FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah asal Daerah hasil Aturan suatu fungsi dinyatakan dalam persamaan : y = f(x) x adalah variabel bebas, y adalah variabel tak bebas contoh : y = x 2-4 y = 2x + 1 Jika daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi adalah himpunan bilangan riil, maka fungsi tersebut dapat digambarkan dalam bentuk grafik pada suatu bidang koordinat.
y y 6 6 4 2 3-4 -2 2 4 x -3-1 1 3 x -2-4 -3 y = f(x) = x 2 4 y = 2x + 3 Apabila grafik suatu fungsi adalah simetris terhadap sumbu Y maka fungsi yang demikian disebut fungsi genap, yaitu jika f(-x) = f (x). Apabila grafik suatu fungsi adalah simetris terhadap titik asal O (0,0) maka fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil, yaitu jika f(-x) = - f(x). 1.2 Operasi Pada Fungsi JUMLAH, SELISIH,HASIL KALI, HASIL BAGI, PANGKAT. Pandanglah fungsi- fungsi f dan g dengan rumus- rumus f(x) = g(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x) = + Fungsi- fungsi f g, f. g, dan f/g diperkenalkan dengan cara analog. Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal alamiah, kita mempunyai yang berikut :
Operasi pada Fungsi Rumus dan Contoh Daerah asal Jumlah (f + g) (x) = f(x) + g(x) = + [ 0, ) Selisih (f - g) (x) = f(x) - g(x) = - [ 0, ) Hasil Kali (f. g) (x) = f(x). g(x) =. [ 0, ) Hasil Bagi ( ) (x) = = ( 0, ) Kita harus mengecualikan 0 dari daerah asal f/g untuk menghindari pembagian oleh 0. Kita juga boleh memangkatkan suatu fungsi. Dengan f n, kita maksudkan fungsi yang menetapkan nilai [f(x)] n pada x. Jadi, f 2 (x) = [f(x)] 2 2 = = dan g 3 (x) = [g(x)] 3 = ( ) 3 = x 3/2 Satu-satunya pengecualian pada aturan ini untuk n dalam f n adalah n = -1 CONTOH 1. Andaikan F(x) = dan G(x) =, dengan masing- masing daerah asal alamiah [ - 1, ) dan [ - 3, 3 ]. Cari rumus untuk F + G, F G, F. G, F/G dan F 5 dan berikan daerah asal alamiahnya. Penyelesaian Rumus Daerah asal (F + G) (x) = F(x) + G(x) = + [ -1, 3)
(F - G) (x) = F(x) - G(x) = - [ -1, 3 ) (F. G) (x) = F(x). G(x) =. [ -1, 3 ) ( ) (x) = = [ -1, 3 ) F 5 (x) = [ F(x) ] 5 = ( ) 5 = ( x + 1) 5/4 [ -1, ) KOMPOSISI FUNGSI. Sebelumnya, anda diminta untuk membayangkan sebuah fungsi sebagai sebuah senapan. Sekarang diminta memikirkan fungsi f sebagai sebuah mesin. Fungsi ini menerima x sebagai masukan, bekerja pada x, dan menghasilkan f(x) sebagai keluaran. Dua mesin seringkali dapat diletakkan berdampingan untuk membuat sebuah mesin yang lebih rumit demikian juga halnya dengan dua fungsi f dan g. Jika f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk mehasilkan g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yang dihasilkan, disebut komposit g dengan f, dinyatakan oleh g o f. Jadi, ( g o f )(x) = g(f(x)) Ingat kembali contoh kita terdahulu, f(x) = (x- 3)/2 dan g(x) =. Kita dapat menyusunnya dalam dua cara, ( g o f )(x) = g(f(x)) = g = ( f o g )(x) = f(g(x)) = f( ) = Segera kita perhatikan satu hal: Susunan (komposisi) fungsi tidak komutatif; gof dan fog umumnya berlainan. CONTOH 2. Andaikan f(x) = 6x/(x 2 9) dan g(x) = ( fog )(12),kemudian cari (fog)(x) dan berikan daerah asalnya. Penyelesaian. Pertama, cari
( f o g )(12) = f(g(12)) = f ( ) = f(6) = = ( f o g )(x) = f(g(x)) = f ( = = = Daerah asal fog adalah [0, 3) ( 3, ) TRANSLASI. Dengan mengamati bagaimana sebuah fungsi dibentuk dari yang paling sederhana dapat membantu Anda dalam menggambar grafik. Mungkin anda akan bertanya: Bagaimana grafik- grafik dari y = f(x) y = f(x 3) y = f(x) + 2 y = f(x 3) + 2 apakah berkaitan satu sama lain? Ambillah f(x) = sebagai contoh. Keempat grafik yang bersesuaian ini dapat anda lihat pada gambar y= y = 3 y = y = + 2 2 2 3 Apa yang terjadi dengan f(x) = adalah khas. Perhatikan bahwa keempat grafik tersebut mempunyai bentuk yang sama, tiga yang terakhir hanyalah penggeseran (translasi) dari yang pertama. Dengan mengganti x oleh x 3 akan menggeser grafik itu 3 satuan luas ke kanan, dengan menambahkan 2 berarti menggesernya ke atas sebesar 2 satuan. KATALOG SEBAGIAN DARI FUNGSI. Sebuah fungsi berbentuk f(x) = k, dengan k adalah konstanta (bilangan riil) disebut fungsi konstan. Grafiknya berupa garis mendatar. Fungsi f(x) = x disebut fungsi identitas.
Grafiknya berupa sebuah garis yang melaui titik asal dengan kemiringan 1. Dari fungsifungsi sederhana ini, kita dapat membangun banyak fungsi- fungsi kalkulus yang penting. Fungsi Konstan Fungsi identitas Sebarang fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian disebut fungsi polinom. Ini sama saja dengan mengatakan bahwa f adalah fungsi polinom jika berbentuk f(x) = + + + + dengan koefisien- koefisien a berupa bilangan riil dan n adalah bilangan bulat tak negative. Jika, maka n adalah derajat dari fungsi polinommya. Khususnya, f(x) = ax + b adalah fungsi derajat satu, atau fungsi linear, dan f(x) = ax 2 +bx + c adalah fungsi derajat dua, atau fungsi kuadrat Hasil bagi fungsi- fungsi polinom disebut fungsi rasional. Jadi f adalah fungsi rasional jika dibentuk f(x) = Sebuah fungsi aljabar eksplisit adalah fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas melalui operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan penarikan akar. Contohnya adalah f(x) = 3x 2/5 = 3 g(x) = Fungsi fungsi yang didaftarkan sedemikian jauh, bersama- sama dengan fungsifungsi trigonometri, balikan trignometri, eksponen, dan logaritma (akan diperkenalkan nanti), merupakan bahan baku yang mendasar untuk kalkulus kita.
1.3 Fungsi Trigonometri Definisi Perhatikan gambar berikut : Definisi fungsi trigonometri didasarkan pada lingkaran satuan, yaitu lingkaran yang berjari-jari 1 dan berpusat di titik asal. Andaikan A adalah titik (1,0) dan andaikan t adalah sembarang bilangan positif. Maka terdapat satu titik P (x,y) sedemikian rupa sehingga panjang busur AP, yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari A sepanjang lingkaran satuan sama dengan t (gambar 1). Jika arah putaran searah jarum jam, maka t < 0. Definisi Fungsi Sinus dan Kosinus Andaikan t menentukan titik P (x,y) seperti ditunjukkan di atas, maka sin t y dan cos t x Sifat-sifat Dasar Fungsi Sinus dan Kosinus 1. Daerah hasil untuk fungsi sinus dan kosinus adalah selang 1,1 2. sin t 2 sin t dan cos t 2 = cos t 3. sinus adalah fungsi ganjil, sedangkan kosinus adalah fungsi genap,
4. sin t cos t dan cos t =sin t 2 2 5. 2 2 sin tcos t 1 Grafik Sinus dan Kosinus Berikut ini gambar grafik sinus Berikut ini grafik fungsi kosinus
Empat Fungsi Trigonometri Lainnya sin t cos t tan t cot t cos t sin t 1 1 sec t csc t cos t sin t Hubungan Dengan Trigonometri Sudut Sudut biasanya diukur dengan derajat atau dalam radian. Satu radian didefinisikan sebagai sudut yang berpadanan dengan busur sepanjang 1 unit lingkaran. 0 180 radian 3,1415927 radian 1 radian 57, 29578 0 1 0,0174533 Panjang busur s dari potongan busur sebuah lingkaran dari sebuah lingkaran berjari-jari r dengan sudut pusat t radian memenuhi s t 2r 2 Atau s rt Contoh : Carilah jarak yang ditempuh oleh sebuah sepeda dengan roda yang mempunyai jari-jari 30 cm bila roda itu berputar sampai 100 putaran? Penyelesaian : r 30cm t 100 putaran =100.2 maka, s rt 30.100.2 6000 18849, 6cm 188,5m Jadi, jarak yang ditempuh sepeda tersebut 188,5m
1.4 Pendahuluan Limit Definisi. Pengertian Limit Secara Intuisi. Mengatakan bahwa f x L dari c, maka Contoh Carilah 4 5 lim x x 3 Penyelesaian lim berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan xc f x dekat ke L. Bilamana x dekat 3; maka 4x 5 dekat terhadap 4 35 7. Kita tuliskan Limit-limit Sepihak lim x 3 4x 5 7 Bilamana suatu fungsi mempunyai lompatan, maka limit tidak ada pada setiap titik lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian, adalah wajar untuk memperkenalkan limit-limit sepihak. Anggaplah lambang kanan, dan andaikan x c berarti bahwa x mendekati c dari x c berarti bahwa x mendekati c dari kiri. Definisi Limit Kiri dan Limit Kanan Mengatakan bahwa f x L kanan c, maka lim berarti bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah xc f x dekat ke L. Hal yang serupa, mengatakan bahwa lim f x L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi pada sebelah kiri c, maka ke L. Contoh Carilah limx x 2 Penyelesaian xc f x adalah dekat Ingatlah kembali bahwa x menyatakan bilangan bulat terbesar lebih kecil dari atau sama dengan x. Grafik y x adalah
y x 3 2 1 1 2 3 4 x Jadi, walaupun lim x 1 dan lim x 2 x2 lim x tidak ada, adalah benar untuk menuliskan x2 Teorema lim f x L jika dan hanya jika lim f x L dan lim f x L xc xc xc 1.5 Pengkajian Mendalam Tentang Limit Definisi Pengertian yang tepat tentang limit Mengatakan bahwa f x L lim, berarti bahwa untuk tiap 0 yang diberikan xc (betapapun kecilnya), terdapat 0 yang berpadanan sedemikian sehingga x f L asalkan bahwa 0 x c, yakni, 0 x c f x L Contoh Buktikan bahwa 3 7 5 lim x x 4 Analisis Pendahuluan Andaikan bilangan positif sembarang. Kita harus menghasilkan suatu 0 sedemikian sehingga 3 7 0 x 4 x 5
Pandang ketaksamaan di sebelah kanan 3x 7 5 3x 12 3 x 4 3 x 4 x 4 3 Sekarang kita lihat bagaimana memilih, yakni 3. Tentu saja yang lebih kecil akan memenuhi. Bukti Resmi Andaikan diberikan 0. Pilih 3. Maka 0 x 4 membawakan 3x 75 3x 12 3x 4 3x 4 3 Jadi 3x 75 1.6 Teorema Limit Teorema Limit Utama
Bukti teorema limit utama no.4 : Misalkan dan. Jika terdapat >0, maka >0. karena, maka terdapat >0 sedemikian sehingga Karena,maka terdapat >0 sedemikian sehingga Pilih maka menunjukkan Maka disimpulkan sehingga terbukti bahwa Teorema limit utama digunakan untuk memperoleh penyelesaian limit dari sebuah fungsi. Untuk beberapa kasus fungsi polinom atau fungsi rasional, penyelesaian limit dapat didasarkan teorema subtitusi, yaitu : Teorema Subtitusi: Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka Dengan syarat pada fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol. Contoh Mencari penyelesaian Penyelesaian Pada kasus fungsi rasional ini nilai penyebut untuk x=2 tidak nol, maka dapat diselesaikan berdasarkan teorema B, sehingga
Teorema Apit : Misalkan fungsi f,g, dan h memenuhi mungkin di c. untuk semua x dekat c, kecuali Jika, maka Contoh Diketahui untuk semua x mendekati tetapi tidak nol. Maka nilai? Penyelesaian Misalkan Sehingga, berdasarkan teorema apit, maka diperoleh : 1.7 Kekontinuan Fungsi Definisi. kekontinuan di satu titik Fungsi f dikatakan kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terdapat dalam domain f dan. Contoh Misalkan tersebut., bagaimana f didefinisikan di x=2 agar kontinu di titik
Penyelesaian Kita definisikan, sehingga Definisi. Kekontinuan Pada Selang Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a,b) jika f kontinu pada setiap titik (a,b), f kontinu pada selang tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b. Contoh Fungsi yang disketsakan di atas dikatakan kontinu pada selang terbuka (-,0), (0,3), dan (5, ) dan pada selang tertutup [3,5].