PERSAMAAN DIFERENSIAL

PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Persamaa Diferesial Liier Tigkat Satu Betuk umum ersamaa diferesial liier tigkat satu adalah sebagai berikut: P( ) y Q( ) d atau y P( ) y Q( ) Rumus eyelesaia umum utuk ersamaa diferesial ii adalah sebagai berikut: dega C meruaka suatu kostata. Cotoh : Tetuka solusi dari y y e. Dalam soal ii, diketahui P ( ) da (i) P( ) d d (ii) (iii) (iv) P ( ) d e e e ( ) Q( ) e e e P d e Q( ) e d e P( ) d P( ) d P( ) d y e e Q( ) d C Q( ) e. Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: P( ) d P( ) d y e e Q( ) d C Cotoh : Tetuka solusi dari y d. y e e C y e Ce Betuk ersamaa diferesial di atas bukalah betuk umum dari ersamaa diferesial liier tigkat satu. Maka, dega megalika / ada kedua ruas, didaatlah y d sehigga P ( ) da Q( ). (i) P( ) d d l l P (ii) ( ) d l e e P( ) d (iii) e Q( ) (iv) e Q( ) d d P( ) d KALKULUS Srava Chrisdes

Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: P( ) d P( ) d y e e Q( ) d C y C y C B. Persamaa Diferesial Liier Homoge Tigkat ke- dega Koefisie Teta Betuk umum dari ersamaa diferesial liier tigkat- adalah: P P P... P P y Q d d d d dega P da P, P,..., P, P, Q adalah suatu fugsi dari variabel atau suatu kostata. Jika Q =, maka ersamaa di atas disebut sebagai ersamaa diferesial liier homoge. Jika P, P,..., P, P semuaya kostata, dega P, maka ersamaa di atas disebut sebagai ersamaa diferesial liier dega koefisie teta (kosta). d Utuk memermudah betuk umum dari ersamaa di atas, dimisalka saja D dega d Dy d ; Dy d ; Dy da seterusya d sehigga betuk umumya mejadi P D P D P D... P D P y Q dega P D P D P D... P D P F( D). Misalka FD ( ) daat difaktorka mejadi faktor liier dega F( D) ( D m)( D m)...( D m ) maka, betuk ersamaa diferesial di atas mejadi ( D m )( D m )...( D m ) y Q Saat FD ( ), ersamaa ( D m)( D m)...( D m ) disebut sebagai ersamaa karakteristik dega akar-akar karakteristikya m, m,..., m. Persamaa karakteristik ii meruaka ersamaa agkat ke- dari variabel D, sehigga akar-akar karakteristikya memuyai tiga kemugkia, yaitu: ) m, m,..., m, semuaya adalah bilaga riil da berlaia, ) m, m,..., m, semuaya adalah bilaga riil da terdaat akar m kembar sebayak r, ) m, m,..., m, terdaat beberaa (atau semua) akar yag adalah bilaga komleks a ib dega ab,. Teorema Diketahui suatu ersamaa diferesial liier homoge ( D m)( D m)...( D m ) y. Jika m, m,..., m semuaya adalah bilaga riil da berlaia, maka eyelesaia umumya adalah: m m m y Ce C e... C e KALKULUS Srava Chrisdes

Cotoh : Tetuka solusi dari 6y. d d Persamaa karakteristikya adalah D D6 ( D )( D) Maka, akar-akar karakteristikya adalah m da m solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: m m y C e C e Teorema y C e C e Diketahui suatu ersamaa diferesial liier homoge ( D m)( D m)...( D m ) y. Jika m, m,..., m semuaya adalah bilaga riil da terdaat akar m yag kembar sebayak r, maka eyelesaia umumya adalah: m m m r m m y C e C e C e... Cr e... Ce Cotoh 4: Selesaikalah ersamaa diferesial Persamaa karakteristikya adalah d d d d d y D D D ( D)( D)( D) Maka, akar-akar karakteristikya adalah m =. solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: y C e C e C e Teorema m m m y C e C e C e Diketahui suatu ersamaa diferesial liier homoge tigkat dua ( D m)( D m) y. Diketahui ula m da m meruaka seasag akar komleks kojugat (yaki, m a bi da m a bi dega ab, ). Jika b, maka eyelesaia umumya adalah: a y e Cos b C si b Cotoh 5: Selesaikalah ersamaa diferesial y. d d KALKULUS Srava Chrisdes

Persamaa karakteristikya adalah: Igat kembali rumus kuadrat D D m, a Dega megguaka rumus tersebut, didaatlah b b 4a b b a ( ) ( ) 4()() 4 6 m, a () Maka, akar-akar karakteristikya adalah 6 i 6 6i m i 6 i 6 6i m i solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: a y e Cos b C si b y e Cos C si Sekarag, aka dilihat otoh bagaimaa eyelesaia ersamaa diferesial liier homoge dega ilai m bervariasi. Cotoh 6: Tetuka solusi ersamaa diferesial Persamaa karakterisitikya adalah Dari Dari ( D 4) ( D 4) 4 6y 4 d. 4 D 6 ( D 4)( D 4), didaatlah akar-akar karakteristik m da m, dega megguaka rumus kuadrat, didaatlah akar-akar karakteristik m i da m4 i solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: m m a y C e C e e C os b C 4 si b y C e C e C os C si 4 C. Persamaa Diferesial Tak Homoge dega Koefisie Teta Lihat kembali betuk umum dari ersamaa diferesial liier tigkat- dega koefisie teta adalah: P P P... P P y Q d d d d dega P da P, P,..., P, P adalah kostata. KALKULUS Srava Chrisdes 4

Jika Q, maka ersamaa di atas disebut sebagai ersamaa diferesial tak homoge. Dega melakuka emisala seerti yag telah dijelaska sebelumya, maka betuk umum dari ersamaa diferesial liier tigkat- dega koefisie teta daat dituliska sebagai berikut dega atau F( D) y Q F( D) P D P D P D... P D P F( D) ( D m)( D m)...( D m ) da, Q. Maka, betuk eyelesaia umum dari ersamaa diferesial liier tak homoge tigkat- dega koefisie teta adalah y y y y : eyelesaia umum dari F( D) y (fugsi komlemeter) y : itegral khusus F( D) y Q Cara meari itegral khusus y : ) metode koefisie tak tetu (tergatug betuk dari Q), ) metode variasi dari arameter. Tekik A samai Tekik D berikut aka membahas earia itegral khusus dega metode koefisie tak tetu. Tekik A Diketahui suatu ersamaa diferesial liier tak homoge P P P... P P y Q. d d d d Jika Q suatu kostata takol, maka itegral khusus dari eyelesaia ersamaa diferesial tersebut adalah Q y P Cotoh 7: Selesaikalah ersamaa diferesial berikut: Utuk meari y 6. d d y, lagkah-lagkahya sama seerti ada Cotoh samai dega Cotoh F D y. Maka, ersamaa karakteristikya adalah 6, yaitu dega memisalka ( ) D D ( D)( D) sehigga akar-akar karakteristikya adalah m da m y C e C e KALKULUS Srava Chrisdes 5

Selajutya, telah diketahui bahwa Q = 6 da P. Maka, Q 6 y P Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: y y y y y y C e C e Tekik B Diketahui suatu ersamaa diferesial liier tak homoge P P P... P P y Q. d d d d Jika Q berbetuk ersamaa oliomial derajat, maka itegral khusus dari eyelesaia ersamaa diferesial tersebut adalah y A B C dega d Cotoh 8: Tetuka solusi dari A da A B d. y. d d Utuk meari y, misalka F( D) y. Maka, ersamaa karakteristikya adalah D D ( D )( D) sehigga akar-akar karakteristikya adalah m da m y C e C e Lalu, misalka y A B C dega A da A B d d. Dega mesubstitusi y,, da d d ( A) ( A B) ( A B C) ke ersamaa diferesial awal, dieroleh A (A B) (A B C) Kemudia, dega meyamaka masig-masig suku ada kedua ruas, didaatlah A AB A B C sehigga A B C 4 y. 4 Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: y y y y Ce Ce 4 KALKULUS Srava Chrisdes 6

Tekik C Diketahui suatu ersamaa diferesial liier tak homoge P P P... P P y Q. d d d d k Jika Q berbetuk Ce dega C da k adalah suatu kostata, maka itegral khusus dari eyelesaia ersamaa diferesial tersebut adalah k y Ae dega Ak e k d Cotoh 9: Tetuka solusi dari da Ak e k d. 4y e d. Utuk meari y, misalka F( D) y. Maka, ersamaa karakteristikya adalah D 4 Dega megguaka rumus kuadrat, dierolehlah akar-akar karakteristikya m i da m i Lalu, dega C = da k =, misalka Dega mesubstitusi y C os C si y Ae dega da d 9Ae 4 Ae e 9Ae d da y ke ersamaa diferesial awal, dieroleh Ae e sehigga didaatlah A = /. y e Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah: y y y y Cos C si e Ae d. Tekik D Diketahui suatu ersamaa diferesial liier tak homoge P P P... P P y Q. d d d d Jika Q berbetuk C os k atau C si k dega C da k adalah suatu kostata, maka itegral khusus dari eyelesaia ersamaa diferesial tersebut adalah y Aos k Bsi k dega os si d Ak k Bk k da Ak si k Bk os k d. KALKULUS Srava Chrisdes 7

Cotoh : Selesaika ersamaa diferesial y si. d d Utuk meari y, misalka F( D) y. Maka, ersamaa karakteristikya adalah D D ( D )( D) sehigga akar-akar karakteristikya adalah m da m y C e C e Lalu, dega C da k, misalka y Aos Bsi dega Aos Bsi da Asi B os d d. Dega mesubstitusi y,, da ke ersamaa diferesial awal, dieroleh d d ( Aos Bsi ) ( Asi Bos ) ( Aos Bsi ) si ( A B) os ( A B)si si Kemudia, dega meyamaka masig-masig suku ada kedua ruas, didaatlah A B AB sehigga A B y os si Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah y y y y Ce Ce os si Sekarag, aka diberika otoh bagaimaa meari itegral khusus dari ersamaa diferesial liier tak homoge dega Q meruaka hasil kali atau hasil jumlah fugsi-fugsi dari jeis yag telah dibahas ada Tekik A samai Tekik D. Sebagai otoh, misalka 4y os. Dalam hal ii, Q os ; d d meruaka erkalia atara (oliom berderajat ) da os. Berdasarka Tekik B diketahui utuk Q berbetuk ersamaa oliomial derajat itegral khususya y A B C. Maka, utuk Q berbetuk ersamaa oliomial derajat memberika itegral khusus y A B. Lalu berdasarka Tekik D, utuk os, itegral khususya y os si. itegral khusus utuk Q os adalah: y ( A B)(os si ) KALKULUS Srava Chrisdes 8

4 si Cotoh laiya, misalka y e. Dalam hal ii, d d meruaka ejumlaha atara e da si. Berdasarka Tekik C, utuk e, itegral khususya y Ae. Q e si Lalu berdasarka Tekik D, utuk si, itegral khususya y os si. itegral khusus utuk Q e si adalah: y Ae os si ; Selajutya, aka dibahas tetag earia itegral khusus dega metode variasi dari arameter. Metode ii bisa diguaka utuk semua betuk Q dalam meyelesaika ersamaa diferesial liier tak homoge. Itegral khusus dari ersamaa diferesial liier tak homoge F( D) y Q daat ditetuka dari betuk y C y ( ) C y ( )... C y ( ) dega meggati Teorema 4 i C mejadi fugsi L ( ) sehigga i y L ( ) y ( ) L ( ) y ( )... L ( ) y ( ) y C y ( ) C y ( ) adalah fugsi komlemeter dari ersamaa diferesial Jika ( D PD P) y Q, maka dega syarat: (i) L y L y L y L y Q (ii) y L ( ) y ( ) L ( ) y ( ) Teorema 5 Jika diferesial y C y ( ) C y ( ) C y ( ) adalah fugsi komlemeter dari ersamaa ( D P D P D P ) y Q, maka dega syarat: (i) L y L y L y (ii) L y L y L y L y L y L y Q (iii) y L ( ) y ( ) L ( ) y ( ) L ( ) y ( ) Utuk memermudah earia hasil dari sistem ersamaa liier ada Teorema 4 da 5, guakalah Atura Cramer. Setelah itu, itegralka hasil-hasil yag didaat utuk memeroleh L, L, da L. KALKULUS Srava Chrisdes 9

Cotoh : Tetukalah solusi dari y ta d. Utuk meari y, misalka F( D) y. Maka, ersamaa karakteristikya adalah D Dega megguaka rumus kuadrat, dierolehlah akar-akar karakteristikya m i da m i y C os C si Karea itu, berdasarka Teorema 4, itegral khususya berbetuk y L ( ) os L ( ) si Selajutya, L y L y L os L si L y L y Q L ( si ) L os ta Matriks yag dierbesar dari sistem ersamaa tersebut adalah Berdasarka matriks di atas, misalka os A si os si si os ta si os b = ta Utuk megguaka Atura Cramer, ari terlebih dahulu matriks etri-etri ada kolom ke-j dari A dega etri-etri matriks b. si A ta os A os si ta Dega Atura Cramer, didaatlah det( A ) ta si L ta si det( A) det( A ) si L si det( A) Karea L ta si, maka si os ta si d d d (os se ) d os os si l se ta K sehigga L si l se ta. A j dega meggati Selajutya, karea L si, maka si d os K sehigga L os. KALKULUS Srava Chrisdes

y L ( ) os L ( ) si (si l se ta ) os os si si os os l se ta os si os l se ta Dega demikia, solusi umum dari ersamaa diferesial ii adalah y y y y Cos Csi os l se ta D. Alikasi Persamaa Diferesial >> PEGAS BERGETAR Hukum Hooke megataka bahwa jika egas diregagka (atau dimamatka) satua dari ajag mula-mula, maka egas tersebut megeluarka gaya yag sebadig terhada : gaya emulih = k dega k adalah kostata egas (berilai ositif). Jika gaya hambata luar diabaika (yag disebabka oleh hambata udara atau geseka), maka dega Hukum Kedua Newto (gaya = massa ereata), didaat: d d k F k ma k m k m dt dt dega m meruaka massa beda yag diletakka ada ujug egas. Ii berua ersamaa diferesial liier tigkat dua. Persamaa karakteristikya adalah md k dega akar-akar karakteristikya r, i k / m. Lalu, dega memisalka k/ m, maka r, i. Berdasarka Teorema, solusi umum utuk ersamaa diferesial di atas adalah: ( t) Cos t Csi t yag daat ditulis juga sebagai berikut: ( t) A os( t ) dega: k/ m [frekuesi] A C C [amlitudo] C C os ; si [ adalah sudut fase] A A Jeis gerak ii disebut sebagai gerak harmoik sederhaa. Cotoh : Pegas dega massa kg memuyai ajag mula-mula,5 m. Gaya 5,6 N dierluka utuk memertahaka egas dalam keadaa teretag seajag,7 m. Jika egas diretag ke ajag,7 m da kemudia dileaska dega keeata awal, arilah osisi massa tersebut ada sebarag t. Dari Hukum Hooke, gaya yag dierluka utuk meretagka egas adalah 5,6 k(,7,5) KALKULUS Srava Chrisdes

sehigga k 5,6 /, 8 (karea k adalah kostata egas berilai ositif). Dega megguaka ilai kostata egas ii, da juga fakta bahwa massaya m =, maka d 8 dt Seerti ada embahasa sebelum otoh ii, solusi umumya adalah ( t) C os8t C si8t dega k/ m 8 / 8. Dalam soal diketahui, egas diretag ke ajag,7 m (yag mula-mulaya,5 m) da kemudia dileaska dega keeata awal. Ii berarti bahwa, saat t =, maka osisi massaya adalah,7,5 =,. Atau, (),. Tetai, dari solusi umum di atas, dieroleh () C os C si C Karea itu, C,. Lalu, dega mediferesialka t (), dieroleh ( t) 8C si 8t 8C os8t da, () t ii meruaka keeata, sehigga () karea keeata awalya. () 8C si 8C os 8C 8C C Dega demikia, osisi massa tersebut ada sebarag t adalah ( t), os8t >> GETARAN TEREDAM Berikutya aka ditijau geraka egas yag dikeai gaya geseka atau gaya eredama. Sebagai otoh, gaya eredama yag dikeluarka oleh eredam-kejut ada mobil atau seeda. Aggalah bahwa gaya eredama sebadig dega keeata massa da bekerja dalam arah yag berlawaa dega arah geraka. gaya eredama = d dt dega adalah kostata eredama (berilai ositif), sehigga dalam kasus ii, Hukum Kedua Newto memberika F = gaya emulih + gaya eredama d ma k dt d d m k dt dt d d m k dt dt Persamaa tersebut meruaka ersamaa diferesial liier tigkat dua dega ersamaa karakteristikya md D k da akar-akar karakteristikya r, m Utuk hal yag seerti ii, terbagi mejadi tiga kasus. 4mk KALKULUS Srava Chrisdes

K.a.s.u.s [ 4mk ] Kasus ii disebut sebagai eredama-lebih (overdamed). Dalam kasus ii, akar-akar karakteristikya adalah bilaga riil yag berbeda, sehigga rt rt berdasarka Teorema, solusi umumya adalah () t C e C e K.a.s.u.s [ 4mk ] Kasus ii disebut sebagai eredama-kritis (ritially damed). Dalam kasus ii, akar-akar karakteristikya adalah bilaga riil kembar, yaitu r, r m rt rt sehigga berdasarka Teorema, solusi umumya adalah () t Ce C e K.a.s.u.s [ 4mk ] Kasus ii disebut sebagai eredama-kurag. Dalam kasus ii, akar-akar karakteristikya adalah bilaga komleks, yaitu r, i m dega 4mk m. Maka, berdasarka Teorema, solusi umumya adalah ( / ) ( ) m t t e Cos t C si t Cotoh : Adaika egas dalam Cotoh dieluka dalam aira dega kostata eredama 4. Carilah osisi massa ada sebarag t, jika eristiwa ii dimulai dari osisi kesetimbaga da diberika doroga utuk memulaiya dega keeata awal,6 m/s. Pada Cotoh, diketahui massaya kg da telah didaat kostata egas k = 8, sehigga d d 4 8 dt dt d d 64 dt dt Persamaa karakteristikya adalah D D 64 ( D 4)( D 6), sehigga akar-akar karakteristikya 4 da 6. Ii berarti terjadi eredama-lebih (Kasus ). Maka, solusi umumya adalah 4t 6t () t Ce Ce Dalam soal diketahui, egas dimulai dari osisi kesetimbaga. Ii berarti bahwa, saat t =, maka osisi massaya adalah. Atau, (). Tetai, dari solusi umum di atas dieroleh () C e C e C C CC. Lalu, dega mediferesialka t (), didaat 4 6 ( ) 4 t t t Ce 6e da, () t ii meruaka keeata, sehigga (),6 karea keeata awalya,6. () 4C e 6 e 4C 6C 4C 6C,6 Karea CC atau C C, maka C,6 atau C,5. Da, C C,5. Dega demikia, osisi massa tersebut ada sebarag t adalah ( t),5e,5 e,5 e e 4t 6 t 4t 6 t KALKULUS Srava Chrisdes

L A T I H A N. Selesaikalah ersamaa diferesial liier tigkat satu berikut. a. y y e. y 6 d b. si y y e d. y d. Selesaikalah ersamaa diferesial liier homoge berikut. a. 6 y. y d d d b. y d. y d d d d d d. Selesaikalah ersamaa diferesial tak homoge berikut. a. 4 4 6 4 y 7 e. y e 4 d d d d d b. 9y e d f. e si d d. y g. y os d d d d d. si 4 h. y se d d d 4. Sebuah erusahaa membuat aalisis megeai jumlah roduksi terhada ekerjaya. Pada saat sekarag, erusahaaya daat memroduksi uit/hari. Dierkiraka taa ertambaha mesi-mesi, maka erubaha jumlah roduksi er hari terhada erubaha eambaha ekerjaya adalah 8 6 dega adalah ertambaha ekerjaya. Tetuka sekarag jumlah roduksi er hari, jika ekerjaya bertambah 5 orag (eambaha roduksiya dalam %). 5. Pegas dega massa kg diegag teretag,6 m di luar ajag mula-mulaya oleh gaya N. Jika egas mulai ada osisi kesetimbaga tetai doroga memberiya keeata awal, m/s, arilah osisi massa tersebut ada sebarag t. 6. Pegas dega massa kg memuyai kostata eredama da kostata egas. Carilah osisi massa tersebut ada waktu t jika egas mulai ada osisi kesetimbaga dega keeata m/s. 7. Pegas memuyai massa kg da kostata egasya. Pegas tersebut dileas di titik, m di atas osisi kesetimbagaya. Tetukalah jeis eredama yag terjadi jika diketahui kostata eredamaya: a.. 5 b. 5 d. KALKULUS Srava Chrisdes 4