Discrete Time Dynamical Systems

Discrete Time Dynamical Systems Sheet 1 and Solution (1) Tentukan titik tetap dari fungsi berikut. (a) f(x) = x x (b) f(x) = 2x + bx (c) f(x) = e (a) Titik tetap f memenuhi persamaan f(x) = x x x = x x x = 0 x x = 0 x = 0 atau x = ± 3 Jadi, fungsi f memiliki tiga titik tetap, yaitu 0, 3, dan 3. (b) Titik tetap f memenuhi persamaan f(x) = x 2x + bx = x x + bx = 0 x(1 + bx) = 0 x = 0 atau x = b Jadi, fungsi f memiliki dua titik tetap, yaitu 0 dan b. (c) Karena e > x untuk setiap x R, maka f tidak mempunyai titik tetap. (2) Tentukan titik tetap dari x = r x + x, r 0. Dari difference equation, diperoleh fungsi iterasi f(x) = r x + x. Titik tetap persamaan x = r x + x merupakan titik tetap fungsi f, yang memenuhi persamaan f(x) = x r x + x = x r x = 0 x = ± r Jadi, jika r > 0, fungsi f memiliki dua titik tetap, yaitu r dan r. Jika r < 0, maka f tidak mempunyai titik tetap. (3) Jika x = P(x ), dengan P: R R adalah polinomial kubik, tunjukkan bahwa P mempunyai paling sedikit satu titik tetap. Titik tetap P(x) jika memenuhi persamaan P(x) = x P(x) x = 0. 1

Misal F(x) = P(x) x. Karena P(x) dan x kontinu, maka F(x) juga kontinu. Karena F(x) merupakan fungsi polinomial kubik, maka untuk x, nilai F(x) ditentukan oleh suku ax untuk a 0. Sehingga jika a > 0, diperoleh F(x) > 0 untuk x > 0 cukup besar, dan F(x) < 0 untuk x > 0 cukup besar, x < 0. Sedangkan jika a < 0, diperoleh F(x) < 0 untuk x > 0 cukup besar, dan F(x) > 0 untuk x > 0 cukup besar, x < 0. Berdasarkan Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem), maka terdapat paling sedikit satu bilangan y sehingga F(y) = P(y) y = 0 P(y) = y. Jadi, P mempunyai paling sedikit satu titik tetap. (4) Diberikan sistem dinamik f: S S, dengan S himpunan berhingga. Tunjukkan bahwa setiap titik merupakan eventually periodic, yaitu untuk sebarang x S, terdapat n sedemikian sehingga x = f (x ) merupakan titik periodik (atau mungkin suatu titik tetap). Diberikan sebarang titik x S. Karena S himpunan berhingga, maka orbit x, x, x,, x, hanya dapat mempunyai berhingga elemen berbeda, sehingga suatu saat akan kembali ke suatu titik yang pernah dilalui sebelumnya, dan berulang. Misalkan x = x untuk suatu r > 0. Sehingga x merupakan titik tetap dengan periode r. (5) Tunjukkan bahwa jika x adalah titik periodik dari sistem dinamik f: S S dengan periode prima n, dan x juga mempunyai periode m, maka m = kn untuk suatu k N. Karena x mempunyai periode prima n, maka f (x) = x, tetapi f (x) x untuk 0 < r < n. Jika f (x) = x, maka m n. Misalkan m = kn + r, dengan k 1 (hasil bagi) dan 0 r < n (sisa pembagian). Diperoleh x = f (x) = f (x) = f ο(f ) (x) = f (x). Karena f (x) = x, sehingga r = 0. Jadi terbukti m = kn. (6) Diketahui f (x) = x dan f (x) = x. Tunjukkan bahwa jika s merupakan FPB (faktor persekutuan terbesar) dari p dan q, maka f (x) = x. Misal n adalah periode prima dari x. Berdasarkan pembuktian soal (5), maka n membagi habis p dan q. Akibatnya, n membagi KPK(p, q) = s. (Setiap faktor persekutuan dari p dan q juga merupakan faktor dari KPK(p,q)). 2

(7) Diberikan sistem dinamik f: R R, f(x) = sin x (x dalam radian). Tunjukkan bahwa x = 0 merupakan titik tetap dari f dan untuk setiap x R, f (x) 0. Diketahui sin x = 0, dan karena sin x < x jika x 0, maka x = 0 merupakan satu-satunya titik tetap f. Untuk setiap x R, x = sin(x ) [ 1,1]. Jika x > 0, maka x > 0 untuk setiap n. Selain itu, sin x < x untuk x > 0. Akibatnya, barisan x, x, x, monoton turun dan terbatas ke bawah oleh 0, sehingga barisan tersebut konvergen. Karena f(x) = sin x merupakan fungsi kontinu, maka barisan x, x, x, konvergen hanya ke titik tetap x = 0. Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan untuk x < 0. (8) Tunjukkan bahwa jika f: R R kontinu dan mempunyai orbit periodik dengan periode dua {x, x }, maka f mempunyai suatu titik tetap. Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan x < x dan f terbatas pada interval [x, x ]. Misal g(x) = f(x) x. Karena f(x) dan x kontinu, maka g(x) kontinu. Diperoleh g(x ) = f(x ) x = x x > 0, dan g(x ) = f(x ) x = x x < 0. Berdasarkan Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem), maka terdapat paling sedikit satu bilangan y [x, x ] sehingga g(y) = f(y) y = 0 f(y) = xy. Jadi, f mempunyai suatu titik tetap. (9) Tentukan semua titik tetap dari f(x) = μ x. Titik tetap f memenuhi persamaan μ x = x x + x μ = 0. Diperoleh solusi x, = 1 ± 1 + 4μ. Jadi, f mempunyai dua titik tetap jika μ >, yaitu x dan x ; satu titik tetap jika μ =, yaitu x = ; dan tidak mempunyai titik tetap jika μ <. (10) Diberikan fungsi iterasi Newton N (x) = x () (). Jika f(x) = x + 1, tunjukkan bahwa x = merupakan titik periodik dengan periode 2 dari N. 3

Diketahui f(x) = x + 1, sehingga diperoleh N (x) = x Untuk x = 1/ 3 diperoleh dan N = = ( ) / = =. N = N N = N = / =. Jadi, 1/ 3 merupakan titik periodik dengan periode 2 dari N. (11) Diberikan f: R R merupakan fungsi ganjil. Tunjukkan bahwa (a) x = 0 merupakan titik tetap. (b) Jika x = f(x), x 0, maka { x, x} adalah orbit periodik dari periode prima 2. (a) Fungsi f merupakan fungsi ganjil jika memenuhi f( x) = f(x) untuk setiap x R. Sehingga, 0 merupakan titik tetap dari sebarang fungsi ganjil, karena f(0) = f( 0) = f(0). Jadi, f(0) = 0. (b) Diambil x = x, x 0, sehingga diperoleh f(x) = x. Karena f fungsi ganjil, maka f( x) = f(x) = ( x) = x. Sehingga untuk x 0, {x, x} dan { x, x} merupakan periodik orbik dari periode prima dua. (12) Tentukan orbit periode prima 2 dari f: R R, f(x) = x x. Answer Karena f merupakan fungsi ganjil, maka titik periodik periode 2 dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan f(x) = x, yaitu perpotongan kurva f dengan garis antidiagonal y = x. Diperoleh x x = x x x = 0 x x = 0 x = 0 atau x = ±. Setiap titik potong kurva f dengan garis antidiagonal y = x mempunyai bentuk (p, p). Sehingga,, dan periode 2 dari f., merupakan orbit periodik 4

(13) Diberikan doubling function D: [0,1) [0,1), dengan D(x) = 2x(mod 1) atau D(x) = 2x 0 x < 2x 1 x < 1 Tentukan rumus D (x) dan gambar grafiknya. Perhatikan bahwa (a) D[0,1/4) = [0,1/2) dan D[0, 1/2) = [0,1) (LL): Pada interval [0,1/4), diperoleh D (x) = 2(2x) = 4x. (b) D[1/4,1/2) = [1/2,1) dan D[1/2,1) = [0,1) (LR): Pada interval [1/4,1/2), diperoleh D (x) = 2(2x) 1 = 4x 1. (c) D[1/2,3/4) = [0,1/2) dan D[0, 1/2) = [0,1) (RL): Pada interval [1/2,3/4), diperoleh D (x) = 2(2x 1) = 4x 2. (d) D[3/4,1) = [1/2,1) dan D[1/2,1) = [0,1) (RR): Pada interval [3/4,1), diperoleh D (x) = 2(2x 1) 1 = 4x 3. Jadi, rumus D (x) adalah 4x 4x 1 D(x) = 4x 2 4x 3 0 x < x < x < x < 1 Dengan grafik D (x) sebagai berikut. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (14) Kadang, koordinat suatu sistem perlu diubah untuk memperoleh bentuk yang lebih sederhana. Diberikan sistem dinamik f: [0,1] [0,1], f(x) = 4x(1 x). Untuk suatu nilai awal x, diperoleh orbit {x }. Misal diberikan 5

perubahan koordinat y = 2x 1. Tentukan different equation y terhadap y dan sistem dinamik F: S S dalam peubah y. Different equation dari fungsi f(x) = 4x(1 x) adalah x = 4x (1 x ). Selanjutnya, dari y = 2x 1 diperoleh y = 2x 1 = 24x (1 x ) 1 = 8x (1 x ) 1. Di sisi lain, y = 2x 1 ekivalen dengan x = (y + 1). Sehingga diperoleh y = 8x (1 x ) 1 = 8 (y + 1) 1 (y + 1) 1 = 4(y + 1) 1 = 2(y + 1)(1 y ) 1 = 2(1 y ) 1 = 1 2y. Oleh karena itu, F(y) = 1 2y. Pada koordinat awal, state space adalah [0,1], sehingga pada koordinat baru diperoleh S = {y: [0,1]}; atau S = [ 1,1]. 6