P.B. Kosasih PDB nilai batas 47 Persamaan Differensial Biasa (PDB) Dengan Nilai Batas. PENGENAAN TOPIK Pada persoalan enjineering lebih sering dijumpai PDB tingkat dengan kondisi batas ang diberikan pada dua titik. Umumna kedua titik ini ada pada batas-batas domain permasalahan. Karena solusi ang dicari berada pada dua batas ang tertutup, maka problem ini dikenal sebagai problem domain tertutup atau PDB dengan nilai batas. Bentuk umum dari PDB tingkat dengan nilai batas adalah d d + p(x, ) + q(x, ) = f(x) antara x x x n (-) dx dx Dengan nilai-nilai batas A d (x ) + B (x ) = α dx (-a) d A (x n ) + B (x n ) = β (-b) dx dimana A + B dan A + B (-3)
P.B. Kosasih PDB nilai batas 48 Dari kondisi batas (-) ada 3 kemungkinan jenis kondisi batas ang mungkin diterapkan pada PDB ini: (i) Nilai batas konstan (tipe Dirichlet) Nilai batas diberikan sebagai sebuah konstan, contoh jika A = dan B = maka (x ) = α (ii) Nilai batas derivatif (tipe Neumann) Nilai batas diberikan sebagai sebuah nilai derivatif, contoh jika A = dan B = maka (x ) = α (iii) Nilai batas campuran (tipe Robin) Nilai batas terdiri dari nilai konstan dan derivatif, contoh jika A = dan B = maka (x ) + (x ) = α Tergantung dari koeffisien-koeffisien p(x,) dan q(x,), PDB (-) dapat diklasifikasikan sebagai:. PDB inier, jika p(x,) dan q(x,) berupa fungsi dari x saja atau berupa sebuah bilangan konstan. p(x,) = p(x) (-4) atau p(x,) = konstan (-5). PDB Non-inier, jika p(x,) dan q(x,) merupakan fungsi dari x dan. Pada bab ini kita akan bahas beberapa teknik untuk memecahkan PDB linier maupun nonlinier ang dibatasi oleh kondisi batas tipe Dirichlet, tipe Neumann maupun tipe Robin.. METODE INIER TEMBAK Metode ini sangat effektif dan mudah digunakan untuk memecahkan PDB linier dengan kondisi batas tipe Dirichlet. Secara umum problem ang dapat dipecahkan dengan metode ini adalah d d + p(x) + q(x) = f(x) (-6) dx dx Dengan nilai batas (x ) = α (x n ) = β (-7a) (-7b) Tanpa mengurangi artina persamaan (-6) dapat juga dituliskan = p(x) + q(x) + f(x) (-8)
P.B. Kosasih PDB nilai batas 49 angkah utama dari metode tembak adalah merubah problem (-8) menjadi problem PDB dengan nilai awal. Dua PDB nilai awal akan didapat sebagai berikut = z (-9a) z = p(x)z + q(x) + f(x) (-9b) Sistim persamaan (-9) memerlukan nilai-nilai awal. Nilai awal untuk (.9a) adalah (x ) = α (-) Sedangkan nilai awal (.9b) tidak diketahui sehingga kita asumsikan (x ) = z(x ) = ξ (-) Dengan kedua nilai batas (-) dan (-) sistim PDB nilai awal (-9) dapat dipecahkan dengan salah satu teknik pemecahan PDB nilai awal ang telah dibahas pada bab 9 seperti Runge-Kutta. Dengan assumsi ξ,solusina (x) ang mempunai nilai (x n ) = β. Karena β masih berbeda dari nilai (x n ) sebenarna β, maka kita gunakan sebuah assumsi lain. (x ) = z(x ) = ξ (-) Dengan asumsi ini kita dapatkan solusi (x) dengan nilai (x n ) = β. Kedua solusi (x) dan (x) tidak menghasilkan (x n ) atau (x n ) = β. β β β α Gambar. Metode tembak linier Tetapi karena PDB linier maka solusi sebenarna, (x) dapat diberikan oleh superposisi dari (x) dan (x). (x) = C (x) + C (x) (-3) Nilai C dan C dapat dicari dengan menggunakan nilai-nilai batas (x ) = α dan (x n ) = β. Nilai (x ) dihitung dengan (-3) ang menghasilkan
P.B. Kosasih PDB nilai batas 4 α = C α + C α (-4) atau C + C = (-5) Sedangkan nilai (x n ) menghasilkan β = C β + C β (-6) Dengan mensubstitusikan nilai C ang diperoleh dari (-5) ke (-6). β = ( C ) β + C β (-7) Maka C diperoleh β β C = (-8) β β dan, β β C = (-9) β β Dengan mensubstitusikan (-8) dan (-9) ke (-3) didapat β β β β (x) = (x) + β β β β (-) Selanjutna dengan mendifferensiasikan (-) kita peroleh β β β β (x) = β β (x) + β β (-) Sekarang nilai (x ) dapat diperoleh β β β β (x ) = ξ + ξ β β β β (-) Setelah diatur kita bisa dapatkan ( ξ ξ) + ( β ) (-3) ( β β ) ξ = ξ β Setelah (x ) = ξ ang tepat didapat, selanjutna sistim PDB nilai awal (-9) kita pecahkan dengan z(x ) = ξ.
P.B. Kosasih PDB nilai batas 4 ----- CONTOH. ----------------------------------------------------------------------------------------- Pecahkan PDB nilai batas berikut = + xe x x Antara [,] dengan nilai-nilai batas () = dan () = -4. Gunakan metode Runge Kutta dengan h =, dan bandingkan hasilna dengan solusi analitik 3 x 5 x x (x) = x e xe + e x 6 3 Pemecahan contoh ini sama dengan pemecahan sistim PDB dengan nilai awal (-9), = z z = z - + xe x x Sekarang kita asumsikan suatu nilai ξ untuk persamaan (-). Tidak ada rumusan khusus untuk menghitungna tetapi perkiraan dapat kita mulai dengan, (x ) (x ) n 4 ξ = = = x x n Dengan nilai awal () = dan z() = -. Sistim PDB nilai awal pada contoh ini dipecahkan dengan metode Runge Kutta 4 dengan interval h =,. Dengan menggunakan program FOR9_9 kita peroleh () = -3,74. Dengan nilai awal z() = atau ξ =, kita peroleh () = 35,483, guna memperkirakan ξ ang tepat kita gunakan(-3) ( ξ ξ) ( ) ξ = ξ + ( β β) = + ( β β) 35.483 ( 3.74) ( 4 ( 3.74)) ) =. 666667 Dengan z() = -,666667 kita peroleh () = -4,63 ang mendekati nilai batas () = - 4. Plot perbandingan antara hasil dengan ξ = -, ξ = dan ξ = -,666667 diberikan pada gambar. di bawah ini.
P.B. Kosasih PDB nilai batas 4 (x) 4 35 3 5 5 5-5 - -5 - -5-3 -35 solusi analitik ξ = 35.483 ξ = -.666667 ξ = -3.74-4.5.5 x Gambar. Perbandingan antara ξ = -, ξ =, ξ = -,666667 dan solusi analitik ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.3 METODE TEMBAK NON-INIER Untuk PDB non-linier, superposisi tidak dapat kita gunakan sehingga cara lain harus digunakan. angkah pertama disini sama dengan cara pemecahan PDB linier aitu merubah persoalan menjadi PDB nilai awal dan mengasumsikan (x ) = ξi. Dengan menggunakan ' (x ) = α dan (x ) = ξi akan diperoleh nilai (x n ) = β i. Jika nilai (x ) = ξ dapat kita tebak dengan benar maka (x n ) = β akan kita dapatkan dalam batas akurasi ang memungkinkan dalam teknik numerik. Jika tidak benar atau perbedaan terlalu jauh maka kita akan coba ξ ang baru, ξ i+. Jelas disini bahwa kita bereksperimen dengan nilai ξ sampai target (x n ) = β didekati dalam batas akurasi ang telah ditentukan. Problem mencari ξ ang tepat dapat diartikan secara matematika mencari akar dari persamaan non-linier berikut g(ξ) = x n (ξ) β = (-4) dimana x n (ξ) adalah nilai (x n ) dengan (x ) = ξ dan akar dari persamaan (-4) dapat dicari dengan salah satu metode pada bab 3. Metode ang umum dipakai adalah metode Secant ang diberikan oleh g( ξi )( ξi ξi- ) ξi+ = ξi (-5) g( ξi ) g( ξi- )
P.B. Kosasih PDB nilai batas 43 Contoh. di bawah memperjelas penerapan teknik ini. ----- CONTOH. ----------------------------------------------------------------------------------------- Pecahkan PDB nilai batas berikut = -( ) + ln(x) Antara [,] dengan nilai-nilai batas () = dan () = ln() dengan menggunakan metode Runge Kutta dengan h =, dan metode secant. Bandingkan hasilna dengan solusi analitik (x) = ln(x) Pemecahan contoh ini sama dengan memecahkan sistim PDB dengan nilai awal (-9), = z z = -z - + ln(x) Dengan nilai awal () = dan asumsi z() = ξ (sebagai aproksimasi pertama) dan ξ sebagai aproksimasi kedua. ξ ini didapat dengan ξ (x ) (x n = x x ) ln() = = n,69347 ξ kita assumsikan sedangkan ξ dihitung dengan menggunakan persamaan (-5). g( ξ)( ξ ξ ) g( ξ)(,69347) ξ = ξ = (C) g( ξ) g( ξ ) g( ξ) g( ξ ) g(ξ ) =,5536475 ln() = -,3949968 g(ξ ) =,69346 ln() = -,8 (C) (C3) Dengan mensubstitusikan (C) dan (C3) ke (C) kita peroleh, 8(, 69347) ξ = =,, 8 ( 3949968, ) Dalam iterasi β = ln(), dengan menggunakan program FOR_ konvergensi diperoleh dalam iterasi saja. Interval h =, dan konvergensi criteria =,. i ξ i ξ i+ xn (ξ i ) xn (ξ i+ ) g(ξ i ) = xn beta,69347,,5536475,69346 -,39499,,,69346,69346 -,
P.B. Kosasih PDB nilai batas 44.7.6 (x).5.4.3 analitik numerik...5.5.75 x Gambar.3 Perbandingan antara solusi numerik dan analitik Hasil numerik dan analitik tidak berbeda jauh. Hal ini menunjukan bahwa dengan metode secant akurasi ang didapat cukup tinggi. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Program FOR_ memberikan program metode tembak non-linier secant. 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 Program FOR_ Program Fortran 9 metod tembak non-linier secant! FOR_ module VARIABE!---------- DEKARASI MATRIK DAN VARIABE REA :: beta,h,t,tn,n_lama,n_baru,,,_,_, lama, baru,eps INTEGER :: n end module VARIABE program PDB_Tinggi_Secant USE VARIABE implicit none real :: _sementara integer :: iter!---------- TENTUKAN TITIK-TITIK BATAS & NIAI AWA PRINT *,"MASUKAN TITIK-TITIK BATAS" READ *,t, tn PRINT *,"MASUKAN NIAI_NIAI BATAS" READ *,_,beta PRINT *,"MASUKAN NIAI-NIAI AWA" READ *, lama, baru!---------- TENTUKAN JUMAH INTERVA PRINT *,"MASUKAN JUMAH INTERVA" READ *, n!---------- TENTUKAN KRITERIA ERROR PRINT *, "MASUKAN KRITERIA ERROR UNTUK KONVERGENCE" READ *,eps h = (tn-t)/n do WHIE(ABS( baru - lama) >= eps) iter = iter +
P.B. Kosasih PDB nilai batas 45 3 3 3 33 34 35 36 37 38 39 4 4 4 43 44 45 46 47 48 49 5 5 5 53 54 55 56 57 58 59 6 6 6 63 64 65 66 67 68 69 7 7 7 73 74 75 76 77 78 79 8 _sementara = baru _ = lama call runge n_lama = _ = baru call runge n_baru = print *,"n_lama =",n_lama,"n_baru =",n_baru baru = baru - (n_baru - beta)*( baru - lama) /& ((n_baru - beta) - (n_lama - beta)) lama = _sementara print *,"_lama=", lama,"_baru =", baru end do call Runge contains subroutine Runge INTEGER :: i REA :: K,K,K3,K4,,,3,4,t = _ = _ t = t do i=,n K = f(t,,) = g(t,,) K = f(t+.5*h,+.5*k*h,+.5**h) = g(t+.5*h,+.5*k*h,+.5**h) K3 = f(t+.5*h,+.5*k*h,+.5**h) 3 = g(t+.5*h,+.5*k*h,+.5**h) K4 = f(t+h,+k3*h,+3*h) 4 = g(t+h,+k3*h,+3*h) = + h * (K + *K + *K3 + K4) / 6. = + h * ( + * + *3 + 4) / 6. t = t + i * h print *,t, end do end subroutine Runge real function f(t,,) REA, INTENT(IN) :: t,, f = end function f real function g(t,,) REA, INTENT(IN) :: t,, g = -* - + log(t) end function g end program PDB_Tinggi_Secant.4 METODE PERBEDAAN HINGGA (FINITE DIFFERENCE METHOD) INIER Metode perbedaan hingga adalah metode ang sangat popular. Pada intina metode ini merubah problem PDB nilai batas dari sebuah problem kalkulus menjadi sebuah problem aljabar. Dengan metode ini dan pada (-6) kita aproksimasikan dengan menggunakan deret Talor sebagai berikut, (x+h) = (x) + h (x) + (x-h) = (x) - h (x) + h (x) + (-6) h (x) + (-7) Kalau kita kurangi (-6) dengan (-7) dan nilai setelah pangkat diabaikan akan didapat
P.B. Kosasih PDB nilai batas 46 (x + h) (x h) (x) = + O(h ) (-8) h Sedangkan kalau (-6) ditambah dengan (-7), kita akan peroleh (x + h) (x) + (x h) (x) = + O(h ) (-9) h Persamaan (-6) (-9) dapat diterapkan dengan membagi [x,x n ] (lihat gambar.) menjadi n bagian dengan interval h, x n x h = (-3) n...... x x x x n- x n i = i = i = i = n- i = n Gambar. Pembagian interval antara [x,x n ] Dengan metode perbedaan hingga, ang kita cari adalah nilai pada x tertentu, x i+ = x i + h (-3) Jika i =, maka x = x + h. Dengan menggunakan notasi ini (-8) dan (-9) dapat dituliskan (xi ) (x i- ) + (x i ) = h (-3) (xi+ ) (x i ) + (xi ) (x i ) = (-33) h Persamaan (-3) dan (-33) dikenal dengan aproksimasi perbedaan hingga tiga titik (central three points finite difference approximation, lihat bab 6). Selanjutna jika kita substitusikan (-3) dan (-33) ke (-6) maka kita dapatkan [ - h q(x )] (x ) + + hp(x ) (x ) h F(x ) hp(x i ) (xi ) i i i i+ = i atau biasa disederhanakan (-34) [ - h q(x )] + + hp(x ) h F(x ) hp(x i ) i i i i i+ = i (-35)
P.B. Kosasih PDB nilai batas 47 Persamaan (-35) diterapkan pada setiap titik diskretisasi aitu i =,,,n- sehingga terbentuk SP dengan bentuk tri-diagonal ang dapat dipecahkan dengan algoritma Thomas (lihat bab ). ----- CONTOH.4 ----------------------------------------------------------------------------------------- Pecahkan PDB nilai batas berikut + 7 + 3 = antara [,] dengan nilai batas () = dan () =. Gunakan metode perbedaan hingga dengan h =,, pada soal ini p(x) = 7, q(x) = 3 dan f(x) =. Persamaan perbedaan hingga untuk contoh ini adalah (-45), ( 3,5h)i ( - 3h )i + ( + 3,5h)i+ = h dengan h =.,65 i-,97 i +,35 i+ =, Pembagian interval pada contoh ini adalah x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x i = i = i = i = 3 i = 4 i = 5 i = 6 i = 7 i = 8 i = 9 i = Persamaan perbedaan dapat dibentuk hana pada i = 9, karena pada i = dan nilai adalah nilai batas. i =,97 i =,65 i = 3 i = 4 i = 5 i = 6 i = 7 i = 8 i = 9 +,35,97,65 +,353,97 3,653 +,354,97 4,654 +,355,97 5,655 +,356,97 6,656 +,357,97 7,657 +,358,97 8,658 +,359,97 9 =,,65 =, =, =, =, =, =, =, =,,35 Dalam bentuk matrik, vektor merupakan vektor solusi ang dapat dicari dengan menggunakan algoritma Thomas.
P.B. Kosasih PDB nilai batas 48,97,65,35,97,65,35,97,65,35,97,65,35,97,65,35,97,65,35,97,65,35,97,65,, 3, 4, 5 =, 6, 7,,35, 8,97 9,34 Hasil ang diperoleh adalah T = [,64,,9443,,76,,33,,84,,3,,885,,598,,99] ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Pada contoh.4, nilai batas ang dipecahkan adalah tipe Dirichlet. Dengan tipe ini, terlihat bahwa persamaan diskretisasi (-35) pada i = dan i = n- mengalami sedikit modifikasi aitu - h q(x ) + + hp(x ) h F(x ) - hp(x ) = (-36) i = [ ] hp(x n- ) n- i = n [ ] n - h q(x n- ) n- = h F(x n- ) - + hp(x n- ) (-37) Program MAT_ memberikan program MATAB metode perbedaan hingga dengan nilai batas Dirichlet untuk contoh.4. Program MAT_ Program MATAB metode perbedaan hingga dengan nilai batas Dirichlet 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 % MAT_ % PDB linier dengan Perbedaan Hingga % Program ini memecahkan PDB nilai batas linier dengan batas Dirichlet % Definisi problem x = ; xn = ; n = ; p = 7.*ones(,n-); q = 3.*ones(,n-); f = ones(,n-); % Kondisi batas =.; n =.; h = (xn - x)/n; h =.5*h; hh = h*h; x = linspace(x+h,xn,n); % Elemen-elemen dari matrik tri-diagonal a = zeros(,n-); b = a; c = a; a(:n-) = - p(,:n-)*h; d = -(. - hh*q); c(:n-) = + p(,:n-)*h;
P.B. Kosasih PDB nilai batas 49 9 3 3 3 33 34 35 36 37 b() = hh*f() - ( - p()*h) * ; b(:n-) = hh*f(:n-); b(n-) = hh*f(n-) - ( + p(n-)*h) * n; = tri_diag(a,d,c,b); xx = [x x]; = [ n]; out = [xx' ']; plot(xx,).5 KONDISI BATAS DERIVATIF ( TIPE NEUMANN) Pada bagian.,.3 dan.4 baik metode tembak maupun metode perbedaan hingga, kondisi batas ang kita gunakan untuk memecahkan problem semuana adalah kondisi batas tipe Dirichlet. Pada bagian ini kita akan bahas bagaimana memecahkan problem dengan kondisi batas Neumann. Kita akan pecahkan persamaan (-6) dengan kondisi batas: (x ) = α (-38) (x n ) = β' (-39) Dengan menggunakan metode tembak linier (bagian.) target saja ang berubah. Kita tetap mulai dengan estimasi (x ) = ξ kemudian (x ) = ξ kemudian nilai ξ ang tepat ditentukan oleh ( ξ ξ ) ( β β ' ) ξ = ξ + β ' β ' (-4) ' ' ' Pada persamaan (-4), β dan β adalah (x n ) apabila (x ) = ξ dan ξ. Untuk PDB non-linier, kita gunakan suatu variable g(ξ) ang didefinisikan sebagai, g( ξ ) = ( ξ) β' (-4) x n Nilai ξ ang benar ditentukan dengan metode secant (-5). Kalau kita gunakan metode perbedaan hingga, persamaan (-33) perlu dimodifikasi pada i = n. (xn + h) (x n ) + (xn h) (x n ) = + O(h ) (-4) h Gambar.3 Titik n+ di luar domain Pada (-4) kita perlu menghitung (x n +h), tetapi karena titik ini berada diluar domain (lihat gambar.3) maka kita perlu mengaproksimasikan nilai (x n +h) atau n+. n+ kita gunakan informasi mengenai (x n ) = β'. Sesuai (-8)
P.B. Kosasih PDB nilai batas 43 n n + n = + O(h ) h (-43) Dari (-43) kita dapatkan n + = n + h + O(h ) n (-44) Dengan mensubstitusikan (-44) ke (-4) kita peroleh n + h n - n + n h n - n + n n = + O(h ) = + O(h) h h (-45) Dengan mensubstitusikan (-55) dan n = β ke (-6) didapat n - h q(x n ) n = h f(x n ) hβ h p(xn) β (-46) Karena diskretisasi n hana mempunai akurasi sampai O(h) maka ada kemungkinan terjadina penurunan akurasi dari metode ini jika dibandingkan dengan metode tembak. ----- CONTOH.5 ----------------------------------------------------------------------------------------- Gunakan metode perbedaan hingga untuk memecahkan PDB nilai batas berikut (diambil dari Hoffman, 99) + 5 + 4 =. Antara [,] dengan nilai-nilai batas () = dan () =. Untuk perbedaan hingga gunakan h =,, pada soal ini p(x) = 5, q(x) = 4 dan f(x) =,. Persamaan perbedaan hingga untuk contoh ini diperoleh dari (-35) (.5h)i ( - 4h )i + ( +.5h)i+ = h Dengan h =,,75 i-,96 i +,5 i+ =, Dengan distribusi interval sama dengan contoh.4. Persamaan perbedaan dapat dibentuk pada i =, karena pada i = nilai adalah nilai batas. Untuk i = 9 kita gunakan persamaan perbedaan di atas. Sedangkan untuk i = kita gunakan (-46) dengan =.96 9 =, Persamaan-persamaan perbedaan ang terbentuk adalah
P.B. Kosasih PDB nilai batas 43 i =,5 =,,75 i =,75,96,53 =, i = 3,75,96 3,54 =, i = 4,753,96 4,55 =, i = 5,754,96 5,56 =, i = 6,755,96 6,57 =, i = 7,756,96 7,58 =, i = 8,757,96 8,59 =, i = 9,758,96 9,5 =, i = 9,96 =, Dalam bentuk matrik vektor merupakan vektor solusi ang dapat dicari dengan menggunakan salah satu teknik ang telah kita pelajari pada bab.,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,5 3 4 5 6 7 8 9 =,74,,,,,,,,, Dengan menggunakan algoritma Thomas, hasil ang diperoleh, T =[,75,,536,,393,,38,,68,,39,,55,,6,,,,] ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Program MAT_ memberikan program MATAB metode perbedaan hingga dengan nilai batas Neumann untuk contoh.5 Program MAT_ Program MATAB metode perbedaan hingga dengan nilai batas Neumann 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 % MAT_ % PDB linier dengan Perbedaan Hingga % Program ini memecahkan PDB nilai batas linier dengan batas Dirichlet % Definisi problem x = ; xn = ; n = ; p = 5.*ones(,n); q = 4.*ones(,n); f = ones(,n); % Kondisi batas =.; dashn =.; h = (xn - x)/n; h =.5*h; hh = h*h; x = linspace(x+h,xn,n); % Elemen-elemen dari matrik tri-diagonal a = zeros(,n); b = a;
P.B. Kosasih PDB nilai batas 43 5 6 7 8 9 3 3 3 33 34 35 36 37 c = a; a(:n-) = - p(,:n-)*h; a(n) =.; d = -(. - hh*q); c(:n-) = + p(,:n-)*h; b() = hh*f() - ( - p()*h) * ; b(:n-) = hh*f(:n-); b(n) = hh*f(n) - *h*dashn - hh*p(n)*dashn; = tri_diag(a,d,c,b); xx = [x x]; = [ ]; out = [xx' ']; plot(xx,) Untuk mendapatkan akurasi ang lebih tinggi, kita gunakan formula perbedaan mundur 3 i = i + i + i + (-47) h 3 Dengan (-47) nilai i dengan akurasi tingkat berapapun dapat dicari. Berikut adalah formula perbedaan hingga mundur dengan akurasi O(h), O(h ) dan O(h 3 ). Dengan akurasi O(h), ( O(h )) i = i + = (i + i- ) + O(h) (-48) h h diperoleh i = - i- + h i (-49) Dengan akurasi O(h ), 3 i = i + i + O(h ) h = h i i + ( i i + i ) + O(h ) (-5) diperoleh i = (4 i- i- + h i ) (-5) 3 Dengan akurasi O(h 3 ), 3 4 i = i + i + i + O(h ) h 3
P.B. Kosasih PDB nilai batas 433 = h i i + ( i i + i ) + ( i 3 i + 3 i - 3 i 3 ) + O(h 3 ) (-5) diperoleh i = (8 i- 9 i- + i-3 + 6h i ) (-53) ----- CONTOH.6 ----------------------------------------------------------------------------------------- Gunakan ekstrapolasi dari titik di dalam ke i = n tingkat, dan 3 untuk memecahkan problem pada contoh.5 Untuk i = 9 persamaan-persamaan ang didapat sama dengan contoh.5 sedangkan untuk i = persamaan ang didapat adalah Tingkat, O(h) i = - 9 + = Sehingga SP ang harus dipecahkan adalah,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,5 3 4 5 6 7 8 9 =,74,,,,,,,,, Dengan menggunakan algoritma Thomas, hasil ang diperoleh T = [,6973,,54,,3758,,964,,473,,79,,3,,99,,897,,897] Tingkat, O(h ) i =,333333 8,333333 9 + = Sehingga SP ang harus dipecahkan adalah
P.B. Kosasih PDB nilai batas 434,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,333333,5,333333,5 3 4 5 6 7 8 9 =,74,,,,,,,,, Sistim ini dapat dijadikan tri-diagonal dengan mengurangi lajur dengan (,333333/,75)lajur 9.,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,463,74, 3, 4, 5 =, 6, 7,, 8,5 9,,444445,444 Dengan menggunakan algoritma Thomas, hasil ang diperoleh T = [,7,,54,,3995,,36,,75,,44,,45,,46,,98,,8] Tingkat 3, O(h 3 ) i = -,888 7 +,888 8,636464 9 + = Sehingga SP ang harus dipecahkan adalah
P.B. Kosasih PDB nilai batas 435,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,88,5,75,888,5,636364,5 3 4 5 6 7 8 9 =,74,,,,,,,,, Dengan menggunakan metode Gauss Jordan, hasil ang diperoleh T = [,747,,53,,3896,,3,,6,,3,,48,,55,,4,,5] Untuk O(h 3 ) matrik tidak diagonal tetapi bisa dijadikan tri-diagonal dengan operasi lajur. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.6 KONDISI BATAS GABUNG (TIPE ROBIN) Jika kondisi batas pada batas sebelah kanan diberikan oleh (-b), maka kita bisa mengekspresikan dengan menggunakan formula perbedaan hingga mundur. Dengan menggunakan formula dengan akurasi O(h), persamaan (-b) pada i = n dapat dituliskan, A n + B n n = β (-54) h atau n βh + Bn = (Ah + B ) (-55) Dengan cara ang sama akurasi ang lebih baik dapat diperoleh jika kita menggunakan (- 5) atau (-5). ----- CONTOH.7 ----------------------------------------------------------------------------------------- Pecahkan PDB dengan kondisi batas tipe Robin (diambil dari Hoffman, 99) + 5 + 4 = Antara [,] dengan kondisi batas, () = dan (),5 () =,5. Gunakan metode perbedaan hingga dengan h =,. Untuk i = 9 persamaan-persamaan ang didapat sama dengan contoh.5 untuk i = persamaan ang didapat dari (-55) dengan A =, B = -,5 dan β =,5. i = -,5 9 + = -,5
P.B. Kosasih PDB nilai batas 436 Sehingga SP ang harus dipecahkan adalah,,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,75,5,5,, 3, 4, 5 =, 6, 7,, 8,5 9,,5 Dengan menggunakan algoritma Thomas, hasil ang diperoleh, T = [,98,,3446,,465,,4543,,474,,473,,4675,,457,,4444,,435] ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.7 METODE PERBEDAAN HINGGA NON-INIER Pemecahan PDB non-linier dengan menggunakan metode perbedaan hingga sama dengan metode untuk PDB linier, hana dalam hal ini proses iterasi harus dilakukan. Beberapa hal tentang PDB non-linier perlu kita ketahui: pertama keberadaan solusi untuk persoalan nonlinier tidak selalu ada, kedua pada persoalan non-linier ada kemungkinan terdapat solusi lebih dari satu. Pada problem non-linier karena p(x,) dan q(x,) merupakan fungsi dari x dan, maka pada setiap tahap iterasi k, p(x,) dan q(x,) dihitung dengan menggunakan nilai pada iterasi k- atau dengan kata lain PDB non-linier (-) diubah menjadi PDB linier, dengan bentuk (k) ( k ) (k) (k ) (k) p(x, ) + + q(x, ) = f(x) (-56) Jelas guna menerapkan persamaan (-56) kita memerlukan suatu nilai aproksimasi () awal. Aproksimasi awal menentukan cepatna konvergensi tercapai. Jika suatu aproksimasi awal ang buruk digunakan maka ada kemungkinan konvergensi tidak akan tercapai. Nilai aproksimasi awal ang baik dapat ditentukan dengan mengikuti bentuk fungsi linier atau kwadratik (x) antara [x,x n ].
P.B. Kosasih PDB nilai batas 437 β α Gambar.4 Penentuan nilai aproksimasi awal Dengan teknik ini sistim persamaan linier ang berbeda-beda akan dipecahkan beberapa kali. Meskipun teknik ini mudah tetapi teknik iterasi eksplisit lebih sering diterapkan [Fausett, 999]. Dengan teknik ini persamaan (-) kita atur sehingga mempunai bentuk, = f(x) - p(x, ) q(x, ) (-57) Setelah dan diaproksimasikan dengan perbedaan hingga kita dapatkan i+ i + i h i+ i = f(x i ) p(x i, i ) q(x i, i )i h (-58) Dengan mengatur (-58) i dapat diekspresikan secara eksplisit i+ i i+ + i h f(x i ) + hp(x i, i ) + h q(x i, i )i i = (-59) Atau jika kita tambahkan ω i pada ke dua sisi [ + 4ω + h f(x ) + hp(x, )( ) h q(x, ] i = 4( + ω) i+ i i i i i i+ i + i i )i (-6) i baru dapat dihitung dari i lama pada sebelah kanan (-6), atau
P.B. Kosasih PDB nilai batas 438 (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) [ + 4ω + h f(x i ) + hp(x i, )( ) h q(x i, ] (k+ ) i = i i i- i i i- + i ) 4( + ω) + + i (-6) Proses iterasi ini dilanjutkan sampai kriteria konvergensi tercapai. Salah satu kriteria konvergensi ang biasa digunakan adalah k + k i i < ε (-6) ----- CONTOH.8 ----------------------------------------------------------------------------------------- Pecahkan PDB non-linier berikut(diambil dari Hoffman, 99) + ( + ) + ( + ) = Antara [,] dengan kondisi batas, () = dan () =. p(x,) = q(x,) = + dan f(x) =. Gunakan metode perbedaan hingga eksplisit dengan h =, dengan aproksimasi awal i untuk i = -9 ang didapat dalam bentuk linier = [,,,,,3,,4,,5,,6,,7,,8,,9]. secara eksplisit diberikan oleh (-58) ang untuk soal in mempunai bentuk (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) [ + 4ω + h + h(+ )( ) + h ( ] (k+ ) i = i+ i i- i i+ i- + i )i 4( + ω) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) [ + 4ω +. +.( + )( ) +.( + ] = i + i i- i i+ i- i )i 4( + ω) Hasilna diberikan pada gambar.5.
P.B. Kosasih PDB nilai batas 439 Gambar.5 Solusi PDB non-linier dengan metode eksplisit contoh.8 ----------------------------------------------------------------------------------------------- Program MAT_3 memberikan program MATAB metode perbedaan hingga non-linier eksplisit untuk contoh.8 Program MAT_3 Program MATAB metode perbedaan hingga non-linier eksplisit 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 3 3 33 34 35 36 % MAT_3 % PDB non-linier dengan Perbedaan Hingga % Program ini memecahkan PDB nilai batas non-linier dengan batas Dirichlet % secara eksplisit % program untuk contoh.8 % p(x,) = + % q(x,) = + % Definisi problem x = ; xn = ; n = ; max_iter = ; omega =.; tol =.; f =.; % Kondisi batas =.; n =.; h = (xn - x)/n; hh = h*h; x = linspace(x+h,xn-h,n-); ww = /(4.*(+omega)); % Aproksimasi awal secara linier delta = (n - ) / n; lama() = ; lama(n+) = n; baru() = lama(); baru(n+) = lama(n+); for j = :n lama(j) = + delta * (j-); end iter = ; % Iterasi baru
P.B. Kosasih PDB nilai batas 44 37 38 39 4 4 4 43 44 45 46 47 48 49 5 5 5 53 while (iter <= max_iter) for i = :n p = + lama(i); q = + lama(i); baru(i) = ww * (.*lama(i+) + 4*omega*lama(i) +.*lama(i-)-....*hh*f + h*p*(lama(i+) - lama(i-)) + *hh*q*lama(i)); end if norm(baru - lama) <= tol; disp('convergence has been reached'); xx = [x x xn]; = [baru]; plot(xx,); return; end lama = baru; iter = iter + ; end.8 CONTOH-CONTOH APPIKASI Beberapa contoh problem enjineering ang berupa PDB nilai batas akan kita bahas pada bagian ini. ----- CONTOH.9 ----------------------------------------------------------------------------------------- (Hoffman, 99) Distribusi suhu di dalam dinding pipa (gambar.6) ang dialiri oleh cairan panas dapat ditentukan dengan menggunakan PDB d T dt + = dr r dr Jika suhu pada T() = C dan T(5) = C tentukan distribusi suhu di dalam pipa dengan menggunakan h =. r = r = 5 cairan panas Gambar.6 Aliran cairan panas dalam sebuah pipa Pada contoh ini p(r) = /r, q(r) = dan f(r) =. Persamaan perbedaan hingga untuk problem ini adalah, ht i t i + + ht i+ = ri ri atau 5 5 t i t i + + t i+ = ri ri (C-)
P.B. Kosasih PDB nilai batas 44 penerapan (C-) pada i = 4 memberikan SP berikut i = i =,958 i = 3 i = 4,455,96,46,964 t 95,5 t =,385 t 3 t 4 Hasil temperatur diplot pada gambar.7. Gambar.7 Profil temperatur pada pipa. ----------------------------------------------------------------------------------------------- ----- CONTOH. --------------------------------------------------------------------------------------- Besarna lengkungan balok ang tertopang secara sederhana (gambar.8) diberikan oleh PDB d EI dx = qx qx + Dimana q adalah besaran beban seragam, adalah panjang dari balok, I adalah besarna momen inertia penampang balok (untuk penampang persegi I = wh 3 / dimana w adalah lebar dan h tinggi balok) dan E adalah elastisitas modulus. Untuk balok dengan E = kn/m, = m, w = 5cm, h = cm dan beban q = 5N/m. I = 4,66x -6 m 4, tentukan distribusi besarna lengkungan (x). Jelas bahwa kondisi batas problem ini adalah kondisi batas Dirichlet () = () =. Dengan menggunakan data-data persamaan PDBna dapat dituliskan Vx = ( x - ) =,8x(x ) (C-) EI
P.B. Kosasih PDB nilai batas 44 Dari (C-) tampak bahwa p(x) =, q(x) = dan f(x) =,8 x (x.). Jika balok dibagi dalam interval maka h =,. Hasil ang diperoleh digambarkan pada.9. q w h Gambar.8 Balok tertopang sederhana Gambar.9 Defleksi balok contoh. -----------------------------------------------------------------------------------------------.9 SOA-SOA ATIHAN. Gunakan metode tembak linier dan perbedaan hingga linier untuk memecahkan soalsoal nilai batas berikut (Faires & Burden, 993). PDB Batas Nilai batas solusi analitik h = 4 ( x) [,] () = e, x x () = (x) = (e e ) + x 4, e = + + cos x [,π/] () = -,3 (π/) = -, (x) = -(/) (sin x + 3 cos x) π/4 π/6 + = [,π/4] () = (x) = cos x + ( ) sin x π/ (π/4) = = - (x + ln x)/x [,] () = () = ln (x) = 4x - x - + ln x 3/,5 = + xe x -x [,] () = () = -4 (x) = 3 x 5 x x e xe e, + x 6 3
P.B. Kosasih PDB nilai batas 443. Gunakan metode non-linier tembak dan metode perbedaan hingga non-linier untuk memecahkan soal-soal nilai batas berikut (Faires & Burden, 993). PDB Batas Nilai batas solusi analitik h = 3 [,] () =, (x) = () = x + 3 = 3 6 x 3 [,] () =, () = 5 (x) = x + x = + ( ln x) 3 [,] () =, - x () =,5 + ln() (x) = + ln x x = ( ) + e + e x (cos x + sin x) [, π/] () = (π/) = π/ = 3 [,] () = 3 () = - (x) = ln(e x cos x + e x sin x) π/ (x) =,5 x - 4.3 Pecahkan PDB linier dengan kondisi batas derivatif (tpe Neumann) berikut (Hoffman, 99). PDB Batas Nilai batas h = -5 4 + [,] ( =, () = = -4 6,5 + [,] ()=, () = = -5 4 + e x [,] ()=, () = = -( + x) (+ x) + [, ] ()=, () = = -( + x) ( + x) + e x/ + + x [,] ()= () =,5.4 Pecahkan PDB linier dengan kondisi batas gabung (tpe Robin) berikut (Hoffman, 99). PDB Batas Nilai batas h = -4 6,5 + e x [,] ( =, (),5 () =,5 = -5 4 + [,] ()= (),5 () =,5,.5 Buat program MATAB untuk metode tembak linier dan non-linier.