Lecture 5. Derivatives D A. Turunan Tingkat Tinggi Jika f adalah turunan fungsi f, maka f juga merupakan suatu fungsi. f adalah turunan pertama dari f. Jika turunan dari f ada, turunan ini dinamakan turunan kedua dari f, yaitu jika y = f(x), maka y = f"(x) =. Dengan cara yang sama, turunan ketiga dari f merupakan turunan pertama dari f", dinotasikan dengan f. Secara umum, turunan ke-n dari fungsi f, dengan n bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1, merupakan turunan pertama dari turunan ke-(n+1), dinotasikan dengan y ( ) = f ( ) (x) =. f menunjukkan kemiringan grafik f, sedangkan f menunjukkan pergerakan kemiringan kurva f. Hubungan f dan f Jika f (x) > 0 pada suatu interval, maka f naik pada interval tersebut. Jika f (x) < 0 pada suatu interval, maka f turun pada interval tersebut. Perhatikan contoh berikut: (1) f (x) > 0 pada x < 1 dan x > 1, maka f naik pada x < 1 dan x > 1. (2) f (x) < 0 pada [ 1,1], maka f turun pada [ 1,1]. Karena f ( 1) = 0 dan f (1) = 0, maka f mempunyai garis singgung horisontal di 1 dan 1. Dari grafik di atas: (1) f mempunyai maksimum lokal di 1 (2) f mempunyai minimum lokal di 1 Hubungan f dan f Jika f (x) > 0 pada suatu interval, maka kemiringan f naik, sehingga f cekung ke atas pada interval tersebut. Jika f (x) < 0 pada suatu interval, maka kemiringan f urun, sehingga f cekung ke bawah pada interval tersebut.
Contoh 1. Diketahui f(x) = x x, tentukan f (x). Pada contoh sebelumnya diperoleh f (x) = 3x 1. Sehingga turunan kedua fungsi f adalah Interpretasi: f (x) menunjukkan kemiringan dari kurva y = f (x) di titik x, f (x). Grafik f, f, dan f dapat dilihat pada gambar di bawah. Perhatikan bahwa: f (x) negatif jika kemiringan f (x) negatif (turun), dan f (x) positif jika kemiringan f (x) positif (naik). Contoh 2. Carilah semua turunan fungsi f yang didefinisikan oleh f(x) = 8x + 5x x + 7
f (x) = 32x + 15x 2x f (x) = 96x + 30x 2 f (x) = 192x + 30 f ( ) (x) = 192 f ( ) (x) = 0 f ( ) (x) = 0, n 5 Jika s = s(t) menyatakan fungsi posisi dari suatu objek yang bergerak pada garis lurus, turunan pertama, s (t) menunjukkan kecepatan (velocity), v(t), dari objek terhadap waktu: v(t) = s (t) =. Percepatan (acceleration) merupakan turunan dari kecepatan, sehingga me-rupakan turunan kedua dari fungsi posisi: a(t) = v (t) = s (t). Dalam notasi Leibniz a = = Jika a > 0, maka v bertambah, Jika a < 0, maka v berkurang, Jika a = 0, maka v tidak berubah. Karena laju partikel pada t adalah v, maka diperoleh (1) Jika v 0 dan a > 0, laju bertambah (2) Jika v 0 dan a < 0, laju berkurang (3) Jika v 0 dan a > 0, laju berkurang (4) Jika v 0 dan a < 0, laju bertambah Contoh 1. Posisi suatu partikel dirumuskan dalam persamaan s(t) = t 6t + 9t Dengan s dalam meter dan t dalam detik. Tentukan: (a) Kecepatan pada waktu t (b) Berapa kecepatan setelah 2 detik? Setelah 4 detik? (c) Kapa partikel tersebut berhenti? (d) Kapan partikel bergerak ke depan (arah positif)? (e) Gambarkan pergerakan partikel. (f) Tentukan total jarak perjalanan partikel selama 5 detik pertama. (g) Tentukan percepatan pada waktu t dan setelah 4 detik. (h) Gambar fungsi posisi, kecepatan, dan percepatan untuk 0 t 5. (i) Kapan laju partikel naik? Kapan turun?
(a) Kecepatan merupakan turunan dari fungsi posisi v(t) = s (t) = 3t 12t + 9. (b) Kecepatan setelah 2 detik: v(2) = 3(2) 12(2) + 9 = 3 m/detik v(4) = 3(4) 12(4) + 9 = 9 m/detik (c) Partikel diam pada saat v(t) = 0, yaitu 3t 12t + 9 = 0 3(t 1)(t 3) = 0 diperoleh t = 1 atau t = 3. Jadi, partikel berhenti setelah 1 detik dan setelah 3 detik. (d) Partikel bergerak pada arah positif jika v(t) > 0, yaitu 3t 12t + 9 > 0 3(t 1)(t 3) > 0 Partikel bergerak pada arah positif jika t < 1 dan t > 3, dan bergerak pada arah negatif jika 1 < t < 3. (e) Pergerakan partikel (f) (g) (h) Jarak total merupakan selama 5 detik merupakan jumlah jarak tempuh pada interval waktu [0,1], [1,3], dan [3,5]. Jarak Total = s[0,1] + s[1,3] + s[3,5] = s(1) s(0) + s(3) s(1) + s(5) s(3) = 4 0 + 0 4 + 20 0 = 4 + 4 + 20 = 28 Jadi, jarak tempuh selama 5 detik adalah 28 meter. Percepatan merupakan turunan dari kecepatan a(t) = v (t) = 6t 12 a(4) = 6(4) 12 = 12 m/detik 2 Grafik s, v, dan a
(i) Laju naik (speed up) jika v > 0 dan a > 0 atau v < 0 dan a < 0. Dengan kata lain, laju partikel naik jika v dan a mempunyai tanda sama, yaitu pada saat 1 < t < 2 dan t > 3. Laju turun (slow down) jika v dan a mempunyai tanda berbeda, yaitu pada saat 2 < t < 3. Contoh 2. Suatu partikel bergerak sepanjang garis mendatar menurut persamaan berikut: s = 3t t, t 0 dimana s cm adalah jarak pertikel dari titik asal pada t detik. Jika v cm/detik kecepatan sesaat pada t detik, maka v = = 6t 3t Jika percepatan sesat pada t detik adalah a cm/detik 2, maka a = = 6 6t Kita akan menentukan nilai t yang menyebabkan salah satu besara s, v atau a sama dengan nol, yaitu s = 0 jika t = 0 atau t = 3 v = 0 jika t = 0 atau t = 2 a = 0 jika t = 1. Kesimpulan: s v a Kesimpulan t = 0 0 0 1 Partikel berada di titik asal. Kecepatannya 0 & bertambah. Laju bertambah. 0 < t < 1 + + + Partikel berada di kanan titik asal, dan berg-rak ke kanan t = 1 2 3 0 Partikel berada 2 cm di kanan titik asal, dan bergerak ke kanan dengan kecepatan 3 cm/dtk. Kecepatan tak berubah, jadi laju juga tak berubah. 1 < t < 2 + + - Partikel berada di kanan titik asal, dan bergerak ke kanan. Kecepatan berkurang. Laju berkurang. t = 2 4 0-6 Partikel berada 4 cm di kanan titik asal, dan geraknya berubah dari kanan ke kiri. Kecepatan berkurang. Laju bertambah. 2 < t < 3 + - - Partikel berada di kanan titik asal, dan bergerak ke kiri. Kecepatan berkurang. Laju bertambah. t = 3 0-9 -12 Partikel berada di titik asal, dan bergerak ke kiri dengan kecepatan 9 cm/dtk. Kecepatan berkurang. Laju bertambah. t > 3 - - - Partikel berada di kiri titik asal, dan bergerak ke kiri. Kecepatan berkurang. Laju bertambah.
Berikut gambar pergerakan partikel pada waktu t detik t = 3 t = 0 t = 1 t = 2-1 0 1 2 3 4 B. Aturan Turunan (Differentiation Rule) (1) Derivative of a constan function Jika c suatu bilangan tetap dan f(x) = c untuk semua x, maka f (x) = 0 (2) The power rule Jika n bilangan bulat positif dan f(x) = x, maka f (x) = nx (3) The constant multiple rule Jika f suatu fungsi, c suatu konstanta, dan g(x) = cf(x), maka g (x) = cf (x) (4) The sum rule Jika f dan g dua fungsi dan h(x) = f(x) + g(x), maka h (x) = f (x) + g (x) (5) The difference rule Jika f dan g dua fungsi dan h(x) = f(x) g(x), maka h (x) = f (x) (x) (6) Derivative of the natural exponential function Jika f(x) = e, maka f (x) = e. (7) The product rule Jika f dan g dua fungsi, dan h(x) = f(x)g(x), maka h (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) (8) The quotient rule Jika f dan g dua fungsi, dan h(x) = ( ) ( ), maka h (x) = ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] Contoh 1. Jika f(x) = xe, tentukan f (x).
Contoh 2. Tentukan turunan dari f(t) = t(1 t). Cara 1: Cara 2: Contoh 3. Jika f(x) = xg(x), dengan g(4) = 2 dan g (4) = 3, tentukan f (4). Contoh 4. Tentukan turunan dari y =.