan bersifa isomerik, arinya idak erjadi perubahan benuk maupun kepadaan selama proses umbuh. Dengan demikian, luas permukaan S dapa dianggap sebanding dengan kuadra sembarang dimensi linear (misal panjang L ),
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5-11 sedangkan bobo W sebanding dengan pangka iga dimensi linear yang sama. Secara maemaika, hal ini dilambangkan dengan: dan S 2 = pl (28) W = ql (29) sedangkan p dan q adalah konsana. Berdasarkan (29), dw dapa dienukan dengan cara: dw 2 ql dl = () sehingga: dw = 2 ql dl aau dw d dl d 2 = ql (1) Subsiusikan (28), (29) dan (1) pada (27), diperoleh: dw = HS DW d dl ql = HpL DqL d 2 2 aau: dl Hp DL = (2) d q Persamaan yang erakhir ini lebih homogen (dalam L ) dibanding persamaan (27) yang heerogen (dalam S dan W ). Persamaan ini dapa diulis: dl D Hp + L = () d q yang menyerupai benuk umum persamaan differensial, dy Ky A dx + = dengan D K = Hp dan A =. Persamaan differensial ini menghasilkan pemecahan beriku: q
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5-12 A y = + Ce K Kx aau unuk persamaan () menjadi: menjadi: Hp L= + Ce Dq D Dengan menggunakan noasi L, kia dapa menuliskan persamaan yang erakhir L D Hp = + Ce (4) Dq Misalkan L adalah panjang organisma pada saa =. Gunakan noasi ini pada (4), Hp diperoleh nilai C = L, sehingga: Dq Hp Hp L = L e Dq Dq D (5) Jika mendekai nilai akhingga, nilai eksponen pada persamaan (5) akan mendekai, sehingga secara asimpois, nilai L akan mendekai besaran Hp Dq. ilai asimpois ini biasa dilambangkan dengan L. Lambangkan pula, (5) dapa diuliskan menjadi: L L L L e D K =, persamaan K = (6) Persamaan (6) merupakan persamaan asli kurva VO BERTALAFFY anpa mengikuserakan parameer lain yang sesungguhnya disubsiusikan dengan inerpreasi yang murni maemais. Dengan demikian, secara biologi, persamaan (6) sudah cukup memadai. Andaikan sekarang, adalah umur organisma pada saa panjangnya sama dengan ( L = ). Dengan mengadakan subsiusi erhadap (6) diperoleh: ( ) ( ) L = L L L e L = L L L e = L L L e K K K
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5-1 sehingga K ( L L ) = L e dan kia peroleh penampilan lain dari persamaan VO BERTALAFFY yang biasa dugunakan seperi beriku: L = L L L e K K L Le e = = L K( ) ( 1 e ) K Dengan eknik yang sama dan dari hubungan pada persamaan (29), penampilan kurva perumbuhan VO BERTALAFFY dapa juga disajikan dengan menggunakan bobo organisma. Melalui beberapa prosedur aljabar sederhana, diperoleh: K( ) ( 1 ) W = W e (8) Beberapa Meoda Terapan Beberapa meoda lanjuan yang merupakan erapan dari kurva perumbuhan VO BERTALAFFY diemukan cukup banyak. Beberapa dianaranya adalah: Meoda WALFORD, Meoda GULLAD, Meoda ABRAMSO dan seerusnya. Meoda WALFORD mencoba mencari hubungan anara panjang pada saa erenu dengan panjang pada saa yang lain. Misalkan hubungan anara panjang pada saa + 1 dan panjang pada saa. Melalui beberapa pengolahan sederhana, diperoleh hubungan: K K L+ 1 L 1 e e L = + (9) Bagian perama dari ruas sebelah kanan merupakan konsana, demikian pula bagian kedua kecuali L. Dengan demikian, L + 1 merupakan sebuah fungsi linear dari L. Pemecahannya dapa dilaksanakan dengan menggunakan regresi linear sederhana. Jika WALFORD menyajikan selang waku 1 sauan waku, GULLAD membahasnya secara umum, yaiu unuk T sauan waku. Dengan cara yang sama, seperi pada Meoda WALFORD, Meoda GULLAD menyajikan hubungan anara L L + T dengan L seperi beriku: KT KT L 1 L = L 1 e 1 e L (4) + (7)
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5-14 Pendekaan Lain unuk Perumbuhan dalam Panjang Perhaikan persamaan differensial beriku: dl = L = J KL (41) d Seperi halnya hubungan anara dan pada pembahasan moralias, pada hubungan ini juga erliha adanya hubungan linear anara L dan L. Konsana J merupakan inersep dan K sebagai kemiringan (slope). Gambar kiri membaasi kemiringan (slope) unuk seiap iik pada kurva kanan Pada persamaan dl = L = J KL, L merupakan peubah erganung (idak bebas) d sedangkan adalah peubah bebas. Beriku adalah uraian sederhana unuk menyelesaikan persamaan ersebu: dl J = J KL= K L (42) d K sehingga dl dl J = Kd Kd ln L c K c J = J + = + L L K K K J K K J L = + ce = L + ce, L = K K 1 2
Pelaihan Sock Assessmen Modul 5-15 Unuk menenukan besaran c misalkan L = pada saa = sehingga K L L = = L ce c + = K e Subsiusikan c ke dalam persamaan erakhir diperoleh K K L = L L e e aau L = L e (4) K( ) (1 ) Persamaan (4) dikenal sebagai persamaan perumbuhan von Beralanffy dan digunakan secara luas dalam ilmu perikanan sebagai model perumbuhan individu ikan dalam panjang. Knigh (1968) dan Roff (198) memberikan pendapa yang berbeda dalam penggunaan persamaan von Beralanffy.