II. LANDASAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teorea-teorea ag edukug utuk pebahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorea tersebut dtulska sebaga berkut... Teorea Proeks Teorea proeks erupaka prsp dasar dala peelesaa asalah optsas. Sebelu ke Teorea proeks terlebh dahulu aka dperkealka kosep ortogoaltas. Defs.. (Lueberger 969) Dala suatu ruag pre-hlbert X vektor X dkataka ortogoal jka < >= dotaska dega. Suatu vektor dkataka ortogoal dega hpua S dotaska S jka s utuk setap s S. Lea berkut eujukka bahwa Teorea Phtagorea dala geoetr bdag erupaka akbat dar kosep ortogoaltas. 4
Lea.. salka X suatu ruag Hlbert da X. Jka aka Bukt : = =. Selajuta aka dbahas suatu asalah optsas ag berhubuga dega Teorea proeks. salka X suatu ruag Pre-Hlbert dberka suatu vektor X da ruag baga dar X aka aka dtetuka vektor ag terdekat ke atu vektor ag ealka. Jka berada d aka peelesaaa trval atu vektor sedr. Secara uu ada epat perataa petg dala peelesaa asalah tersebut atu :. Adakah vektor ag ealka?. Apakah peelesaaa tuggal? 3. Kods apa ag harus dpeuh agar ada peelesaa optal? 4. Bagaaa eetuka peelesaa optal? 5
Perataa oor da 3 aka djawab dega Teorea proeks. Ada dua vers Teorea proeks satu vers pada ruag Pre-Hlbert da satu vers ag la pada ruag Hlbert dega hpotess da kespula ag lebh kuat. Teorea.. (Teorea Proeks d Ruag pre-hlbert) salka X suatu ruag Pre-Hlbert suatu ruag baga dar X da sebarag vektor d X. Jka ada vektor aka tuggal. Sarat perlu da cukup adalah vektor selsh ortogoal terhadap. sedeka hgga o suatu vektor al tuggal d Bukt : Aka d tujukka jka adalah vektor al aka ortogoal terhadap. Adaka kods sebala terdapat ag tdak ortogoal terhadap. Tapa egurag keuua bukt dsalka da < > =. Ddefska vektor sebaga = + aka 6
7 I berart dega = + sehgga berart buka vektor al. Jad vektor al aka ortogoal terhadap atau ( ). Dega deka jka tdak ortogoal terhadap aka buka vektor al. Selajuta aka dtujukka jka vektor ortogoal terhadap dabl sebarag berdasarka Teorea Phtagorea : sehgga utuk.
Dala des tga teorea proeks dapat dataka sebaga berkut : Ruag baga adalah bdag ag elalu ttk asal da d ruag des tga X. Jka ada vektor al aka tuggal da vektor selsh tegak lurus terhadap bdag sepert dgabarka dala gabar dbawah : ( ) Gabar. Teorea d atas belu eja keberadaa vektor al tetap jka ada vektor al aka tuggal da vektor selsh ortogoal terhadap ruag baga. Dega hpotess ag lebh kuat ddapatka kespula ag lebh kuat atu terjaa keberadaa vektor al. Hal dataka dala teorea berkut. Teorea..3 (Teorea Proeks Klask) salka H ruag Hlbert da ruag baga tertutup dar H aka utuk sebarag vektor H terdapat tuggal vektor sedeka hgga 8
o. Sarat perlu da cukup suatu vektor al tuggal adalah vektor selsh ortogoal terhadap ruag baga. Bukt : Ketuggala da ortogoaltasa telah dbuktka pada Teorea 3.3. sehgga tggal ebuktka keberadaa vektor al. Jka da = aka bukt selesa. salka da ddefska f aka dtetuka dega. salka {} suatu barsa vektor dala da. eurut huku jajara gejag (parallelogra) ( j ) ( ) ( j ) ( ) j dega eusu kebal persaaa d atas ddapatka : j = j - 4 j utuk setap j. Da vektor j berada d. Karea ruag baga ler sehgga dar defs j da ddapatka : 9
j 4 j karea aka j j. Dega deka {} adalah barsa Cauch da karea ruag baga tertutup dar ruag legkap aka barsa {} epua lt d dala. Dega kekotua or aka. Jad dala peulsa Teorea proeks klask eja keberadaa da ketuggala peelesaa optal serta kods ag harus dpeuh agar keberadaa vector al ada peelesaa optala peelesaa optala sedr belu dapat dtetuka. Selajuta Teorea proeks d atas aka dtetapka utuk ebagu sfat struktural tabaha dar suatu ruag Hlbert atara la adalah dala sebarag ruag baga tertutup dar ruag Hlbert sebarag vektor dapat dtuls sebaga julaha dua vektor satu vektor d ruag baga tertutup da vektor ag la ortogoal terhadapa.
\Defs.. (Lueberger 969) salka S suatu hpua baga dar ruag Pre-Hlbert. Hpua seua vektor ag ortogoal terhadap S dsebut koplee ortogoal dar S da dotaska dega S. Teorea..4 salka S da T hpua baga dar ruag Hlbert da eataka koplee ortogoal dar S da T aka : S T berturut-turut. S adalah ruag baga tertutup. S S 3. Jka S T aka T S 4. S = S Bukt :. Hpua S erupaka ruag baga. Ruag {} suatu barsa koverge dar S tertutup karea jka S kataka ; Kekotua perkala dala eataka = < s> < s> utuk seua s S sehgga S.. Dabl S. Hal berart utuk seua S. Sehgga dperoleh z. Utuk setap z Jad utuk S z S. S terasuk z =.
3. Abl T. Oleh karea tu aka utuk seua T. Karea S T aka z utuk setap z S. Dega kata la S. 4. ( S ) = S Harus dbuktka : (a) ( S ) S (b) S ( S ) Bukt : (a) Dar Teorea 3.3.4 (baga 3). Jka S S aka ( S ) S. (b ) Dar Teorea 3.3.4 (baga ) Karea S S aka S ( S ). Defs..3 (Lueberger 969) Ruag vektor X dkataka julaha lagsug dar ruag baga da N jka setap vektor X dapat dtuls secara tuggal dala betuk = + dega da N dotaska dega X = N.
Teorea..5 Jka ruag baga lear tertutup dar suatu ruag Hlbert H aka H = da = Bukt : salka H. Karea ruag baga tertutup aka eurut Teorea proeks ada vektor tuggal sedeka hgga utuk seua da =. Dega deka = + dega da. Jad erupaka julaha dar da. Utuk ebuktka ketuggalaa salka = + dega da aka : = ( + ) ( + ) = + tetap da ortogoal sehgga eurut teorea phtagorea. Hal eataka = da =. Jad utuk setap vektor d H dapat dataka dega tuggal sebaga julaha dar suatu vektor d da suatu vektor d. Dega kata la H =. Utuk ebuktka = tggal eujukka. Karea sudah d buktka dega Teorea.3.4. 3
Dabl da aka dtujukka. eurut baga teorea = + dega da karea da. aka atu. Tetap sehgga ag eataka = sehgga - da. Terbukt =. Dala des dua baga pertaa teorea d atas dapat dataka sebaga berkut. Jka H suatu bdag da suatu gars lurus ag elalu ttk asal aka utuk setap H dapat dataka dega tuggal sebaga = + z dega da z. Hal dapat dgabarka sebaga berkut. z Gabar. Gabar datas jka ruag baga tetutup dar H aka H =. 4
salka ruag baga tertutup dar suatu ruag Hlbert H da vektor d H. Vektor dega dsebut proeks ortogoal pada. Jad sapa ds keberadaa da ketuggala peelesaa optal asalah optsas sudah terjawab au peelesaa optala sedr belu dtetuka. Ada dua cara utuk eetuka peelesaa optal atu dega eelesaka persaaa oral da dega prosedur ortogoalsas Gra-Schdt bersaa deret Fourer. Pada peelta aka dbcaraka dega eelesaka persaaa oral da atrks Gra. Defs..4 (Lueberger 969) salka... bass dar. Dberka sebarag vektor H da aka dcar vektor d ag terdekat ke. Jka vektor dataka dala suku-suku dala vektor sebaga : o = aka asalah tersebut ekuvale dega eeuka skalar =... ag ealka.... eurut Teorea proeks vektor al tuggal adalah proeks ortogoal pada atau vektor selsh ortogoal terhadap setap vektor. 5
Dega deka :... utuk =.... Atau < > - < > - < > -...- < > = < > - < > - < > -...- < > = < > - < > - < > -...- < > = Atau < > + < > +...+ < > = < > <> + <> +...+ < > = < > <> + <> +...+ < > = < > Persaaa dala koefse sebaak kal dkeal sebaga persaaa oral utuk asalah alsas. atrks ag berhubuga dega vektor... atu : G = G(... ) =......... 6
dsebut atrks Gra dar 3.... atrks adalah trapose dar atrks koefse oral. Teorea..6 Detera Gra g = g(. ) jka da haa jka. bebas lear. Bukt : Perataa tersebut ekuvale dega perataa vektor vektor. bergatug lear jka da haa jka g = g(.) =. salka bergatug ler berart terdapat ag tdak saa dega ol sedeka sehgga. Karea barsa-barsa pada detera Gra bergatug pada aka deteraa ol. salka g = g(. ) =. aka ada kebergatuga ler d atara barsabarsaa sehgga terdapat kostata I ag tdak seuaa ol sedeka hgga j utuk seua j. Dega deka j atau. Sehgga da vektor. bergatug ler. 7
Walaupu persaaa oral tdak elk peelesaa tuggal jka bergatug ler tetap selalu ada palg sedkt satu peelesaa. Jka g = aka selalu dhaslka peelesaa ag tdak tuggal buka peelesaa ag tdak kosste. Teorea berkut eataka jarak u suatu vektor ke ruag baga dapat dcar dega detera atrks Gra. Teorea..7 salka.. bebas lear da jarak u vektor ke ruag baga ag dbagu oleh atu :... aka g(... ) g(... ) Bukt : eurut defs eurut teorea proeks - ortogoal terhadap sehgga secara khusus karea aka : < - > = sehgga 8
9... atau... persaaa bersaa persaaa oral eberka + persaaa ler dala + varabel.... Dega atura Craer ddapatka )... ( )... (........................ g g.. odfkas Teorea Proeks Teorea.. salka ruag baga tertutup dar ruag Hlbert H suatu elee tertetu d H da varas ler V = + aka terdapat tuggal vektor d V dega or u da ortogoal dega.
Bukt : Baga pertaa teorea eataka jka ruag baga tertutup aka terdapat dega tuggal V sedeka hgga V Dbetuk dua perataa :. Terdapat sedeka hgga. Terdapat V sedeka hgga V Perataa sudah terbukt pada Teorea proeks sehgga jka dapat dtujukka kedua perataa d atas ekuvale aka teorea d atas terbukt. salka perataa terpeuh aka aka dtujukka perataa dpeuh. Ddefska = = + (-). Karea aka V. Dabl V aka = + (-) utuk seua. Dega deka. V V salka perataa terpeuh aka dtujuka bahwa perata dpeuh. Ddefska = atau =. Karea V aka ada suatu sedeka hgga = +. Dabl = sehgga karea ruag baga aka.
Dabl aka = - V. Da. V V eurut Teorea proeks ada vektor al tuggal da vektor selsh ortogoal terhadap. Dabl = V sehgga o ortogoal terhadap. V = + Gabar.3 Ada dua jes varas lear ag ebawa ke asalah berdes berhgga. Yag pertaa adalah varas lear berdes ag terdr dar vektor - vektor berbetuk + a dega { } hpua bebas lear d H da vektor tertetu d H. asalah ora u d s dreduks ejad peelesaa hpua persaaa oral berdes.
Jes ag kedua adalah varas lear ag terdr dar seua vektor d ruag Hlbert H ag eeuh : < > = c < > = c < > = c dega... adalah vektor - vektor bebas lear d H da c c c tertetu. Jka adalah ruag baga ag dbagu oleh... aka varas leara adalah ruag baga jka c =. Utuk c varas lear ag dhaslka erupaka traslas dar. Varas lear ag berbetuk sepert dsebut codeso. Teorea.. salka H ruag Hlbert da {.. }vektor-vektor bebas lear d H. D atara seua vektor N ag eeuh : < > = c < > = c
< > = c. salka o epua or u aka : o = dega koefse eeuh persaaa : < > + < > +.+ < > = c < > + < > +.+ < > = c < > + < > +.+ < > = c Bukt : salka ruag baga berdes ag dbagu oleh vektor-vektor. Varas lear ag ddefska dega kedala asalah alsas adalah traslas dar baga. Karea tertutup keberadaa da ketuggala peelesaa optal dja oleh teorea proeks sehgga peelesaaa optal o ortogoal terhadap atau o. Karea tertutup aka =. Jad atau =. Koefse dplh sedeka sehgga eeuh kedala. Hal berart koefse eeuh persaaa tersebut. 3